GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH HIỆN đại

Hướng dẫn sử dụng Hiện nay, trong một vài hệ đào tạo của ngành toán ví dụ: đại học sư ba môn học: 1 Tôpô gồm không gian metric và không gian tôpô; 2 Độ đo và tích phân; 3 Giải tích hàm

TRAN TRUNG (Chủ biên), MAI XUÂN THẢO,

NGUYEN XUAN THUAN, HOANG VAN THI

Loi noi dau

Giáo trình “Giải tích hiện đại” được biên soạn nhằm phục vụ quá trình đào tạo cử nhân ngành Toán và Toán- Tin

Giáo trình được xây dựng chủ yếu trên cơ sở ghép ba phân môn

theo khung chương trình do Bộ Giáo dục - Đào tạo ban hành: Tô-pô

đại cương, Lý thuyết độ đo và tích phân và Giải tích hàm Các tác giả

vừa muốn thể hiện tính thống nhất và những tư tưởng xuyên suốt

của ba phân môn trên, vừa cô gắng giữ lại tính độc lập của từng

phân môn, để có thể sử dụng giáo trình một cách linh hoạt Với mục

đích đó, chúng tôi có nêu vắn tắt "Hướng dẫn sử dụng" ngay trước

chương đầu giáo trình

Các tác giả nhận thức được rằng giáo trình không tránh khỏi

nhược điểm và sai sót Vì vậy, chúng tôi xin chân thành tiếp thu mọi

ý kiến đóng góp, phê phán của các chuyên gia và mọi độc giả Chúng tôi xin chân thành cảm ơn lãnh đạo Trường Đại học Hồng

Đức đã tạo điều kiện để giáo trình có thể được hoàn thành

Xin cảm ơn T8 Hoàng Nam, các Th8 Đỗ Văn Lợi, Nguyễn Văn Cần, Nguyễn Mạnh Hùng đã đọc bản thảo và cho những nhận xét xác đáng Cảm ơn Thế Tạ Công Sơn (hiện là nghiên cứu sinh ở trường ĐH KHTN, ĐHQG Hà Nội) đã có những góp ý rất cụ thể

Các tác giả xin đặc biệt cảm on GS Dinh Ding va PGS Nguyén Đình Quyết đã đọc kỹ bản thảo và cho những chỉ dẫn quý báu

Các tác giả

đặc điềm của giáo trình

đo Như vậy, bố cục ở đây cũng không đơn giản là đi từ thập đến cao,

từ đặc biệt đến tổng quát

2 Về nội dung

Nói chung, chúng tôi không có tham vọng trình bày những vấn

đề mang tính chuyên sâu Giáo trình chỉ đặt ra yêu cầu là cho sinh viên làm quen bước đầu với những khái niệm và phương pháp cơ bản của Giải tích hiện đại Học viên nào sau này làm công tác nghiên cứu toán học sẽ phải học thêm các giáo trình nâng cao và chuyên khảo Trong 9 chương, chỉ có một chương có tính chất "nâng cao" là chương

IV, "5ø lược về đạo hàm và vi phân trong không gian định chuẩn" Việc đưa chương này vào giáo trình (cũng chỉ soi sáng những khái niệm cơ bản nhất) xuất phát từ suy nghĩ là nói đến Giải tích thì

không thể bỏ qua khái niệm đạo hàm.

Hướng dẫn sử dụng

Hiện nay, trong một vài hệ đào tạo của ngành toán (ví dụ: đại học sư

ba môn học: 1) Tôpô (gồm không gian metric và không gian tôpô);

2) Độ đo và tích phân; 3) Giải tích hàm (lý thuyết không gian định

chuẩn, trong đó có không gian Hilbert, và lý thuyết toán tử tuyển

tính) Trong trường hợp đó có thể dùng giáo trình như sau:

1) Tôpô ứng với các chương I1, V (không cần điều chỉnh)

9) Độ đo và tích phân ứng với các chương VĂH, IX (khong cần

diéu chinh)

3) Giải tích hàm ứng với các chương 1, TIT Chu y rằng trong phần

này, một số kết quả đùng cho không gian tiền-Hilbert có thể coi như

trường hợp riêng của không gian metric nên không cần chứng minh

nữa Tuy nhiên, khi dạy và học phần này, nên tham khảo thêm giáo

[Al

Tni

Ex

AL

IRT = |0, +oo)- tập hợp mọi số thực không âm

R=RU(_—œ, +œ) = [—oo, +oœo|- tập hợp số thực mổ rộng

RỶ = RU {+©} = [0, +oo]- nửa trục số thực mỏ rộng

C- tập hợp mọi số phức

X*- 1) tap hop X \ {0} (nấu X là một trong các hệ thống số ở trên); 2) không gian liên hợp của X (nếu X là không gian tôpô tuyến tính); 3) toán tử liên hợp của X (nếu X là toán tử)

lạ- không gian các dãy số thực (at, , a„, .) sao cho > q2 < +00

Œ(X)- không gian các ánh xạ liên tục từ không gian ¡ tôpô X vào R Y(L, L’)- không gian mọi toán tử tuyến tính liên tục từ không gian

L vào không gian 1/ (tôpô tuyến tính hoặc định chuẩn)

%{L)- cách viết gọn của #{L, L)

#„(X)- không gian các hàm khả tổng bậc p trên X

L,(X) (hoae Lp)- khong gian các lốp tương đương của Y,(X) theo quan hệ trùng nhau hầu khắp nơi

[4]- hoặc CLA- bao đóng của tập hợp 4

_ IntA- miền trong của tập hợp A

ExtA- miền ngoài của tập hợp A

A°- phần bù của tập hợp 4A (trong không gian đang xét)

B(a,r)- hình cầu mở tâm a, bán kính r

co

Bla, r)- hình cầu đóng tâm a, bán kính r

z- 1) số phức liên hợp của z; 2) lớp tương đương chứa z (theo một quan hệ tương đương nào dé)

[z]- 1) lớp tương đương chứa z; 2) phần nguyên của số thực z

5(4)- phổ của toán tử A

5p(4)- phổ điểm của toán tử A

u- độ đo Lebesgue trên trục số

a(7)- đại số sinh bởi 7

ơ(Z7)- o-dai số sinh bổi 7

(a; b)- khoảng mổ các số thực giữa a và b

(a, b)- tích vô hướng của a và b

Không gian Hilbert 11 Không gian tuyếntính

1.1.1 Định nghĩa không gian tuyến tính

1.1.2 Sự phụ thuộc tuyến tính

113 Cơsổvàsốchều

114 RKhônggiancon

1.1.5 Không gianthương

12 Ánh xa tuyến tính

12.1 Định nghĩa và vídụ

12.2 Các tínhchấtcøbản

1.2.3 Sự đẳng cấu giữa các không gian tuyến tính 1.24 Định lý Hahn-Banach

1.38 Không gian tiền Hilbert và không gian Hilbert

13.1 Cácđmnhngha

13.2 Mộtsốvídụ

1.8.3 Giới hạn của dãy điểm Không gian Hilbert

1.4 Hệ trực giao và cơ sở trựcgiao

17

17

17

18

19

20

20

21

21

22

23

24

27

27

29 30

2.11 Khai niém khong gian metric 49

212 IHìnhcầu ch he 51

2.1.3 Tương quan giữa điểm và tập hợp 52

21.5 Tínhtrùmật c Tu 54

2.2_ Tập hợp đóng và tập hợp mỏ trong khéng gian metric 54 2.2.1 Tập hợp đóng và tập hợpmổ ‹ 55 2.2.2 Tính chất của hệ các tập hợp đóng và hệ các tập

2.2.3 Cac tap hop đóng và mở trên trụcsố 57 ,

2.3 Anh xa lién tuc, ding phéiva dangew 58

1 get

2.5 Nguyénly anhxaco 68

2.5.1 Nguyénlydnhxaco 68

2.5.2 Vaiting dung cuanguyénly dnhxaco 70

2.6 Khong gian metriccompact 72

2.6.1 Tap hoantoanbichan 72

2.6.2 Khénggiancompact 74

Bai tap chuong2 0 00200 0.0 0 0000 76

Khong gian dinh chuan 83 3.1 Không gian định chuẩn 83

3.11 Chuẩn và không gian định chuẩn 83

3.1.2 Rhông gianBanach 86

3.1.3 5o sánh hai chuẩn trên cùng một không gian tuyến tính 88

8.2 Phiém ham tuyến tính lên tuc ee ee 89 3.3 3.4 3.2.1 Điều kiện để phiếm hàm tuyến tính là liên tục 89 3.2.2 Chuẩn của phiếm hàm tuyến tính liên tục Không gian lên hợp 90

3.4.3 Định lý Hahn- Banach trong không gian định chuẩn 94

Không gian liên hợp của không gian Hilbert 95-

3.3.1 Bổ đề về tính đóng của nhân 95

3.3.2 Không gian liên hợp của không gian Hilbert 96

3.3.3 Không gian liên hợp của không gian Euclide (không đây đủ) 97

Toán tử tuyến tính liên tục 97

3.4.1 Tính liên tục và tính bịchặn , 98

3.42 Chuẩn củatoántử ¬ 99

3.4.3 Không gian các tán tử 100

3.4.4 Vành toán tỬ 101

3.4.5 Toán tửlênhợp 102

12

35.2 Tinh mé cia tập hợp các toán tử khả nghịch 107

3.5.3 Một công thức khai triển quan trọng - 108

3.6.1 Gidtririéng cuatodntU 2.0.2 ee eee 109

3.6.2 Số chính quy và phổ của toán tử - 110

3.7 Một số tính chất đặc biệt của toán tử tuyến tính liên tục112

3.7.1 Dinhly 4nhxamé 1 ee ee ees 112

3.7.2 Định lý đồ thị đóng .- {So 113

8.7.3 Nguyên lý bị chặn đều .-.- 115

Sơ lược về vi phân và tích phân trong không gian định

4.1.2 Các phép toán đối với đạo hàm 125

4.2.1 Định nghĩa đạo hàm va vi phân yêu - 127

4.2.2 Liên hệ giữa đạo hàm yêu và đạo hàm mạnh 129

wt

WH

4.4.3 Công thức Taylor 140

4.5 Cuctriciaphiémham 142

4.5.1 Phát biểu bài toán Điều kiện cần để có cực trị 142 4.B.2_ Điều kiện đủ để có cựctrị 143

Bai tap chugng4 0 0 - 145

T6ps 147 5.1 Tôpô và không giantôpô 147

5.1.1 Tôpô và không gian tôpô 147

5.1.2 Mộtsố kháinệmbổtrg 149

5.1.3 Không gian con của không gian tôpô 150

ð.14 Ánh xạ liên tục Đồngphôi 150

5.1.5 Tôpô sinh bởi một hệ tùy ý Tôpô tíh 151

5.2 Cơ sở của lÔĐÔ Q Q Q Q Q Q Q Q.2 151 5.2.1 Cơsởcủatôpô , 152

5.2.2 Điều kiện để hệ tập hợp con của một tập hợp là cơ sở của một tôpô 152

5.23 Cơ sở đếm được và tính khảl 153

5.2.4 Cơ sở lân cận của điểểm 155

5.3 Các tiên để tách Không gian khá metric 155

5.3.1 Tiên đề tách thứnhất 156

5.3.2 Tiên đểtáchthứhai 156

5.3.3 Tiên đề táchthứba 157

5.3.4 Tiên đề tách thứ tư Không gian khả metric 158

9.4 Tinhcompact , 159

5.41 Phủ của mộttậphợp 159

9.42 Tính tựacompact 160

5.4.8 Tinhcompact ., 162

5.5 Tinhliénthéng 164

1á

5.5.1 Khái niệm về tính liên thông Các tính chất của

5.5.2 Các thành phần liên thông ees 167 5.5.3 Khéng gian lién théng va 4nh xa liéntuc 168

6.1.1 Định nghĩa và các tính chất co bản 173

6.1.3 Tính tách được của không gian tôpô tuyến tính 177 6.2 Phiém hàm tuyến tính Sự hội tụ yếu và yếêu"” 178 6.2.1 - Tính liên tục của phiém hàm tuyến tính Không

6.2.3 Sự hội tụ yếu" trong không gian liên hợp 183

71.1 Dinhnghiavavidu -.++ eserves 187

7.1.2 Tính chất của toán tử compact - 189

7.2 Toán tử compact trong không gian Hilbert 193 7.2.1 Điều kiện để toán tử trong không gian Hilbert

8.1 Độ đo Lebesgue trên trục sô thực - - 201

8.1.1 Cáctậphợpsơcấp 201

8.1.2 Độ do ngoài của tập hợp bị chặn 204

8.1.3 Taphopdodude 00.0.00200.0.0 , 205

8.1.4 ĐộdoLebesgue , 207

8.2 Khénggiando eee 211 8.2.1 Đại số và ơ- đại số cdc tap hop Khéng gian do 211

8.2.2 Đại số và ơ- đại số sinh bởi một phân hoạch 214

8.2.3 ơ-đạisố Borel 215

8.2.4 Không gian con và không gian tích 216

8.3 Hamdodusc 0 0.0 0 0 216

8.3.1 Khái niệm ánh xạ đo được 216

8.3.2 Cáchàm đođược 218

8.3.3 Các hàm đơn giản 221

8.4 Khônggianđộđo , 224

8.4.1 Định nghĩa và các ví dụ về độđo 224

8.4.2 Các tính chất của độ đo oa, 227 8.4.3 Nhiing loai dé dothutng gap 228

8.4.4 Quan hệ tương đương giữa hai hàm trên không gian độđo "DA 229 8.4.5 Độ đo trên không giancon -~ 230 -

8.5 Các dạng hội tụ trên không gian độ đo 230

8.5.1 Sự hội tụ hầu khắpnơøi 231

8.5.2 Hội tụtheođộđo ti 233- Baitapchuong8 -0 235

9 Ly thuyét tich phan 239 9.1 Tich phan Lebesgue 239

9.1.1 Tích phân của hàm đơn giản 239

9.1.2 Định nghĩa tích phân trong trường hợp tổng quát241 9.1.3 Tính ø- cộng được của tíchphân 244

16

914 Bất đẳng thức Chebyshov 246

9.2_ Tính liên tục tuyệt đối của tích phân Chuyển qua giới

9.2.1 Tính liên tục tuyệt đối của tích phân 247

9.2.2 Chuyển qua giới hạn dưới dấu tích phân 249

9.3 Liên hệ giữa tích phân Lebesgue và tich phan Rie-

„mAann te th R Ró 254

9.3.1 Sự khác biệt trong cách xây dựng khái niệm

9.3.2 Trường hợp miền lấy tích phân là đoạn hữu hạn 254

9.8.3 Trường hợp miền lấy tích phân là koảng hữu

hạn (mở hoặc nửa đóng nửa mở) - 256 9.8.4 Trường hợp miền lây tích phân là khoảng vô hạn257

9.4 Thác triển độ đo Tích các độ đo và định lý Fabini 258

94.1 Thactrién dddo 020002 258

9.5 Các không gian của những hàm có cùng bậc khả tổng 265

A

cap xét tâm

a

Tap

số Ï của mãi

sao

cho:

1.1 Không gian tuyến tính

Tập hợp ” (khác 0 ) được gọi là không gian tuyến tính trên trường

số lK, nếu trên đó có xác định một phép toán cộng (cộng hai phần tử của L với nhau) và phép nhân phần tử của 7 với một số thuộc K thỏa mãn các điều kiện sau:

1) với mọi a,b € L đều có: a+b=b+a;

2) với mọi a,b,c€ L đều có: (a + b) + c= a+ (b+c);

3) trong L tôn tại (duy nhất) một phần tử 0 (gọi là phần tử không) sao cho: a + 0 = a với mọi a € ;¡

4) với mỗi a € đều có một phần tử —a € 7 (gọi là đối của a) sao

cho: a + (—a) = 0;

18 1 Không gian Hilbert

5) với mọi œ, Ø8 €lK,a € L đều có: œ(2a) = (a8)a;

6) với mọi œ, 8 € K và a € L đều có: (œ + đ)a = aa + Ga;

7) với mọi œ € K,a,b€ L đều có: a(ø + b) = œa + đb;

Ö) 1.œ= a với mọi a € Ù

Chú ý:

1 Trường K được hiểu là trường số thực R hoặc trường số phức

C Trong trường hợp đầu, ta có không gian tuyến tính thực; trong

trường hợp sau — không gian tuyến tính phức Sau này ta sẽ chỉ nói

đơn giản: 7 là không gian tuyến tính Trong trường hợp cần thiết sẽ

nói rõ đó là không gian thực hay phức

2 Ta sẽ không phân biệt cách viết phần tử không của L với số

0€K

3 Bằng quy nạp, ta có thể định nghĩa tổng của n phần tử (n

nguyên dương tuy ý)

1.1.2 Sự phụ thuộc tuyến tính

Trước hết, ta nêu ra khái niệm hệ phần tử của một không gian tuyến

tính L Giả sử 7 là một tập hợp tuỳ ý (hữu hạn, đếm được hoặc không

đếm được) và với mỗi œ € ï ta có }ương ứng một (và chỉ một) phần tử

z„ € L Về nguyên tắc có thể xảy ra đẳng thức z„ = zư khi œ # œ',

Nhưng về hình thức, ta sẽ phân biệt +„ với z/ nếu œ # œ' Khi đó,

tập hợp Á các ký hiệu z„ với œ € ï sẽ được gọi là hệ phần tử của 7

Nói chung, không thể coi 4 là tập hợp con của L ©

Hệ phần tử A của L được gọi là phụ thuộc (tuyến tính), nếu tồn

tại a1, , đu € A và ơi, ,ă, € K(aŸ+ +o2 # 0) sao cho Ð 2a, =0

+ + Oan goi la té hop tam thuing; cdc té hop khác gọi là không tầm

thường Tổ hợp tầm thường luôn là phần tử 0

Dễ thấy các mệnh đề đơn giản sau đây là đúng:

a) Hệ hữu hạn là độc lập khi và chỉ khi không có tổ hợp nào khác của các phần tử là bằng 0, ngoài tổ hợp tầm thường

b) Nếu trong hệ có phần tử bằng 0 hoặc hai phan tử giống nhau thì hệ là phụ thuộc

c) Nếu hệ 4 chứa hệ ö mà phụ thuộc thi A phụ thuộc

Bây giờ ta chứng minh mệnh đề sau:

d) Hệ 4A là phụ thuộc khi và chỉ khi có ít nhất một phần tử a của

A biểu thị tuyến tính qua một số hữu hạn các phần tử khác a, tức là biểu thị dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần tử đó

Thật vậy, giả sử 4 là phụ thuộc; khi đó tổn tại œ, a„ € A và Œ1, , œ„ sao cho x œ¿ z 0 nhưng 3ˆ œyay = =0

k=l Trong các số at phải có ít nhất một số khác 0, chẳng hạn Ok,» Khi

đó: quy = — > Oh ap, tức là a¿„ biểu thị tuyến tính qua các phần tử kek kg

Tập con 4 (tức là hệ các phần tử khác nhau từng đôi một) được gọi

là cơ sở của không gian tuyến tính 7„ nếu:

1) A là hệ độc lập tuyến tính;

2) mỗi phần tử của 7 đều là tổ hợp tuyến tính của một số (hữu hạn) các phần tử thuộc A

- Trong Đại số tuyến tính, ta biết rằng nếu không gian tuyến tính

có một cơ sở với n phần tử (hay n vector) thì mỗi cơ sở khác cũng phải có đúng n phan tu Trong truéng hop nay ta noi L 1A không gian

n chiêu Như vậy, nếu L có một cơ sở vô hạn, thì mọi cơ sỏ khác đều là

vô hạn, và trong trường hợp đó ta nói L là khéng gian v6 han chiêu

Ví dụ đơn giản nhất về không gian vô hạn chiều là không gian -IR^' gồm mọi dãy số thực vô hạn, với phép cộng và phép nhân với một

sô được xác định như sau:

(ay, q2, " + (bì, ba, we) = (ay + 6), a+ bo, "3 ;

a(ay, a2, .) = (aay, aa, .)

1.1.4 Khéng gian con

Tập hợp A/ (khác rỗng) của L được gọi là không gian con, nêu với

mọi a,b € ă và œ € K đều có ø+b € ă và œa € ÌM Điều này tương

đương với việc mọi tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn các phần

tử trong A7 cũng thuộc Ä/ Đương nhiên chính không gian con của -

7 cũng là không gian tuyến tính (với các phép toán là sự thu hẹp tương ứng từ 7 lên 7) Trong số các không gian con, luôn có tập hợp {0} và toàn bộ (các không gian con tầm thường)

Với A là một bộ phận của L, tap hop (4) mọi tổ hợp tuyến tính

của những hệ con hữu hạn của A gọi là bao tuyến tính của A, (nếu

A = 0 thì lấy L(A) = {0}) Đây chính là không gian con hẹp nhất

chứa 4A và là giao của mọi không gian con chứa 4 Nếu 4 là hệ độc lập thì (A4) nhận A làm cơ số

Với A,B C L, ký hiệu A+ Ð = {[x~+/+zec A,y € B} DE thấy,

Trong trường hợp 4 và B đều là không gian con, ngoài ra AnB = {0}

và A + B = C, ta nói rằng C là tổng trực tiếp của A và B, và viết

Cho 4 là không gian con của 7 Trong L xét quan hệ hai ngôi ø như sau: œø khi và chỉ khi a — b= a + (—Ù) € A Dé thay ø là quan hệ tương đương Lớp tương đương chứa a (ky hiệu |a| hoặc a) chính là

tập hợp a+A= {a+z/z € 4} Như vậy, a+ A=b+ A khi và chỉ khi

a-=b€ A Lớp tương đương chứa Ó chính là không gian con A

8“

Œ} cũng là một lớp tương đương Thật vay, lay ø,ø'c B+C Khi

đó, a = #z + và a' = rô +ự, với xe Bva yy € C Do đó,

Lây z tùy ý từ Ø và đặt ' = a! - z, ta cố a' = „ + ự Ngoài ra

Ụ T— =(a—= +) — (a! — 2!) = (a — 4) + (ø! ~ z) là tổng của hai phần

tử thuộc 4 nên cũng thuộc A Vậy e C, nghĩa là ae B + Vậy

tùy ý tương ứng từ B va C

Tương tự, nêu œ là một số thì œB = {ab/ b € B} cũng là lớp tương duong va aB = (ab) + A

Như vậy trén L/p có thể nói đến phép cộng và phép nhân với một

số Có thể chứng mỉnh rằng các phép toán thỏa mãn 8 điều kiện của định nghĩa không gian tuyến tính Không gian L/p xác định theo cách đó gọi là không gian thương của L theo không gian con A, thường ký hiệu là ”/A

1.2 Ánh xạ tuyến tính

Liên quan mật thiết với các không gian tuyến tính là các ánh xạ tuyến tính — hay, như phần sau ta sẽ gọi, là các toán tử tuyến tính Cách gọi thứ hai thường được dùng khi nghiên cứu các tính chất giải tích của không gian và các ánh xạ

1.2.1 Định nghĩa và ví dụ

Ánh xạ ƒ từ không gian tuyến tính ⁄ vào không gian tuyến tính AM được gọi là ánh xạ tuyến tính, nêu với mọi a,b € L va hai số œ, 8 đều có:

ƒ(œa + Bb) = af(a) + 8ƒ(0)

Nếu A/ chính là trường số (coi như không gian tuyến tính trên chính nó) thì ƒ được gọi là phiếm hàm tuyến tính trên L Sau đây là một vài ví dụ:

22 1, Khong gian Hilbert

1) Xét tap hep C[a, b| gom moi ham giá trị thực liên tục trên [a, bị

Ta coi tap hợp này như không gian tuyến tính với các phép toán sau:

a) Phép cộng: nếu ƒ, g e C{a, b] thì ƒ + ø là hàm h € Cla, b| sao cho

h(a) = f(x) + g(2);

b) Phép nhân với một số thực: œƒ là hàm y sao cho v(x) = a- f(z)

Khi đó, ánh xạ #' : C[a,b| ¬ R biến mỗi hàm ƒ € C[a,b] thành

= i ƒ(z)dz là phiếm hàm tuyến tính trên Cla, b]

a

2) Một ánh xạ khác từ Cla, b| vao R, bién ¿ thành ¿(a) cũng là

ánh xạ tuyến tính

3) Cho y(z, y) là hàm hai biến liên tục trên [a,b] x [a,b] Anh xa

biến mỗi ƒ € C{a, b| thành ø € Ca, b| xác định như sau:

b

ø(z) = | (s,9)f()4u,

a cũng là ánh xạ tuyến tính

1.2.2 Các tính chất cơ bản

1) Ảnh (qua ánh xạ tuyến tính) của 0 cũng là 0

2) Ảnh của —z qua ánh xạ tuyến tính ƒ là — ƒ(z)

3) Ánh xạ tuyến tính biến hệ phụ thuộc (tuyến tính) thành hệ

phụ thuộc

4) Đơn ánh tuyến tính biến hệ độc lập thành hệ độc lập

Thật vậy, giả sử ƒ là ánh xạ tuyến tính từ L vào A7 và A là hệ

déc lap trong L, B = f(A) = {f(z)/x € A} Gia st 37 6,b, = 0, voi

k=1

by, ., bn € B Do f 1a don ánh nên với mỗi b„ thì chỉ có một phần tử

a, duy nhất từ A sao cho by = ƒ(a,) (Chú ý: hệ độc lập không thể có

hai phần tử trùng nhau và hệ đó luôn là tập con của 7) Đẳng thức

Šˆ đyby = = 0 có nghĩa là Lobes (a„) = 0, hay ƒ( x Bea) = 0

của 4 suy ra đị = đạ = = B, = 0, nên độc lập

5) Anh xạ tuyến tính ƒ là đơn ánh khi và chỉ khi tập hợp

ƒ `0) ={£€: f() =0) chỉ chứa đúng một phần tử 0

6) Đối với ánh xạ tuyến tính từ không gian r¡ chiều vào không gian n chiều thì các tính chất đơn ánh, toàn ánh, song ánh là trùng nhau

7) Hợp hai ánh xạ tuyến tính là ánh xạ tuyến tính (Nếu ƒ#:b— M,g: M — Ñ thì hợp là ánh xạ h : L — N sao cho h(x +) = g(hặ )) Đặc biệt, hợp hai ánh xạ đẳng cấu, tức là hai song ánh tuyến tính cũng là đẳng cấu

1.2.3 Sự đẳng cấu giữa các không gian tuyến tính

Nếu có một ánh xạ đẳng cấu từ không gian tuyến tính L vào không gian tuyến tính M thì ta nói L và AM đẳng cấu uới nhau

Bổ đề 1.2.1 Án? xa tuyến tính là đẳng cấu khi va chi khi nó biến

cơ sỏ thành cơ sỏ

Chúng mảnh Giả sử ƒ là đẳng cấu từ L vào AM và A 1A co SỞ của L,

B = f(A) Do tinh đơn ánh của ƒ nên Ø là độc lập Lấy một phần

tử tùy ý € AM Khi đó tồn tại duy nhất một phan tit x € L sao cho: f(x) = y Vi Ala eo 86 trong L nén x = = J apap VỐI Q1, ,An € A

k=l Nhung khi dé ta cé y = Dawl (az) Do f(ag) € B nén kết hợp với tinh déc lap suy ra B 1a cũ "Số,

Đảo lại: giả sử ánh xạ tuyến tính ƒ từ 7 vào M biến mỗi cơ sỏ thành cơ sở Khi đó, nếu 4 là cơ sở trong thì B= F(A) la Cơ SỞ trong

M Lay phần tử tùy ý € AM Khi đó, = Deeb = = Daws(ar) = =

0S) œ0), VỐI a„, € Á nên có tạo ảnh, tức ƒ là toàn ánh k=]

Tiép theo, giả sử ƒ(z¡) = ƒ(za) với z¡, xạ € L Vì A là cơ sở nên Z1

và rq biéu thi qua hai hé con hitu han A, va 4; của A, và ta có thể coi

24 1 Khong gian Hilbert

rang ca 24 va ™ cing biéu thi on tính qua Ay U Ag = {a1, , an},

Do f(A t) A) déc lap tuyén tính nên suy ra al! _ a véi moi k = 1, ,n,

tite lA x1 = xo Do dé, f 1a don anh; suy ra ƒ là đẳng cấu LÌ

Dinh lý 1.2.1 Hai không gian lò dang céu khi va chi khi hai co sé

tương úng (tùy ý) của chúng có cùng lực lượng

Chứng mình Giả sử L và M đẳng câu với nhau và ánh xạ đẳng câu

cụ thể từ 7 vào M la f; Ava B lần lượt là cơ sở của L va M Ky hiéu

C = f(A) Khi dé C 1a co sé cia M⁄ và hiển nhiên 4 và Ở cùng lực

lượng Vi B và Ở cùng lực lượng nên suy ra A và B cting luc lugng

Đảo lại: giả sử cơ sở A của 7 và cơ sở của M là cùng lực lượng

Xét một song ánh tùy ý ƒ từ A vào B Ta mé rộng ƒ lên toàn bộ L

k=l

f là ánh xạ tuyến tính từ L vào Aí Theo Bổ để 1, 2, 1 thì ƒ là đẳng

1.2.4 Dinh ly Hahn - Banach

Trong nhiều trường hợp, ta cần mổ rộng một phiém ham tuyén tinh

fa từ một không gian con họ của không gian tuyến tính lên toàn

bộ 7 Mö rộng, hay thác triển, có nghĩa là tìm phiém ham tuyén tinh

ƒ trên L sao cho khi z € Lọ thì ta có ƒ(2) = fo(z) Ö đây, ta cần thác

triển theo một cách đặc biệt, Trước hết, ta nêu ra các định nghĩa sau

+

Dinh nghĩa 1.2.1 Ánh xạ Re từ không gian tuyến tinh L vao Rt

tré

tre

Định lý 1.2.2 /Hahn - Banach] Cho pla phiém ham lôi trên L uà fo

là phiếm hàm tuyến tính trên không gian con Lọ của L Giả sử trên

Lo thi fo quy thuận theo p Khi đó tôn tai phiém ham tuyến tính ƒ trên L sao cho:

1) ƒ là thác triển của fo (tit Lo lén L);

2) ƒ quy thuận theo p trên toàn bộ L

(Chú ý rằng có thể ký hiệu thác triển của ƒạ uẫn là fo)

Để chứng minh định lý này, ta cần nhắc lại một số khái niệm và kết quả của lý thuyết về quan hệ thứ tự Giả sử 7' là quan hệ thứ tự trên tập hợp X Tập con A của X được gọi là xích, nêu trong A hai

phần tử a và b đều-so sánh được với nhau, nghĩa là có ø7b hoặc bTa

Tiếp theo, phần tử cc X được gọi là cận trên của A, nếu a7c với mọi

a€ 4 Phần tử đc X được gọi là đối đại, nếu không tồn tại phần tử

z nào khác đ sao cho dT zx

Bổ đề 1.2.2 [Zorn] Nếu trong tập hợp X uói quan hệ thú tự T mọi xích đều có cận trên thì X có phân tử lún nhất, túc là phan ti a sao cho xTa vdi moi z c X

Chitng minh Dinh ly Hahn- Banach Cé nhién chi cAn xét trường hợp

họ là không gian con thực sự của 7 (tức là họ # L) Trước hết, ta

chứng tỏ rằng có thể thác triển ƒụ từ Lạ lên một không gian con L, thành ƒ\ sao cho ƒ¡ quy thuận theo p trên Lạ Thật vậy, lay x1 € L\ Lo

va xét L, sinh béi Ly U {z¡} Khi đó, mỗi phần tử của L¡ đều có dạng

trong đó À € R và € Lọ Ta xây dựng ƒ¡ như sau

trong đó e là sô thực mà ta sẽ xác định sau

Từ điều kiện quy thuận theo p trên L¡, ba phải có cc di

he+ foly) < pri +4) (1.2.3)

hợp các số có đạng — fo(y’) — p(—' —z\), với 1,” € bọ Khi đó œ > 8

với mọi œ € Ava 6 € B Suy ra: ton tai c sao cho œ 3> £ 2 8 với mọi D:

—foly”) + ply” + a1) 2 ¢ > —foly’) ~ p(-o ~ #1) (1.2.7) "

Ap dụng (1.2.7) cho = y” = ¥ ta suy ra (1.2.4) và (1.2.5) Do đó,

bo ¬

1.3 Khéng gian tiền Hilbert va khéng gian Hilbert

Như vậy, ta đã chứng minh rằng tồn tại ít nhất một không gian

con h¡ rộng hơn hẳn Lo sao cho fo thác triển dude lén Ly, đồng thời

điều kiện quy thuận vẫn được bảo đảm

Bây giờ, ta xét họ £ gồm mọi không gian con 7„ của 7 sao cho Lo

lai là khong gian con cia L,, déng thai fo c6 thé thac trién thanh

phiém ham tuyén tinh fo trén Ly sao cho điều kiện quy thuận vẫn được giữ nguyên Ký hiệu họ các thác triển fa nay la Ƒ' Trong Ƒ xét

quan hệ hai ngôi 7 như sau: ƒ.7 #⁄a khi và chỉ khi ƒs là thác triển

của ƒ„ Rõ ràng 7 là quan hệ thứ tự Giả sử G là một xích trong 7, Khi đó 7/ = ; U ba là không gian con chứa họ, và nếu ø là phiếm hàm xác định trên L’ sao cho 9() = ƒ4(z), nếu z € 7„ thì rõ ràng

ø là thác triển của moi fa € F lén L’ và vì vậy, ø là cận trên của

G Nhu vậy, quan hệ 7' thỏa mãn điều kiện của bổ đề Zorn Suy ra:

Ƒ có phần tử lớn nhất ƒ Phần tử này hiển nhiên là thác triển của mọi ƒị xác định như trong phần đầu của chứng minh, và vì z¡ có

thể lấy tùy ý trong 7, \ họ nên ƒ là thác triển của ƒạ lên toàn bộ 7

Hiển nhiên, điều kiện quy thuận vẫn được đảm bảo Định lý đã được chứng minh

L]

1.3 Không gian tiền Hilbert và không gian Hilbert

Trong bài này, ta nghiên cứu các tính chất của một loại không gian:

rất gần với không gian EucHẻe hữu hạn chiều: đó là các không gian tiền Hilbert tổng quát, mà trường hợp quan trọng nhất là không

gian Hilbert

Định nghĩa 1.3.1 Không gian tuyến tính thực được gọi là không gian tiền Hilbert (thực), nếu trên đó có xác định một tích vô hướng,

nghĩa là với mỗi cặp (a,b) € E x E, ta đều có tương ứng một số thực

ky hiéu 1a (a, b) sao cho:

1) (a, b) = (b, a) (Va, bE E);

2) (a, 61 + be) = (a, bi) + (a, ba) (Va, bị, bạ € E);

28 1 Khéng gian Hilbert 3) (a, Bb) = Bla, b) (Va, be E,B ER);

4) (a,a) 2 O(Va € E); ngodi ra (a,a) = 0 khi uà chỉ khí a = 0

Dinh nghia 1.3.1 Không gian tuyến tính phức E được gọi là không gian tiền Hilbert (phức), nếu cũng có phép nhân vô hướng thỏa mãn

các điều kiện 2), 3), 4 và điều kiện sau:

- 1”) (a,b) = (b, a) (Va, b € EB)

Nhận xét Dùng điều kiện 1) hoặc 1) kết hợp với điều kiện 2) dễ

thấy rằng:

(a1 + Gg, 0) = (a1, b) + (ag, b) (Vai, a2,b € E)

Đấi với không gian thực, rõ ràng ta có

(aa, b) = a(a, b)

péi véi khong gian phức, ta có

(aa, b) = (b, aa) = œ(b,a) = Gœ.(b,a) = G.(a, b)

Sau đây chúng ta sẽ xét chủ yêu là không gian thực Các kết quả

tương ứng cho không gian phức có thể nhận được bằng việc thay đổi

ít nhiều mạch lý giải hoặc công thức

Với mỗi a € E thì +/(a, a) được gọi là chuẩn hay độ lón cha a, va

ký hiệu là l|al|:

Bây giờ chúng ta chứng mình một bất đẳng thức quan trọng đổi

với tích vô hướng Cụ thể, với mọi cặp phần tử z và của không gian tian Hilbert EF, ta cé:

(x, y)* < ||zlŸ.lwlŸ - (1.3.1)

Bất đẳng thức này được gọi là bắt đẳng thúc Cauchy- Bunydhoushy

Một số người gọt nó lò bắt dang thitc Cauchy- Schwarz |

Bất đẳng thức (1.3.1) rõ ràng đúng với z = y = 0 Bay gid gia st

ít nhất một trong hai phần tử này là khác 0, ví dụ z Khi đó ||z|| 4 0 Xét hàm biến thực À như sau: (À) = (Az + , Àz + ?).

1.8 Không gian tiên Hilbert va khéng gian Hilbert 29

Ta có ¿(A) 3 0 với mọi À € R và

p(A) = (Ax, Ax) + (Aa, y) + (ys Ax) + (yy)

= fa |[P AP + 2a, y) AF ly?

Suy ra biệt thức A của ¿(A) không dương, tức là ta có (1.3.1) Dễ thấy rằng (1.3 1) trổ thành đẳng thức khi và chỉ khi ít nhất một trong hai phần tử (z và y) bằng tích của phần tử kia với một số, tức

là z = ay hoac y = 3x

Từ (1.3.1) suy ra:

Tuy nhién, (1.3.2) tré thanh dang thtc khi va chi khi 2 = ay hoac

y = Jr vdi a (hoac Ø) không âm Từ (1.3.2) lại suy ra

(œ+,# +0) = lal? + 2œ, ) + llu|

<Š Jzl + 2lIzllll»l| + Il»ll? = (IzIl+ IIwlUẺ, tức là

llz + sl| < llzll + llsll: (1:3.3) Bất đẳng thức (1.3.3) gọi là bất đẳng thức tam giác Ý nghĩa hình

học của cách gọi như vậy là hiển nhiên

Nếu (a,b) = 0 thì ta nói a uờ b trực giao uới nhau Dễ thay a va b

trực giao với nhau khi và chỉ khi

Jla + b|Ý = lla|l + I|bll2, (1.3.4)

(điều kiện Pythagoras)

Dễ dang chứng minh rằng đây là tích vô hướng và i; là không

gian tiền Hilbert (vô hạn chiều)

30 1 Không gian Hilbert

Ví dụ 1.8.5 Không gian tuyến tính la, ) Tố cày : tré thanh khéng gian tién

b

(f,9) =] J(*)g(œ)dz

Tương tự, không gian tuyến tính phức Cla, b] cac hàm phức biến thực

+ € Ía, | cũng là không gian tiên Hilbert với tích vô hướng

b

(ƒ,ø) = [Tu

Trong Ga, b| hoặc C[a, b], nếu f(x) ~ 0 trên A, g(z) = 0 trên P và

AUB = la,ò| thì ƒ và ø trực giao với nhau

Chú ý: Trong nhiều tài liệu, khi noi đến không gian Cla, bỊ, người ta

ngắm hiểu là không gian định chuẩn vá; | f\| = max |f(«)| Nhung

NI TA ` 2 “0 aSz<b

trong tài liệu này ; CÍa, b| chỉ được hiểu qøn giản là tập hợp các hàm

liên tục trén [a, 6], va trên Cla, ð| có thể xét chuẩn hay tích vô hướng

tuy ý

1.3.3 Giới hạn của dãy điểm Khang gian Hilbert

Định nghĩa 1.3.2 Ta nói dãy điểm fo

không gian tiền Hilbert # có gidi han |

đãy số ||z„ — z|| có giới hạn bằng 0

n} = %1,2, ,%n, trong

à z, và việt limz, = z, nêu

_ Dãy có giới hạn được gọi là đây hội gu Dãy không hội tụ gọi là

dãy phân hỳ Dề thây giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất

Ví du 1.3.3 Trong C0, 1], dãy {ƒ„}, vai fa(x) ` à Ca , = zx" ¢6 gidi han 1a

ham dong nhat bang 0 That vay,

1

Il fn 7 0|| = ll Fr = xen — 1 _

| đa = V2n + 1 ° khi n — co

1,3 Không gian tiền Hilbert và không gian Hilbert 31

Dinh nghĩa 1.3.3 Dãy {z„} được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy)

nếu với mọi e >0 đều tồn tai no sao cho khi m,n >3 nọ thì ||z,„—ra lÌ<e Cũng như trong giải tích cổ điển, mọi đãy hội tụ đều là day co ban

Dinh nghia 1.3.4 Khong gian tién Hilbert FE được gọi là không gian Hilbert nếu nó có tính đầy đủ, nghĩa là trong £ moi day co bản đều hội tụ

Ví dụ 1.3.4 Không gian IR" với tích vô hướng thông thường, tức là

nếu z = (đ1, ,®n), U = (0i, ., a) thì

ÉE, U) = #101 + nưp

là không gian Hilbert

Ví dụ 1 3 5 Khong gian ly la day du That vay, gid st (z9 } với

ok) = 6) : -„ ,-.) là dãy cơ bản Khi đó với e > 0 sẽ tổn tại kụ

sao cho k,1 > ko thi

ma tr thức | ham :

day ec

1.3 Khong gian tién Hilbert va khong gian Hilbert 33

Số hạng thứ nhất ở về phải có giới hạn bằng 0 Số hạng thứ hai được

đánh giá như sau

hàm số như vậy không thể liên tục tại 0 Mâu thuẫn này chứng tỏ

dãy cơ bản {ƒ„} không hội tụ, tức là Œ|{—1, 1] không đầy đủ

34 1 Không gian Hilbert

1.4 Hệ trực giao và cơ sở trực giao

Một trong những bài toán quan trọng của Giải tích nói chung là bài

toán phân tích một phần tử của không gian tiền Hilbert theo một hệ

phần tử cho trước Bài toán này sẽ đặc biệt đễ giải nếu hệ phần tử

cho trước có tính trực giao Trong bài này, ba sẽ nghiên cứu bài toán

trên ở dạng tổng quát

1.4.1 Hệ trực giao và cơ sở trực giao

Đỉnh nghĩa 1.4.1 Hệ các phần tử khác 0 trong không gian tiền

Hilbert F dude goi là trực giao, nếu hai phần tử bất kỳ trong hệ

đều trực giao với nhau Nếu trong hệ trực giao, mọi phần tử đều có

chuẩn bằng 1 thì ta nói hệ đó là trực chuẩn

Bằng cách thay môi phần tử a của hệ bởi từ mỗi hệ trực giao

i

ta đều nhận được một hệ trực chuẩn

Bổ để 1.4.1 Hệ trực giao luôn độc lập tuyến tính

Chứng minh Giả sử A là hệ trực giao trong không gian tién Hilbert

E Lay mot hé con hitu han tiy y {a1, ,an} va gid sf aya, + +++ +

œ„œ„ = 0 Nhân hai về đẳng thtic nay véi a, ta dude

Dinh nghia 1.4.2 Hé trực giao A4 trong không gian tiền Hilbert

E được gợi là đầy đủ, nếu với mọi a € E đều tồn tại một hệ con

{a1, a, } của A và các số thực tương ứng ơi, a2, sao cho

1,4 Hệ trực giao và cơ sở trực giao 35

(Nếu tổng (1.4.2) có vô số số hạng khác 0 thì nó được hiểu là lim » Apap)

Tì— S1

Hệ trực giao đây đủ còn được gọi là cơ sở frực giao Nếu nó có

thêm tính chuẩn hóa (tức là mọi phần tử đều có chuẩn bang 1) thi

gọi là cơ sỏ trực chuẩn

Chú ý rằng cơ sở trực giao nói chung không phải là cơ sở theo nghĩa đại số (như khái niệm eø sở nêu trong 1.1.)

Ví dụ 1.4.1 Trong không gian la, hé (61, €2, ‹ Én, }, trong đồ eạ

là đãy số với số 1 ở vị trí thứ n, số 0 ở mọi vị trí còn lại, là hệ trực

chuẩn Tiếp theo, VỚI ø = (%1, 3», , đy, .) tùy ý thuộc i¿, ta có x = n lin 3 `z„e„, nên hệ trên là cơ sổ trực chuẩn

36 1 Khong gian Hilbert

Giả sử {a, aa, , a„, } là hệ độc lập tong không gian tiền Hilbert

E Ta sẽ tìm một hệ trực chuẩn {b1, bạ, } sao cho hai hệ cũ và

mới là tương đương, nghĩa là mỗi phần tự của hệ này đều biểu thị

tuyến tính qua một số hữu hạn các phần tử của hệ kia Cu thể, ta

yêu cầu

bn = Aniay +++ + Anndn (1.4.4)

an = Øatb1 +" + Banbn (1.4.5)

(v6i moi n = 1, 2, .), trong d6 Onn Va Ban khac 0

Trước hết, VỚI n„ = Ì thì (1.4.4) sẽ là by = 44141: Để li || =] phai

= Ø1ib1 và bắt buộc phải lấy Bu =O = llai | llœal

Tiếp theo, giả sử đã chọn được bị, ., b»-1 thoa man các điều kiện

đã nêu Khi đó,đặt -

Cn = an — Bnib1 mm Ôn„n—~1Ðn—1 ' (1.4.6)

Tac Khi

tức

biết cho

1.4 Hệ trực giao và cØ sở true giao 37

Ta chọn Bat, - Ổn,„—1 sao cho cạ trực giao với mọi bg(k = 1, ,.n—- 1)

Khi đó

0 = (ens be) = (ans bk) — Bue (bis bk) = (Any bu) — Bake

ttic 14 Bap = (an, bp)

biểu thị qua a1) „am_, trái với giả thiết về tính độc lập của hệ da cho Đặt bạ = Te Teall’ ta được hệ n phan tu truc chuan bj, ., bn Khi dé

llenll " IIenl| llenll "

mà ñq, ,b„_¡ lại biểu thị tuyên tính qua ai, ., ơ„_¡ nên ta lại có

1.4.3 Hệ trực giao trong không gian tiền Hilbert kha li

Định nghĩa 1.4.3 Không gian tiền Hilbert được gọi là khả li, nêu

có một cơ sở trực giao đếm được

Trường hợp đặc biệt của không gian tiền Hilbert khả li là không gian Hilbert kha li

Có thể chứng minh rằng trong không gian như vậy, mọi cơ sở

trực giao đều đếm được.

38 1 Không gian FHlbert

Trong không gian khả li, nếu ai, dạ, , đạ, lập thành cơ sở trực

chuẩn thì, như đã biết, mọi phần tử z đều có dạng tổng của chuỗi

hội tụ (tức là dãy tổng riêng hội tụ, như với chuỗi số)

Nhân vô hướng hai về của (1.4.7) với a„ và chú ý rằng có thể nhân

a;, với từng số hạng ở về phải, ta được

1.4 Hệ trực giao và cơ sở trực giao 39

Bổ đề 1.4.3 /Định lý Riesz- Fischer] Cho {a\, dạ, : } là hệ trực chuẩn

trong hông gian Hibert H, {ơi, œ¿, } là dãy số sao cho chuỗi » az

của H suy ra hạ — h € H Ta có, với n > k thì

(h, Qk) = (An, ap) + (h — hạ, Op) = aE + (th — hạ, re) (1.4.13)

Từ bất đẳng thức Cauchy- Bunyakovsky suy ra rằng, nếu z„ — 0

(trong không gian tiền Hilbert) thì (z„, a) — 0 (trong R)

Như vậy, số hạng thứ hai ở về cuỗi của (1.4.13) có giới hạn bằng `

0 Do về trái và œ„ không phụ thuộc n, nên phải cé (h, az) = ag (và

thuc chat (h hn, ax) = 0 khin > k) Nhu vay ta c6 (1.4.11) Tiếp theo,

40 1 Không gian Hilbert

Dinh ly 1.4.1 Hé trực chuẩn trong không gian Hilbert kha ti H la

đây đủ khi uùà chỉ khi trong H không có phân tử khúc 0 nào trực giao

Đồi có hệ đó

Chứng mảnh Giả sử hệ {ai, ae, .} đầy đủ và z trực giao với mọi phần

tử của hệ Ta phải chứng tô z = 0 Nhưng điều này suy ra từ (1.4.11)

và (1.4.10):

Op = (2, Ap) = 0 với mọi É

Ngược lại, giả sử {øi, 2, - } là hệ không đầy đủ Khi đó phải tồn

tại h € H sao cho (h,h) > dab, v6i a, = (h, ay) Nhung theo bé dé

trén sé tén tai g € H sao cho (g, ap) = œy Và (g, g) = dak Ro rang

h — g trực giao với cả hệ {ai, aa, } và h — ø # 0 Định lý được chứng

1.4.4 Sự đẳng cầu của các không gian tiền Hilbert

Dinh nghia 1.4.4 Ánh xạ ƒ từ không gian tién Hilbert E vào khong

gian tién Hilbert F duce goi la đẳng cấu Euclide, nếu:

7) ƒ là ánh xạ đẳng cấu (bức là song ánh tuyến tính);

2) f bao toàn tích vô hướng, tức là với mọi a, b € E đều có

(f(a), f(0)) = (a, 0)

Khi đó ta nói E và F đẳng cấu Euelide với nhau

Chú ý rằng thông thường để tránh diễn đạt phức tạp, mỗi lần

nói đến ánh xạ đẳng cầu giữa hai không gian tiền Hilbert, ta hiểu

rằng đó là đẳng cầu Euclide, chứ không đơn thuần là song ánh tuyến

tính Khi đó, nếu cần tránh nhằm lẫn, ta sẽ gọi song ánh tuyên tính

là đẳng cấu đại số

Dinh ly 1.4.2 Hai &hông gian Hilbert hitu han chiéu la đẳng cấu

véi nhau khi va chỉ khi chúng có cùng số chiêu

Chi

v6 |

SỞ † day **

cho

Tre cúc

thi

gia the

q€

Ví (0,