SKKN Sáng kiến kinh nghiệm: Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương...

SKKN Sáng kiến kinh nghiệm Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương trình Toán 10 Sáng kiến kinh nghiệm Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong c[.]

1.MỞ ĐẦU:

1.1 Lý do chọn đề tài:

Bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức là một phần quan trọng trong chương trình toán học THPT, nó nằm ngay trong phần đầu học kỳ 2 lớp 10 Các dạng bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức rất đa dạng và phong phú, mỗi loại cho ta cách giải riêng biệt Trong các đề thi đại học từ năm 2014 trở về trước,

và trong các kỳ thi học sinh giỏi 12 tỉnh Thanh hóa và các tỉnh khác, bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức là một trong những bài trọng điểm để phân loại năng lực học sinh, khi giải được loại toán này các em mới đạt vào top khá giỏi Để giúp học sinh có thể hệ thống và nắm vững các kỹ thuật giải các dạng bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương trình toán 10 tôi đã nghiên cứu ra đề tài này

Bản thân tôi nhiều năm được phụ trách lớp học theo ban Khoa học tự nhiên, các lớp cơ bản theo khối, đặc biệt năm nay được phân công dạy lớp chọn số 1, đảm nhiệm đội tuyển học sinh giỏi năm sau, qua nghiên cứu giảng dạy tôi thấy việc triển khai sáng kiến” Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương trình Toán 10 ” là sát thực, phù hợp và cần thiết với việc giảng dạy, bồi

dưỡng học sinh khá giỏi và ôn luyện cho học sinh thi tốt nghiệp, đại học, cao đẳng trong kỳ thi THPT QG, đặc biệt giúp bản thân tôi trong năm học này và năm học sau ôn đội tuyển học sinh giỏi của trường tham gia kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh Do

vậy tôi chọn đề tài " Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương trình Toán 10 '' để nghiên cứu nhằm phần nào đáp ứng yêu cầu trên

và góp phần vào nâng cao chất lượng dạy học cho nhà trường

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song đề tài nghiên cứu không trách khỏi những thiếu sót Kính mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và

cá bạn đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn!

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Trang bị cho học sinh về một số dạng và phương pháp giải dạng bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức

- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán Qua đó học sinh nâng cao kỹ năng tư duy sáng tạo

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Các bài tập về bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức nằm trong chương trình toán học 10 trung học phổ thông, trong các đề thi tốt nghiệp, đại học cao đẳng .Từ đó phân loại, tổng hợp các dạng và nêu kỹ thuật giải chúng

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Tích lũy qua nhiều năm giảng dạy phần này

- Thông qua việc kiểm tra đánh giá năng lực tiếp thu của học sinh

- Thông qua trao đổi góp ý và học tập kinh nghiệp từ các đồng nghiệp

- Thông qua các đề thi học sinh giỏi lớp 11, 12 tỉnh thanh hóa các năm 2005 đến nay của tỉnh Thanh Hóa và các đề thi học sinh giỏi lớp 10, 11, 12 của các trường THPT trên toàn quốc

- Thông qua các đề thi tốt nghiệp, đại học cao đẳng từ năm 2008 đến nay

- Thông qua các đề thi thử đại học của các trường THPT trên toàn quốc

2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:

Căn cứ vào lý thuyết chương IV: ’’ Bất đẳng thức, bất phương trình’’ trong chương trình đại số 10 cơ bản Tôi tóm tắt nội dung lý thuyết như sau:

I) MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1 Bất phương trình tương đương:

- Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm là hai bất phương trình tương đương

- Hai hệ bất phương trình có cùng tập nghiệm là hai hệ bất phương trình tương đương

- Dùng kí hiệu để chỉ sự tương đương

2 Phép biến đổi tương đương:

- Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tục biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà có thể viết ngay tập nghiệm

- Các phép biến đổi như vậy là các phép biến đổi tương đương Bao gồm :

*) P x( ) Q x( ) P x( )  f x( ) Q x( )  f x( )

*) P x( ) Q x( )  f x( ) P x( )  f x( ) Q x( )

*) P x( ) Q x( ) P x f x( ) ( ) Q x f x( ) ( ) nếu f x( )   0, x

P x( ) Q x( ) P x f x( ) ( ) Q x f x( ) ( ) nếu f x( )   0, x

*) 2 2 nếu

P x Q x P x Q x P x( )  0,Q x( )   0, x

3 Điều kiện của bất phương trình

Điều kiện của bất phương trình f x( ) g x( ) là các điều kiện của ẩn số để x

có nghĩa

( ), ( )

f x g x

f x( ) có nghĩa khi f x( )  0

( ) có nghĩa khi

( )

f x

II) ĐIỀU KIỆN ĐỂ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ CÓ

NGHIỆM:

1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm số y f x( ) xác định trên tập D

Số được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số M y f x( ) trên tập nếuD f x( ) M với mọi xDvà tồn tại x0Dsao cho f x( )0 M Kí hiệu ( )

D

M Max f x

Số được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số m y f x( ) trên tập nếuD f x( ) mvới mọi xDvà tồn tại x0Dsao cho f x( )0 m Kí hiệu ( )

D

mMin f x

2 Điều kiện để bất phương trình chứa tham số có nghiệm

*) Bất phương trình f x( ) m có nghiệm ( )

D

x  D m Min f x

*) Bất phương trình f x( ) m nghiệm đúng ( )

D

   

*) Bất phương trình f x( ) m có nghiệm ( )

D

x  D m Max f x

*) Bất phương trình f x( ) m nghiệm đúng ( )

D

   

Từ cơ sở lý thuyết về số phức tôi định hướng giải quyết bài toán số phức trong các tiết ôn tập:

- Phân loại các bài tập bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức

- Nêu kỹ thuật giải cho từng loại bài toán bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức

Với đề tài " Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương trình Toán 10.'' sẽ giúp học sinh giải quyết nhanh chính xác trước một bất

phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương trình Đại số 10

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Trong quá trình ôn tập thi học kỳ 2, ôn thi HSG lớp 10, 11 cấp trường cho

học sinh lớp 10 phần bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức Học sinh chỉ

mới giải quyết được một số bài toán dễ , khi gặp một số bài toán yêu cầu cao hơn

đa số các em chưa đưa ra được hướng giải quyết ngay, hoặc có em đưa ra được hướng giải quyết thì giải quyết chậm và trưa triệt để bài toán

Trước khi áp dụng đề tài, tôi đã cho học sinh làm bài kiểm tra 15 phút về bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức Kết quả :

Lớp Sĩ số

Với các vấn đề của thực trạng trên, tôi đã mạnh dạn triển khai cho các em mảng kiến thức này nhằm giải tỏa bớt những bất cập nói trên

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng trong sáng kiến kinh nghiệm:

Giải pháp:

- Tổ chức 3 buổi (9 tiết) ôn tập cho học sinh ôn thi THPT QG, bồi dưỡng học sinh khá giỏi

- Nêu các dạng bài toán về bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức, đưa ra cách giải cho từng dạng, hệ thống các bài tập tự luận cho học sinh rèn luyện kỹ năng làm bài

- Nêu các cách sử dụng máy tính casio bỏ túi để giải quyết nhanh bài toán nhẩm nghiệm

- Cuối chuyên đề cho học sinh làm bài kiểm tra

Nội dung giải pháp:

DẠNG 1: Kỹ thuật dùng phép biến đổi tương đương và bình phương hai vế:

Phương pháp:

- Đưa về một trong các dạng cơ bản sau.

*) ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

g x

f x g x







*)

2

( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )

( ) 0 ( ) ( )

g x

f x

f x g x

g x

f x g x

  















*)

2

( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

f x





- Khi giải bất phương trình f x( ) g x( )mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt xét hai trường hợp

a) f x g x( ), ( )cùng có giá trị không âm, ta bình phương hai vế bất phương trình b) f x g x( ), ( )cùng có giá trị âm, ta viết f x( ) g x( )  g x( )  f x( ) rồi bình phương hai vế bất phương trình mới

- Lưu ý điều kiện bài toán

Ví dụ 1: Giải bất phương trình : 2    x 3 2x  7 x

Bài giải:

2

x 

2

2

4

4 0

3

2

4 0

4

x x

x

x

   



 

     

2 11

11

x

x x

x x

 



 







   



Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: T    ; 2

Ví dụ 2: Giải bất phương trình : 2 2

x  x  x   x

Bài giải:

ĐK: x  2;x  1

0

0 0

0 1

x

x

x









 



   



Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: T       ; 2  1; 

Bài tập vận dụng:

Bài 1: Giải các bất phương trình sau:

a)

2

3

x

x

b)

2

4

2 3

x

 

Bài 2: Giải các bất phương trình sau:

a) 7x  1 3x 18  2x 7

b)

2

2

x

1 x  x 5

Bài 3: Giải các bất phương trình sau:

x        x x x x

c) x 12 x 12 2

DẠNG 2: Kỹ thuật đưa về bất phương trình tích:

Phương pháp:

- Phân tích thành một trong các bất phương trình dạng:

*)

( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0

( ) 0 ( ) 0

f x

g x

f x g x

f x

g x

 







   





*)

( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0

( ) 0 ( ) 0

f x

g x

f x g x

f x

g x

  







   





- Lưu ý điều kiện bài toán:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình : 10 4  x (2x 5) 3 5  x

Bài giải:

5

x

(2 5)(2 3 5 ) 0

5

1

5

2 2

4 3 5

x x

x

x

x x

x

x

  



 





     

Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 5 1 3

T       

Ví dụ 2: Giải bất phương trình : 2 2

x  x  x  x  x

Bài giải:

; 1; 3

2

x x x

Nếu 1thì

2

x bpt 1 x( 3  x 1 2  x 1 x)  0

2

Nếu x 1thì bpt đúng

Nếu x 3thì bpt x 1( x  3 2x  1 x  1) 0

2

Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 1 

2

T   

Ví dụ 3: Giải bất phương trình : 2

x  x x   x x 

Bài giải:

ĐK: 2  x 8

5 5

6

2 2 0

x x

x x

      









Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: T 2;5  6;8

Ví dụ 4: Giải bất phương trình : 2

4x  2x  3 8x 1

Bài giải:

2

x 

2

(1)

(2)

   



    

 







  







Giải hệ (1) (1) 2 3 2 1



 

  



2

2

1 2 1

3 17 4

x x

x

x

x

 











Giải hệ (2) (2) 2 3 2 1



 

  



2

2

1

5 21

4

x x

x

x

x















 Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 3 5 21 3 17

Bài tập vận dụng:

Bài 1: Giải các bất phương trình sau:

a)

2

2

3(4 9)

x

x x



b)

2

x



x  x  x  x  x  x

Bài 2: Giải các phương trình sau :

x  x  x x 

x  x  x x x x  x

x   x x  x

DẠNG 3: Kỹ thuật đặt ẩn phụ đưa về bất phương trình một ẩn mới hoàn toàn

Phương pháp :

- Đặt một hàm số ẩn cũ thành một ẩn mới, biến đổi bất phương trình về bất

phương trình chứa ẩn dưới dấu căn cơ bản hoặc về bất phương trình bậc nhất, bậc

2, bậc 3,…

- Nhớ đặt điều kiện cho ẩn mới, nên đưa về bất phương trình mới đơn giản hơn và giải được.

Ví dụ 1: Giải bất phương trình : 2 2

2x  5x  2 2x  5x  9 7

(Trích sách bài tập đại số 10 cơ bản)

Bài giải:

ĐK: 5 97 5 97

;

x  x  

bpttt t  t   t  t   t

9

7 441 42

t



2

t  x  x     x

Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 9 5 97 5 97

Ví dụ 2: Giải bất phương trình : 2x2  4x  1 x2  2x 7

(Trích sách bài tập đại số 10 cơ bản)

Bài giải:

;

2x  4x  1 t t,  0

3 ( )

t bpt t t







1 13

x

x

  

 



Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: T    ;1 13    1 13;

Ví dụ 3: Giải bất phương trình : x  3 2  x 2 (x 3)(2 x) 1 

(Trích sách bài tập đại số 10 nâng cao)

Bài giải:

ĐK:    3 x 2

x   x t t  x x  t

2 ( )

t bpt t t





       

t  x x          x x x

Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: T   2;1

Ví dụ 4: Giải bất phương trình : 2 3  x x 6  2 x 3x 10  4 x 5x

(Trích các đề thi đại học các trường THPT toàn quốc )

Bài giải:

ĐK: 1 19 20 2 19

Nhận xét: x 0 và x 0 nên chia cả 2 vế bất phương trình cho ta được:4

x

Đặt 2 x t, thì

x   bpttt: t  3 3t  2 5t 4

2

2

2

2 1 3

3

11 22 33 0

t

t



 





3

x

Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 20 2 19

1;

9

Ví dụ 5: Giải bất phương trình : 2 4 2

6(x  3x  1) x x   1 0

(Trích đề thi HSG 12 tỉnh thanh hóa năm 2011)

Bài giải:

Nhận xét: x 0 không phải là nghiệm của bất phương trình và x 0 nên chia cả 2

vế bất phương trình cho ta được:x

2

2

Đặt 1 x t t, 2 thì

6(t  3) t    1 0 t   1 6(3 t)

3 5

t

2

2

2 1 0





11 21 11 21 11 21 11 21

x

x x









Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 11 21 11 21

;

Ví dụ 6: Giải bất phương trình : 2 3 5

2 1

x x x



(Trích bài tập nâng cao và một số chuyên đề đại số 10 )

Bài giải:

1

x

x

 



 



Nhận xét: x 0 không phải là nghiệm của bất phương trình  x 1 nên bình

phương 2 vế bất phương trình ta được:

2

x

2

1

x

t t x



2

5

9 4

( ) 2

t bpttt t t

 



  



2 2

2 2

5

4

x x

x x

 





Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 5 

2

   

Bài tập vận dụng:

Bài 1: Giải các phương trình sau;

a) 2 2 3 23

(1 )

27

b) 2 2

2x  4x  1 x  2x 5

c) x  3 2  x 2 (x 3)(2 x) 1 

d) (x 3 x 2)(x 9 x 18) 168  x

Bài 2: Giải các phương trình sau;

a) 1 1 2 1

3

b) 2

x   x  x

c)

2

1 2(x x 1) x x





  

d) 2 1 2 2x 8 x

DẠNG 4: Kỹ thuật đặt 2 ẩn phụ đưa về bất phương trình 2 ẩn phụ.

Phương pháp:

- Đặt hai biểu thức chứa ẩn cũ bằng 2 ẩn mới a, b Liên hệ 2 ẩn mới với nhau được một bất phương trình.

- Đưa các yếu tố bài toán cho về bất phương trình ẩn a, b

- Giải bất phương trình, hệ bất phương trình được a, b

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 2

2x  6x  8 x x 2

(Trích đề thi ĐHCĐ năm 2014 của các trường THPT)

Bài giải:

bpt x  x x x

Đặt ; ( 0) thì

2

x a

a



 



bpttt b  a  a b

2

2

4

2

a b

a b

x

x x

     



 



Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: T  4

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 1 x(4  1 x) 1 3   x 2 1 x

(Trích đề thi ĐHCĐ năm 2014 của các trường THPT)

Bài giải:

ĐK:    1 x 1 , bpt 1 x(4  1 x)  2(1    x) (1 x) 2 1 x

Đặt 1 ; ( 0, 0)thì

1

x a

x b

  



 



bpttt a  b a  b b a b   a b

2

2

2

2

2

3

5

0 5

3

( )

5

0

x

a b

x

x

x x

VN x

       







  



 





  



 



Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 3  

;1 \ 0 5

T   

Ví dụ 3: Giải bất phương trình :(x 3) x  1 (x 3) 1  x 2x 0

Bài giải:

ĐK:    1 x 1 ,

Đặt 1 ; ( 0, 0) thì

1

x a

x b

  



 



bpttt a  a b  b a b 

0

x

 

Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: T   1; 0

Ví dụ 4: Giải bất phương trình : 2

2x  12x  6 2x   1 x 2

(Trích đề thi chọn học sinh giỏi 10 Tĩnh gia 2 năm 2014 )

Bài giải:

ĐK: 1 ,

2

bpt x  x  x  x

Đặt 2 1 ; ( 0 , 0)thì

2



 



bpttt b  a  a b

2

2

0

a b

a b

a b

 





Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 1

; 2

 

Ví dụ 5: Giải bất phương trình : 3 2 3

x  x  x   x

Bài giải:

( 1) 3 3 5 2

bpt x  x 

3

1

 



 



bpttt a  b a  b b a

3

2

1 ( 1)( 4 4) 0

2

x

x







Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: T 1;     2

Bài tập vận dụng:

Bài 1: Giải các bất phương trình sau:

2x  3x  1 1 3  x 2 x  1

Bài 2: Giải các bất phương trình sau:

x   x x  x  x 

b) 3 2

x  x  x  x x

DẠNG 5: Nhân chia biểu thức liên hợp

Phương pháp:

- Nắm vững các phép biến đổi nhân chia biểu thức liên hợp

( a b)( a b)  a b

2

( ab)( ab)  a b

3 3 3 2 3 3 2

( a b)( a  ab b )  a b

3 3 3 2 3 3 2

( a b)( a  ab b )  a b

3 3 2 3 2 3

( ab)( a b ab )  a b

3 3 2 3 2 3

( ab)( a b ab )  a b

- Biết vận dụng các kiến thức tổng hợp để biến đổi bất phương trình về bất phương trình tích, hoặc các bấṭ phương trình cơ bản, đơn giản đã gặp,.

Ví dụ 1: Giải bất phương trình : 2 2 2

21 (3 9 2 )

x

x

x  

Bài giải:

ĐK: 9 0 ,

2 x

( 2 )

x

 7

2

Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: 9 7  

; \ 0

2 2

T   

Ví dụ 2: Giải bất phương trình : 2 2

x  x  x  x   x x

Bài giải:

ĐK: 1  x 3 ,

bpt

x

0, 1;3

x

2x 4 0 x 2

Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: T  1; 2

Ví dụ 3: Giải bất phương trình : 3 2

x  x x  x

Bài giải: