chuyên đề vè sự tiếp xúc 2 đường cong

CHUYÊN LUY N THI T T NGHI P THPT

Môn: TOÁN

Bài toán ti p xúc gi a 2 đ th r t hay và khó, tuy nhiên chuyên đ này các b n s n m v ng

đ c các b c gi i và cách làm d ng toán này

II KI N TH C C B N

Hai đ ng y = f(x), y = g(x) ti p xúc v i nhau t i đi m có hoành đ x0, n u h sau đây tho mãn:

f(x0) = g(x0)

f ’(x0) = g’(x0)

Xin đ a ra vài ví d sau:

Thí d 1: Cho y = x3 - 3x2 + 2 Tìm trên đ ng th ng y = - 2, các đi m mà t đó có th v đ c hai ti p tuy n t i đ ng cong và vuông góc v i nhau

Gi i G i đi m ph i tìm là M (α, 2) ý r ng đ ng th ng x = α đi qua M c t đ ng cong và song song v i tr c tung và nó không th là ti p tuy n, vì th m i ti p tuy n v i đ ng cong đi qua M (n u có), đ u có d ng:y = k (x - α)+ 2

G i x0 là hoành đ ti p đi m Khi đó ta có h ph ng trình sau:

x30 - 3x20 + 2 = k(x0 - α) +2 (1) 3x02 - 6x0 = k (2) Thay (2) vào (1) ta có:

2x30 - 3x20 (1 + α ) + 6αx0 - 4 = 0

ú (x0 - 2) [2x20 + (1- 3α )x0 + 2] = 0 (3)

V i m i α , (3) luôn có nghi m x0 = 2 ng v i nó, t (2) suy ra k = 0

Vì m i ti p tuy n c a đ ng cong đã cho không th có d ng x = c, v y không có b t kì

ti p tuy n nào c a đ ng cong đã cho vuông góc v i ti p tuy n

y=-2.Vì th đ tho mãn đi u ki n đ u bài, thì ph ng trình sau ( n x0)

2x20 + (1 - 3α)x0 + 2 = 0 (4)có hai nghi m phân bi t x’ và x’’, sao cho: (3x’2

- 6x’) (3x’’2 - 6x’’) = -1

tho mãn đi u y, h sau đây c n đ c tho mãn

Δ = (1 - 3x2

0)2 - 16 > 0 (5) 9(x’x’’)2 - 18x’x’’(x’ + x’’) + 36x’x’’ = -1 (6)

D a vào đ nh lí Viét, thì x’ + x’’ = 3 1; ' '' 1

2 x x

α−

=

Vì th t (6) có: 27x0 = 55 => x0 = 55

27

Thay x0 = 55

27vào (5) th y đúng

Tóm l i: trên đ ng y = -2, ch có duy nh t đi m M(55, 2

27 − ) tho mãn yêu c u đ u bài

Thí d 2. Cho y = x3 - 3x2 Tìm t t c các đi m M n m trên đ ng cong sao cho t M ch có th

v đ c duy nh t m t ti p tuy n t i đ ng cong đ cho

Bài gi i

G i M (α α, 3−3α2)là đi m c n tìm Ti p tuy n qua M ch có th có d ng:

y = k(x - α) + α 3-3α2

G i x0 là hoành đ ti p đi m Ta có h ph ng trình sau:

x30 - 3x20 = k (x0 - α ) + α3

- 3α2

(1) 3x30 - 6x0= k (2)

Thay (2) vào (1), ta có:

2x30 - 3x20 (α + 1) + 6αx0 +α 3

- 3α2

= 0 (*)

ú (x0 - α ) [2x20 - (α + 3)x0 - α 2

+ 3α] = 0

ú (x0 - α )2 (2x0 + α - 3) = 0

x0 = α

x0 = 3

2

α

−

Chú ý r ng vì y = x3 - 3x2 là đ ng cong b c ba, nên s ti p tuy n v đ c b ng s ti p tuy n v i đ ng cong Vì th qua M có 1 ti p tuy n duy nh t v i đ ng cong khi và ch khi h (1) (2) ( n x0) có nghi m duy nh t D a vào (3) đi u đó x y ra khi:

3

1 2

α

α = − <=> = α

V y trên đ ng cong y = x3

- 3x2 có m t đi m duy nh t tho mãn yêu c u đ bài ó là đi m M (1, - 2)

Nh n xét:

- Ta có th th y M (1, -2) chính là đi m u n c a đ ng cong đã cho

- B ng phép toán t ng t b n đ c có th d dàng ch ng minh k t qu t ng quát sau:

“V i đ ng cong b c ba tu ý y = ax3

+ bx2 + cx + d, a ≠0, đi m u n là đi m duy nh t trên

đ ng cong mà qua đó có đúng 1 ti p tuy n v i đ ng cong”

- Chính vì M (α,α3

- 3α 2

) n m trên đ ng cong, nên ch c ch n (*) có nghi m x0 = α

Vì th có th h b c (*) nh đã làm trên

- Trong bài đã s d ng tính ch t “V i đ ng cong b c ba m i ti p tuy n ch ti p xúc v i

đ ng cong t i m t đi m” (d ch ng minh) Tính ch t này xin l u ý không còn đúng v i đ ng cong b c b n Có th xem thí d sau:

Xét hàm s y = x4 - 2x2

ú

Ta có: y’ = 4x3 - 4x = 4x (x2 - 1)

và b ng bi n thiên sau :

y -1 0 -1

T đó suy ra đ th c a y = x4

- 2x2 có d ng:

( th )

Ta th y ti p tuy n y = -1 ti p xúc v i y = x4 - 2x2 t i hai đi m c c ti u c a nó Nh v y thí d này đã ch ng minh nh n xét c a ta

Thí d 3 Cho đ ng cong y = 2 1( )

1

C x

+ + +

Ch ng minh r ng t đi m A(1, -1) luôn k đ c 2 ti p tuy n vuông góc v i nhau ,đ n đ

th (C)

Gi i: Vì đ ng th ng x = 1 không th là ti p tuy n c a (C), nên m i ti p tuy n qua A(1, -1) (n u có) đ u có d ng:

y = k (x - 1) - 1

G i x0 là hoành đ ti p đi m, khi đó ta có h

2

0 0

0 0

2

0 0 2 0

1 ( 1) 1(1 1

2

(2) ( 1)

x x

k x x

k x

⎪

+

⎪

⎨

+

⎩

)

Thay (2) vào (1) ta có:

2

2 0

3 1

0 ( 1)

x

+ + =

+

<=> x02+3x0+ + = 01 (3)

Rõ ràng Δ'= 3 > 0, v y (3) có hai nghi m phân bi t t1, t2

Nh v y, qua A có hai ti p tuy n v i đ ng cong Còn l i ta ch ng minh hai ti p tuy n này vuông góc v i nhau T (2) suy ra hai ti p tuy n có h s góc t ng ng là:

2

2

; ( )

k

t t

+

=

+

2

2

2 ( 1)

k t

+

= +

Ta có:

2

( ) 2 ( ) 4(

( ) 1

t t t t

=

+ + +

D a vào đ nh lí Viet, thì: t1 + t2 = - 3; t1t2 = 1

Thay l i vào (4) ta có: 1 2

2

1 6 4

1 (1 3 1)

k k = − +

T (5) suy ra hai ti p tuy n c ng vuông góc v i nhau => (đpcm)

Thí d 4. Cho đ ng cong y = 2 3

2

x

+ − + (C) Tìm các đi m trên tr c hoành, n u t đó k đ c m t ti p tuy n c a (C) G i đi m ph i tìm là M (α, 0) Do x = α không th là ti p tuy n c a (C), nên m i ti p tuy n v i (C) qua M

đ u có d ng y = k (x - α)

G i x0 là hoành đ ti p đi m, khi đó ta có h sau:

2

0 0

3 ( ) 2

k x

2

2 0

4 5 ( 2)

k x

+ +

=

Thay (2) vào (1) ta có:

f(x0) = (1 - α) x20 + 2x0 (3 - 2x) + 6 - 5α = 0 (3)

x0 ≠-2 (4)

D a vào tính ch t: M i ti p tuy n c a đ ng y = 2 ( , ' 0)

' '

ax bx c

a a

a x b

+ +

≠ + ch ti p xúc v i

đ ng cong đó t i m t đi m duy nh t, nên suy ra ta c n tìm giá tr c a tham s α đ h (3) (4) ( n x0) có nghi m duy nh t

Xét các kh n ng sau:

1 N u α ≠ 1, khi đó (3) (4) 2x0 + 1 = 0

x0 ≠ - 2

T đó suy ra h (3) (4) có nghi m duy nh t trong tr ng h p này

<=>

2 N u α ≠ 1 Khi đó h (3) (4) có nghi m duy nh t khi

a Ho c <=>

( 2) 2 0

F

α

⎧⎪Δ = − − + =

⎨

− = − − ≠

1 13 2

− ±

b Ho c <=>

( 2) 2 0

F

α

⎧⎪Δ = − − + >

⎨

− = − − ≠

V y trên tr c hoành có 4 đi m c n tìm là:

M1(1, 0), M2(-2, 0), M3( 1 13

2

− +

, 0), M4( 1 13

2

− −

, 0)

III C NG C KI N TH C

Bài 1: ( i h c, cao đ ng, kh i D - 2002)

Tìm m đ đ ng cong (c) có ph ng trình

2 (2 1)

1

x

− −

− (c)

ti p xúc v i đ ng th ng y = x

Bài gi i

xét y =

2 (2 1)

1

x

− −

− , Ta có y’ =

2 2

( 1) ( 1)

m x

−

−

G i xo là hoành d ti p đi m ta có h sau đây

2 0 (2 1)

1

o

x

− −

− = xo (1) 2

2

( 1) ( o 1)

m x

−

Bài toán tr thành: tìm m đ h (1),(2) (c a xo) có nghi m:

t (2) suy ra m ≠ 1 (vì m = 1, thì VT (2) = 0)

Khi đó (2) tr thành (m - 1)2

= (xo - 1)2 (*)

Rõ ràng xo = m tho mãn, (vì do m ≠ 1=> xo ≠ 1)

Thay vào xo = m vào (1) th y tho mãn, vì khi đó

VT(1) =

2 (2 1)

1

m

− −

− =

2 1

m

−

− = m = VF (1)

V y v i m i m ≠1, h (1) (2) (c a xo ch c ch n có nghi m)

do đó có giá tr c n tìm c a thay s m là m ≠ 1

Bài 2: Tìm m đ đ ng cong y = x4

– 6x3 + 12x2 – 14x + 2m2 + m và y = 2x3 –10x2 +10x+1 ti p xúc v i nhau

Bài gi i: G i x là hoành 0 đ ti p đi m Khi đó ta có h sau:

⎪

⎨

⎪⎩

1)

Ta th y (2) ⇔ 3 2

4 24 44 24 0 ⇔ 3 2

0 6 0 11 0 6

x − x + x − = 0

⇔ (x - 1)(0 x - 2)( 0 x - 3) = 0 0 ⇔ x = 1 ho c 0 x = 2 ho c 0 x = 3 0

- N u x = 1 Thay vào (1) và ta có: 2m0 2 + m – 7 = 3 ⇔ 2m2 + m – 10 = 0 ⇔

2 5 2

m m

=

⎡

⎢

⎢ = −

⎣

- N u x = 2 Thay vào (1) và ta có: 2m0 2 + m – 7 = 0 ⇔ m = 1 57

4

− ±

- N u x = 3 Thay vào (1) ta có: 2m0 2 + m – 10 = 0 (Quay v tr ng h p x = 1) 0

V y các giá tr c n tìm c a m là : m = 2 , m = 5

2

− , ho c m = 1 57

4

− ±

IV BÀI T P V NHÀ

Bài 1: Cho y =

1

x

− +

− (C) Tìm trên Oy các đi m có th k đ c ít nh t m t ti p tuy n đ n (C)

Bài 2: Cho y =

2

1

x

+ + + (C) Tìm trên Oy các đi m có th k đ c đ n (C) 2 ti p tuy n vuông góc v i nhau

Bài 3: Cho hàm s y=x3−3x2+3mx+4 Xác đ nh m đ đ th hàm s trên ti p xúc v i tr c hoành

Bài 4: Cho đ ng cong (C m) có hàm s : 2x2 (1 m x) 1 m

y

x m

+ − + +

=

− Tìm m đ c t tr c

Ox t i 2 đi m và ti p tuy n v i ( t i 2 đi m đó vuông góc v i nhau

(C m) )

m

C

T Toán Trung tâm BDVH Hocmai.vn