BỒI DƯỠNG NĂNG lực tự học TOÁN 9 HÌNH học

Chứng minh CAH BAD Hướng dẫn: cùng bằng với ABC Bài 13: Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H và nội tiếp đường tròn tâm O.. Chứng minh đường kính MH của đường tròn ngoại tiếp tam giá

1 BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Hãy tính lần lượt độ dài các đoạn

6 AB3 ;a AC 4a (với a là độ dài cho trước, a0)

Bài 3 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Hãy tính lần lượt độ dài các đoạn

, , ,

AH BC AB AC nếu biết:

1 BH 9cm CH; 16cm 2 BH  2cm CH;  2cm

3 BH 1cm CH; 3cm 4 BH 25cm CH; 144cm

5 BH 16 ;a CH 9a (với a là độ dài cho trước, a0)

6 BH 144 ,a CH 25a (với a là độ dài cho trước, a0)

Bài 4 Cho tam giác DEF vuông tại D có DI là đường cao Tính độ dài DI nếu biết:

1 DE15cm DF, 20cm 2 DE1cm DF, 1cm

3 DE7cm DF, 24cm 4 DE12cm EF, 15cm

5 DF  3cm EF, 2cm 6 EI 9cm EF, 25cm

2 LUYỆN TẬP

Bài 6 Giả sử tam giác ABC không có góc tù Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông nếu biết:

Bài 10 Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ trung điểm D của cạnh AC kẻ DE vuông góc

với BC tại E Chứng minh rằng:

S  a b c b c   a 2 1  

.4

Bài 16 Cho hình vuông ABCD và điểm M thuộc cạnh BC. Kéo dài AM cắt tia DC tại N

Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt tia CB tại E Chứng minh rằng:

AB  AM  AN

Bài 17 Cho tam giác ABC cân tại A, có các đường cao AH và BK. Qua B kẻ đường thẳng

vuông góc với BC cắt tia đối của tia AC tại D Chứng minh rằng:

.4

BK  BC  AH

3 BÀI TẬP NÂNG CAO Bài 18 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH và đường trung tuyến AM Hãy tính lần lượt độ dài các đoạn AM HM BH CH AB AC nếu biết: , , , , ,

1 AH 4,8cm BC, 10cm 2 AH 12cm BC, 25cm

Bài 19 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Đặt BH x Hãy tính ,x rồi suy

ra độ dài các đoạn AB AC nếu biết: ,

1 AH 2, 4cm BC; 5cm 2 AH 1cm BC; 2cm

2 AH 2cm BC; 5cm 4 AH 6,72cm BC; 25cm

Bài 20 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Đặt BH x Hãy tính ,x rồi suy

ra độ dài các đoạn AH AC nếu biết: ,

2 Tìm điều kiện của tam giác ABC để tổng BE2CF2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 22 Cho đoạn BC cố định có độ dài 2a với a0 và một điểm A di động sao cho

2 Tìm điều kiện của tam giác ABC để tổng BMCN đạt giá trị lớn nhất

Bài 30 Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là dường phân giác Biết rằng

AD x CD x với x0 Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo x

Bài 31 Cho tam giác ABC vuông tại A có AD là đường phân giác Biết rằng

15 , 20

BD x CD x với x0 Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo x

Bài 32 Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là đường phân giác và AM là đường trung

tuyến Biết rằng AM BD BD, 2 3x với x0 Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác

ABC

Bài 33 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác AD Đặt BDx CD,  y với , 0

x y Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo x và y

Bài 34 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác AD Đặt ADa CD,  y với

0

y x Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo x và y

Bài 35 Cho hình chữ nhật ABCD với ADt AB t  0  Lấy điểm M trên cạnh BC Đường

thẳng AM cắt đường thẳng CD tại P. Đường thẳng EF vuông góc với AM cắt AB tại E

và cắt CD tại F Đường phân giác của DAM cắt CD tại K Chứng minh rằng:

a b c x

B C tại D, từ B kẻ By vuông góc với A C1 1 tại E, từ C kẻ Cz vuông góc với A B1 1 tại F.

Gọi O là giao điểm By và Cz Kẻ OH vuông góc với B C1 1 Chứng minh rằng:

các vị trí của M trên  O sao cho tổng độ dài OHMH lớn nhất

BÀI 2 TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1 BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1 Cho tam giác ABC vuông tại A. Đặt ABC  x với 0   x 90 Chứng minh rằng:

1 sinxcos 90  x 2 cosxsin 90  x

3 tanxcot 90  x 4 cotxtan 90  x

Bài 2 Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 2a với a0 và đường cao AH

1 Tính BH AH theo , a

2 Tính tỉ số lượng giác của góc 30 và góc 60 

Bài 3 Cho tam giác ABC vuông cân tại A có BC2a với a0

1 Tính AB và AC theo a

2 Tính tỉ số lượng giác của góc 45 

2 LUYỆN TẬP

1 sin1 , sin 23 , sin 45 , sin 67 , sin89     

2 cos1 , cos 23 , cos 45 , cos67 , cos89     

3 tan1 , tan 23 , tan 45 , tan 67 , tan89     

4 cot1 , cot 23 , cot 45 , cot 67 , cot 89     

Bài 6 Cho tam giác ABC vuông tại A Hãy điền các số thích hợp vào ô trống (Sử dụng máy tính bỏ túi để làm tròn các kết quả đến chữ số hàng phần trăm và đổi kết quả đo góc sang

 cot cos ;

sin

x x

Bài 8 Tính giá trị các biểu thức sau:

1 Asin 23 cos 67  2 Bcos34 sin 56 

3 Ctan18 cot 72  4 Dcot 36tan54 

Bài 9 Tính giá trị các biểu thức sau:

1 Asin10 sin 40 cos50 cos80 

2 Bcos15 cos35 sin 55 sin 75 

3 tan 27 tan 63

.cot 63 cot 27

5 Etan18 tan 72   6 F cot16 cot 74  

Bài 11 Tính giá trị các biểu thức sau:

3 Ctan15 tan35 tan55 tan 75    

4 Dcot15 cot 35 cot 55 cot 75    

Bài 12 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Hãy tính sin , cos , tan ,cotB B B B

rồi suy ra sin , cos , tan , cotC C C C nếu biết:

3 Tính sin ,cos , cotx x x nếu biết tanx 3.

4 Tính sin ,cos , tanx x x nếu biết cotx1

Bài 16 Cho tam giác ABC vuông tại A Đặt ABC x0  x 90  Chứng minh rằng sinxtan x

Bài 17 Cho tam giác ABH vuông tại H. Trên cạnh BH lấy điểm C Đặt

ABH  x ACH  y  x y 

1 So sánh x và ,y AB và AC

2 Chứng minh rằng sinxsin y

3 Chứng minh rằng tanxtany và cotxcot y

Bài 18 Cho tam giác ABH vuông tại H. Trên cạnh BH lấy điểm C Đặt

BAH x CAH  y x y 

1 So sánh x và y

2 Chứng minh rằng cosxcos y

Bài 19 Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các tỉ số lượng giác sau:

1 sin15 , sin 30 , sin 45 , sin 60 , sin 75     

2 cos15 ,cos30 , cos 45 , cos60 ,cos75     

3 tan15 , tan30 , tan 45 , tan 60 , tan 75     

4 cot15 , cot 30 , cot 45 , cot 60 , cot 75     

Bài 20 Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các tỉ số lượng giác sau:

1 sin11 , sin 33 ,cos55 ,cos 77     2 tan 22 , tan 44 , cot 66 , cot88    

3 sin15 , cos80 , tan 25 , cot 75     4 sin10 , cos10 , tan 45 , cot 33    

Bài 21 Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH Chứng minh rằng AB.sinBAC.sin C

Bài 22 Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH Chứng minh rằng:

1 BH AB.cosB 2 BCAB.cosBAC.cos C

BÀI TẬP NÂNG CAO Bài 23 Cho 0   x 90 Chứng minh các đẳng thức sau:

sin xcos x 1 2sin xcos x

2 sin6xcos6x 1 3sin2xcos2x

sin xcos x 1 2cos x

4 1 cos sin

.sin 1 cos

.sin cos sin cos 1 cot

Bài 27 Tính giá trị các biểu thức sau:

1 Asin1 sin 2 sin 3   sin88 sin89

2 Btan1 tan 2 tan3 tan87 tan88 tan89      

3 Ccot1 cot 2 cot 3 cot87 cot88 cot89      

4 Dsin 12  sin 22  sin 32    sin 872  sin 882  sin 892 

5 Ecos 12  cos 22  cos 32    cos 872  cos 882  cos 892 

Bài 28 Cho tam giác ABC có đường cao BH Chứng minh rằng:

1 Nếu BAC  90 thì 1

.sin 2

ABC

S  AB AC BAC

2.Nếu BAC  90 thì 1  

.sin 180 2

ABC

S  AB AC  BAC

Bài 29 Cho tam giác ABC có đường cao BH Chứng minh rằng:

1 Nếu BAC  90 thì BC2  AB2AC22AB AC .cosBAC 2.Nếu BAC  90 thì 2 2 2  

1 Tính độ dài các cạnh của tam giác AHM theo a b c, ,

2 Tính tỉ số lượng giác của góc x và góc 2x theo a b c, ,

2 1

.sin2

p p a AD

Bài 35 Cho tam giác ABC có AB 2, BAC60 , ACB45  Kẻ các đường cao AH và

BK của tam giác ABC

1 Tính AK BK CK BC AH , , , ,

2 Tính tỉ số lượng giác của góc 15 và góc 75 

Bài 36 Cho tam giác ABC vuông tại A AB, c ACB,  15 Đường trung trực của BC cắt

AC tại M

1 Chứng minh: MC2 c

2 Tính độ dài các cạnh AC BC theo , c

3 Tính tỉ số lượng giác của góc 15 và góc 75 

Bài 37 Cho tam giác ABC cân tại A có BAC  36 Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao

3 Tính tỉ số lượng giác của góc 18 và góc 72 

Bài 38 Cho tam giác ABC cân tại A có BAC108  Kẻ đường cao AH Trên tia đối của tia

AB lấy điểm D sao cho ACD  72 Đặt ABACx BC, 2 y

1) Chứng minh: ADCD2 y

2) Chứng minh: 2  

4y x x2y 3) Từ đó tính x và AH theo y

4) Tính tỉ số lượng giác của góc 36 và góc 54 

Bài 39 Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AH BK CL Chứng minh rằng: , ,

    suy ra cos2Acos2Bcos2C1.

Bài 40 Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau Đặt

Bài 41 Cho 0   x 90 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

1 Asin4xcos4x 2 Bsin6xcos6x

3 Ctanxcot x 4 Dtan2xcot2x

Bài 42 Cho tam giác ABC vuông tại A Chứng minh rằng:

Bài 2: Cho AC là đường kính của đường tròn tâm O. Vẽ hai dây AB và CD song song nhau Chứng minh rằng ba điểm ,B O D thẳng hàng ,

Hướng dẫn: tứ giác ABCD là hình gì?

Bài 3: Vẽ đường tròn tâm O, bán kính bằng R, có dây BC không phải là đường kính Chứng minh độ dài BC nhỏ hơn đường kính BC2R

Hướng dẫn:Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác

Bài 4: Cho tứ giác ABCD có hai góc đối ở đỉnh B và D cùng bằng 90  Gọi O là trung điểm của AC Chứng minh bốn điểm ,A B C D cùng thuộc đường tròn đường kính , , AC

1 Chứng minh bốn điểm , ,B C D E cùng thuộc một đường tròn ,

2 Chứng minh OI vuông góc với DE

Bài 7: Cho đường tròn tâm O , đường kính AB và dây CD không cắt nhau (điểm C nằm

giữa A và D trên  O ) Vẽ OI AH và BK cùng vuông góc với , CD ở ,I H và K Chứng

minh I là trung điểm của HK và CH DK

Bài 8: Cho đường tròn tâm O có hai dây cung AB và CD Gọi OH OK là khoảng cách từ ,

O đến dây AB và CD tương ứng

1 Chứng minh rằng nếu ABCDthì AH CK và OH OK

2 Chứng minh rằng nếu OH OK thì ABCD

3 Rút ra nhận xét gì?

Bài 9: Cho đường tròn tâm O và hai dây AB và CD dài bằng nhau Hai đường thẳng AB và

CD cắt nhau ở I. Gọi H và K là trung điểm của AB và CD tương ứng Chứng minh

OH OK và IHIK

Bài 10: Trên đường tròn O R; , dựng các điểm , , ,A I B K C theo thứ tự chiều kim đồng hồ ,sao cho AI IBIKKCR Chứng minh tam giác ABC đều

Hướng dẫn: Chứng minh AOBBOC120 

Bài 11: Cho đường tròn O R;  có đường kính AI. Gọi H là trung điểm của OI Vẽ dây cung BC vuông góc với OI tại H Chứng minh tam giác ABC đều

Hướng dẫn: OBI,OIC là các tam giác gì đặc biệt? Tính sin IAB và sin IAC

Bài 12: Cho đường tròn tâm O đường kính BC. Lấy A thuộc  O và A khác , B C Vẽ AH .vuông góc với BC tại H. Giả sử H nằm giữa O và B Vẽ đường kính AD

1 Chứng minh AB AC AD AH (Hướng dẫn: ABC vuông ở A )

2 Chứng minh CAH BAD (Hướng dẫn: cùng bằng với ABC )

Bài 13: Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H và nội tiếp đường tròn tâm O Vẽ đường kính AK

Hướng dẫn: CH và BK cùng vuông góc với một đường thẳng nào?

2 Kẻ OM vuông góc với BC ở M Chứng minh H M K thẳng hàng , ,

3 Chứng minh: AH 2OM

2 CÁC BÀI TÍNH TOÁN VÀ NÂNG CAO

Bài 14 Cho điểm M bên ngoài đường tròn O R;  Tia MO cắt  O tại A và B ( A nằm

giữa O và M ) Lấy C bất kì thuộc  O và khác hai điểm A và B Chứng minh:

MAMCMB

Hướng dẫn: Sử dụng bất đẳng thức trong OCM

Bài 15 Trên nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, lấy điểm C và D ( C nằm giữa A và

)

D Tia AC cắt tia BD tại M. Chứng minh đường kính MH của đường tròn ngoại tiếp

tam giác MCD vuông góc với AB

Hướng dẫn: H là giao điểm của AD và BC là trực tâm của MAB

Bài 16: Cho tam giác ABC có BC a CA, b AB, c và có R là bán kính đường tròn ngoại

tiếp thỏa mãn hệ thức R a bc

b c





Hãy định dạng tam giác ABC

Bài 17: Cho đường tròn tâm O có hai dây AB và CD dài bằng nhau và vuông góc nhau ở I

Giả sử: IA1cm IB, 7cm Tính bán kính của  O

Hướng dẫn: Vẽ OH vuông góc với AB ở H và OK vuông góc với CD ở K

Bài 18: Cho tam giác ABC cân tại A có AB8 cm và nội tiếp đường tròn tâm O có bán

kính bằng 5 cm Vẽ đường kính AD cắt BC ở H. Tính BH và BC

Hướng dẫn: Tính BD trước Chứng minh AD vuông góc với BC Dùng hệ thức lượng

trong tam giác ABD để tính BH BC ,

Bài 19: Cho tam giác ABC cân tại A có AB40 cm, BC48 cm và nội tiếp đường tròn tâm O Tính bán kính của  O

Hướng dẫn: Vẽ đường kính AD cắt BC ở H.Đặt a8 cm thì AB5 ,a BC6 a Chứng minh OH vuông góc với BC. Dùng hệ thức lượng trong tam giác ABD để tính BD AD ,theo a rổi tính bán kính của  O

Bài 20: Cho đường tròn O R;  và dây AB sao cho AOB120  Gọi I là trung điểm của

AB và kéo dài OI cắt đường tròn tại C

1 Tính AOI rồi dùng tỉ số lượng giác, hãy tính AI AB OI theo , , R

2 Tứ giác ACBO là hình gì đặc biệt? Tính diện tích của nó

Bài 21: Cho tam giác ABC đều nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính bằng R Tính chiều dài cạnh tam giác và đường cao theo R

Hướng dẫn: Vẽ đường kính AI cắt BC tại H. Chứng minh AI vuông góc với BC tại H

Dùng tỉ số lượng giác trong ABI và ABH

Bài 22: Cho đường tròn O R;  và dây cung AB có độ dài bằng R 3 Vẽ đường kính BC

Tính sin ACB và số đo các góc của ABC

Bài 23: Cho đường tròn O R;  và dây cung AB có độ dài bằng R 2 Vẽ đường kính BC

Tính sin ACB và số đo các góc của ABC

Bài 24: Cho đường tròn O R;  có dây AB dài bằng R 3 Vẽ đường kính CD vuông góc với

dây AB tại H C thuộc cung lớn , AB Chứng minh ABC đều

Hướng dẫn: Tính sin AOH rồi chứng minh AOBBOC COA120 

Bài 25: Cho AB là dây cung của đường tròn tâm O bán kính bằng R Đặt

, 0 180

AOB

      Vẽ OH vuông góc với AB tại H và tia OH cắt cung AB tại C

1 Chứng minh 2 sin , 2 sin

Hướng dẫn: so sánh các OAE,OBF,OCG và ODH.

2 Chứng minh tứ giác EFGH là hình vuông (hình thoi có một góc vuông)

3 Tính diện tích hình vuông EFGH theo a và x. Tìm vị trí của E trên cạnh AB sao cho

diện tích ấy nhỏ nhất

Bài 27: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB có dây CD không cắt AB ( C nằm giữa A

và D trên  O ). Vẽ AH và BK cùng vuông góc với CD ở H và K

1 Chứng minh OH OK

2 Chứng minh hai điểm H và K nằm ngoài đường tròn

Hướng dẫn: ta có một trong hai góc OAH b24ac hoặc OBK lớn hơn hay bằng 90  Từ

đó xác định được cạnh lớn nhất của một trong hai tam giác OAH hoặc OBK

Bài 28: Cho đường tròn tâm O đường kính AB có dây CD không cắt AB ( C nằm giữa A và

D trên  O ). Vẽ AH và BK cùng vuông góc với CD ở H và K.Đặt

3 Chứng minh S ABC S ABD 2S AHBK

Hướng dẫn: S ABC S AHBK S ACH S BCK và S ABD S AHKBS ADH S HDK (dĩ nhiên có nhiều cách để chứng minh câu này)

BÀI 4 TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

1 BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1: Cho điểm A bên ngoài đường tròn tâm O Đường tròn đường kính AO có tâm là I cắt

 O tại hai điểm B và C

1 Tam giác OAB và tam giác OAC có gì đặc biệt? Tại sao?

2 Chứng minh AB và AC là hai tiếp tuyến của  O

Bài 2: Cho đường tròn tâm O có bán kính bằng 5cm và điểm B cách O một khoảng bằng

13cm Lấy điểm A thuộc  O sao cho AB12cm

1 Tam giác OAB là tam giác gì? (Hướng dẫn: dùng định lý Pythagore)

2 Chứng minh đường thẳng BA tiếp xúc với  O

Bài 3: Từ điểm A ngoài đường tròn tâm O , vẽ tiếp tuyến với tiếp điểm B Lấy điểm C thuộc

 O khác B sao cho ABAC

1 So sánh tam giác OAB và tam giác OAC

2 Chứng minh AC là tiếp tuyến của  O

Bài 4: Lấy hai điểm A và B thuộc đường tròn tâm O ( , ,A O B không thẳng hàng) Tiếp tuyến

của  O tại A cắt tia phân giác của AOB tại C

1 So sánh tam giác OAC và tam giác OBC

2 Chứng minh đường thẳng BC là tiếp tuyến của  O

Bài 5: Vẽ đường thẳng xy tiếp xúc với đường tròn tâm O , lấy điểm B sao cho ABAO

Lấy điểm C khác A và thuộc  O sao cho BABC

1 Đường thẳng OC là gì đối với đoạn thẳng AB ? Tại sao?

2 So sánh tam giác OCA và tam giác OCB Chứng minh đường thẳng CB là tiếp tuyến của  O

Bài 6: Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn tâm O , lấy điểm B sao cho ABAO Lấy điểm

C khác A và thuộc  O sao cho BABC

1 So sánh tam giác OBA và tam giác OBC

2 Chứng minh tứ giác OABC là hình vuông và BC tiếp xúc với  O

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông ở A có ABC 300 và AB4cm Chứng minh BC tiếp

xúc với đường tròn tâm A có bán kính bằng 2 cm (Hướng dẫn: vẽ AH vuông góc với BC)

Bài 8: Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn tâm O bán kính bằng R , lấy điểm I sao cho

Bài 9: Trên tiếp tuyến tại B của đường tròn tâm O bán kính bằng R , lấy điểm A cách O một

khoảng bằng 2R Lấy điểm C khác B và thuộc  O sao cho ABAC BC cắt OA tại

H

1 Tính sin OAB và tính BAC

2 Tính BC theo R và chứng minh AC tiếp xúc với  O

3 Đường thẳng OA là gì đối với đoạn thẳng BC? Tại sao? Tính OH HA ,

Bài 10: Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn tâm O cắt nhau ở A Vẽ đường kính CD

Bài 12 Cho đường tròn tâm O bán kính R Lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R Từ A vẽ

hai tiếp tuyến với hai tiếp điểm là B và C Đoạn thẳng OA cắt (O) tại I Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K

1 Chứng minh OK // AB và tam giác OAK cân tại K

2 Chứng minh đường thẳng KI là tiếp tuyến của (O)

Bài 13 Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn tâm O cắt nhau ở I Đường thẳng qua I và

vuông góc với Ia cắt OB tại K Chứng minh

1 IK // OA; 2 Tam giác IOK cân

Bài 14: Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn tâm O cắt nhau ở A Điểm D di động trên

cung nhỏ BC Tiếp tuyến tại D cắt AB và AC lần lượt ở I và K

1 Chứng minh khi D di động thì chu vi tam giác AIK không đổi

(Hướng dẫn: Chu vi tam giác AIK bằng hai lần độ dài AB)

2 Điểm O là gì đối với AIK?

(Ghi chú: Câu 1 của bài toán này có thể phát biểu thành bài toán dạng khác như sau: Cho và cho trước số l 0 Chứng minh có vô số tam giác ABC, với B thuộc Ax, C thuộc Ay sao cho chu vi của nó bằng 2 l

Bài 15.Cho đường tròn tâm O bán kính R có đường kính AB Từ điểm T trên tiếp tuyến tại A

của (O), vẽ tiếp tuyến thứ hai TM (M là tiếp điểm) Gọi H và K là hình chiếu vuông góc của M

lên AB và tia AT

1 Chứng minh HK đi qua trung điểm I của AM

2 Chứng minh ba đoạn thẳng OT, HK và AM đồng quy

2 LUYỆN TẬP

Bài 16 Cho AB là đường kính của đường tròn tâm O bán kính R Cho dâyBC = R Tiếp tuyến

của (O) tại A cắt tiaBC ở D Tiếp tuyến của (O) tại C cắt AD tại M

1 Tính ABC và dùng tỉ số lượng giác để tính AD theo R

2 Tính AOM và tính AM theo R

Bài 17 Cho đường tròn tâm O có đường kính BC và có bán kính R Tiếp tuyến của (O) tại A

cắt đường thẳng BC tại I Chứng minh:

Bài 18 Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O;R) cắt dâyBC kéo dài tại A ngoài (O) Vẽ OH

vuông góc với BC tại H

1 Chứng minh AB + AC=2AH

2 Chứng minh ABAC2AM

(Hướng dẫn: 2 2 2

AH  AO OH và AM2  AO2R2)

Bài 19.Trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB, lấy điểm M Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc

với AB tại H Vẽ tiếp tuyến AC và BD của (M) với C và D là hai tiếp điểm

1 Tìm hai góc so le trong bằng nhau để chứng minh OM // BD; OM // AC

2 Chứng minh C, M, D thẳng hàng và đường thẳng CD tiếp xúc với (O)

3 Giả sử CD = 2a Tính AC.BD theo a

Bài 20: ChoAClà đường kính của đường tròn tâm O Trên tiếp tuyến của O tại A , lấy điểm

I Vẽ dây cungCBsong song vớiOI Chứng minh:

1 IOAIOB

2 Đường thẳng IB là tiếp tuyến của O

Bài 21: ChoAClà đường kính của đường tròn tâmO Trên tiếp tuyến tại A của O , lấy điểm I sao cho IA lớn hơn bán kính của O Từ I vẽ tiếp tuyến thứ hai với tiếp điểm là B

1 Chứng minhBC//OI. (Gợi ý: AOB là góc ngoài của tam giác OBC)

2 Đường thẳng vuông góc vớiACtại Ocắt tiaCB ở H Chứng minh IH //AC (Hướng

dẫn: so sánh tam giácAOIvà tam giácOCH )

3 TiaOB cắt tia IH ở K.Chứng minh tam giácIOKcân tạiK

Bài 22.Cho đường tròn tâmO có dây cung AB sao cho AOB tù Tiếp tuyến của O tại A và dây

AB lần lượt cắt tia phân giác của AOB cắt ở CvàK.Vẽ BI vuông góc với AC tại I và cắt OCở

H Chứng minh:

1 H là trực tâm của tam giác ABC

2 AH // OB

3 Tứ giácAHBOlà hình thoi

Bài 23 Cho đường tròn tâmO , bán kính R, có xy là tiếp tuyến tại A Điểm M di động trên O

Vẽ MH vuông góc với xy tại H Tia phân giác của AOM cắt tiaMH tại I Chứng minh khi M di động thì I cũng di động trên mộ đường cố định

Hướng dẫn:

1 Chứng minh MI//OA vàOMI cân ở M

2 Chứng minh tứ giácAOMI là hình thoi, suy ra I chạy trên đường tròn tâm A bán kính

Bài 24 Cho đường tròn tâm O đường kínhAB Đường thẳng xy tiếp xúc (O) tại A Điểm K thuộc (O) và khác A,B Tiếp tuyến tại K của (O)cắt xy tại M Vẽ KH vuông góc với AB tại H

và KH cắt BM tại I Chứng minh I là trung điểm của KH

Hướng dẫn:

1 BK cắt xy tại C Chứng minh BC và OM cùng vuông góc với AK

2 Chứng minh M là trung điểm của AC, suy ra I là trung điểm của KH

Bài 25 Cho đường tròn tâm O đường kính AB Đường thẳng xy tiếp xúc (O) tại A Điểm K

thuộc (O)và khác A,B Tiếp tuyến tại K của O cắt xy tại M Vẽ Kh vuông góc với AB tại H và

KH cắt BM tại I Chứng minh I là trung điểm của KH

Hướng dẫn:

1 BK cắt xy tại C Chứng minh BC cắt OM cùng vuông góc với AK

BAI 27.Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB vẽ hai tiếp tuyến Ax và By ở cùng nửa

mặt phẳng chứa nửa đường tròn Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Ax By lần ượt ở ,

C và D

1 Chứng minh ACBDCD

2 Chứng minh COM và MOD phụ nhau

3 Chứng minh AC BD R2

2 Chứng minh AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD.

3 Chứng minh CD tiếp xúc với đường tròn đường kính AB (hướng dẫn: vẽ OH

vuông góc vơiCD ở H và chứng minh H thuộc đường tròn đường kính AB

Bài 29.Cho đoạn thẳng AB vẽ tiaAx và By cùng phía và cùng vuông góc với AB C thuộc ,

Ax và D thuộc By sao cho ACBDCD Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB

2 Chứng minh OCAOCI rồi chứng minh CD là tiếp xúc với đường tròn đường kính AB

tại H (OH vuông góc với CD ở H )

Bài 30.Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R và có đường kính AB. Điểm D di động trên

tia Bx là tia đối của tia BA. Từ D kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn tại điểm C Lấy E thuộc

tia DC sao cho DEDO và EH vuông góc với AB ở H Chứng minh khi D di động trên

tiaBx thì độ dài của EH luôn bằng R không đổi

Bài 31.Cho nửa đường tròn đường kính AB,tâm O , bán kính R Điểm C di động trên nửa đường tròn, C khác A và B Tiếp tuyến tại C cắt đường thẳng AB tại D Đường thẳng qua

O và vuông góc với tia phân giác CDO cắt tia , DC ở E Chứng minh C di động thì E cũng chạy trên một đường cố định (Hướng dẫn: E luôn cách AB một khoảng bằng R.)

Bài 32.Cho hình vuông OABC Điểm D di động trên cạnh AB và E di động trên cạnh BC

nhưng luôn thỏa mãnDEAD EC Chứng minh DE luôn tiếp xúc với một đường tròn cố

Bài 33.Cho hình vuông OABC. Điểm D di động trên cạnh AB và E di động trên cạnh BC

nhưng luôn thỏa DOE45  Chứng minh DE luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định Hướng dẫn:

1 Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt đường thẳng AB tại F Chứng minh

Bài 34.Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Đường tròn tâm O1 đường kính

HB cắt AB tại D Đường tròn tâm O2 đường kính HC cắt AC tại E , AH cắt DE tại I

3 CÁC BÀI TẬP TÍNH TOÁN VÀ NÂNG CAO

Bài 35.Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn tâm) cắt nhau tại A Điểm D di động trên cung

lớnBC.Vẽ dâyCE//AD.Tìm vị trí của D trên cung lớn BC để diện tích tam giác ADE lớn nhất Gợi ý: S ADE S ACD

Bài 36.Trên nửa đường tròn đường kính AB, lấy điểm K khác A và B VÃ KH vuông góc với

AB tại H Gọi I là trung điểm của KH Tia BI cắt tia tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn tại M Chứng minh MK tiếp xúc với nửa đường tròn

Bài 37: Cho AC là đường kính của đường tròn tâm O Trên tiếp tuyến tại A của O, lấy điểm I

sao cho IA lớn hơn bán kính của O từ I vẽ tiếp tuyến thứ hai với tiếp điểm là B Từ O kẻ tia vuông góc với AC cắt tia CB tại H và cắt tia IB tại D OI cắt AH tại E OB cắt IH tại K Chứng D,E,K thẳng hàng

Hướng dẫn: Chứng minhAOI  OCD, IOKcân tại K, D là trực tâm củaIOK Ghi chú: nếu IA nhỏ hơn bán kính của O thì kết quả bài toán không đổi

Bài 38 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ hai tiếp tuyến Ax và By ở trong nửa

mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn Lấy điểm M cắt BC tại I và MI cắt AB tại H Chứng

minh MH //Ax//By và I là trung điểm của MH

Hướng dẫn: dùng định lý Thales đảo trongACD

Bài 39: Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn O cắt nhau ở M và OM cắt AB tại H Từ M

vẽ cát tuyến cắt O tại C và D Vẽ OI vuông góc với CD tại I và cắt đường thẳng AB tại K

Bài 41 Trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn tâmObán kính R, lấy điểm T Đoạn thẳng

OT cắt O tại M Gọi N là giao điểm của tiếp tuyến tại M với đường thẳng vuông góc với AT ở

T Vẽ MH vuông góc với NT ở H Đặt coslà số đo của AOM

1 Dùng tỉ số lượng giác, hãy tính theo R vàcác cạnh của tam giácMNT(Hướng dẫn: tínhOt và MT trước)

2 NếuNT 2Rthìbằng bao nhiêu?

3 Nếu 3

3

R

AT  thìbằng bao nhiêu? Lúc đó tínhMT MN MH, , theo R

Bài 42 Cho đường tròn I R; và đường tròn O r, không cắt nhau và Rr(nên vẽ O và I

và r nhỏ khoảng một nửa R ) Gọi Ax và Aylà hai tiếp tuyến chung ngoài Tia Ax tiếp xúc với

 I và O tại K và H tương ứng với I và O lần lượt tại F và T Vẽ đường kính TE của O

Bài 43.Kết quả quan trọng cần nhớ: Chứng minh độ dài hai đoạn tiếp tuyến nối từ đỉnh của

tam giác đến hai tiếp điểm trên đường tròn nội tiếp bằng nửa chu vi trừ cạnh đối diện đỉnh đó

Hướng dẫn: gọi p là nửa chu vi của tam giác

Các tiếp điểm trên cạnh BC, CA, AB lần lượt làA1,B1vàC1

Bài 44 Kết quả quan trọng cần nhớ: Chứng minh độ dài hai tiếp tuyến nối từ đỉnh của tam

giác đến hai tiếp điểm trên đường tròn bàng tiếp năm bên trong góc ở đỉnh đó bằng nửa chu vi tam giác

Bài 45.Cho tứ giácABCD.Đường trong nội niếp củaACBvàACDlần lượt tiếp xúcACtại

Bài 46 Cho S, p, r lần lượt là diện tích, nửa chu vi và bán kính đường tròn nội tiếp của tam

giác ABC Chứng minh S=pr

Bài 47.Cho tam giác ABC Gọi r,p,a,b,c lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp, nửa chu vi,

độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C củaABC

Chứng minh  tan  tan  tan

1 Chứng minhS p a r  a p b r  b p c r  c Hướng dẫn: Gọi I là tâm của đường tròn bàng tiếp bên trong góc ở đỉnh A, với các điểm

1, 1, 1

A B C thuộc các đường thẳng BC, CA, AB Gợi ý đẳng thức S S IABS IAC S IBC

2 Gọi r h h h, a, ,b clần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp, độ dài các đường cao kẻ từ, ,

A B CcủaABC.Chứng minh:

Bài 50 Cho tam giác ABC (vuông ở A) có p là nửa chu vi, r và R là bán kính đường tròn nội

tiếp và ngoại tiếp

1 Chứng minh r bằng nửa chu vi trừ đi cạnh huyền, suy ra tổng hai cạnh góc vuông bằng2 r R

2 Giả sửABC (vuông ở A), có đường cao AH và r p r p1, 1, ,2 2lần lượt là bán kính

đường tròn nội tiếp và nửa chu vi của AHB và AHCtương ứng Dùng câu 2, hãy chứng minh:AH   r r1 r2

Bài 51 Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với BC tại D, p là nửa chu vi,

BC=a, CA=b, AB=c

2 NếuABC vuông ởA, dùng câu trên và định lý Pythgore, chứng minh S ABC BD DC

Bài 52.Tam giác ABC vuông ở A có I là tâm đường tròn nội tiếp bán kính r và các tiếp điểm

trên cạnh BC, CA, AB là D, E, F tương ứng

C BD

Bài 54 Cho điểm B thuộc đường tròn  O có đường kính AC (nên vẽ H gần A hơn C)

Lấy điểm D trên tia AB sao cho AD3AB Tia Dy vuông góc với DC cắt tia tiếp Ax của

 O tại E Chứng minh tam giác BDE cân tại E Hướng dẫn: Vẽ EI  AD tại I Chứng minh rằng ABBI ID

Bài 55 Cho đường thẳng d cố định bên ngoài đường tròn cố định O R;  Điểm M di động trên d Từ M vẽ hai tiếp tuyến với hai tiếp điểm là P và Q, QM cắt PQ tại K Chứng

minh đoạn thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định và k di động trên một đường cố định

Bài 56 Cho điểm I cố định bên trong đường tròn tâm O bán kinh bằng R ( I khác O) Dây

PQ quay quanh điểm I Hai tiếp tuyến tại P và Q cắt nhau tại M Chứng minh M di động

trên một đường cố định khi dây PQ quay

Hướng dẫn: Vẽ MH vuông góc với OI tại H , OM cắt PQ tại K Chứng minh

2

OI OH OK OM R , suy ra điểm H cố định và ta có điều phải chứng minh

Bài 57 Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn tâm O , bán kính bằng R , cắt nhau tại A Gọi D là trung điểm của AB , E là trung điểm của AC , DE cắt OA tại K Chứng minh

OK R Hướng dẫn: Giả sử OA cắt BC tại I Sử dụng hằng đẳng thức, hay chứng minh

OK KI R

Bài 58 Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn tâm O , bán kính bằng R , cắt nhau tại A Gọi E là trung điểm của AB , F là trung điểm của AC , M là điểm bất kỳ trên đường thẳng

EF Vẽ tiếp tuyến MQ (Q là tiếp điểm) Chứng minh MQMA

Hướng dẫn: Giả sử OA cắt BC và EF lần lượt tại I và II Ta suy ra MQ2 MA2 bằng việc chứng minh các đẳng thức sau:

1 Chứng minh MQ và MT là hai tiếp tuyến của  O

(Hướng dẫn: Vẽ tiếp tuyến MQ’ Chứng minh MQMAMQ(nghĩa là làm lại bài tập trên)

2 Giả sử D di động trên đường thẳng BC Chứng minh đường thẳng QT luôn quay quanh một điểm cố định

(Hướng dẫn: Gọi I là giao điểm của QT với OA , K là giao điểm của QT và OM

Vẽ MH vuông góc với OA tại H Chứng minh OI OH OK OM vv , )

Bài 60 Cho điểm I và đường tròn tâm O cố định Điểm Q di động trên  O sao cho không thẳng hàng với O và I Tiếp tuyến tại Q cắt đường trung trực của đọan thẳng QI tại M

Chứng minh khi Q di động thì M di động trên một đường cố định

Hướng dẫn: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M xuống đường thẳng OI Ta có:

MI MQ MO R , suy ra 2 2 2

MO MI R Mà 2 2 2 2

MO MI HO HI nên H cố định (tại sao?) Vậy M di động trên đườn thẳng vuông góc với OI tại H

Bài 61 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn với các tiếp điểm E thuộc cạnh AB ,

F thuộc cạnh BC, G thuộc cạnh CD và H thuộc cạnh DA Chứng minh các đường thẳng

Dùng định lí Menelaus trong ACQ với cát tuyến EG, chứng minh IA a

AC EG FH đồng qui Tương tự, BD EG FH, , đồng qui

Bài 62 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn với các tiếp tuyến E thuộc cạnh AB ,

F thuộc cạnh BC, G thuộc cạnh CD và H thuộc cạnh DA Chứng minh các đường thẳng

, ,

AC EF GH đồng qui; các đường thẳng BD GF HE, , đồng qui (giả sử không có sự song song nào xảy ra)

Bài 63 Cho tam giác ABC nhọn có D thuộc cạnh BC , E thuộc cạnh AC và F thuộc cạnh

AB sao cho AD BE CF, , đồng qui tại H Chứng minh rằng nếu H là tâm đường tròn nội tiếp DEF

 thì H là trực tâm của tam giác ABC

https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen 1/43

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC

Bài 1 Cho đường tròn tâm O bán kính bằng 13cm và đường tròn tâm O’ bán kính bằng

15 cm cắt nhau tại A và B Đường thẳng OO’ cắt AB tại H Giả sử AB24cm

1 Chứng minh OO’ là đường trung trực của đoạn thẳng AB và tính độ dài AH OH, và

1 Chứng minh hai đường tròn cắt nhau

2 Gọi A và B là hai giao điểm của hai đường tròn Chứng minh AO là tiếp tuyến của

 O

3 Chứng minh OO vuông góc với AB tại trung điểm H của AB Tính độ dài của

AH và AB

Bài 3 Cho điểm A thuộc đường tròn tâm O Gọi O’ là tâm của đường tròn đường kính OA

1 Hãy cho biết vị trí tương đối của  O và  O

2 Giả sử  O có dây AB cắt  O tại C khác A AO C' có gì đặc biệt? Chứng minh

ACO ABO và O C // OB

3 Chứng minh C là trung điểm của AB

Bài 4 Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường tròn tâm O' bán kính băng R tiếp xúc ngoài tại A Vẽ tiếp tuyến OM của  O (M là tiếp điểm) OMO' là tam giác gì? Tính OM theo R và ’ R

Bài 5 Hai đường tròn  O và  O tiếp xúc ngoài tại A Đường thẳng qua A cắt ’  O tại B

và cắt ’ O tại C

1 Chứng minh ABO  ACO

2 Chứng minh OB // O C và tiếp tuyến Bxcủa  O song song với tiếp tuyến Cy của

  ’O

2.LUYỆN TẬP Bài 6 Cho hai đường tròn tâm O và O’ tiếp xúc ngoài tại A Vẽ đường tiếp tuyến chung ngoài với tiếp điểm B thuộc  O và tiếp điểm C thuộc  O Tiếp tuyến chung trong tại A ’cắt BC tại I

https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen 2/43

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC

AIO  AIB AIO AIC và OIO' vuông tại I

3 Chứng minh OO tiếp xúc với đường tròn đường kính BC

Bài 7 Cho điểm A thuộc đoạn thẳng OO’ Đặt ROA R; O A

1 Hãy cho biết vị trí tương đối của hai đường tròn O R và ;  O R ; 

2 Đường thẳng qua A cắt  O tại B và cắt  O tại C Vẽ đường kính BD của  O

và đường kính CE của  O’ Chứng minh BD // CE

3 Chứng minh OAD đồng dạng với O’AE theo trường hợp c-g-c và AD R

AE  R



Bài 8 Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi M là trung điểm của BC Vẽ đường tròn tâm O1

qua A và tiếp xúc với BC tại B , đường tròn tâm O2qua A và tiếpxúc với BCtại C

1 Chứng minh MO A MO B1  1 ; MO A2  MO C2 (trường hợp c-c-c)

2 Chứng minh ba diểm O A O1, , 2 thẳng hàng

3 Xác định vị trí tương đối của  O và 1  O AM là đường gì đối với 2  O và 1  O ? 2

Bài 9 Hai đường tròn tâm O và O’ cắt nhau tại A và B Vẽ đường kính ACcủa  O và

đường kính AD của  O'

1 Chứng minh , , C B Dthẳng hàng và CD2OO'

2 Một cát tuyến quay quanh A cắt  O tại M và cắt  O tại ’ N Vẽ OIvuông góc với

MN ở , I OH vuông góc với MN ở H Chứng minh MN 2IH 2OO'

3 Xác định vị trí cát tuyến MN dài nhất

Bài 10 Hai đường tròn tâm O và O’ cắt nhau tại A và B Gọi K là trung điểm của OO’

Đường thẳng qua A và vuông góc với AK cắt  O tại M và cắt  O tại ’ N Chứng minh A

là trung điểm của MN

Hướng dẫn: Vẽ OI vuông góc với MN ở I , O'Hvuông góc với MN ở H

Bài 11 Cho hai dường tròn tâm O1 và O2 tiếp xúc ngoài tại E Vẽ hai tiếp tuyến chung ngoài

AB và CDvới A và D là hai tiếp điểm thuộc  O1 ; B và C là hai tiếp điểm thuộc O2 Chứng minh:

1 Tứ giác ABCD là hình thang cân (Gợi ý: CDvà BA kéo dài cắt nhau ở F );

2 BC AD AB CD    (Gợi ý: vẽ tiếp tuyến chung trong tại E cắt AB và CDở M và

N)

CÁC BÀI TÍNH TOÁN VÀ BÀI NÂNG CAO

https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen 3/43

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC

Bài 12 Cho hai đường tròn  O và  O’ cùng có bán kính bằng R , cắt nhau tại A và B sao

cho O và O’ nằm ở hai bên đường thẳng AB Đường thẳng qua A cắt  O tại Cvà cắt  O’

tại D sao cho A nằm giữa C và D Chứng minh BC BD

Hướng dẫn: Vẽ hai đường kính AI của  O và AK của  O' Chứng minh B là trung điểm của IK (phải chứng minh I, B, K thẳng hàng) Tứ giác CDKI là hình gì?

Bài 13 Cho đường tròn tâm O bán kính bính 12cm và đường tròn tâm O’bán kính bằng

16cm cắt nhau tại A và B OO cắt AB tại I Giả sử độ dài OO là bội chung của 4 và 5 Tính độ dài AB và OI (Gợi ý: chứng minh OAO’ vuông)

Bài 14 Cho hai đường tròn O; R và O’; R tiếp xúc ngoài tại A(R R’) Vẽ tiếp tuyến

chung ngoài với tiếp điểm B thuộc  O và tiếp điểm Cthuộc  O' Tiếp tuyến tại A cắt BC

tại I

1 Tính độ dài BC theo R và R’ (Hướng dẫn: vẽ O H vuông góc với OB ở H và dùng định lý Pythagore trong OO H  )

2 Tính diện tích IOO  theo R và R

Bài 15 Cho hai đường tròn O R và 1, i 0 ; R2 2tiếp xúc ngoài tại A (vẽ R1 R2 Vẽ tiếp

tuyến chung ngoài BCvới tiếp điểm B thuộc  O1 và tiếp điểm C thuộc O2 Giả sử có đường tròn tâm I tiếp xúc ngoài với cả hai đường tròn  O1 và  O2 , đồng thời tiếp xúc với đoạn thẳng BCtại H

1 Tính bán kính X của đường tròn  I theo R1 và R2 Hướng dẫn: tínhBC, BH, HC theo R ; R1 2và x

2 Giả sử thêm BO O1 2 60 0 Tìm hệ thức giữa R1và R2(Hướng dẫn: Vẽ O H2 O B1tại H ,2O H1 O O1 2)

Bài 16 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Điểm C di động trên đoạn thẳng AB Gọi

I và K lần lượt là tâm của đường tròn đường kính ACvà đường kính CB.Tiếp tuyến chung

tại C của  I và  K cắt  O tại D AD cắt  I tại M và BD cắt  K tại N

1 Chứng minh MN CD và tìm vị trí của C để MNdài nhất

2 Tìm vị trí của C để diện tích tứ giác CMDN lớn nhất Hướng dẫn:

https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen 4/43

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC

Bài 17 Hai đường tròn O1; R1 và O2;R2 tiếp xúc ngoài tại T (giả sử R1 R2 Tiếp

tuyến chung ngoài BC (tiếp điểm B thuộc  O1 và tiếp điểmCthuộc  O2 cắt đường thẳng

1 2

O O tại A Giả sử BC 1 0 3 cm và O AB1 30 0 Tính R1 và R2

Hướng dẫn: Vẽ O H2 vuông góc với O B1 ở H Từ giả thiết O AB1 30 0,

hãy chứng minh O O1 2 và O O cos1 2 300 BC

Bài 18 Cho hai đường tròn O; R và O’; R’ ngoài nhau Hai tiếp tuyến chung ngoài ACvà

BD cắt nhau tại I với A và B thuộc  O , C và D thuộc  O’ Gọi M và N là trung điểm của AC và BD Hai tiếp tuyến chung trong cắt nhau tại K

1 Tia IO và tia IO là gì đối với góc tạo bởi hai tiếp tuyến chung ngoài?

2 Tia KO và tia KO' là gì đối với góc tạo bởi hai tiếp tuyến chung trong? Có nhận xét

gì về bốn điểm , , , I O K O?

3 Chứng minh OO’ là đường trung trực của đoạn thẳng MN

4 Tính độ dài của AB, CD và MN theo , R R và d OO

Hướng dẫn: AB cắt IO tai H Chứng minh IO R

IO  R

 , suy ra

IOIO  R R Tính độ

dài IO OH AH, , và AB Tương tự cho CD

Bài 19 Cho hai đường tròn O; R và O’; R ngoài nhau Vẽ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyến chung trong CDvới A và C thuộc  O , B và D thuộc  O’ Đặt d OO  ' Tính độ

dài của AB và CDtheo R, R’ và d

Hướng dẫn: CD cắt OO’ tai I Chứng minh CI OI R

CD  d  R R

  Sử dụng định lý Pythagore để tính IC, suy ra độ dài của CD

Bài 20 Hai đường tròn O1; R 1và O R2; 2 tiếp xúc ngoài tại A Vẽ tiếptuyến chung ngoài

BC với tiếp điểm B thuộc  O1 và tiếp điểm C thuộc O2 Hãy tính độ dài của AB và AC

theo R1 và R2

Hướng dẫn: Tiếp tuyến chung tại A cắt BC ở I Tính độ dài của BC và AI theo R1 và

R 2 Gọi H là giao điểm của IO1 và AB Ta có 2 2 2

1

AH  AO  AI

Bài 21 Hai đường tròn O R1; 1 và O2;R2 tiêp xúc ngoài tại A Vẽ tiếp tuyến chung

ngoài BC với tiếp điểm B thuộc  O1 và tiếp điểm C thuộc  O2 Giả sử AB 1 2cm và

AC 1 6cm Hãy tính R1 và R2

https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen 5/43

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC

thuộc  O2 ; FG cắt d1 tại D và cắt d2 tại E Tiếp tuyến chung trong tại B cắt FG tại I

1 Tính độ dài của BI, AD và CE theo R1 và R2 Hướng dẫn: Chứng minh 1 2; 1

2

FG

BI   R R ADO đồng dạng với BO I1

2 Tính diện tích tứ giác ACED theo R1 và R2

Bài 23 Cho điểm A cố định bên trong đường tròn tâm O và A khác O Dây BC của  O quay quanh điểm A Gọi O1 và O2 là tâm của hai đường tròn cung qua A và tiếp xúc với

 O tại B và Ctương ứng

1 Chứng minh tứ giác OO AO1 2 là hình bình hành Dây BC ở vị trí nào thì hình bình

hành trở thành hình thoi?

Hướng dẫn:chứng minh BAO1 và …

2 Hai đường tròn  O1 và  O2 cắt nhau tại M khác A Chứng minh OM // O O1 2 và

M luôn di động trên một đường cố định khi dây BC quay quanh A Hướng dẫn: hãy xác định đường trung bình của AMO Có nhận xét gì về AMO ?

Bài 24 Cho ba đường tròn tâm O O1; 2 và O3 tiếp xúc ngoài nhau từng đôi một, với A là tiếp

điểm của  O2 và  O ; B là tiếp điểm của 3  O và 3  O1 ; Clà tiếp điểm của  O1 và  O2 ;

AB và AClần lượt cắt  O1 tại D và E Chứng minh DE là đường kính của O 1

Hướng dẫn vẽ hình: vẽ đường tròn nhỏ (bán kính khoảng lcm ) và lấy ba điểm A, B, Ctùy ý trên đó Vẽ ba tiếp tuyến tại A, B, Ccắt nhau tại các điểm O O O1, , 2 3 thích hợp với đề bài Sau đó vẽ ba đường tròn tâm O ;O , O1 2 3 Chứng minh O D1 // AO3 vàO E1 // AO2

Bài 25 Hai đường tròn tâm O vá O ngoài nhau Vẽ tiếp tuyến chung ngoài AB với tiếp điểm A thuộc  O và tiếp điểm B thuộc O Vẽ hai tiếp tuyến chung trong EH và FG

với E và F thuộc  O ; G và H thuộc  O’ EH cắt AB tại C, FG cắt AB tại D Chứng

minh AC BD

Hướng dẫn: Gọi I là trung điểm của OO và M là trung điểm của CD Chứng minh:

1 OCO’ vuông ở C và ODO’ vuông ở D , tứ giác AOO B’ là hình thang

2 IM là đường trung trực đoạn thẳng CD và là đường trung bình của hình thang ' ,

AOO B suy ra AC BD

https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen 6/43

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC

BÀI 6 GÓC Ở TÂM ĐƯỜNG TRÒN – GÓC NỘI TIẾP VÀ GÓC CÓ ĐỈNH

TRONG, NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN

1 BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ GÓC Ở TÂM VÀ GÓC NỘI TIẾP

Bài 1 Cho AB là dây cung không chứa tâm của đường tròn tâm O Vẽ dây ACvuông góc

với AB Chứng minh BOC 2BAC và suy ra B O C, , thẳng hàng

Bài 2 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AC,có bán kính OB vuông góc với AC.Điểm

M thuộc cung AB Tính BMC và AMB

Bài 3 Cho hai đường tròn tâm O và O’ cùng có bán kính bằng R , cắt nhau ở A và B sao

cho O và O’ nằm ở hai bên đường thẳng AB Cát tuyến đi qua A cắt  O và  O’ lần lượt ở

C và D ( A nằm giữa C và D )

1 Tứ giác AOBO là hình gì? Chứng minh BC BD Câu hỏi nâng cao:

2 Nếu A không nằm giữa C và D thì kết quả câu 1 còn đúng không?

Bài 4 Cho BAC300 nội tiếp đường tròn tâm O. ( B và Cthuộc  O ) Vẽ đường tròn tâm

I đi qua Osao cho hai điểm B và Cnằm ởbên trong  I Hai tia OB và OC cắt  I ở E và

F Tính EIF

Bài 5 Cho AB là đường kính của đường tròn tâm O , bán kính bằng R Vẽ hai dây cung AD

và BC cắt nhau tại E Vẽ EF vuông góc với AB ở F Chứng minh tam giác AFE dồng dạng với tam giác ADB ; tam giác BFE đồng dạng với tam giác BCA

Bài 6 Cho hai đường tròn tâm O và O’ cắt nhau ở A và B Vẽ ACvà AD là hai đường kính của  O và  O’ .Chứng minh C, B, D thẳng hàng

Bài 7 Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD Đường tròn đường kính BC cắt AB và

AC lần lượt tại F và E Chứng minh AD, BE và CF đồng qui

Bài 8 Cho AB và CDlà hai dây song song của một đường tròn (tia AB và tia DCcùng chiều) Chứng minh sđ AC sđ DB Tứ giác ABCD là hình gì?

Bài 9 Cho AB là đường kính của đường tròn tâm O CDlà dây song songvới AB (tia CD

cùng chiều với tia AB )

https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen 7/43

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC

2 Chứng minh ACDADC 90

Bài 10 Cho tam giác ABC cân ở A và nội tiếp một đường tròn Lấy D thuộc cung BCkhông

chứa A Chứng minh ADC ACB

cao của tam giác Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác ACD

Bài 12 Lấy điểm M thuộc nửa đường tròn đường kính AB Vẽ tiếp tuyến tại A của nửa

đường tròn Vẽ MH vuông góc với tiếp tuyến đó tại H So sánh MAH và MBH, chứng minh

2

Bài 13 Cho AB là dây cung của đường tròn tâm O Trên tia đối của tia BA lấy điểm D Bán

kính OCvuông góc với AB với C thuộc cung lớn AB CDcắt  O tại

1 Chứng minh CEACAB;

2 Chứng minh 2

CA CE CD

Bài 14 Lấy ba điểm A, B, C trên đường tròn tâm O Gọi Ax là tia đối củatia AB , Ay là tia

đối của tia AC.Chứng minh 1

BAy CAx sđ BC

2

  với BC là cung chứa điểm A

Bài 15 Cho tam giác ABC có ABACvà nội tiếp trong đường tròn tâm O Lấy I là điểm

chính giữa (trung điểm) của cung BC chứa A Kéo dài BA ta có tia Ax Nối đoạn thẳng BI

Chứng minh:

1 IAx với BI là cung chứa điểm A

2 AI là tia phân giác của CAx

Bài 16 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi OMlà bán kính vuông góc với cạnh BC( M thuộc cung BC không chứa A ) Chứng minh AM là tia phân giác của góc BAC

Bài 17 Cho đường tròn tâm O có dây AB Bán kính OM vuông góc với dây AB ( M thuộc cung nhỏ AB ) Tiếp tuyến của  O tại A cắt tia OM ở C Chứng minh AM là tia phân giác

của góc SAC (Hướng dẫn: sđAMsđBM)

Bài 18 Trên nửa đường tròn tâm O , đường kính AB , có điểm C di động Tia phân giác của

BAC cắt  O tại D

1 Chứng minh OD vuông góc với BC

2 Tia AC cắt tia BD tại K Tam giác ABK có gì đặc biệt? Chứng minh khi C di động thì K chạy trên một đường cố định

https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen 8/43

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC

1 Chứng minh ABE ACF

2 Chứng minh OA vuông góc với IK

Bài 20 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Đường cao AD của tam giác cắt

 O ở E Vè đường kính AF của đường tròn Chứng minh EF BC và BAD CAF

Bài 21 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O và có đường cao AD Gọi

H là trực tâm của tam giác Tia AD cắt  O ở E Chứng minh

1 DBEDAC DBH

2 Đ iểm H và E đối xứng nhau qua đường thằng BC

Bài 22 Cho đường tròn tâm O có dây AB Gọi M là trung điểm của dây AB Vẽ dây CDbất

kỳ đi qua M (CDkhông trùng với AB ) Chứng minh dây CDdài hơn dây AS

Bài 23 Cho hai đường tròn đồng tâm O Điểm I thuộc đường tròn lớn Từ I kẻ tia Ix cát

đường tròn nhỏ và lớn theo thứ tự tại , B, EA Kẻ tia Itcắt đường tròn nhỏ và lớn theo thứ tự tại , D, FC sao cho CD AB Vẽ OHvuông góc với AB ở H và OI vuông góc với CDở I Chứng minh IFIE

Bài 24 Cho điểm I bên trong đường tròn tâm O Cho hai đây cung AC và BD cùng đi qua I

sao cho IO là tia phân giác của AIB Vẽ OHvuông góc với AC ở H , OK vuông góc với BD

ở K

1 Chứng minh AC BD

2 Chứng minh sđAD   sđBC và tứ giác ABCD là hình thang cân

3 Chứng minh OI vuông góc với AB

BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG VÀ NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN Bài 25 Gọi Clà điểm chính giữa cung lớn AB của đường tròn tâm O Trên cung nhỏ BClấy

điểm M Tia CMcắt tia AB ở D