Giải các phương trình sau: 1.. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy.. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên cạnh SB và SC..
Trang 1SỞ GD & ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ
ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ 2 NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn thi: TOÁN; KHỐI 11
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi 29/03/2016
Câu 1 (2.0 điểm) Giải các phương trình sau:
1 4cos x22 +6sin x2 =4
2 sin (x 2 − π − ) sin( x 3 − π = ) sinx.
Câu 2 (1.0 điểm) Tìm số hạng chứa x10 trong khai triển của biểu thức 2 2 n
x
biết n là
số nguyên dương thỏa mãn:
3
2 28 2
n n
A
−
Câu 3 (2.0 điểm) Tính các giới hạn sau:
x
lim
x
→−∞
2
2
x
lim
x
→
+ − + −
Câu 4 (2.0 điểm)
1 Tìm m để hàm số:
+
−
+ +
+
+
=
9
2 3
6 7 2 ) (
2 2 2
m mx
x x
x x x
nếu x ≥ -2 liên tục trên ¡
2 Chứng minh phương trình: ax2+bx c+ =0 luôn có nghiệm với a, b, c là các số thực thỏa mãn: a≠0 và 3a+7b+18c=0
Câu 5 (3.0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và cạnh SA
vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên cạnh SB và SC
1 Chứng minh đường thẳng AH vuông góc mặt phẳng (SBC)
2 Lấy D là giao điểm của HK và BC Chứng minh H là trực tâm tam giác SCD và đường thẳng SD vuông góc mặt phẳng (AHC)
3 Cho SA AB a, AC a = = = 3 Xác định và tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD)
-Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
(Đề thi gồm 01 trang)
SỞ GD & ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI GIỮA HỌC KỲ 2 NĂM 2015 - 2016
Trang 2Mơn: TỐN; Khối 11
(Đáp án – thang điểm gồm 04 trang)
1
(2,0 điểm)
1 (1,0 điểm)
PT⇔ cos x+ ( cos x)− = ⇔ cos x− cos x− = 0,5
2 1
1 2
4
x k cos x
x arccos k cos x
= π
Vậy nghiệm của phương trình là: 1 1
x k ,x= π = ± arccos− + πk
0,5
2 (1,0 điểm)
2 0
sinxcosx cos xsinx sinx(cosx cos x)
3 3
x k
k cos x cosx cos x cos( x) x
= π
Vậy nghiệm của phương trình là:
3 3
k
x k ,x= π = +π 2π
0,5
2
(1,0 điểm)
Tìm số hạng …
Ta cĩ:
3
2 28 2
n n
A C
n − =
− Điều kiện: 3
n n
∈
≥
¥
2
8
56 0
7
n! n! n(n )(n ) n(n )
n (n )! (n )! ! n
n (thỏa mãn)
n n
n (loại)
=
0,25
Ta cĩ:
8
2
k
Số hạng tổng quát là: 16 3
8 k 2 k k
C ( ) x− −
Số hạng chứa x ứng với 10 16 3− k=10⇔ =k 2. 0,25 Vậy số hạng chứa x trong khai triển là: 10 C ( ) x82 −2 2 10 =112x 10 0,25
3
(2,0 điểm)
1 (1,0 điểm)
1
4 1
1 5
3x
x
2 (1,0 điểm)
Trang 33 2
3 3 3
(x ) x
−
2
2 5 3 3 3 9 6
18
x
( x )( x ) lim
→
4
(2,0 điểm)
1 (1,0 điểm) Tìm m để hàm số …
TXĐ: D=¡
▪ Với
2 2
2 7 6 2
3 2
x x
x f(x)
x x
< − ⇒ =
+ + là hàm số hữu tỷ.
⇒ Hàm số f(x) liên tục trên (−∞ −; ).2
x> − ⇒f(x) mx m= − + là hàm số đa thức
⇒ Hàm số f(x) liên tục trên 2( ;− +∞)
0,25
▪ Tại x= −2, ta có: 2
f( )− = − m m− +
xlim f(x) xlim(mx m ) m m
2 2
1
3 2
(x )(x ) x
x x
0,25
Hàm số f(x) liên tục trên ¡ ⇔ Hàm số f(x) liên tục tại x= −2
2 2 2
xlim f(x) xlim f(x) f( )
2 2 9 1 4
2
m
m m
m
= −
Vậy giá trị m thỏa mãn đề bài là: m= −4,m=2
0.25
2 (1,0 điểm) Chứng minh phương trình có nghiệm …
Xét hàm số: f(x) ax= 2+bx c+
Ta có: 0f( ) c.=
1 9 1 3 9
a b
f = + + ⇒c f = +a b+ c
1 8 1 2 4 8
a b
f = + + ⇒c f = a+ b+ c
0,25
Suy ra: 0 9 1 8 1 3 7 18 0
f( )+ ff + = a+ b+ c=
Do đó: 0 1 1
f( ), f , f
÷ ÷
không cùng dấu.
⇒ Tồn tại hai số 0 1 1
3 2 m,n ; ;
và m n< sao cho f(m).f(n)≤0. (1)
0,5
Hàm số f(x) là hàm số đa thức ⇒ Hàm số f(x) liên tục trên ¡
⇒ Hàm số f(x) liên tục trên [m;n] (2)
Từ (1) và (2) suy ra: f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc [m;n] (đpcm).
0,25
5
(3,0 điểm)
1 (1,5 điểm) Chứng minh: AH vuông góc (SBC).
Ta có: AB BC⊥
1,5
S
A
B
C
D
H K
E
Trang 4SA⊥BC vì SA⊥(ABC)
⇒BC (SAB)⊥ ⇒BC AH.⊥
Mà: SB AH⊥ ⇒AH (SBC).⊥
(Vẽ hình đúng ý 1) cho 0,5 điểm)
2 (1,0 điểm) Chứng minh H là trực tâm ∆SCD và SD (AHC).⊥
Ta có: AK⊥SC và AH SC⊥ vì AH (SBC)⊥
⇒SC (AHK)⊥ ⇒SC HK⊥ hay DH SC.⊥
Mà: SH BC⊥ ⇒ H là trực tâm tam giác SCD
0,5
⇒CH SD ( ).⊥ 1
Mặt khác: AH (SBC)⊥ ⇒AH SD⊥ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: SD (AHC).⊥
0,5
3 (0,5 điểm) Xác định và tính góc giữa SB và (SAD).
Ta có: SD (AHC)⊥ ⇒SD AC⊥ (3)
Mà: SA ⊥(ABC)⇒SA⊥AC (4)
Từ (3) và (4) suy ra: ⇒AC (SAD)⊥
Trong (ACD) kẻ BE song song AC (E AD)∈ ⇒BE (SAD)⊥
⇒ E là hình chiếu của B trên (SAD)
SE
⇒ là hình chiếu của SB trên (SAD)
⇒ góc giữa SB và (SAD) là góc ·BSE
0,25
SAB
∆ vuông cân tại A 2 2
2
a
AH , SB a
ACD
∆ vuông tại A suy ra:
12 1 2 12 1 2 12 12 22 6
2 3
a AD
AB =AD +AC ⇒AD =AB −AC = a ⇒ =
2 2 6 2 2 3 2
3
CD= AD +AC = + a =
BC
2
2
a
BC AC AB a DB DC BC
BE AC
AC DC
Mà ∆BSE vuông tại E ·
3 1 3
2 6
a BE sinBSE
SB a
0,25
Trang 5Vậy góc giữa SB và (SAD) là: ·BSE với · 1
6 sinBSE= ×
▪ Chú ý: Các cách giải đúng khác đáp án cho điểm tối đa.
