Hãy xác định tọa độ điểm N trên AB và điểm P trên AC sao cho chu vi tam giác MNP nhỏ nhất.. M là một điểm trên cạnh AB.. a Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng P.. Hãy x
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 2
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
LỚP 11 NĂM HỌC 2012-2013
Môn thi: TOÁN
(Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2 điểm) Giải các phương trình:
16 sin 10 sin 5sin 3
2
Câu 2 (1 điểm) Với các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có sáu
chữ số đối một khác nhau sao cho các chữ số 1, 2, 3 đứng kề nhau
Câu 3 (1 điểm) Có hai hộp chứa các quả cầu Hộp thứ nhất chứa 3 quả cầu đỏ, 7 quả cầu trắng
và 10 quả cầu xanh Hộp thứ hai chứa 5 quả cầu đỏ, 7 quả cầu trắng và 8 quả cầu xanh Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả cầu Tính xác suất để hai quả cầu lấy ra có cùng một màu
Câu 4 (1 điểm) Tìm hệ số của 8
x trong khai triển của 2 38
1 x 2x thành đa thức
Câu 5 (1 điểm) Tìm số hạng tổng quát và tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số u n xác định bởi u1 2013,u n1 2u n 1,n 1
Câu 6 (1,25 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A 1; 4 , B 3; 0 ,
7
; 0 ,
3
C
và điểm M1; 0 trên cạnh BC Hãy xác định tọa độ điểm N trên AB và điểm P trên
AC sao cho chu vi tam giác MNP nhỏ nhất
Câu 7 (2,25 điểm) Cho tứ diện ABCD M là một điểm trên cạnh AB (P) là mặt phẳng qua M
song song với AD và BC
a) Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng (P) Thiết diện là hình gì? Hãy xác định vị trí của M trên đoạn AB sao cho thiết diện thu được là hình thoi
b) Cho O là điểm nằm trong tam giác BCD Các đường thẳng qua O song song với AB,
AC, AD tương ứng cắt các mặt phẳng (ACD), (ABD), (ABC) theo thứ tự tại B’, C’, D’ Tìm giá trị lớn nhất của tích OB’.OC’.OD’, biết AB = x AC, y AD, z
Câu 8 (0,5 điểm) Cho tam giác ABC có aBC b, AC c, AB, 0
min A B C, , 15 Chứng minh rằng ab, bc, ca cũng là độ dài ba cạnh của một tam giác
- Hết -
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh……… Giámthị 1:………
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 2
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
LỚP 11 NĂM HỌC 2012-2013
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN
cos x sin x sinx cosx sinx 0
cosx sinx cosx sinxsinx 1 0
cosx sinx2cosx 0
cos 0
x
4 2
0,25
0,5
0,25
b) Ta có
2 2
2
x
2
x
Pt
4
x
2
20 5
20 5
k x
k x
.
0,5
0,25
0,25
2 Từ 10 chữ số đã cho ta lập được 3
7
C bộ gốm 6 chữ số khác nhau, trong
đó luôn có mặt các chữ số 1,2,3
Từ mỗi bộ như thế lập được 4!3! số có 6 chữ số khác nhau trong đó các
chữ số 1,2,3 luôn đứng kề nhau (với quy ước tính cả các số mà có chữ
số 0 đứng đầu) Vậy có 4!3!C73=5040 (số)
Trong 5040 số được tạo thành có 3!3! 2
6
C = 540 (số) gồm 6 chữ số khác nhau mà chữ số 0 đứng đầu và các chữ sô 1,2,3 luôn đứng kề nhau
Vậy có 5040 – 540 = 4500 (số cần tìm)
0,25
0,25 0,25 0,25
Trang 33 Gọi A là biến cố quả cầu lấy ra từ hộp thứ nhất là màu đỏ
P(A) =
20
3
Gọi B là biến cố quả cầu lấy ra từ hộp thứ hai là màu đỏ P(B) =
20 5
AB là biến cố lấy ra hai quả cầu màu đỏ từ hai hộp; A, B là hai biến cố
đôc lập, áp dụng công thức nhân xác suất ta có P(AB) = P(A).P(B) =
400
15
Tương tự ta tính được xác suất để lấy được hai quả cầu màu trắng là
400
49
, xác suất để lấy được hai quả cầu màu xanh là
400
80
Vậy xác suất để lấy được hai quả cầu cùng màu thỏa mãn bài toán là
400
15
+
400
49
+
400
80
=
25
9
0,25
0,25
0,25
0,25
4
Ta có 2 38
8
0
3 2 8 8
3 2
) 2 ( 2
1
k
k k
x x C x
x
8
3 2
8 ( ) ( 2 )
k
k
i
i i
k i k k
x x
C
8
0 0
2
8 ( 2 )
k k
i
i k i i k k
x C
Hệ số của 8
x ứng với k,i thỏa mãn
k i
N i k
i k
,
8 2
,
giải hệ này ta được (k; i) =(3;2) và (k; i) = (4;0)
Vậy hệ số chứa 8
4 4 8 2 3 3 8 2
) 2 (
.
) 2 ( C C C C = 742
0,25
0,25 0,25
0,25
5 Ta có u n1 2 (u n 1 ) 1 u n1 2 (u n 1 ) 1 u n1 1 2 (u n 1 )
Đặt v n u n 1,n 1, ta có dãy v n là một cấp số nhân với
2014 1
1
1 u
Ta có S n u1u2 u100 (v1 1 ) (v2 1 ) (v100 1 )=
100 ) 1 2 (
2014 100
1
1
100 )
100 1 100
2
q
q v v
v
v
0,25 0,25
0,5
6 Gọi K là điểm đối xứng của M qua AC
H là điểm đối xứng của M qua AB
Chu vi tam giác MNP = MN + NP +
PM = KN + NP + PH HK không đổi
Dấu bằng xảy ra khi H, N, P, K thẳng hàng
Vậy chu vi tam giác MNP nhỏ nhất = HK
Khi H, N, P, K thẳng hàng
Tìm N, P
Gọi I là hình chiếu vuông góc của M trên AC I(2;1) do đó K(3; 2)
Gọi J là hình chiếu vuông góc của M trên AB J(-2;1) do đó H(-5; 2)
Phương trình các đường thẳng AB: 3x y 7 0; AC: x y 3 0;
HK: y – 2 = 0 N = HK ∩ AC, P = HK ∩AB
Do đó tọa độ các điểm N, P cần tìm là: N(1; 2), P( ; 2 )
3
5
0,5
0,25
0,5
B(-7/3;0)
A(-1;4)
C(3;0) M(1;0)
H(-5;2)
K(3;2)
Trang 47 a) Do (P) qua M song song với AD nên
(P) ∩ (ABD) = MQ, MQ // AD.Do (P) song song với BC nên
(P) ∩ (ABC) = MN,MN // BC;
(P) ∩ (BCD) = QP, QP // BC
Nối MN, NP, PQ, QM ta được thiết diện là
tứ giác MNPQ Thiết diện là hình bình hành
+) Tứ giác MNPQ là hình thoi MN = MQ
Ta có:
AD
MQ AB
BM BC
MN AB
AM
AD BC
MN AD
MQ BC
MN AB
MB
AD BC
AD BC MN
AD AB
AD AB BC
MN AB AM
Vậy M trên cạnh AB sao cho
AD AB
AD AB AM
. thì thiết diện thu được là hình thoi
0,25
0,75 0,25
0,25
b) +) Vẽ D’, C’, B’
Trong mp(BCD) nối OD cắt BC tại J Trong mp(ADJ)
Kẻ đường thẳng qua O song song với AD cắt AJ tại
D’ Cách xác định tương tự cho các điểm B’ và C’
Ta có:
BCD
OBC S
S JD
OJ AD
OD
'
;
BCD
ODC S
S AB
OB
'
,
BCD
OBD S
S AC
OC
'
BCD OBD BCD
OBC BCD
OBC
S
S S
S S
S AC
OC AB
OB AD OD
Áp dụng BĐT Cauchy ta được
3
.
' '.
'.
3 ' ' '
AC AB AD
OC OB OD AC
OC AB
OB AD
OD
27
1 ' '.
Dấu “=” xảy ra S OBC S OCD S OBDO là trọng tâm tam giác BCD
Vậy (OB’.OC’.OD’)max= xyz
27
1
khi O là trọng tâm tam giác BCD
0,25
0,25
15 sin sin
, sin , sin min 15
,
2
3 2 2
30 cos
0,2588
Giả sử ngược lại rằng ab, bc, ca không là độ dài ba cạnh của một
tam giác, ta có thể giả sử ab bc ca 1
b
c a c
trong hai số
b
c a
c
, có một số không lớn hơn
2
1
Giả sử
2
1
a c
25 , 0 4
1 sin 4
1 sin 4
1 sin
sin 4
1
A
C a
c
(mâu thuẫn) (ĐPCM)
0,25
0,25
(Đáp án gồm 3 trang Học sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)
-Hết -
A
B’
D’ C’
D
B
C
O
A
N
M
B
C
P
