Luận văn:Điều kiện cực trị cho bào toán biến phân và điều khiển tối ưu không trơn docx

điều kiện cần cực trị cho bài toán Bolza tổng quát.. Bài toán Bolza tổng quát - điều kiện cần cực trị.. Trong khoảng vài chục năm gần đây, với những thành tựu của giải tích khôngtrơn cụ

Tr-êng §¹i häc Quy nh¬n

Lª §×nh Träng

§iÒu kiÖn cùc trÞ cho bµi to¸n biÕn ph©n

vµ ®iÒu khiÓn tèi -u kh«ng tr¬n

LuËn v¨n th¹c sü to¸n häc

Quy nh¬n - 2008

Tr-êng §¹i häc Quy nh¬n

Lª §×nh Träng

§iÒu kiÖn cùc trÞ cho bµi to¸n biÕn ph©n

vµ ®iÒu khiÓn tèi -u kh«ng tr¬n

LuËn v¨n th¹c sü to¸n häc

Chuyªn ngµnh : To¸n Gi¶i tÝch

M· sè : 60 46 01Ng-êi h-íng dÉn khoa häcTSKH - Huúnh V¨n Ng·i

Quy nh¬n - 2008

Mục Lục

Mục lục 1

Mở đầu 2

Ch-ơng 1 kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Hàm lồi 5

1.2 D-ới vi phân proximal và công thức tổng mờ 6

1.2.1 Nón pháp tuyến proximal 6

1.2.2 D-ới vi phân proximal 7

1.2.3 Công thức mờ của d-ới vi phân proximal 8

Ch-ơng 2 điều kiện cần cực trị cho bài toán Bolza tổng quát 12

2.1 Bài toán Bolza tổng quát - điều kiện cần cực trị 12

2.2 Chứng minh định lý 2.1.1 14

2.2.1 D-ới vi phân của hàm bao lồi 14

2.2.2 Bài toán phụ: sự nới lỏng 19

2.2.3 Điều kiện cần cho bài toán phụ 24

2.2.4 Chứng minh định lí 2.1.1 32

2.3 Ví dụ 33

Ch-ơng 3 bài toán qui hoạch động 37

3.1 Điều kiện cần cực trị 37

3.2 Tính chính quy 40

3.3 Chứng minh định lý3.1.1 41

3.4 nguyên lý cực đại Pontryagin 43

Tài liệu tham khảo 47

Một số ký hiệu

N P

S (x) Nón pháp tuyến proximal của S tại x

∂ p f(x) D-ới vi phân proximal của f tại x

epif Trên đồ thị của f

graphf Đồ thị của f

domf Miền hữu hiệu của f

δ S (x) Hàm chỉ của tập S

∂f(x) Giới hạn d-ới vi phân proximal của f tạix

X ∗ Không gian đối ngẫu của X

convS Bao lồi của S

h.k.n Hầu khắp nơi

ρ S (x) Khoảng cách từ x tới tập S

Mở đầu

Phép tính biến phân cổ điển ra đời vào thế kỷ 18, gắn liền với nhữngtên tuổi lớn nh-: Euler, Lagrange, Bernoulli, nhằm mục đích giải quyết nhữngbài toán cực trị xuất hiện trong vật lý và cơ học Những thành tựu và ph-ơng phápcủa nó càng ngày càng thâm nhập vào rất nhiều lĩnh vực khoa học, kỷ thuật khácnhau

Phép tính biến phân cổ điển chỉ giới hạn xem xét những hàm và toán tử đủtrơn Tuy nhiên trong nhiều bài toán thực tiễn, yêu cầu này không phải lúc nàocũng đảm bảo Vào khoảng những năm 60 của thế kỷ tr-ớc, một thành tựu nổi bậttrong lý thuyết điều khiển tối -u ra đời đó là nguyên lý cực đại Pontryagin, đ-ợc

đ-a ra bởi nhà toán học xuất chúng ng-ời Nga Pontryagin Kết quả này đánh dấumột mốc lớn trong quá trình phát triển của lý thuyết điều khiển tối -u

Trong khoảng vài chục năm gần đây, với những thành tựu của giải tích khôngtrơn cụ thể là lý thuyết vi phân tổng quát, cho phép ta xem xét những bài toánbiến phân và điều khiển tối -u mà dữ kiện của nó không nhất thiết trơn Điều nàykhông những có ý nghĩa về mặt lý thuyết mà còn mở rộng phạm vi ứng dụng, bởivì những bài toán trong thực tiễn th-ờng là không trơn Hơn nữa, những ph-ơngpháp và thành tựu của giải tích không trơn cho phép ta đ-a ra chứng minh đơngiản hơn cho các kết quả biến phân cổ điển, và giúp cho ta có một cái nhìn nhấtquán trong một bối cảnh tổng quát những bài toán biến phân cổ điển

Mục đích của luận văn không ngoài việc đọc hiểu, hệ thống những kết quảgần đây về điều kiện cần cực trị cho bài toán biến phân tổng quát Bolza và bàitoán qui hoạch động không trơn nh- điều kiện Euler, Weierstrass, nguyên lý cực

đại Chủ yếu là những kết quả trong hai bài báo của Rockafellar và Ioffe [4], [5].Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn đ-ợc chia làm ba ch-ơng

Ch-ơng I: Trình bày một số khái niệm, định lý sẽ dùng trong các ch-ơngsau Chứng minh công thức mờ của d-ới vi phân proximal

Ch-ơng II: Nêu định lý điều kiện cần cực trị cho bài toán tổng quát của Bolzakhi dữ kiện là không trơn và qui trình chứng minh định lý Đ-a ra hai ví dụ minhhoạ kết quả của định lý.

Ch-ơng III: Xét bài toán qui hoạch động trong tối -u điều khiển Chứngminh điều kiện cần cực trị, nguyên lý cực đại Pontryagin khi dữ kiện là khôngtrơn

Miền hữu hiệu của hàm f, domf := {x ∈ X : f(x) < +∞}.

Trên đồ thị của hàm f, epif := {(x, α) ∈ domf ì R : f(x) ≤ α}.

Đồ thị của hàm f, graphf := {(x, α) ∈ X ì R : f(x) = α}.

Hàm f đ-ợc gọi là chính th-ờng (proper) nếu domf 6= ∅.

Hàm f là Lipschitz địa ph-ơng tại x ∈ X, nếu tồn tại lân cận U của x ∈ X và

Nếu f(x) = +∞, thì f đ-ợc gọi là nửa liên tục d-ới tại x, nếu với mọiN > 0

tồn tại lân cận U của x sao cho

f(y) ≥ N, ∀ y ∈ U (1.3)

Hàm f đ-ợc gọi là nửa liên tục d-ới nếu f nửa liên tục d-ới tại mọi x ∈ X.Nếu thay (1.2) và (1.3) t-ơng ứng bởi (1.4) và (1.5) ta đ-ợc định nghĩa hàmnửa liên tục trên tại x.

f(y) ≤ f(x) + ε, ∀ y ∈ U (1.4) f(y) ≥ −N, ∀ y ∈ U (1.5)

Cho S ⊂ X, hàm chỉ của tập S đ-ợc ký hiệu và xác định nh- sau

đ-ợc gọi làd-ới vi phân của f tạix Một phiếm hàm tuyến tính liên tụcl ∈ ∂f(x)

gọi là d-ới vi phân của f tại x

Cho f : Rn −→ [−∞, +∞] là một hàm bất kỳ Hàm

f∗(x∗) = sup{hx∗, xi − f(x)| x ∈ R n },

đ-ợc gọi là hàm liên hợp của f

Định lý 1.1.1 [7] Với mọi hàm số f, hàm liên hợp f ∗ là một hàm lồi đóng thoảmãn bất đẳng thức Fenchel sau

f ∗ (x ∗ ) ≥ hx ∗ , xi − f(x) ∀x, x ∗

∈ R n

Nói riêng nếu f lồi chính th-ờng thì f ∗ lồi chính th-ờng

Định lý 1.1.2 [7] Cho f là một hàm trên X thì hàm liên hợp f ∗ là lồi và đóngtrong tôpô yếu* của không gian X ∗

Định lý 1.1.3 [8](Moreau - Rockafellar)

Giả sử f 1 , , f n là các hàm lồi chính th-ờng trên X Khi đó

∀x ∈ X, ∂(f1 + + f n ) ⊃ ∂f 1 (x) + + ∂f n (x).

Nếu tất cả các f i , i = 1, , n là hàm lồi chính th-ờng trên X trừ một số hàmliên tục tại x ∈ domf 1 T

T domf n thì ta có đẳng thức

Chú ý 1.1.6 Một tập F ⊂ X đ-ợc gọi là đóng yếu theo dãy nếu dãy {x n } ⊂ F

có giới hạn yếu là x thì x ∈ X.

Định lý 1.1.7 [1] (Nguyên lý biến phân Ekeland)

Giả sử(X, ρ) là không gian mêtric đầy đủ và f : X −→ R ∪ {+∞}là một hàmchính th-ờng nửa liên tục d-ới và bị chặn d-ới Điểm u ∈ X và ε > 0 thỏa mãn

f(u) ≤ inf f + ε. Khi đó, với bất kỳ λ > 0, tồn tại v ∈ X sao cho

Nón pháp tuyến proximal của tậpS tạis ký hiệu N P

Hàm khoảng cách ρ S : X → R đ-ợc xác định bởi

ρ S (x) := inf{kx − sk : s ∈ S},

ta cũng có thể viết ρ(x, S) thay cho ρ S (x)

Mệnh đề 1.2.1 [2] a) Bất đẳng thức pháp tuyến proximal

f(x + u) − f(x) − hx∗, ui ≥ −kkuk2, nếu kuk < .

D-ới vi phân giới hạn proximal của f tại x ký hiệu ∂f(x) và,

∂f(x) = lim sup

u → x f(u) → f(x)

3) Nếu f là hàm liên tục trên tập mở U ⊂ X thì ∂ p f(x) = f 0 (x) ∀x ∈ U

Định lý 1.2.3 [ 7] Cho f là hàm nửa liên tục d-ới và x ∈ domf Khi đó

ζ ∈ ∂ p f(x) ⇔ ∃σ > 0; η > 0 : f(y) ≥ f(x) + hζ, y − xi − σky − xk2 ∀y ∈ B(x, η).

Khi x ∈ S và S là đóng thì

N(S, x) = [

λ≥0

λ∂ρ(x, S) (1.6)

Trong đó ρ là hàm khoảng cách với chuẩn trong Rn.

∂ρ(x, S) = N(x, S) ∩ e B (1.7) e

B là hình cầu đơn vị trong Rn

1.2.3 Công thức mờ của d-ới vi phân proximal

Trong phần này ta xem xét về -ớc l-ợng xấp xỉ d-ới vi phân của một tổngcác hàm bởi trung bình cộng của xấp xỉ d-ới vi phân

Định lý1.2.4 [4] Cho X là một không gian Hilbert và f 1 , , f k là (giá trị thực

mở rộng) các hàm xác định và nửa liên tục d-ới trên một lân cận của x, hữuhạn tại x Giả sử tính chất nửa liên tục d-ới đ-ợc lấy trên đ-ờng thẳng

(ULC) Có mộtδ > 0sao cho với bất kìk, các dãy{x ir }, i = 1, , k; r = 1, 2,

thuộc hình cầu tâm x bán kính δ thoả kx ir − x jr k → 0 khi r → ∞, có một dãy

{u r } các phần tử của hình cầu sao cho kx ir − u r k → 0 và

Chứng minh Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử

x = 0; f i (0) = 0vàx ∗ = 0 (Nếu không ta thayf i (x)bởif i (x+x)−f i (x)−k −1 hx ∗ , xi)

Ta có 0 ∈ ∂ p P

i f i

(0), nghĩa là có N > 0 và δ > 0 sao cho

f i (x ir ) − f i (0)

−→ 0.

Ch-ơng 2

điều kiện cần cực trị cho bài toán Bolza

tổng quát 2.1 Bài toán Bolza tổng quát - điều kiện cần cực trịCho W 1

1 là không gian Banach của các hàm liên tục tuyệt đối trên [0, 1] và lấygiá trị trongRn, với ˙x(t) ∈ L p (xét chuẩn, kx(.)k 1

p = |x(0)| + k ˙x(.)k p, trong đó |.|làchuẩn Euclicd của một vectơ trong Rn)

Xét bài toán Bolza tổng quát sau

1 là một cực tiểu mạnh địa ph-ơng của J nếu

J (x ∗ (.)) ≤ J (x(.)) với mọi x(.) thuộc tập có dạng

 x(.) ∈ W 1

1 : x(t) − x ∗ (t)

≤ ε ∀t ∈ [0, 1], ∀ε > 0 .

Ng-ợc lại, cungx ∗ (.) ∈ W 1

1 là mộtcực tiểu yếu địa ph-ơng củaJ nếuJ (x ∗ (.)) ≤

J (x(.)) với mọi x(.) thuộc tập có dạng



x(.) ∈ W 1

1 : ... 2

điều kiện cần cực trị cho toán Bolza

tổng quát 2.1 Bài toán Bolza tổng quát - điều kiện cần cực tr? ?Cho W 1

1 không gian Banach... đ-ợc giải bởiIoffe - Rockafellar Đây điều kiện cần cực trị tổng qt cho tốn với d? ?kiện khơng thiết trơn.

Chú ý kiện trơn, định lý suy điều kiện cầncực trị cổ điển biết

Định lý2.1.1...

1 cho điều kiện sau đ-ợc thoả mãn.a) Điều kiện Euler

Hơn điều kiện Euler (a) điều kiện chuyển (c) thoả mãn x ∗ (.)

là cực tiểu yếu cổ điển

Hệ