LUẬN VĂN TÓM TẮT: Một số vấn đề về modun extending và modun lifting trong phạm trù M potx

Khảo sát môđun M có mọi môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ[M ] là extending hoặc lifting.. Các tính chất extending và lifting trên môđun được sử dụng để đặc trưng hay khảo sát một số lớ

TRƯỜNG………

LUẬN VĂN

Một số vấn đề về modun extending và modun lifting

trong phạm trù M

MỤC LỤC

Trang

Mục lục 1

Mở đầu 2

Chương I Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Phạm trù σ[M ] 4

1.2 Môđun Noether và môđun Artin 4

1.3 Môđun đều (uniform) và chiều uniform, môđun lõm (hollow) và chiều hollow 5

1.4 Môđun nội xạ và môđun xạ ảnh 7

1.5 Bù giao và bù cộng 8

1.6 Căn và đế 9

Chương II Một số tính chất của môđun extending và môđun lifting 10

2.1 Môđun extending 10

2.2 Môđun lifting 11

Chương III Khảo sát môđun M có mọi môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ[M ] là extending hoặc lifting 14

3.1 Môđun M có mọi môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ [M ] là extending 14

3.2 Môđun tựa xạ ảnh M có mọi môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ [M ] là lifting 15

Kết luận 17

Tài liệu tham khảo 19

MỞ ĐẦU

Môđun extending (hay còn được gọi là CS-môđun) là một dạng tổng quát hóa của môđun nội xạ được nghiên cứu rộng rãi trong vài chục năm trở lại đây Cùng với môđun extending, người

ta còn nghiên cứu môđun lifting, một tính chất đối ngẫu của extending và là một tính chất có quan hệ gần với tính chất xạ ảnh Tuy nhiên trong khi mọi môđun M đều có bao nội xạ thì chưa chắc phủ xạ ảnh của nó đã tồn tại Xét một khía cạnh khác, đối với môđun con N của một môđun M , bù giao của N trong M luôn tồn tại theo Bổ đề Zorn nhưng chưa chắc đã tồn tại bù cộng của N trong M Điều này chắc chắn sẽ tạo ra sự không đối xứng trong quan hệ đối ngẫu giữa môđun extending và môđun lifting Các kết quả liên quan đến môđun lifting được các nhóm nhà toán học ở Nhật, Ấn Độ, Thổ Nhĩ Kỳ đi sâu nghiên cứu Các tính chất extending và lifting trên môđun được sử dụng để đặc trưng hay khảo sát một số lớp vành gần với các lớp vành Noether hoặc Artin Quan tâm đến lớp các môđun này, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu "Một số vấn đề về môđun lifting và môđun extending trong phạm trù σ(M )"

Nội dung chính của luận văn được trình bày trong 3 chương Chương I Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày sơ lược về các kiến thức

cơ sở liên quan đến nội dung của luận văn, các định nghĩa và các tính chất

Chương II Một số tính chất của môđun extending và môđun lifting

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số tính chất của môđun extending và môđun lifting Trên cơ sở các tính chất của

môđun extending, chúng tôi xét xem môđun lifting có hay không các tính chất đối ngẫu tương ứng

Chương III Khảo sát môđun M có mọi môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ[M ] là extending hoặc lifting

Trong chương này, chúng tôi khảo sát môđun M có tính chất mọi môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ[M ] là extending và khảo sát môđun tựa xạ ảnh M mà mọi môđun hữu hạn sinh trong σ[M ] là lifting

Mặc dù tác giả đã rất cố gắng trong học tập và nghiên cứu khoa học cũng như cẩn thận trong khâu chế bản, song do ít nhiều hạn chế về thời gian và trình độ hiểu biết nên trong quá trình thực hiện luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo của quý thầy cô và những đóng góp của bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Quy Nhơn, 3-2008

Chương I

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong suốt luận văn này, các vành được xét là vành kết hợp

có đơn vị, thường kí hiệu bởi R Các môđun là R-môđun phải Unita, được gọi đơn giản là R-môđun

1.1 Phạm trù σ[M ]

1.1.1 Định nghĩa Một R-môđun N được gọi là M -sinh nếu

nó là ảnh đồng cấu của một tổng trực tiếp các bản sao của M 1.1.2 Định nghĩa Phạm trù σ[M ] là phạm trù con đầy của phạm trù các R-môđun mà các vật của nó là các R-môđun đẳng cấu với môđun con của môđun M -sinh

1.2 Môđun Noether và môđun Artin

1.2.1 Định nghĩa (i) Một R-môđun M được gọi là Noether nếu mỗi tập con không rỗng các môđun con của nó đều có phần

tử tối đại

(ii) Một R-môđun M được gọi là Artin nếu mỗi tập con không rỗng các môđun con của nó đều có phần tử tối tiểu

1.2.2 Định lý [1, tr 99-100] (i) Giả sử A là môđun con của

M Các điều sau là tương đương:

(1) M Noether;

(2) A và M/A Noether;

(3) Mọi chuỗi tăng A1⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ những môđun con của

M đều dừng

(ii) Giả sử A là môđun con của M , các điều sau là tương đương:

(1) M Artin;

(2) A và M/A Artin;

(3) Mọi chuỗi giảm A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ những môđun con của M đều dừng

1.3 Môđun đều (uniform) và chiều uniform, môđun lõm (hollow) và chiều hollow

1.3.1 Định nghĩa (i) Môđun con A của M được gọi là cốt yếu (hay lớn) trong M nếu với mỗi môđun con khác không B của

M ta đều có A ∩ B 6= 0 (Một cách tương đương, nếu A ∩ B = 0 thì B = 0)

Khi đó ta cũng nói M là mở rộng cốt yếu của A, kí hiệu

A ⊂∗M

(ii) Môđun con A của M được gọi là đối cốt yếu (hay bé) trong

M nếu với mỗi môđun con E 6= M ta đều có A + E 6= M (Một cách tương đương, nếu A + E = M thì E = M ) Khi đó ta kí hiệu

A ⊂oM

1.3.2 Tính chất [1, tr 51-53] (i) Cho A, B, C là các môđun con của M Khi đó:

(1) Nếu A ⊂ B ⊂ C thì A ⊂∗ M kéo theo B ⊂∗ C

(2) Nếu A ⊂∗ M và B ⊂∗ M thì A ∩ B ⊂∗ M

(3) Nếu ϕ : M → N là đồng cấu môđun và A ⊂∗ N thì

ϕ−1(A) ⊂∗ M

(ii) Cho A, B, C là các môđun con của M Khi đó:

(1) Nếu A ⊂ B ⊂ C thì B ⊂o C kéo theo A ⊂o M

(2) Nếu A ⊂oM và B ⊂o M thì A + B ⊂o M

(3) Nếu ϕ : M → N là đồng cấu môđun và A ⊂o M thì ϕ(A) ⊂oN

1.3.3 Định nghĩa (i) Một R-môđun con K của M được gọi

là đóng (closed) trong M nếu nó không có mở rộng cốt yếu thực

sự trong M

(ii) Cho L ⊂ M , L được gọi là đối đóng (coclosed) trong M nếu L không có môđun con thực sự K sao cho L/K ⊂o M/K 1.3.4 Định nghĩa (i) Môđun M khác không được gọi là môđun đều (uniform) nếu mọi môđun con khác không của nó đều cốt yếu trong M

(ii) Môđun M được gọi là môđun lõm (hollow) nếu mọi môđun thực sự của nó đều đối cốt yếu trong M

1.3.5 Định nghĩa (i) Môđun M được gọi là có chiều uniform hữu hạn (haychiều Goldie hữu hạn) nếu tồn tại số nguyên dương

n và các môđun con đều U1, , Unsao cho ⊕n

i=1Ui là cốt yếu trong M

Nếu M có chiều uniform hữu hạn và ⊕n

i=1Ui⊂∗ M , m⊕

j=1Vj ⊂∗ M với Ui, Vj là các môđun con đều của M thì m = n Người ta gọi

n là chiều uniform của M và kí hiệu u dim(M ) = n

Nếu M = 0, ta viết u dim(M ) = 0, nếu M không có chiều uniform hữu hạn ta viết u dim(M ) = ∞

(ii) Môđun M được gọi là có chiều hollow hữu hạn nếu tồn tại

số nguyên dương n và các môđun con H1, , Hnsao cho

n

T

i=1

Hi là đối cốt yếu trong M và M/Hi là lõm với mọi 1 ≤ i ≤ n

Nếu M có chiều hollow hữu hạn và

n

T

i=1

Hi⊂oM ,

m

T

j=1

Kj ⊂o M với Hi, Kj là các môđun con của M sao cho M/Hi và M/Kj là lõm với mọi 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m thì m = n Người ta gọi n là chiều hollow của M và kí hiệu h dim(M ) = n

Nếu M = 0 ta viết h dim(M ) = 0, nếu M không có chiều hollow hữu hạn ta viết h dim(M ) = ∞

1.4 Môđun nội xạ và môđun xạ ảnh

1.4.1 Định nghĩa (i) Một R-môđun M được gọi là nội xạ nếu với mỗi đồng cấu f : A → M và với mỗi đơn cấu g : A → B của những môđun trên R tồn tại một đồng cấu h : B → M sao cho h.g = f

(ii) Một R-môđun M được gọi là xạ ảnh nếu với mỗi đồng cấu

f : M → B và với mỗi toàn cấu g : A → B của những môđun trên R tồn tại một đồng cấu h : M → A sao cho g.h = f

1.4.2 Định nghĩa (i) Một R-môđun M được gọi là N-nội xạ nếu với mỗi đồng cấu f : A → M và với mỗi đơn cấu g : A → N với A là một môđun trên R đều tồn tại một đồng cấu h : N → M sao cho h.g = f

(ii) Một R-môđun M được gọi là N-xạ ảnh nếu với mỗi đồng cấu f : M → B và với mỗi toàn cấu g : N → B với B là một môđun trên R đều tồn tại một đồng cấu h : M → N sao cho g.h = f

1.4.3 Định nghĩa (i) Một R-môđun M được gọi là tựa nội

xạ (hay tự nội xạ) nếu nó là M -nội xạ

(ii) Một R-môđun M được gọi là tựa xạ ảnh (hay tự xạ ảnh) nếu nó là M -xạ ảnh

1.4.4 Mệnh đề Mỗi môđun tựa nội xạ M thỏa mãn các tính chất sau:

(C1) Mỗi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử của M

(C2) Nếu môđun con A của M đẳng cấu với một hạng tử của

M thì A là một hạng tử của M

Đối ngẫu với các tính chất (C1), (C2) ta có các tính chất sau:

(D1) Với mỗi môđun con A của M , tồn tại sự phân tích M =

M1⊕ M2 sao cho M1 ⊆ A và A ∩ M2 ⊂oM

(D2) Nếu A là môđun con của M sao cho M/A đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của M thì A là một hạng tử trực tiếp của

M

1.4.5 Mệnh đề Mỗi môđun tựa xạ ảnh có tính chất (D2) 1.4.6 Nhận xét Như đã biết, mọi môđun tựa nội xạ đều có (C1) và (C2) Trong khi đó, không phải mọi môđun tựa xạ ảnh đều có (D1)

1.5 Bù giao và bù cộng

1.5.1 Định nghĩa (i) Cho A là môđun con bất kì của M Một môđun con B của M được gọi là bù giao của A trong M, nếu

B là môđun con tối đại trong tập các môđun con C của M thoả mãn C ∩ A = 0

Một môđun con K của M được gọi là bù giao trong M, nếu

nó là bù giao của môđun con nào đó của M

(ii) Cho A là môđun con bất kì của M Một môđun con B của

M được gọi là bù cộng của A trong M, nếu B là môđun con tối tiểu trong tập các môđun con P của M thỏa mãn A + P = M Một môđun con L của M được gọi là bù cộng nếu nó là bù cộng của một môđun con nào đó của M

Ta nói môđun M có tính bù cộng nếu với bất kỳ hai môđun con A, B của M mà A + B = M thì B chứa bù cộng của A 1.5.2 Nhận xét i) Cho A là môđun con của M Vì tập các môđun con C ⊆ M với C ∩ A = 0 là khác rỗng và sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm nên theo bổ đề Zorn, mỗi môđun con A ⊆ M đều có bù giao trong M Tuy nhiên bù cộng của A trong M chưa

chắc đã tồn tại.

ii) Nếu M có tính bù cộng thì mọi môđun con của M đều có

bù cộng

1.5.3 Mệnh đề Cho A và B là các môđun con của M B là

bù cộng của A nếu và chỉ nếu M = A + B và A ∩ B ⊂o B

1.6 Căn và đế

1.6.1 Định nghĩa (i) Ta gọi giao của tất cả các môđun con tối đại của MR là căn Jacobson (hay đơn giản là căn) của môđun

MR và kí hiệu bởi Rad(MR) Nếu MR không có môđun con tối đại thì ta quy ước Rad(MR) = MR

(ii) Ta gọi tổng của tất cả các môđun con đơn của MR là đế của môđun MRvà kí hiệu bởi Soc(MR) Nếu MRkhông có môđun con đơn thì ta quy ước Soc(MR) = 0

1.6.2 Định lý [1, tr 125] Đối với môđun MR ta có: (i) Rad (MR) = P B, trong đó B chạy khắp tập các môđun con đối cốt yếu của MR

(ii) Soc (MR) = T C, trong đó C chạy khắp tập các môđun con cốt yếu của MR

Chương II

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN

EXTENDING VÀ MÔĐUN LIFTING

Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày định nghĩa

và một số tính chất của môđun extending: các điều kiện tương đương, mối quan hệ giữa môđun extending và môđun đều, tổng trực tiếp của các môđun extending Trên cơ sở các tính chất của môđun extending, chúng tôi xét xem môđun lifting có hay không các tính chất đối ngẫu tương ứng, nếu không có thì cần bổ sung thêm các điều kiện gì để đạt được tính chất ấy

2.1 Môđun extending

2.1.1 Định nghĩa Một R-môđun M được gọi là môđun ex-tending (hay CS-môđun) nếu mỗi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M

2.1.2 Định lý Cho M là một R-môđun Khi đó, các điều kiện sau là tương đương:

(1) M là extending;

(2) Mỗi môđun con N của M đều có sự phân tích M = M1⊕M2 sao cho N ⊆ M1 và N + M2⊂∗ M ;

(3) Mỗi môđun con đóng của M là một hạng tử trực tiếp của nó

2.1.3 Hệ quả Một R-môđun M không phân tích được là extending nếu và chỉ nếu M là môđun đều

2.1.4 Định lý Nếu M là môđun extending và M = M1⊕ M2 thì M1, M2 là các môđun extending

2.1.5 Định lý Cho M = M1⊕ M2 với M1, M2 là các môđun extending Khi đó M là extending nếu và chỉ nếu mỗi môđun con đóng K ⊂ M với K ∩ M1 = 0 hoặc K ∩ M2 = 0 là một hạng tử trực tiếp của M

2.1.6 Mệnh đề Cho M = M1⊕M2 với M1, M2 là các môđun extending Nếu M1 là M2-nội xạ và M2 là M1-nội xạ thì M là extending

2.1.7 Mệnh đề Cho M là R-môđun có chiều uniform hữu hạn Nếu M là môđun extending thì M = ⊕n

i=1Mi, với Mi là các môđun đều và n = u dim(M )

2.1.8 Mệnh đề Cho M là môđun chuỗi với chuỗi hợp thành duy nhất 0 ⊂ U ⊂ V ⊂ M Khi đó M ⊕ (U/V ) không extending

2.2 Môđun lifting

2.2.1 Định nghĩa Cho M là một R-môđun, M được gọi là môđun lifting nếu với mỗi môđun con A của M , tồn tại hạng tử trực tiếp X của M sao cho X ⊆ A và A/X ⊂oM/X

2.2.2 Định lý Cho M là một R-môđun Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

(1) M là lifting;

(2) M có tính chất (D1), nghĩa là với mỗi môđun con N của

M đều có sự phân tích M = M1 ⊕ M2 sao cho M1 ⊆ N và

N ∩ M2 ⊂o M ;

(3) Với mỗi môđun con N của M đều có thể viết được dưới dạng N = N1⊕ N2, trong đó N1 là một hạng tử trực tiếp của M

và N2 ⊂o M ;

(4) M có tính bù cộng và mỗi môđun con đối đóng của M là một hạng tử của M ;

(5) M có tính bù cộng và mỗi môđun con bù cộng của M là một hạng tử của M

2.2.3 Hệ quả Một R-môđun M không phân tích được là lifting nếu và chỉ nếu M là lõm

2.2.4 Nhận xét Mọi môđun nội xạ đều là môđun extending nhưng không phải mọi môđun xạ ảnh đều là môđun lifting Chẳng hạn Z-môđun Z là xạ ảnh nhưng không là lifting như đã chứng minh trong nhận xét 1.4.6

Các kết quả tiếp theo sẽ đề cập đến vấn đề: khi nào một môđun xạ ảnh là lifting và với điều kiện nào của vành R thì mọi R-môđun xạ ảnh đều là lifting

2.2.5 Định lý Nếu M là môđun xạ ảnh và mọi môđun con của M đều có bù cộng thì M là môđun lifting

2.2.6 Định nghĩa (i) R-môđun M gọi là có phủ xạ ảnh nếu

có một R-môđun xạ ảnh P và toàn cấu g : P → M với Kerg ⊂oP (ii) Vành R gọi là hoàn chỉnh phải nếu mọi R-môđun phải đều

có phủ xạ ảnh

2.2.7 Định lý Đối với một vành R, các điều kiện sau đây là tương đương:

(1) R là vành hoàn chỉnh phải;

(2) Mọi R-môđun có tính bù cộng;

(3) Mọi R-môđun tựa xạ ảnh có (D1) và (D2);

(4) Mọi môđun con của một R-môđun tự do bất kỳ đều có bù cộng

2.2.8 Định lý Nếu M là môđun lifting và M = M1⊕ M2 thì

M1, M2 là các môđun lifting

Chiều ngược lại của định lý là không đúng Chẳng hạn cho

các Z−môđun A = Z/8Z, B = Z/2Z Ta có A, B là các môđun lõm nên A và B là các môđun lifting nhưng M = A ⊕ B không

là môđun lifting Thật vậy, cho U là môđun con của M sinh bỡi (2 + 8Z, 1 + 2Z) Khi đó U không đối cốt yếu trong M và U không chứa hạng tử trực tiếp khác không nào của M

Vậy với điều kiện nào thì tổng trực tiếp của hai môđun lifting

là lifting, ta có kết quả sau

2.2.9 Định lý Cho M = M1⊕ M2 với M1, M2 là các môđun lifting, M1 là M2−xạ ảnh và M2 là M1−xạ ảnh Khi đó, M là lifting

2.2.10 Mệnh đề Cho M là R-môđun có chiều hollow hữu hạn Nếu M là môđun lifting thì M = ⊕n

i=1Mi, với Milà các môđun lõm và n = h dim(M )

2.2.11 Định nghĩa R-môđun M được gọi là có tính chất thế hữu hạn nếu với mọi họ hữu hạn R-môđun {Ai|i = 1, 2, , n}, với mọi môđun N sao cho M ⊕ N = ⊕n

i=1Ai, tồn tại các môđun con

Bi ⊆ Ai, i = 1, 2, , n thỏa mãn M ⊕ N = M ⊕ (⊕n

i=1Bi)

Theo [8, 1.21], mọi R-môđun tựa nội xạ đều có tính chất thế hữu hạn Do đó, mọi môđun đơn đều có tính chất thế hữu hạn 2.2.12 Mệnh đề Cho M là môđun chuỗi với chuỗi hợp thành duy nhất 0 ⊂ U ⊂ V ⊂ M Khi đó M ⊕ (U/V ) không lifting

Chương III

KHẢO SÁT MÔĐUN M CÓ MỌI MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRONG PHẠM TRÙ σ [M ] LÀ

EXTENDING HOẶC LIFTING

Trong chương này, chúng tôi khảo sát môđun M có tính chất mọi môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ[M ] là extending và môđun tựa xạ ảnh M mà mọi môđun hữu hạn sinh trong σ[M ] là lifting Kết quả chính của chương là các định lý 3.1.3 và 3.2.3 Để chứng minh được các định lý này, trước hết, chúng tôi giới thiệu

và chứng minh các bổ đề có liên quan

3.1 Môđun M có mọi môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ [M ] là extending

Cho M là R-môđun Mỗi môđun con của môđun thương của

M được gọi là môđun thương con (subfactor) của M

Ta có các kết quả sau đây:

3.1.1 Bổ đề Cho M là môđun hữu hạn sinh sao cho mọi môđun thương con cyclic của M là extending Khi đó mọi môđun thương của M có chiều uniform hữu hạn

3.1.2 Bổ đề Cho M là R-môđun phải hữu hạn sinh, extend-ing Nếu M/Soc(M ) có chiều uniform hữu hạn thì M có chiều uniform hữu hạn

3.1.3 Định lý Cho M là R-môđun phải hữu hạn sinh có mọi môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ [M ] là extending Khi đó

M là Noether

Đặt M = R, chỉ cần giả thiết rằng mọi R-môđun phải hữu hạn sinh là extending ta có hệ quả sau