Before beginning the competition, your competition manager will ask you to record your name on the answer sheet.. Khi Azar thi đấu với Carl thì xác suất Azar chiến thắng ?, với ? và ? l
Trang 1MAA American Mathematics Competitions
2 This is a 15-question competition All answers are integers ranging from 000 to 999, inclusive.
3 Mark your answer to each problem on the answer sheet with a #2 pencil Check blackened answers for accuracy and erase errors completely Only answers that are properly marked
on the answer sheet will be scored.
4 SCORING: You will receive 1 point for each correct answer, 0 points for each problem left unanswered, and 0 points for each incorrect answer.
5 Only blank scratch paper, rulers, compasses, and erasers are allowed as aids Prohibited materials include calculators, smartwatches, phones, computing devices, protractors, and graph paper
6 Figures are not necessarily drawn to scale.
7 Before beginning the competition, your competition manager will ask you to record your name on the answer sheet.
8 You will have 3 hours to complete the competition once your competition manager tells you
to begin.
9 When you finish the competition, sign your name in the space provided on the answer sheet.
The MAA AMC Office reserves the right to disqualify scores from a school if it determines that the rules or the required security procedures were not followed.
The publication, reproduction, or communication of the problems or solutions of this tion during the period when students are eligible to participate seriously jeopardizes the integrity
competi-of the results Dissemination via phone, email, or digital media competi-of any type during this period
is a violation of the competition rules.
A combination of your AIME score and your AMC 10/12 score is used to determine eligibility for participation in the USA (Junior) Mathematical Olympiad
© 2022 Mathematical Association of America
Trang 2Bài 1 Trong một buổi hòa nhạc có 5
12 người tham dự là người trưởng thành Sau đó một xe buýt chở thêm 50 người tới tham dự buổi hòa nhạc Khi ấy 11
25 số người tham dự buổi hòa nhạc là người trưởng thành Hỏi sau khi xe buýt tới nơi, buổi hòa nhạc đó có ít nhất bao nhiêu người trưởng thành tham dự?
Bài 2 Azar, Carl, Jon và Sergey là bốn vận động viên lọt vào vòng bán kết của một giải đấu tennis
Họ sẽ được chọn ngẫu nhiên thành hai cặp để thi đấu Những người chiến thắng ở mỗi cặp sẽ thi đấu với nhau để quyết định người vô địch Khi Azar thi đấu với Carl thì xác suất Azar chiến thắng
𝑞, với 𝑝 và 𝑞 là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau Tính 𝑝 + 𝑞
Bài 3 Cho hình chóp tứ giác đều có thể tích là 54, độ dài cạnh đáy là 6 Các đỉnh của hình chóp
2 thỏa mãn log20𝑥(22𝑥) = log2𝑥(202𝑥)
Giá trị của log20𝑥(22𝑥) có thể viết dưới dạng log10(𝑚
𝑛), với 𝑚 và 𝑛 là các số nguyên dương nguyên
tố cùng nhau Tính 𝑚 + 𝑛
Bài 5 Đánh dấu 20 điểm phân biệt trên một đường tròn bằng các số từ 1 đến 20 theo chiều kim
đồng hồ Mỗi cặp điểm có hiệu hai số là một số nguyên tố được nối bởi một đoạn thẳng Tìm số tam giác có cạnh là các đoạn thẳng trên và các đỉnh là các điểm đã cho
Bài 6 Cho các số thực 𝑥1 ≤ 𝑥2 ≤ ∙∙∙ ≤ 𝑥100 thỏa mãn |𝑥1| + |𝑥2| + ∙∙∙ + |𝑥100| = 1 và 𝑥1+
𝑥2 + ∙∙∙ + 𝑥100= 0 Giả sử giá trị lớn nhất của hiệu 𝑥76− 𝑥16 có thể nhận được là 𝑚
𝑛, với 𝑚 và
𝑛 là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau Tính 𝑚 + 𝑛
Bài 7 Cho đường tròn bán kính 6 đơn vị tiếp xúc ngoài một đường tròn bán kính 24 đơn vị Tìm
diện tích tam giác được giới hạn bởi ba đường tiếp tuyến chung của hai đường tròn đã cho
Trang 3Bài 8 Tìm số các số nguyên dương 𝑛 ≤ 600 sao cho 𝑛 được xác định duy nhất nếu biết trước các
giá trị ⌊𝑛
4⌋, ⌊𝑛
5⌋ và ⌊𝑛
6⌋ Trong đó, kí hiệu ⌊𝑥⌋ là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng số thực 𝑥
Bài 9 Cho hai đường thẳng phân biệt 𝑙𝐴 và 𝑙𝐵 song song với nhau Với các số nguyên dương 𝑚
và 𝑛, ta lấy các điểm phân biệt 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3,…, 𝐴𝑚 nằm trên đường thẳng 𝑙𝐴 và các điểm phân biệt
𝐵1, 𝐵2, 𝐵3,…, 𝐵𝑛 nằm trên đường thẳng 𝑙𝐵 Đồng thời khi vẽ các đoạn thẳng 𝐴𝑖𝐵𝑗 với mọi 𝑖 =
1, 2, 3, … , 𝑚 và 𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑛 thì không điểm nào ở giữa hai đường thẳng 𝑙𝐴 và 𝑙𝐵 nằm trên nhiều hơn hai đoạn thẳng đã vẽ Hỏi mặt phẳng bị chia thành bao nhiêu phần có diện tích hữu hạn khi
𝑚 = 7 và 𝑛 = 5? Hình dưới đây chỉ ra rằng mặt phẳng bị chia thành 8 phần có diện tích hữu hạn khi 𝑚 = 3 và 𝑛 = 2
Bài 10 Tìm số dư khi chia ((
3
2 ) 2 ) + ((
4
2 ) 2 ) + ⋯ + ((
40
2 ) 2
) cho 1000 Trong đó ( 𝑎
2 ) là tổ hợp chập 2 của a
Bài 11 Cho tứ giác lồi ABCD với AB = 2, AD = 7 và CD = 3 sao cho tia phân giác của các góc
nhọn 𝐷𝐴𝐵 ̂ và 𝐴𝐷𝐶 ̂ cắt nhau tại trung điểm của BC Tìm bình phương của diện tích tứ giác ABCD
Bài 12 Cho các số thực a, b, x và y thỏa mãn a > 4; b > 1 và 𝑥
Trang 4Bài 13 Cho đa thức 𝑃(𝑥) với các hệ số nguyên thỏa mãn
𝑃(𝑥) = (𝑥2310−1)6
(𝑥 105 −1)(𝑥 70 −1)(𝑥 42 −1)(𝑥 30 −1) với mọi giá trị 0 < x < 1
Tìm hệ số của 𝑥2022 trong đa thức 𝑃(𝑥)
Bài 14 Bộ sưu tập tem là tập hợp các con tem có mệnh giá a, b hoặc c đồng, mỗi loại mệnh giá
có ít nhất một con tem; trong đó a, b và c là các số nguyên dương thỏa mãn 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 Một bộ sưu tập được gọi là ĐẸP nếu với mọi số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng 1000 đồng, ta có thể lấy ra từ bộ sưu tập một số con tem có tổng giá trị là số nguyên dương đó Gọi f(a, b, c) là số tem nhỏ nhất có thể của một bộ sưu tập ĐẸP với các bộ số a, b và c cho trước Tìm tổng ba giá trị nhỏ nhất của c sao cho tồn tại a, b để f(a, b, c) = 97
Bài 15 Cho hai đường tròn 𝜔1 và 𝜔2 tiếp xúc ngoài với các tâm lần lượt là 𝑂1 và 𝑂2 Đường tròn thứ ba Ω đi qua 𝑂1 và 𝑂2, cắt 𝜔1 tại B và C, cắt 𝜔2 tại A và D như hình vẽ dưới đây Giả sử rằng
AB = 2, 𝑂1𝑂2 = 15, CD = 16 và 𝐴𝐵𝑂1𝐶𝐷𝑂2 là một lục giác lồi Tính diện tích của lục giác đó
Trang 5MAA American Mathematics Competitions
2 This is a 15-question competition All answers are integers ranging from 000 to 999, inclusive.
3 Mark your answer to each problem on the answer sheet with a #2 pencil Check blackened answers for accuracy and erase errors completely Only answers that are properly marked
on the answer sheet will be scored.
4 SCORING: You will receive 1 point for each correct answer, 0 points for each problem left unanswered, and 0 points for each incorrect answer.
5 Only blank scratch paper, rulers, compasses, and erasers are allowed as aids Prohibited materials include calculators, smartwatches, phones, computing devices, protractors, and graph paper
6 Figures are not necessarily drawn to scale.
7 Before beginning the competition, your competition manager will ask you to record your name on the answer sheet.
8 You will have 3 hours to complete the competition once your competition manager tells you
to begin.
9 When you finish the competition, sign your name in the space provided on the answer sheet.
The MAA AMC Office reserves the right to disqualify scores from a school if it determines that the rules or the required security procedures were not followed.
The publication, reproduction, or communication of the problems or solutions of this tion during the period when students are eligible to participate seriously jeopardizes the integrity
competi-of the results Dissemination via phone, email, or digital media competi-of any type during this period
is a violation of the competition rules.
A combination of your AIME score and your AMC 10/12 score is used to determine eligibility for participation in the USA (Junior) Mathematical Olympiad
© 2022 Mathematical Association of America
Trang 62 2022 AIME II Problems Problem 1:
Adults made up 125 of the crowd of people at a concert After a bus carrying
50 more people arrived, adults made up 1125 of the people at the concert Find the minimum number of adults who could have been at the concert after the bus arrived.
q are relatively prime positive integers Find p C q.
Problem 3:
A right square pyramid with volume 54 has a base with side length 6 The five vertices of the pyramid all lie on a sphere with radius mn, where m and n are relatively prime positive integers Find m C n.
clock-Problem 6:
Let x1 x2 x100be real numbers such that jx1jCjx2jC Cjx100j D 1 and x1Cx2C Cx100 D 0 Among all such 100-tuples of numbers, the greatest value that x76 x16can achieve is mn, where m and n are relatively prime positive integers Find m C n.
Trang 72022 AIME II Problems 3 Problem 7:
A circle with radius 6 is externally tangent to a circle with radius 24 Find the area
of the triangular region bounded by the three common tangent lines of these two circles.
`B Additionally, when segments AiBj are drawn for all i D 1; 2; 3; : : : ; m and
j D 1; 2; 3; : : : ; n, no point strictly between `A and `B lies on more than two of the segments Find the number of bounded regions into which this figure divides the plane when m D 7 and n D 5 The figure shows that there are 8 regions when
Problem 10:
Find the remainder when
32
2
! C
42
2
!
C C
402
2
!
is divided by 1000:
Trang 84 2022 AIME II Problems Problem 11:
Let ABCD be a convex quadrilateral with AB D 2, AD D 7, and CD D 3 such that the bisectors of acute angles ∠DAB and ∠ADC intersect at the midpoint
of BC Find the square of the area of ABCD.
holds for every 0 < x < 1 Find the coefficient of x2022 in P x/.
Problem 14:
For positive integers a, b, and c with a < b < c, consider collections of postage stamps in denominations a, b, and c cents that contain at least one stamp of each denomination If there exists such a collection that contains sub-collections worth every whole number of cents up to 1000 cents, let f a; b; c/ be the minimum number of stamps in such a collection Find the sum of the three least values of c such that f a; b; c/ D 97 for some choice of a and b.
Trang 92022 AIME II Problems 5 Problem 15:
Two externally tangent circles !1 and !2 have centers O1 and O2, respectively.
A third circle passing through O1 and O2 intersects !1 at B and C and !2
at A and D, as shown Suppose that AB D 2, O1O2 D 15, CD D 16, and ABO1CDO2 is a convex hexagon Find the area of this hexagon.
A B
The problems and solutions for the American Invitational Mathematics Exams are selected and edited by the AIME Editorial Board of the MAA, with Co-Editors-in- Chief Jonathan Kane and Sergey Levin The problems appearing on this competi- tion were authored by Chris Jeuell, David Altizio, David Wells, Evan Chen, Ivan Borsenco, Jerrold Grossman, Jonathan Kane, Michael Tang, and Zachary Franco.
We thank them all for their contributions.
Trang 10ĐÁP ÁN
KỲ THI TOÁN HỌC HOA KỲ - AIME II NĂM 2022
(American Invitational Mathematics Exemination AIME II)
AIME
Câu 1 154 Câu 6 841 Câu 11 180
Câu 2 125 Câu 7 192 Câu 12 023
Câu 3 021 Câu 8 080 Câu 13 220
Câu 4 112 Câu 9 244 Câu 14 188
Câu 5 072 Câu 10 004 Câu 15 140
AIME 2022
Trang 11This official solutions booklet gives at least one solution for each problem on this year’s competition and shows that all problems can be solved without the use of a calculator When more than one solution is provided, this
is done to illustrate a significant contrast in methods These solutions are by no means the only ones possible, nor are they superior to others the reader may devise.
Teachers are encouraged to share copies of the problem booklet and official solutions with their students for educational purposes All problems should be credited to the MAA AMC (for example, “2017 AIME II, Problem #2”) The publication, reproduction, or communication of the competition’s problems or solutions for revenue-generating purposes requires written permission from the Mathematical Association of America (MAA).
Questions and comments about this competition should be sent to:
amcinfo@maa.org or MAA American Mathematics Competitions
P.O Box 471 Annapolis Junction, MD 20701 The problems and solutions for this AIME were prepared by the MAA AIME Editorial Board under the
direction of:
Jonathan Kane and Sergey Levin, co-Editors-in-Chief
© 2022 Mathematical Association of America
Trang 12Scores and official competition solutions will be sent to your
competition manager who can share that information with you.
For more information about the MAA American
Mathematics Competitions program, please visit maa.org/amc.
Questions and comments about this competition should be sent to:
amcinfo@maa.org or MAA American Mathematics Competitions
P.O Box 471 Annapolis Junction, MD 20701 The problems and solutions for this AIME were prepared by the
MAA AIME Editorial Board under the direction of:
Jonathan Kane and Sergey Levin, co-Editors-in-Chief
MAA Partner Organizations
We acknowledge the generosity of the following organizations in supporting the MAA AMC and Invitational Competitions:
Akamai Foundation Army Educational Outreach Program
Art of Problem Solving AwesomeMathGirls.org Casualty Actuarial Society Jane Street Capital MathWorks Society for Industrial and Applied Mathematics
TBL Foundation The D E Shaw Group Tudor Investment Corporation
Two Sigma
Trang 13ANSWER(125):
There are two cases, depending on whether Azar and Carl meet in the semifinals If they do, which occurs withprobability 13, Carl will win the tournament if and only if he beats Azar and goes on to beat the winner of the othersemifinal match, which occurs with probability13 34 D 14 If they do not, which occurs with probability 23, Carl mustbeat Jon or Sergey in the semifinal match, which occurs with probability34, and go on to win the final match If Azarwins her semifinal match, which occurs with probability 34, Carl must beat Azar, which occurs with probability 13 IfAzar loses her semifinal match, which occurs with probability14, Carl must beat Azar’s opponent, which occurs withprobability34 Thus Carl will win the tournament with probability
D 29
96:The requested sum is 29C 96 D 125
Note: This problem was inspired by an article entitled “Surprises in Knockout Tournaments” from MathematicsMagazine, 93:3 (June, 2020), 193–199
Trang 14M is the center of square ABCD with side length 6, AM D 3p2 Setting r D OP D OA gives OM Dˇ9
2 rˇ.Applying the Pythagorean Theorem to4OAM yields
M O
P
C A
2
Q
P
A C
M p s
2
h
Trang 154 2022 AIME II Solutions
Let the sphere have radius r Because4PAQ is a right triangle with altitude AM , triangles 4PMA and 4AMQ aresimilar ThusAMPM D QMAM; so
s p 2
p 2
:Solving for r gives
2
Dr 153
p153
Trang 16Problem 5:
Twenty distinct points are marked on a circle and labeled 1 through 20 in clockwise order A line segment is drawnbetween every pair of points whose labels differ by a prime number Find the number of triangles whose sides arethree of these line segments and whose vertices are three distinct points from among the original 20 points
Solution:
ANSWER(072):
Suppose i , j , and k are the labels of the three vertices of a triangle with i > j > k Note that i j /C.j k/ D i k,
so one of i j or j k must be 2, and furthermore, the other two primes must be twin primes Thus i j; j k; i k/must be one of
.2; 3; 5/; 3; 2; 5/; 2; 5; 7/; 5; 2; 7/; 2; 11; 13/; 11; 2; 13/; 2; 17; 19/; 17; 2; 19/:
In particular, for any pairs of vertices a; aC d /, where d 2 f5; 7; 13; 19g, there are exactly two locations for themiddle vertex that yield a triangle There are 20 d pairs of vertices a; aC d / for every d from 1 to 19 Hence thereare 2.15C 13 C 7 C 1/ D 72 triangles satisfying the given conditions
Problem 6:
Let x1 x2 x100be real numbers such thatjx1j C jx2j C C jx100j D 1 and x1C x2C C x100 D 0.Among all such 100-tuples of numbers, the greatest value that x76 x16can achieve ismn, where m and n are relativelyprime positive integers Find mC n
Solution:
ANSWER(841):
Let s be the sum of all the positive numbers in the list Then the sum of the negative numbers in the list is s and thesum of all the absolute values is 2s Hence s D 12 Because there cannot be more than 25 numbers greater than orequal to 501, it follows that x76 501 Similarly, because there cannot be more than 16 numbers less than or equal to
1
32, it follows that x16 321 Thus x76 x16 501 C 321 D 80041:
To see that the bound 80041 can be achieved, let xi D 321 for i 16, let xi D 0 for 17 i 75, and let xi D 501 for
i 76 Then all the conditions in the problem are satisfied and x76 x16D 501 C321 D 80041 Hence the greatest valuethat x76 x16can achieve is80041 The requested sum is 41C 800 D 841
