tªn cQ, tc cÊp trªn (1) TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ LUẬT BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KỲ Học kỳ I Năm học 2017 – 2018 (Được sử dụng tài liệu) PHIẾU TRẢ LỜI TRẮC NGHIỆM Môn TOÁN CAO CẤP Thời lượng 6.
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ LUẬT
BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ _
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KỲ Học kỳ I Năm học 2017 – 2018
(Được sử dụng tài liệu)
PHIẾU TRẢ LỜI TRẮC NGHIỆM Môn: TOÁN CAO CẤP - Thời lượng: 60 phút
Mã đề: ĐỀ TỔNG ÔN TOÁN CAO CẤP CHO K17
Tên SV : ……… MSSV: ………….…… … Mã lớp: ………
Đề thi gồm có: 7 trang
A
HƯỚNG DẪN TRẢ LỜI Chọn B Bỏ B - Chọn C Bỏ C - Chọn lại B
Sinh viên chọn câu trả lời đúng nhất cho mỗi câu hỏi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Lưu ý
Trong giờ làm bài, sinh viên được phép sử dụng các tài liệu bản quyền dưới đây
Giáo trình Toán Cao cấp của UEL: bản in, không photocopy
Vở ghi bài giảng và giải bài tập: chữ viết tay, không photocopy
Trang 2Câu 1 Giả sử a
d
2 2
Chọn đáp án đúng
A a = 0, d = 23 B a = 4, d = 23 C a = 4 , d = 4 D Một đáp án khác
2 2
Vậy ta chọn B
Câu 2 Số nghiệm thực của phương trình (ẩn x):
2017 2016 2015 2014
2017
1
x
x
= 0 là
A 0 B 1 C 2 D 3
Đáp án Khai triển theo cột 4, rồi khai triển tiếp theo cột 1 ta được
x
x
x
2017
1
1
1 1
Dó đó phương trình vô nghiệm Vậy ta chọn A
Câu 3 Xét một thị trường gồm ba loại hàng hóa Hàm cung, hàm cầu và giá của chúng thỏa mãn các điều
kiện sau
Qs1 = – 12 + 6p1 – 4p2 + 3p3 Qs2 = –15 + 2p1 + 7p2 – 2p3 Qs3 = – 23 – p1 + 2p2 + 5p3
Qd1 = 15 – 4p1 + 3p2 + p3 Qd2 = 3 + 4p1 – 3p2 + 3p3 Qd3 = 32 + 2p1 + 3p2 – 5p3
Lượng cung cầu cân bằng của từng loại hàng hóa là:
A Qs1 = Qd1 = 25; Qs2 = Qd2 = 30; Qs3 = Qd3 = 20 B Qs1 = Qd1 = 20; Qs2 = Qd2 = 30; Qs3 = Qd3 = 25
C Qs1 = Qd1 = 30; Qs2 = Qd2 = 25; Qs3 = Qd3 = 20 D Một đáp án khác
Đáp án Hệ cân bằng thị trường ở đây trùng với câu 7 Điểm cân bằng thị trường là (p1, p2, p3) = (6, 7, 8) Suy ra Qs1 = Qd1 = 20; Qs2 = Qd2 = 30; Qs3 = Qd3 = 25 Vậy ta chọn B
Câu 4 Giả sử một quốc gia có ba ngành sản xuất với ma trận hệ số đầu vào A =
0,1 0, 2 0, 3
0, 3 0, 2 0, 2
0, 2 0, 2 0, 3
và nhu cầu
cuối cùng của các ngành lần lượt là 90, 70, 160 Tìm tổng đầu ra x1, x2, x3 của mỗi ngành
A x1 = 300, x2 = 300, x3= 400; B x1 = 400, x2 = 300, x3= 300;
C x1 = 300, x2 = 400, x3= 300; D Một đáp án khác
Đáp án Mô hình I/O là (I – A)X = B với A là ma trận hệ số đầu vào, I là ma trận đơn vị cấp 3, X là cột đầu
ra và B là cột cầu cuối Thay dữ liệu A và B = (90, 70, 160)t vào và giải hệ ta được X = (300, 300, 400)t Vậy ta chọn A
Câu 5*** (Khó, bí mật không bật mí!)
Câu 6 Cho hệ (S) gồm m vector trong không gian n (m, n là hai số nguyên dương) Xét các khẳng định dưới đây
(1) Nếu m > n thì (S) phụ thuộc tuyến tính
(2) Nếu (S) độc lập tuyến tính thì m n
(3) Hạng(S) = m khi và chỉ khi (S) độc lập tuyến tính
(4) Hạng(S) = n khi và chỉ khi m n
Đếm số khẳng định sai
A 0 B 1; C 2; D 3
Đáp án Đây là câu hỏi lý thuyết ở mức độ HIỂU (cấp độ 2) khái niệm “Hạng của hệ vector”, “Tính ĐLTT,
PTTT” Các khẳng định (1), (2), (3) đều đúng; còn (4) sai Vậy ta chọn B
Câu 7 Trong 3cho hệ vector (B) = (b1 = (1, 2, 3), b2 = (3, 7, 10), b3 = (5, 11, m2) Chọn khẳng định sai
A (B) là cơ sơ của 3 khi m = 15
Trang 3B (B) là không là cơ sơ của 3 khi m = – 4
C (B) là cơ sơ của 3 khi m = 16
D (B) là cơ sơ của 3 khi và chỉ khi m – 4
Đáp án Xét định thức mà các dòng lần lượt là b1, b2, b3
m m
2 2
5 11
Vì (B) gồm 3 vector trong 3
nên (B) là cơ sở khi và chỉ khi (m2 – 16 0) (– 4 m 4) Vậy ta chọn D
Câu 8 Cho ma trận M = 4 3
3 4 Xét các khẳng định dưới đây
(1) Tất cả các GTR của M là 1 = 1 và 2 = 7
(2) M chắc chắn chéo hóa được với dạng chéo là 7 0
0 1 (3) Các vector 2017
2017 và
2017
2017 là các VTR của M
(4) M được chéo hóa bởi ma trận 1 1
1 1 với dạng chéo là
7 0
0 1
Đếm số khẳng định đúng
A 1 B 2 C 3 D 4
Đáp án Đa thức đặc trưng của M là () = det(M – I) = (1 – )(7 – )
Phương trình đặc trưng () = (1 – )(7 – ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt 1 = 1 và 2 = 7 Do đó M có đúng hai GTR phân biệt 1 = 1 và 2 = 7
Xét GTR 1 = 1 Hệ phương trình riêng tương ứng là x x a (a )
Họ VTR tứng với 1 = 1 là {u = a
a / 0 a }
Xét GTR 2 = 7 Hệ phương trình riêng tương ứng là x x b(b )
Họ VTR tứng với 2 = 7 là {v = b
b / 0 b }
Suy ra M chéo hóa được Cụ thể, cho a = 1 ta được c1 = 1
1 ; cho b = 1 ta được c2 =
1
1 Ma trận làm chéo hóa M là C = 1 1
1 1 và dạng chéo của M là D =
1 0
0 7 Tất nhiên 2017
2017 và
2017
2017 là các VTR của M ứng với 2 = 7 và 1 = 1
Do đó tất cả các khẳng định (1), (2), (3), (4) đều đúng Vậy ta chọn D
Câu 9 Cho dạng toàn phương 3 biến x, y, z phụ thuộc tham số thực m
q = 2x2 – 4xy + 8xz + 6y2 – 16yz + (m + 12)z2 Xét các khẳng định dưới đây
(1) q suy biến và không âm khi và chỉ khi m = 0
(2) q xác định dương khi và chỉ khi m > 0
(3) q đổi dấu khi và chỉ khi m 0
(4) q không suy biến với m 0
Đếm số khẳng định sai
A 0 B 1 C 2 D 3
Trang 4Đáp án Biến đổi trực tiếp biểu thức của q ta được
q = 2[x2 – 2x(y – 2z) + (y – 2z)2] – 2(y – 2z)2 + 6y2 – 16yz + (m + 12)z2
= 2(x – y + 2z)2 + 4y2 – 8yz + (m + 4)z2
= 2(x – y + 2z)2 + 4(y2 – 2yz + z2) – 4z2 + (m + 4)z2
= 2(x – y + 2z)2 + 4(y – z)2 + mz2
Ta đổi biến
2 Khi đó q nhận dạng chính tắc q = 2X2
+ 4Y2 + mZ2
Từ dạng chính tắc của q ta thấy:
- q không suy biến khi và chỉ khi m 0
- q đổi dấu khi và chỉ khi m < 0
- q xác định dương khi và chỉ khi m > 0
- q không âm và suy biến khi và chỉ khi m = 0
Suy ra (1), (2), (4) đều đúng; chỉ có (3) sai Vậy ta chọn B
Câu 10** (Khó, bí mật không bật mí!)
Câu 11U Xét các khẳng định dưới đây
(1) Xét hàm chi phí C = C(Q) theo biến sản lượng Q (trong giả thiết các yếu tố khác không đổi) Chi phí biên tại mức sản lượng Q = Q0 là MC(Q0) C’(Q0)
(2) Chi phí biên tại mức sản lượng Q0 chính là xấp xỉ lượng thay đổi của chi phí khi sản lượng tăng lên 1 đơn vị từ mức Q0 lên mức Q0 + 1 (trong giả thiết các yếu tố khác không đổi)
(3) Hệ số co giãn PQ(Q0) của giá theo lượng cầu tại mức Q0 chính là xấp xỉ lượng thay đổi tương đối (tính bằng %) của giá khi lượng cầu tăng tương đối lên 1 % từ mức Q0 lên mức Q0 + (1%)Q0 (trong giả thiết các yếu tố khác không đổi)
Đếm số khẳng định đúng
A 0; B 1; C 2; D 3
Đáp án Đây là câu hỏi lý thuyết ở mức độ BIẾT (cấp độ 1) về ý nghĩa KT của đạo hàm Hiển nhiên cả 3
khẳng định đều đúng Chọn D
Câu 12U Một công ty độc quyền sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm trên thị trường Giả sử hàm cầu (theo
giá P) của sản phẩm đó là Q = 400 – 0,1P và chi phí bình quân là AC = 2Q2 – 7Q + 100 + 20Q– 1 Xét các
hàm (theo biến sản lượng Q > 0) gồm doanh thu R, chi phí C, lợi nhuận , doanh thu cận biên MR, chi phí
biên MC và lợi nhuận biên M Chọn khẳng định đúng
A R(1) = 3990; M (26) = 0; B C(1) = 92; M (25) = 0
C MC(1) = 92, max khi Q = 25; D M = – 6Q2
+ 6Q + 3900
U
Đáp án Vì tất cả các hàm đều được xét theo biến sản lượng Q nên ta cần đổi vai trò Q và P Ta có
Q = 400 – 0,1P P = 4000 – 10Q
- Hàm doanh thu: R = R(Q) = PQ = (4000 – 10Q)Q = 4000Q – 10Q2 Do đó R(1) = 3990
- Hàm chi phí: C = C(Q) = AC.Q = (2Q2 – 7Q + 100 + 20Q– 1)Q = 2Q3 – 7Q2 + 100Q + 20
Do đó C(1) = 115 92
- Hàm lợi nhuận: = R – C = – 2Q3
– 3Q2 + 3900Q – 20
Suy ra
- Chi phí biên: MC = 6Q2 – 14Q + 100; MC(1) = 92
- Lợi nhuận biên: M = – 6Q2
– 6Q + 3900 Nói riêng D sai
Do đó ” = – 12Q – 6 = – 6(2Q + 1) < 0 (Q 0)
M = 0 [(Q = 25) (Q = – 26)] Ta nhận Q = 25 > 0 và loại Q = – 26 (vì Q 0)
Nói riêng M(26) 0 Do đó A, B sai
Lại vì ” (25) < 0 nên đạt cực đại tại Q = 25
Vậy chỉ có khẳng định C đúng Ta chọn C
Câu 13 Giả sử doanh thu (tính bằng USD) R = R(Q) theo sản lượng cầu Q của một doanh nghiệp là một ẩn
hàm xác định bởi phương trình theo tham số thời gian t như sau
Q = 2t – 10, R = – 8t3 + 240t2 –5000
Tìm mức sản lượng cầu Q (> 0) tối ưu hóa doanh thu và doanh thu tối đa của doanh nghiệp đó
Trang 5A Q = 10, Rmax = 11.000 (USD) B Q = 30, Rmax = 27.000 (USD)
C Q = 20, Rmax = 22.000 (USD) D Một đáp án khác
Đáp án Ta có Q’(t) = 2, R’(t) = –24t2
+ 480t Do đó ẩn hàm doanh thu R = R(Q) xác định Ta có
MR(Q) = R’(Q) = R '( )
Q '( )
t
t = – 12t2 + 240t, R”(Q) =
Q '( )
MR(Q)
t
d
dt = –12t + 120
MR(Q) = 0 Q
Q
t t
20 30
Vì sản lượng cầu Q 0 nên ta loại giá trị Q = – 10 và nhận giá trị Q = 30 Ta được điểm dừng duy nhất Q =
30 ứng với t = 20 và doanh thu tương ứng R = 27000 (USD) Lúc đó rõ ràng R”(30) = R” (tính tại t = 20) = – 120 (< 0) Do đó R đạt cực đại tại Q = 30 với Rmax = 27000 (USD)
Kết luận: Ở mức sản lượng cầu Q = 30 (đơn vị sản phầm) thì doanh thu tối đa Rmax = 27.000 (USD)
Vậy ta chọn B
Câu 14** (Khó, bí mật không bật mí!)
Câu 15U Cho hàm sản xuất Cobb-Douglas Q(K, L) = aK1 – L – 1, ở đó a, , là các hằng số đã cho ( < 1,
> 1), K là lượng vốn đầu tư vào sản xuất, L là lượng lao động dùng trong quá trình sản xuất Xét các khẳng định dưới đây
(1) Q là hàm thuần nhất bậc – tức là Q(tK, tL) = t – Q(K,L) với mọi t > 0
(2) Hiệu quả sản xuất không giảm theo quy mô khi và chỉ khi – > 1
(3) Hiệu quả sản xuất không tăng theo quy mô khi và chỉ khi – < 1
(4) Hiệu quả sản xuất không đổi theo quy mô khi và chỉ khi – = 1
Đếm số khẳng định sai?
A 1 B 2 C 3 D 4
Đáp án Đây là câu hỏi lý thuyết về tính nhuần nhất của hàm sản xuất và phân tích hiệu quả của quy mô sản
xuất Cụ thể
- Q(K, L) = aK1 – L – 1là hàm thuần nhất bậc (1 – ) + ( – 1) = – > 0 (vì < 1 < )
- Hiệu quả sản xuất TĂNG theo quy mô khi và chỉ khi – > 1 Do đó hiệu quả sản xuất KHÔNG TĂNG theo quy mô khi và chỉ khi – 1
- Hiệu quả sản xuất GIẢM theo quy mô khi và chỉ khi – < 1 Do đó hiệu quả sản xuất KHÔNG GIẢM theo quy mô khi và chỉ khi – 1
- Hiệu quả sản xuất KHÔNG ĐỔI theo quy mô khi và chỉ khi – = 1
Vậy (1), (4) đúng; còn (2), (3) sai Ta chọn B
U
Câu 16 Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy có hàm sản xuất là Q = K(L + 5) Biết rằng giá thuê một
đơn vị vốn là wK = 5USD, giá thuê nhân công giá wL = 10USD và doanh nghiệp sản xuất trong điều kiện ngân sách cố định B = 950USD Xác định lượng cầu Marshall của vốn và nhân công mà doanh nghiệp cần
sử dụng để tối đa hóa sản lượng
A K= 100, L = 45 B K= 90, L = 50 C K= 80, L = 55 D Một cặp giá trị khác
Đáp án Gọi K (> 0) là lượng vốn đầu tư vào sản xuất và L (> 0) là lượng nhân công mà doanh nghiệp cần
sử dụng Khi đó điều kiện ngân sách cố định B = 950$ trở thành
5K + 10L = 950 K + 2L – 190 = 0
Vấn đề kinh tế của doanh nghiệp được đưa về bài toán: chọn K, L (K > 0, L > 0) để hàm Q(K,L) = K(L+5) cực đại trong điều kiện K + 2L – 190 = 0
Ta có hàm điều kiện = (K, L) = K + 2L – 190 Hàm Lagange M (ta dùng chữ M để không nhầm với lượng nhân công L) như sau M = Q + = K(L + 5) + (K + 2L – 190)
Các đạo hàm riêng của M, được cho bởi
M’K = L + 5 + , M’L = K + 2, M”KK = 0 = M”LL, M”KL = 1; K > 0, L > 0;
’K = 1, ’L = 2; K > 0, L > 0
Trang 6Giải hệ
'
'
K
L
M
M
L K
ta được điểm dừng duy nhất (K, L) = (100, 45) tương ứng với nhân tử
Lagrange = – 50 Tại điểm này ta có Hessian là
H =
0
KK KL K
KL LL L
K L
0 1 1
1 0 2
1 2 0
= 4 > 0
Suy ra Q = K(L + 5) đạt duy nhất một cực đại điều kiện tại K = 100 và L = 45 với điều kiện K + 2L – 190 = 0; giá trị sản lượng cực đại là Qmax = 100(45 + 5) = 5000
Kết luận vấn đề kinh tế: Trong điều kiện ngân sách cố định B = 950USD, doanh nghiệp đó cần sử dụng lượng cầu Marshall với vốn K = 100 và nhân công L = 45 để tối đa hóa sản lượng Qmax = 5000 (đơn vị sản phẩm) Vậy ta chọn A
Câu 17 Trên thị trường ta xét hai loại hàng háo X, Y Giả sử, với mỗi túi hàng hóa (x, y), người tiêu dùng
có hàm lợi ích U = U(x, y) = 3xy + 4x; ở đây, x và y lần lượt là lượng của hàng hóa X, Y (x 0, y 0) Giá mỗi đơn vị từng loại hàng hóa X, Y tại thời điểm khảo sát tương ứng là p1 = 2USD, p2 = 3USD Hãy tối ưu hóa chi phí và xác định lượng cầu Hick x yˆ ˆ, tương ứng khi người tiêu dùng muốn thụ hưởng mức lợi ích cố định U0 = 800
A Cmin = 76 (USD), ˆx = 20, ˆy = 12 B Cmin = 74 (USD), ˆx = 22, ˆy = 10
C Cmin = 84 (USD), ˆx = 12, ˆy = 20 D Một đáp án khác
Đáp án Với mỗi túi hàng (x, y), chi phí tiêu dùng là C = 2x + 3y; x 0, y 0 Vấn đề kinh tế trở thành bài toán: tìm (x, y) để C = 2x + 3y cực tiểu với điều kiện U(x, y) = 3xy + 4x = 800; x 0, y 0
Ta giải bài toán này bằng phương pháp Lagrange Ta có
- Điều kiện 3xy + 4x = 800 3xy + 4x – 800 = 0 Hàm điều kiện: = 3xy + 4x – 800
- Hàm Lagrange: L = 2x + 3y + (3xy + 4x – 800)
Các đạo hàm riêng của L và
L’x = 2 + (3y + 4), L’y = 3 + 3x; x 0, y 0
L”xx = 0 = L”yy, L”xy = 3; x 0, y 0
’x = 3y + 4, ’y = 3x; x 0, y 0
Tìm điểm dừng
' '
0 0 ( , ) 0
x y
L L
x y
2 (3 4) = 0
3 3 0
y
x
0, 05;
20;
12
x y
(vì x 0, y 0)
Do đó ta có duy nhất duy nhất một điểm dừng (x;y) = (20;12) ứng với nhân từ Lagrange duy nhất = – 0,05 Kiểm điều kiện cực trị tại điểm (20;12) và = – 0,05, ta có
L”xx = L”yy = 0, L”xy = – 0,15, ’x = 40, ’y = 60;
H =
'' '' ' '' '' '
xx xy x
xy yy y
x y
= – 720 < 0
Do đó (20;12) là điểm cực tiểu điều kiện với Cmin = 76USD
Kết luận vấn đề kinh tế: Để chi phí tối thiểu, lượng cầu Hick tương ứng là x = 20, y = 12 với chi phí tối
thiểu Cmin = 76USD Vậy ta chọn A
Trang 7Câu 18*** (Khó, bí mật không bật mí!)
Câu 19 Giả sử một doanh nghiệp có lượng đầu tư (đơn vị tính: triệu đồng) theo thời gian t cho bởi
I(t) = 450t2; t ≥ 0
Hãy xác định quỹ vốn tại thời điểm t = 2 của doanh nghiệp đó biết rằng quỹ vốn ban đầu là K0 = 150
A 1350; B 3750; C 1200; D Một đáp án khác
Đáp án Quỹ vốn theo t là
K(t) = I(t)dt = 450 2
t dt
= 150t3 + C; t ≥ 0
Ở đây, C là hằng số thích hợp Vì quỹ vốn ban đầu là K0 = 150 (theo giả thiết) nên ta có
K(0) = K0 15003 + C = 150 C = 150
Do đó quỹ vốn theo thời gian của doanh nghiệp đó là K(t) = 150t3
+ 150 = 150(t3 + 1); t ≥ 0
Suy ra tại thời điểm t = 2 ta được K(2) = 150(23
+ 1) = 1350 Vậy ta chọn A
Câu 20 Cho biết lượng cầu Qd và lượng cung Qs đối với một loại hàng hóa nào đó là
3
P
3
P
(P là giá của loại hàng hóa đó)
Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất (PS) và thặng dư của người tiêu dùng (CS) đối với loại hàng hóa đó
A PS = 6750; CS = 3375 B PS = 3375; CS = 6750
C PS = 3625; CS = 6750 D.Một kết quả khác
Đáp án Tìm P theo Qs và Qd ta được các hàm cung, cầu ngược như sau
Qs = 5
3
P
P = S(Qs) = 3(Qs – 5)2; Qs 5
Qd = 325
3
P P = D(Qd) = 3(325 – Qd2); Qd 0
Trước hết, ta tìm điểm cân bằng thị trường cho bởi phương trình Qs = Qd Ta được
Qs = Qd 5
3
P
= 325
3
P
(điều kiện 0 ≤ P ≤ 975) P = P0 = 300 Qs = Qd = Q0 = 15
Thặng dư của người tiêu dùng là
CS =
0
2
D(Q )dQ P Q 3 (325 Q )dQ 300 15
3 15
0 975Q Q 4500 = 6750
Thặng dư của nhà sản xuất là
PS =
0
15
0
P Q S(Q )dQ 300 15 3(Q 5) dQ 4500 (Q 5) = 3375
Vậy ta chọn B
