Hướng dẫn giải bài tập xác suất thống kê

Ta sẽ ký hiệu c ác sư kiện bằiig các chữ' cái iii hoa A.. Trong lớp các sự kiện nụẫu nhiên có hai sự kiện dặc biệt: với mộl bọ điéu kiện xác định, nếu sự kiẹn liíc nào cũng xáy ra ta có

Trang 1

T Ố N G Đ ÌN H Q U Ỳ

HƯỚNG DẨN GIẢI

BÀI TẬP

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

NHÀ XUẤT BẢN BÁCH KHOA - HÀ NỘI

www.lib.haui.edu.vn

- www.lib.haui.edu.vn

Trang 2

C h u o n íi I

SỤ K I Ệ N N ( Ỉ Ẫ I J N H I Ê N VÀ

C y u : P H É P T Í N H X Á C S U Ắ T

§1, 1 S ự K I Ệ N N G Â U N H I Ê N VÀ

C Á C P H É P T O Á N T R Ê N S ự K I Ệ N 1.1.1 T ó m tãl lý t h u y ế t^ V

1 S ư k i ệ n là k h á i I i i ẹ m n s u v é n lliLiý k h ỏ n e t h ể đ ị n h n g h ĩ a

S i í k i ệ n n íịủ n nliiéiì ( h a v h i ế n c ó i h e o m ộ t s ố tài l i ệ u ) c ó t h ể

hiổii như là một hiên t ư ợ n s nào dó có thể xảy ra hoục k h ô n g

thè’ Káy ra khi có m ột bộ diều kiện xác dịnli Ta sẽ ký hiệu c ác

sư kiện bằiig các chữ' cái iii hoa A B, c

Trong lớp các sự kiện nụẫu nhiên có hai sự kiện dặc biệt: với mộl bọ điéu kiện xác định, nếu sự kiẹn liíc nào cũng xáy ra ta có

sư kiện lất yêu (kv hiệu là U) và nếu kliông bao giờ xảy ra ta có

sự kiện h ấ i k h ả (kv hiệu là \ ').

N s ư ừ i la x á c d ị n h q u a n h ệ uiĩi'a c á c s ự k i ệ n n h ư sau:

* Tổng: lổní> c u a hai sự kiện là m ột sự kiện chí việc xảy ra

ít nhất mộl Irong hai sự kiện trẽn, ký hiệu là A + B.

Tí cl r licli c ủ a h a i s ự k i ệ n l à m ộ l s ự k i ệ n c h i v i ẹ c x ả y r a

đ ồng thòi cá hai sự kiện, ký hiệu là AB.

Đối lập: hai sự kiện A và Ẵ dirợc gọi là dôi lập nếu luôn

+ 4 = ( / 4 4 = \ '

5

www.lib.haui.edu.vn

Trang 3

* X u n g khắc: hai sự kiện /\ \ ầ B đ ư ợ c gọi là xiíiìịỉ k h ắ c nếu

c h ú n g k h ô n g đ ồ n g thời xảy ra tức là A B = V,

* Kéo theo: sự kiện /4 kéo iheo sự kiện B ký hiệu là ,4 ^ B nếu xảy ra /4 thì xảy ra B.

* Tương đương: hai sự kiện /i và B được gọi là Itíơiìí; cíicơììg,

ký hiệu là /A = B, nếu B và B => A

Đ ể ý là hai phép toán tổng và lích có m ột số tính chất c ủ a các phép cộng và phép nhân:

ịh) {A + B) + c = A + (B + C); { Á B ) C = A{BC)\

(c) A{B + C) = A B + AC.

Ngoài ra có thể dễ dàng chứng minh:

Ẩ + ơ = ơ ; A U = /ì;

M ộ t sự k i ê n là kêt quả trực tiê p c ủ a m ột bộ điều kiện xác định và k h ô n g thể phân c h ia t h à n h c á c sự kiện k h á c được gọi

là s ự kiện s ơ cấp T rong nhiều bài tập ta cần xác định số lượng

các sự kiện đ ồng khả nàng, dẫn đến cần sử d ụng đến các kê't quá

dưới đây

2 Giải tích kết hợp

* Chính hợp; chỉnh lìựp chập k từ n phần tử là mộl n h ó m có thứ tự gồm k phần tử có ihứ tự lấy từ ìì phần tử đó Đ ó chính là

mộl nhóm g ồ m k phần tử khác nhau dược xếp theo một th ứ lự

nhấl dịnh s ỏ các c h in h hợp như vậy ký hiệu là

* C h ín h h ợ p lặp: chỉnh hợp lặp c h ậ p k lừ n phần tử là mội nhóm có thứ tự g ồ m k phần tử và m ỗ i p h ầ n tử có ihể lặp lại lấy

6

www.lib.haui.edu.vn

Trang 4

từ lì p h ầ n tứ đã cho N h ư vậv đ â y là m ột n h ó m g ồ m k phần tử

có thể g i ố n g n h a u \'à được x ế p iheo th ử tự Số c h ín h hợp lặp

như vậy ký hiệu là

* I l o á n v ị ; h o á ì ì v ị c ủ a II p h ầ n t ử l à m ộ t n h ó m g ồ m lì p h ầ n

tử âv đ ư ợ c sắp xếp t h e o m ộl th ứ tự nào đó Số các h o á n vị n h ư

p „ = n \

* Tổ hợp: t ổ hợp c h ập Ấ: từ /; phần tử là một nhóm g ồ m k phần tử khác nhau được lấy từ n phần từ đã c h o (không phân biệt

thứ tự) Sô các tổ hợp c h ậ p k từ II ký hiệu là

^ _ ^ ^

" ì ĩ { n - k ) ĩ k ' ■

1.1.2 Các bài giải mẫu

Bài 1 Khi n à o thì c ó đ ẳ n g thức A + B = A I Giíii: Đ ẳng thức A + B = A sẽ đúng nếu B kéo theo A (hay việc xảv ra B luôn kéo theo xảy ra /l).

Bài 2 Cho sơ đổ m ạ n g điện trên hình 1.], gồm 3 bóng đèn

Việc m ạn g mất diện (sự kiện A) chí có thể xảy ra do cháy các

bóng đèn (ký hiệu là các sự kiện Aị /l,, và Aị) Hãy bicLi diễn A

theo các Aị, I - 1, 2, 3.

Giải' Sự kiện A xảy ra khi

xảy ra một trong 3 trường hợp:

a) Cả ba b ó n g đểu c háy;

b) C h á y h a i b ó n g 1 v à 3;

c ) C h á y h a i b ó n g 2 v à 3 H ì n h '1.1

1

www.lib.haui.edu.vn

Trang 5

T ừ đ ó ta c ó : /\ = /^I /4 , / l3 + .4 1 / \ 4 3 + /Vị /13,4

Có thể d ùng tính chất của việc mắc s o n s song và nối tiếp các

bóng đê’ có mội biểu diẻn khác như sau:

A = Ụ\ ị + /li ),4 ,

Bài 3 Sự kiện /4 - có ít nliất m ột tro n g 4 sản ph ẩm là p h ố

phẩm ; B - s ố p h ế p h ẩ m k h ô n g ít h ơ n 2 Các sự kiện sau là gì:

a) Ã ; b) 5 ; c) A Ĩ Ì : d) Ã B ‘?

Giải: a) Dễ thấy A - k h ô n g có p h ế phẩm hay cá 4 sản phẩm

đều tốt; b) B - hoặc có một p h ế p h ẩ m hoặc không có p h ế phẩm;

hay D - có nhiều nhất một phê p h á m (hoặc có ít nhấl 3 chính

phẩm); c) A B - có đ úng 1 p h ế phẩm; d) Á B = V (không xãy ra).

Bài 4 Có 10 viên bi dược đ á n h số từ 1 đến 10, trong đó có 6 viên đỏ và 4 viên xanh Rút hú họa ra một viên bi hỏi sự kiện sơ

cấp ở đây là sự kiện nào?

Giải: Nếu ta quan tâm đến s ố thứ tư của viên bi, thì có 10 sự

kiện sơ cấp và chú ý là c húng đ ồng khả năng Còn nêu chi quan

lâm đên m àu bi, thì ở đây chí có 2 sự kiện sơ cấp và chúng k h ô n g

đồng khả năng

Bài 5 Có bao nhiêu cách xếp 5 q u v c n sách lên giá?

Giải: Dỗ thấy một cách xếp là hoán vị cúa 5 phần lử từ đó sò

Bài 6 Có bao nhiêu số điện thoại cúa một tổng đài nòi bỏ gồm các số cổ 4 c hữ số?

Giải: Có thể nói n g ay r ằ n g t ổ n g đài gổrn 10000 1 = 9999

sô (do sô 0 0 0 0 th ư ờ n g k h ô n g d ù n g ) Đ ó c ũ n g c h ín h là số c á c

chính hợp lặp c h ậ p 4 lừ 10 p h ầ n tử ( g ó m 0 1 ,2 9) Irù di ì

- 1 = 9 9 9 9)

8

www.lib.haui.edu.vn

Trang 6

B ài 7 Một Iiíỉày học 3 m ón trong số 7 m ô n học Hỏi có bao nliiêu cách xc'p lliòi khóa biếu trong một ng à y ?

Gidi: Già sứ có thc chọn lùy V các m ô n trong ngày đó Việc xép thời khóa bicu Irong ngày ấv chínli là việc chọn ra 3 môn

trong sỏ' 7 món C 'ó đé ý đến thứ lự \'à k h ô n g có lặp Từ đó số cách

A ĩ = 7 6 3 = 210.

Bài 8 Có bao nhiêu cách rút ra 3 quân bài từ bộ bài 52 con?

Giải: Số c á c h rút b ằn g số lổ hợp c h ậ p 3 lừ 32 phần tử

52!

= - - = - - = 22100

3 !49!

B à i 9* C ó m ấ y c á c h x ế p /■ q u ả c ầ u k h á c n h a u vào n

hộp?

Giúi: Mỗi q u ả c ầu có thể xếp vào II h ộ p k h á c nhau, nên có

thè coi s ố c á c h xếp /■ q u ả c ầu vào lì liộp n h ư s ố c á c h c h ọ n ra r

h ộ p (có thể lặp lại và có t h ứ tư) từ tâp lì h ô p , vây có Ă' = lì’

1.1.3 Bài t ậ p

1 Cho 3 sản p h á m A là sự kiện có ít n h ấ t m ột p h ế phẩm B

- c ả 3 dều tốl, C ác sự kiện sau có n g h ĩa là gì: a) /4 + B: b) AB?

2 Chứng m in h cô n g thức Đ ơ M oóc-găng: A + B = A B

3 Chứ ng m in h ;

a) AB - (,4 + B)( a + Ì ỉ Ị ã + b ) .

b) Ă B + y\B + Ấ /7 = A «

4 Gọi A, i = 1 , 2 , 3 là các sự kiện chí việc bắn trúng của xạ

thú thứ /' (mỗi người bắn một phái), Hãy biểu diễn các sự kiện:

Ọ www.lib.haui.edu.vn

Trang 7

a) Có đ ú n g 1 người bắn trúng.

b) Có ít nhất 1 người bắn trúng

5 G i e o m ột con xúc sắc c â n đối đ ồ n g chất và gọi là /4, là sự

k iệ n xuất hiện m ặ t i c h ấ m (/ = 1 , 2 , 6) Các sự kiện sau c ó ý

n g h ĩa gì:

ã) A Ị + A j +

b ) A| + + /4<ị

6 T ì m sự k i ệ n X từ đ ẳ n g th ứ c X + A + X + Á = B.

I M ộ t bộ m ô n có 15 người C ó b a o nhiêu cách lập một hội

đ ồ n g gồm 3 người?

8 M ộ t lô h à n g có 100 sản p h ẩ m C ó bao nhiêu cách chọn ra

5 sản p h ẩ m để đ e m đi kiểm tra?

9 C ó b a o n h iê u số điện thoại c ó các c h ữ số khác nhau ở m ột tổng đài nội bộ có c ác chữ số chỉ c ó 4 c h ữ số?

10 Có b a o n h iêu số tự n h i ê n có 5 c h ữ số?

I I M ộ t giải b ó n g đá g ồ m 12 độ i, mỗi đội phải đá với đội

k h á c 2 trậ n trên sân nhà và sân k h á c h H ỏi phải tổ chức bao

n h iê u trận đ ấ u ?

12 M ộ t lô h à n g có ìì sản p h ẩ m t r o n g đ ó có m p h ế phẩm

C ó b a o n h i ê u c á c h c h ọ n r a / s ả n p h ẩ m t r o n g đó có k p h ế

p h ẩ m ?

13* Có b a o n h iê u c á c h x ế p 5 ngư ờ i n » ỗ i quanh một chiếc bàn tròn sao c h o 2 người đ ịn h trướ c đ ư ợ c ngôi cạnli nhau? Cũng

câu hỏi n h ư vậy n h ư n g thay bàn trò n b ằ n g bàn dài

i4* C ó b a o n h iê u số điện Ihoại g ồ m 4 chữ số có đ úng mộl cặp c h ữ s ố trù n g ?

15* C ó 6 người vào thang m á y lên tầng cúa rnột toà nhà có 4 tầng lầu Có b a o nhiêu c á c h lên t ầ n g sao c h o tầng 4 có 2 người,

tầng 3 có m ột người?

10

www.lib.haui.edu.vn

Trang 8

§1.2 C Á C Đ Ị N H N G H Ĩ A X Á C SU ẤT

1.2.1 T ó m tắt lý thuyết

G i á s ử trong tổng s ố II kết c ụ c đ ồ n g khá n ă n g c ủ a m ột phép thử (tức là khi thực hiện m ột bộ đ iề u kiện xác đ ịnh) có đ ú n g m

kết c ụ c th u ậ n lợi c h o việc xuất h iệ n A, khi đó theo đ ịn h n g h ĩ a cổ

điển, xác suất xuất hiện /4 sẽ là;

p(.4) = -

II

Đ ỏ i khi người la sử d ụ n g khái n iệ m tần suất xuất h iệ n /4, đó

là ti số giữa số M các thử n g h i ệ m c ó xuất hiện ,4 với t ổ n g s ố N

các t h ử nghiệm Đ â y là định n g h ĩ a Ihòng kê của xác suất và có

thê' d ù n g tỉ số M / N n h ư là m ột xấp xi của xác suất.

N g o à i ra còn có các đ ịn h n g h ĩ a khác của xác suất n h ư các định n g h ĩ a theo hình học, theo tiên đ ề

C h ú ý là khi lính xác suất c ó th ể d ù n g những tính c h ấ t sau:

■ 1 > P (a) > 0

■ F (ơ ) = 1 ; F (v) = 0

■ N ế u A B = V (xung khắc) tlù P ( A + /ỉ) = ^ ( b ).

p ( : 4 ) = l - p ( / l )

■ Nếu A = > B thì F ( a ) < P ( b ).

1.2.2 C á c bài giải m ầu

B ài 1 Tim xác suât khi xêp n g â u nhiên một bộ sá c h g ồ m 5 lập lên giá sách thì nc) được x ế p đ ú n g tlìứ tự

Giải: Sô c á c h xếp bộ s á c h 5 tậ p c h ín h là sỏ h o á n vị c ủ a 5

p h ầ n tử P;, = 5! = 120 Đ ể bộ s á c h được xế p đ ú n g t h ứ tự c ó 2

11

www.lib.haui.edu.vn

Trang 9

cách (từ trái qua pliái hoặc n g ư ơ c lại) Từ đó xác suãl cần tìm

là 2 / 1 2 0 = 1/60

Bài 2 Có 5 m ánh bìa được đánh số từ 1 đến 5 C họn hií họa liên tiếp ra 3 m ánh và xếp thành một số có 3 chữ số Tìm xác

suất dể số đó là số chẵn

Guh: Do ta chọn liên tiếp 3 m ảnh không hoàn lại và có đc ý

đên thứ tự nên sô cácli được chọn sõ chính là sô các chính hợp

chập 3 từ 5:

/1^ = 5,4.3 = 60

Để có sô chẩn thì số lây cuối c ù n g phải là chẵn, tức là 2 hoạc 4

Úng với mỗi số đó ta có số c á c h lấv ra 2 số trước nó là 4.3 =12

Từ đó s ố cách chọn ra được số chẩn theo yêu cầu là 12.2 = 24,

24 Vậy xác suất cần tìm — = 0.4

60 Bài 3 Gieo đ ồ m g thời hai con xúc sắc cân đối d ồ n g chấl

Tìrn các xác suất:

a) T ổ n g số c h ấ m xuất h i ệ n b ằ n g 5

b) H iệu số c h ấ m xuất h i ệ n có trị tiivệt đối bằng 3

Giải: Ký hiệu ni lì là số c h ấm xuất hiện trên các con XLÌC sắc

1 < i n j ì < 6 { m n e ỉ \ ) Số các cặp số như vâv là 6.6 = 36 =- ■

a) Các kêl cục thuận lợi c h o tổng số chấm bằng 5 là (1,4)

(2.3), (3,2) và (4.1) Từ đó xác suất cần tìm là 4/36 = 1/y,

b) Các kết cục lliLiận lợi là (1.4), (2,5), (3,6), (4,1) (5.2) và

(6.3) T ừ đổ xác suáì cần lìm là 6/36 = 1/6

Bài 4 T rong liổp bi có 6 viôn đo và 4 viên Irắng ciin<: kícli

cỡ, Rúl hú họa ra 2 \'iên bi T ín h xác suất cỉc troiig dó có:

a) 2 viên đỏ;

12

www.lib.haui.edu.vn

Trang 10

h) II nhâ't I viên đó;

c) Viên th ứ 2 màu dó

Giải:

Nèu ta q u an tâm đêii thứ tự của hai viên bi, sô c ách rứt ra hai

a) Sô c á c h thuận lợi đê rút ra 2 bi đỏ trong trường hợp này là 6.5 = 30 T ừ đó xác suất cần lìm là 30/90 = 1/3 Có thể d ù n g khái

niệm lổ h ợ p đ ể tính xác suất: tổng số cách rút ra 2 bi kh ô n g để ý

đến thứ tự làC|'(,, còn số c ác h thuận lợi rút ra được 2 bi đỏ l à Q j ,

từ đó tìm ra cùng kết quá n h ư trôn

b) C ách tính trực tiếp phải dùns, lại kết quả trên Ta có thể dễ dàng tính xác suất xảy ra sự kiện đối lập “không có bi đ ỏ ” hay

“cả hai b-i t r ắ n g ” là C ị / C|",) = 2 / 1 5 Từ đó xác suất cần tìm là 1

■ 2/15 = 13/15

c) Gọi A là sự kiện bi thứ hai m àu đỏ Số cách th u ậ n lợi cho

A bao gồm: 6.5 cách đối với trường hợp viên đầu c ũ n g đỏ và 4.6

cácli đối \'ới tnrờiig hợp viên đầu Irắng Từ đó xác suất:

/^(.4) = ( 3 0 + 2 4 ) / 9 0 = 3 / 5

Chú ý nếu theo c ác h k h ô n g q u a n tâm đến thứ tự thì mọi việc

dơn giản hơn: A sẽ lương đương với sự kiên viên dầu là đỏ và xác

suãt để rút được một \-iẽn bi dó rất dề lính là 6/10 = 3/5

Bài 5 T im xác suất đê’ khi xếp ngẫu nhiên 5 người q u a n h 1 chióc bàn tròn 5 gliẽ lliì 2 người clịnh irirớc được ngồi c ạn h nhau

(/uìi: Dỗ thấy lổng sỏ cách xếp 5 imiiời là sõ các h o án vị cúa

k h ô ii” mất tínli tổng quái la có tlic bãl clầLi lính từ bất kỳ người

lùu) ch ẳn g hạn (ừ một Irong liai người dịnh Irước Người ih ứ nhất

13

www.lib.haui.edu.vn

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	860,26 KB