TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN
HÀ NỘI
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG
BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2021- 2022
MÔN THI: TOÁN LỚP 11 Ngày thi: tháng 7 năm 2022
(Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 1 trang
Câu 1 (4 điểm): Với mỗi số nguyên dương n lớn hơn 2, hãy chứng tỏ tồn tại số nguyên dương k
nhỏ hơn n thỏa mãn ( )
1
2 1
k j n
n k n j
≤ ≤ −
−
<
∑ Gọi k n là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn điều đó, chứng minh rằng tồn tại limk n
n
Câu 2 (4 điểm): Tìm tất cả các đa thức có hệ số thực P x( ) thỏa mãn (x− 1) ( )P x nhận giá trị
nguyên khi và chỉ khi (x+ 2021) (P x− 1) nhận giá trị nguyên
Câu 3 (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( O), M là một điểm nằm trên đường
tròn (O) Hình chiếu của M xuống các đường OA, OB, OC lần lượt là P, Q, R Gọi K là tâm đường tròn nội tiếp của ta giác PQR Gọi D là hình chiếu của M xuống BC
a)Chứng minh rằng K, D, Q, R cùng thuộc một đường tròn
b)Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC Tại vị trí của M để D, M, I thẳng hàng, AI
giao BC tại F, AH là đường cao của tam giác ABC, E là trung điểm BC Chứng minh rằng:
ED =EF EH
Câu 4 (4 điểm): Với mỗi số nguyên dương m, giả sử a a1 , , , 2 aϕ( )m là tất cả các số nguyên dương không vượt quá m và nguyên tố cùng nhau với m
a)Tìm tất cả các số nguyên dương m thỏa mãn a a1 ϕ( )m ≡ − 1 mod( m)
b) Tìm tất cả các số nguyên dương m thỏa mãn ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( 2)
1 m 2 m m m 1 2 m mod
aϕ +aϕ + +aϕϕ ≡ ϕ m a a aϕ m
Câu 5 (4 điểm): Cho số nguyên dương n Ta xây dựng dãy số ( )a n như sau:
( )
Gọi ( )
d n
S n =∑d Chứng minh rằng a S n( )−n ≤S n( ) − 1.
Người soạn: Nguyễn Bá Tuấn 0986427986
……… HẾT ………
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT