Gọi k n là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn điều đó, chứng minh rằng tồn tại limk n n.. Câu 3 4 điểm Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O, M là một điểm nằm trên đường tròn O..
Trang 1TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN
HÀ NỘI
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG
BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2021- 2022
MÔN THI: TOÁN LỚP 11 Ngày thi: tháng 7 năm 2022
(Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 1 trang
Câu 1 (4 điểm): Với mỗi số nguyên dương n lớn hơn 2, hãy chứng tỏ tồn tại số
nguyên dương k nhỏ hơn n thỏa mãn
1
2 1
k j n
n k n j
Gọi k n là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn điều đó, chứng minh rằng tồn tại limk n
n
Câu 2 (4 điểm): Tìm tất cả các đa thức có hệ số thực P x thỏa mãn x 1 P x
nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi x 2021 P x 1 nhận giá trị nguyên
Câu 3 (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( O), M là một điểm
nằm trên đường tròn (O) Hình chiếu của M xuống các đường OA, OB, OC lần
lượt là P, Q, R Gọi K là tâm đường tròn nội tiếp của ta giác PQR Gọi D là hình
chiếu của M xuống BC
a)Chứng minh rằng K, D, Q, R cùng thuộc một đường tròn
b)Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC Tại vị trí của M để D, M, I
thẳng hàng, AI giao BC tại F, AH là đường cao của tam giác ABC, E là trung điểm
BC Chứng minh rằng: ED2 EF EH.
Câu 4 (4 điểm): Với mỗi số nguyên dương m, giả sử a a1 , , , 2 a m là tất cả các số
nguyên dương không vượt quá m và nguyên tố cùng nhau với m
a)Tìm tất cả các số nguyên dương m thỏa mãn a a1 m 1 mod m
b) Tìm tất cả các số nguyên dương m thỏa mãn
Câu 5 (4 điểm): Cho số nguyên dương n Ta xây dựng dãy số a n như sau:
a x ¥ x n a x ¥ a x n …
min \ ; ; ; ; 1
a x ¥ a a a x n
Gọi
d n
S n d Chứng minh rằng a S n n S n 1.
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
Trang 2……… HẾT ……….
HDG Câu 1 (4 điểm): Với mỗi số nguyên dương n lớn hơn 2, hãy chứng tỏ tồn tại số nguyên dương k nhỏ hơn n thỏa mãn
1
2 1
k j n
n k n j
Gọi k n là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn điều đó, chứng minh rằng tồn tại limk n
n
Trang 3Câu 2 (4 điểm): Tìm tất cả các đa thức có hệ số thực P x thỏa mãn x 1 P x
nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi x 2021 P x 1 nhận giá trị nguyên
Bài làm:
+ Ta chứng minh x 2021 P x 1 x 1 P x là đa thức hằng và tồn tại k¢ sao cho
x 2021 P x 1 x 1 P x k
Trang 4+ Th1:P(x) =C là hàm hằng
+ Th2: degP(x)>0, và giả sử x 2021 P x 1 x 1 P x k
Thay x=1, x=-2021 vào bt được 2022P(0)=k; 2022P(-2021)=k nên có P(0)=P(-2021)=
2022
k
Nên ta có P(x)=x(x+2021)Q(x)-
2022
k
Lặp lại quá trình ta được 2021
i
c
( với a ¡ , khi a=0 thì ta đươc P(x) là hàm hằng)
Câu 3 (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( O), M là một điểm
nằm trên đường tròn (O) Hình chiếu của M xuống các đường OA, OB, OC lần lượt là P, Q, R Gọi K là tâm đường tròn nội tiếp của ta giác PQR Gọi D là hình chiếu của M xuống BC
a)Chứng minh rằng K, D, Q, R cùng thuộc một đường tròn
b)Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC Tại vị trí của M để D, M, I
thẳng hàng, AI giao BC tại F, AH là đường cao của tam giác ABC, E là trung điểm
BC Chứng minh rằng: ED2 EF EH.
Bài làm:
a) XYBC D ; AHBC D'
Do XBYC là tứ giác đ,hòa nên SDBC 1
Do AD BG CL', , đồng quy tại H nên ta có
SD BC' 1 SDBC
Từ đó có D D '
b)Cũng do XBYC điều hòa nên ta có XY, tiếp tuyến tại B,C
của ABC đồng quy tại F Gọi E là trung điểm của BC
FB, FC cắt LG tại M,N ;
Có ·ALC ·ADC nên tứ giác ALDC nội tiếp, tương tự ta có90
tứ giác LGCB nội tiếp.
Do đó: ·MLB ·ACB MBL · nên ML MB
BLC
có LE là đường trung tuyến nên LE EB EC
.
nên ME là phân giác ·FMN
Mà FE là phân giác ·MFN nên E là tâm nội tiếp MFN
Có ·MBA ACB BLD · · nên LD FMP
Theo thales, có: IL ID
IM IF Tương tự IG ID
IN IF Có H là tâm nội tiếp LDG
Xét phép vị tự
:
IG
IN
T
a
a
a
a
Trang 5Do đó IG IN
I
V biến tâm nội tiếp FMN thành tâm nội tiếp DLG , tức là E biến thành H.
Do đó, I, ,E H , ta có đpcm.
Câu 4 (4 điểm): Với mỗi số nguyên dương m, giả sử a a1 , , , 2 a m là tất cả các số nguyên dương không vượt quá m và nguyên tố cùng nhau với m
a)Tìm tất cả các số nguyên dương m thỏa mãn a a1 m 1 mod m
b) Tìm tất cả các số nguyên dương m thỏa mãn
1 m 2 m m m 1 2 m mod
Trang 7Câu 5 (4 điểm): Cho số nguyên dương n Ta xây dựng dãy số a n như sau:
a x ¥ x n a x ¥ a x n …
min \ ; ; ; ; 1
a x ¥ a a a x n
Gọi
d n
S n d Chứng minh rằng a S n n S n 1.
Bài làm:
Gọi các ước nguyên dương của n là 1 d1 d2 dk n Một số a thỏa mãn (a;n)=1 thì thỏa mãn a d; i 1
Ta xét các tập A1 d d1 , 1 1, ,d 1 d2 1 A1 d2 ;
A d d d d d d d A d
Trong mỗi A i có đúng d i1 số nguyên tố cùng nhau với d i1 nên có không quá
d i 1
số nguyên tố cùng nhau với n Do đó có ít nhất d i1 d i1 số không
nguyên tố cùng nhau với n Từ đó ta được trong tập các số từ 1 đến d1 d k 1
có ít nhất 1 1 1 1 1 1
