Đề thi học sinh giỏi có đáp án chi tiết môn toán năm 2018 tỉnh bắc giang

Giao điểm của đường thẳng d và mp Q là Vậy để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì mặt phẳng đi qua A3; 2;1 và vuông gócvới đường thẳng BCvậy ta có phương trình mặt phẳng cần tìm là: Gọi d l

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI BẮC GIANG

n n

C

n n

C

1 3

n n

C +

2 1 3

n n

C −

Lời giải

1 3

n n

C +

=

Câu 12 [2D1-3] [HSG,Bắc Giang, 2018]Cho hàm số bậc ba y= f x( )

có đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới Tìm tất cả các giá trị của m để

m m

m m

m m

f(x)=-3

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x y

Lời giải Chọn D

Từ đồ thị ta thấy f x'( ) 0=

có hai nghiệm phân biệt

Để hàm số đã cho có 3 cực trị khi và chỉ khi f x( )= −2m

có 1 nghiệm khác nghiệm của f x'( ) 0=



⇔ − ≤

1232

m m

m m

m m

f(x)=-3

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x y

Lời giải Chọn B

Khi đó

'( ) ( )'( )

có hai nghiệm phân biệt

Để hàm số đã cho có 5 cực trị khi và chỉ khi f x( )=m

có 3 nghiệm khác nghiệm của f x'( ) 0=

Dựa vào đồ thị ta thấy yêu cầu bài toán ⇔ − < <2 m 2

Câu 2 [2D1-3] Cho hàm số bậc bốn y= f x( )

có đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới Tìm tất cả các giá trị của m để

m m

-5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5

x y

Lời giải Chọn C

Câu 13 [2D2-4] [HSG,Bắc Giang, 2018]Trong không gian với hệ tọa độ , cho

Gọi ( )d

là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mp ( )P

vậy phương trình đường thẳng của đường thẳng là:

Gọi ( )Q

là mặt phẳng đi qua B và song song với mp( )P

vậy phương trình mặt phẳng ( )Q

Giao điểm của đường thẳng ( )d

và mp ( )Q

là

Vậy để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì mặt phẳng đi qua A(3; 2;1)

và vuông gócvới đường thẳng BCvậy ta có phương trình mặt phẳng cần tìm là:

Gọi ( )d

là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mp ( )P

vậy phương trình đường thẳng của đường thẳng là:

Gọi ( )d

là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mp ( )P

vậy phương trình đường thẳng của đường thẳng là:

Gọi ( )Q

là mặt phẳng đi qua B và song song với mp( )P

vậy phương trình mặt phẳng ( )Q

Vậy để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì mặt phẳng đi qua và vuông góc

với đường thẳng BCvậy ta có phương trình mặt phẳng cần tìm là:

Câu 28 [1H3-3] [HSG,Bắc Giang, 2018]Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCDlà hình

Ta có: (SMN) (⊥ SAM)⇒

tồn tại đường thẳngdtrong (SAM)

vuông góc với(SMN)

ta lần lượt lấy hai điểm M N, sao cho mặt phẳng

Gọi H K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A C, lên BD. Ta có AH =CK =h.

Câu 2: [1H3-3- PT2]Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCDlà hình vuông cạnh avà

đường thẳng SAvuông góc với mặt phẳng (ABCD)

Lấy các điểm M N, lầnlượt nằm trên các cạnh BC CD, .Đặt CM =x CN, = y

với 0<x y a, <

.Biết mặtphẳng (SAM) (, SAN)

tạo với nhau một góc

0

45 Chọn mệnh đề đúng

2a ax ay

⇒ − − =ax ay xy+ − ⇒2a2−2a x y( + +) xy=0

Câu 29 [1D1-3] [HSG,Bắc Giang, 2018] Trong các giá trị của tham số msau đây,

giá trị nào thì phương trình ( )2 ( 2 ) ( 2 )

có nghiệm

B.

12

−

D.

32

55

Phân tích: Đây là một phương trình không mẫu mực được giải quyết bằng

phương pháp đánh giá hai vế Học sinh cần chú ý tới biểu thức của tham

số m để đưa ra được đánh giá, nếu học sinh không để ý biểu thức này mà

cố gắng cô lập tham số và xét hàm thì sẽ mất thời gian vì bài toán trở nêncồng kềnh, phức tạp về tính toán

Bài tập phát triển:

Ta có thể đưa ra một số bài toán tương tự

Câu 1 [1D1-3-PT1]Trong các giá trị của tham số msau đây, giá trị nào thì

55

Vậy: Ta có

55

có duy nhất 1 điểm có hoành độ âm mà tiếptuyến của ( )C m

tại điểm đó vuông góc với đường thẳng d:x+2y=0

A

10

m m

m m

m m

<



 >



Lời giải Chọn C.

k= −

Tiếp tuyến của ( )C m

vuông góc với đường thẳng d ⇔

2 3

x

m x

−

023

m m

âm mà tiếp tuyến của ( )C m

tại điểm đó vuông góc với đường thẳng d:

m m

<



 >

 C m>2

D m> −1

Lời giải Chọn C.

k= −

Tiếp tuyến của ( )C m

vuông góc với đường thẳng d ⇔

âm mà tiếp tuyến của ( )C m

tại điểm đó vuông góc với đường thẳng d:1

96

y= − x+

A 0 m<

11

m m

Lời giải Chọn D.

k = −

Tiếp tuyến của ( )C m

vuông góc với đường thẳng d ⇔

Xét

( )2 54( ) 2 3

32

( )2

108( ) 4 2 3

Ta có f m′( ) 0= ⇔ =m 3

Lập bảng biến thiên ta được Tmin = f(2)

Vậy chọn A

và

52

12

52

Lời giải Chọn C.

32

( )2

4812

Ta có

5( ) 0

2

f m′ = ⇔ =m

(

12

loại) Lập bảng biến thiên ta được

min

52

=  ÷ 

12

m< − ( )

( )2

22

Câu 37 [2D3-3] [HSG,Bắc Giang, 2018] Tính tích phân

2

I

a b

=+

ab

a + b

Lời giải Chọn A.

Do

00

0

a a

Lời giải Chọn A.

Lời giải Chọn A.

Do sin( (m n− )π) =sin( (m n+ )π) =sin( (m n− ) ( )−π ) =sin( (m n+ ) ( )−π ) =0

ĐỀ NGUYỄN KHUYẾN – BÌNH DƯƠNG

Câu 25 [2D4-3] [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Gọi T là tổng phầnthực và phần ảo của số phức

( ) ( ) ( )

Câu 26 [2D3-3] [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Cho đường tròn có

đường kính bằng 4 và 2 đường Elip lần lượt nhận 2 đường kính vuông gócnhau của đường tròn làm trục lớn, trục bé của mỗi Elip đều bằng 1 Diện tích S phần hình phẳng bên trong đường tròn và bên ngoài 2 Elip (phần gạch carô trên hình vẽ) gần với kết quả nào nhất trong 4 kết quả dưới đây?

Phương trình của Elip (E1) nằm ngang:

42

x=

Cung đường tròn nằm phía trên Ox có phương trình :

24

Câu 1: Trên cánh đồng cỏ có hai con bò được cột vào hai cây cọc khác nhau Biết

khoảng cách giữa hai cọc là 4 mét còn hai sợi dây cột hai con bò dài 3 mét

và 2 mét Tính phần diện tích mặt cỏ lớn nhất mà hai con bò có thể ănchung (lấy giá trị gần đúng nhất)

A

21,034 m

B

21,574 m

C.

21,989 m

D

22,824 m

Câu 2: Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài

trục bé bằng10m Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhậntrục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa

2

2 1

56481

5

64 25

64 8

+ = ⇒ 

Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường ( ) ( )E1 ; E2 ; x= −4; x=4

và diện tích của dải vườn là

A

C D

Câu 33 [2D1-3] Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' cạnh a trên BC’ lấy điểm M

sao cho 3 véc tơ D M DA AB' ; ', '

uuuuur uuuur uuuur

đồng phẳng Gọi V là thể tích M ABCD. Hãytính V theo a?

A

33

a

3 33

a

32

a

3 22

a

Lời giải:

Chọn C

Đặt uuur r uuur ur uuur rAB x AD= ; =y AA; '=z

Gọi M thuộc BC’ sao cho BMuuuur=k MCuuuur' (k≠ −1)

B A

S

11

31

11

21

.Xác định Q thuộc SC sao cho 4 điểm M, N, P, Q đồng phẳng Mặt phẳng

V V

A

78

711

718

1118

và ∆ABE

Gọi S là diện tích tam giác BCD, suy ra S∆CDE =S∆BNE =S.

ABCD

V =V − =V V

Suy ra

1 2

711

V

V =

[2D1-3- PT2 ] Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cạnh đáy AD = 2BC.

Gọi M, N là hai trung điểm của SA, SB tương ứng Mặt phẳng (DMN) cắt SC

tại P Tính tỉ số

SMNPD ABCD

V V

A

29

118

718

518

Lời giải:

Chọn D

Từ giả thiết ta được

Vì P thuộc SC nên CP xCSuuur= uuur

Vì M là trung điểm SA nên ta có: 2 2

21

= α

⇔

3

1 x 4

3 2 1

VËy P trªn SC sao cho

uuur uuur uuur uuur

Ta có: S ACD =2S ABC ⇒2V SABC =V SACD ⇒ =V V SABCD =3V SABC

Đặt uuur r uuur r uuur rDA a DC b DS c= , = , =

Lại có:

1

6

SMNP SABC

3

SMDP SACD

1cos

a b dx

Ta có

3 4 0

1cos

1 tan

cos

dx x

tantan

3

x x

sincos

Chọn B.

Ta có

2 3 6 6

sincos

1tancos

a b dx

Ta có

4

3 1sin2

4

x d x

Hỏi số điểm cực trị của hàm số g x( ) = f x( )

nhiều nhất là bao nhiêu?

Lời giải Chọn D.

Ta có đồ thị hàm số y= f x( )

có điểm cực tiểu nằm bên phải trục tung nên

đồ thị hàm số cắt trục hoành tại tối đa 2 điểm có hoành độ dương Khi đó

bằng

Lời giải Chọn A.

102

x x

x x

x x x x

x x x

u x =

có các nghiệm đơn.

1 2 3 4 5 6 7 8

Ta có ( )

2 1 1

410

z z

và

1ax

z

Khẳng định nào sau đây đúng?

A.M∈ −( 1; 2)

72;

Ta có

3 3 3

Ta có

31

t  

∈   

ta đượcmax 0

Câu 42 [1H3-3] [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Cho hình chóp

tứ giác S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB vuông cân tại S và tam giác SCD đều Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA

và BD

A a B 2a C a55 D 3a205

Lời giải

Chọn C.

Tam giác SCD đều suy ra SC SD=

nên hình chiếu H của S trên (ABCD)cách đều C D,

Do đó H thuộc MN với M N, là trung điểm của AB và CD

Ta có HA HB= ⇒SA SB=

do đó tam giác SAB vuông cân tại S

BD SAE ⇒d BD SA =d BD SAE =d K SAE

Với K là hình chiếu của Htrên BD

Phân tích: Để giải quyết bài toán này ta phải xác định được chân đường cao

từ S xuống đáy Giả thiết cho mặt bên cân suy ra được H thuộc trung trực của đáy

Bước tiếp theo tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau ta làm như sơ đồtính

Bài toán tương tự:

Bài 1: [1H3-3] Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh a,

a

21 5

a

3 5

a

Lời giải Chọn B.

Bài 2: [1H3-3] Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh Tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy lầnlượt là trung điểm của Tính khoảng cách giữa và

Gọi là trung điểm của

Mặt khác

Gọi là trung điểm của

Ta có: vì cùng song song với

, K là hình chiếu vuông góc của tâm I của mặt cầu ( )S

nhất của diện tích tam giác OIK (O là gốc tọa độ) Hãy chọn khẳng định đúng về M

Giả sử ( )S

tiếp xúc với ( )P

, ( )Q

lần lượt tại E và F Gọi → = ∩K d (IEF)

Do ( )S :x2 +y2 + −z2 2x+4y−2z+ =4 0 →I(1; 2;1− )

, IE IF= = 2

.2

Bài tập phát triển

Câu 1: [PT1] Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( )S :x2+y2+ −z2 2x+4y−6z+ =4 0

.Gọi ( )P

Lời giải Chọn C.

Ba tia Mx My Mz, , thay đổi, đôi một vuông góc với nhau vàcắt mặt cầu ( )S

tại 3 điểm A, B, C Biết rằng hình chiếu của M lên mỗiđường thẳng AB, BC, CA cùng thuộc một mặt cầu bán kính R Khẳng định

nào sau đây đúng?

A

32

R=

52

R=

34

R=

Lời giải Chọn A.

Gọi N là trung điểm của BC và ba điểm H, K, E lần lượt là hình chiếu của

Suy ra ME⊥IE

.Chứng minh tương tự ta có MH ⊥IH

, MK ⊥IK

.Suy ra H, K, E cùng thuộc mặt cầu đường kính IM =3

Vậy

32

R=

Câu 3: [PT3] Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( )S :x2+y2+ −z2 4x+4y−2z+ =4 0

.Gọi ( )P

Do ( )S :x2 +y2 + −z2 4x+4y−2z+ =4 0 →I(2; 2;1− )

, IE IF= = 5

.10

·sinOIK =1 ⇔OI ⊥IK

Khi đó tam giác OIK nội tiếp trong đường tròn đường kính IK = 19

→

192

Hãy xác định giá trị của n

Ta thấy rằng f x′( ) =0

luôn có ba nghiệm phân biệt nên f x′ + =( 1) 0

cũng luôn có ba nghiệm phân biệt, do đó đồ thị hàm số f x′ +( 1)

luôn có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành Do đó, đồ thị hàm số

( ) ( 1)

h x = ′ +f x

có 5 điểm cực trị Vậy đồ thị hàm số g x( ) = f x′( + +1) m2 −1

cónhiều nhất 5 điểm cực trị

Bài tập phát triển

Câu 1 [2D1-3] Cho hàm số có đồ thị hàm số cắt trục hoành tại các điểm như hình

vẽ Biết rằng Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị

Lời giải Chọn B

Từ đồ thị hàm số ta lập được bản biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị và cắt trục hoành tại 4 điểm đơn Vậy đồ thị hàm số có 9 điểm cực trị.

Câu 2 [2D1-3] Biết rằng đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

Số điểm cực trị lớn nhất và nhỏ nhất của đồ thị hàm số lần lượt là và Giá trị của là

Lời giải Chọn C

Vì đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt nên hàm số cóhai điểm cực trị Và gọi hệ số ứng với là

Để đồ thị hàm số có số điểm cực trị lớn nhất thì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị dương Khi đó số điểm cực trị lớn nhất của hàm số là

Để đồ thị hàm số có số điểm cực trị lớn nhất thì đồ thị hàm số có hai giá trịcực trị trái dấu nhau và Khi đó số điểm cực trị lớn nhất của đồ thị hàm số

là

Vậy đồ thị hàm số có số điểm cực trị lớn nhất là đạt được khi hàm số có hai giá trị cực trị trái dấu và hai điểm cực trị cùng dương,

Để đồ thị hàm số có số điểm cực trị bé nhất thì có hai điểm cực trị âm Để

đồ thị hàm số có số điểm cực trị bé nhất thì và hai giá trị cực trị cùng dấu dương

Vậy đồ thị hàm số có số điểm cực trị bé nhất là 1 đạt được khi hàm số có hai giá trị cực trị cùng dấu dương và hai điểm cực trị cùng âm,

Câu 45: [1D3-3][Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Cho dãy số ( )u n

với2

B −2

13

=

T

14

a

a a

4 1lim

 lima n = ⇒ +L L 3L =L

(2 1)2012

(2 1)

02012

n

x

Suy ra

1006lim

B

41,52.10−

C

41,66.10−

D

40,75.10−

Lời giải Chọn C.

Số hạng tổng quát của dãy ( )u n

A

1 11 2 2000

C C

1 11 2 2000

C C

Lời giải Chọn B.

Số hạng tổng quát của dãy ( )u n

:

1

2n n

2 2000

A

49199

B

13 C

49396

D

3100

Lời giải Chọn A.

Số hạng tổng quát của dãy ( )u n

: u n = + −3 (n 1)3 3= n

Số hạng tổng quát của dãy ( )v n

: v m = +4 (m−1)3 3= m+1

, 1≤n m, ≤100Trong X ∪Y

có 100 số chia hết cho 3 và 100 số chia 3 dư 1

Gọi A là biến cố chọn 3 phần tử có tổng chia hết cho 3, suy ra có 2 khảnăng:

TH1: 3 phần tử ∈ ⇒X

có

3 100

C

TH2: 3 phần tử ∈ ⇒Y

có

3 100

C

2 200

của chúng chia hết cho 5 bằng:

A

2 8 2 100

C C

B

2 8 2 200

C C

C

2 4 2 200

C C

D

1 4 2 200

C C

Lời giải Chọn D.

Số hạng tổng quát của dãy ( )u n

: u n = + −4 (n 1)3 3= n+1

Số hạng tổng quát của dãy ( )v n

: v m = +1 (m−1)5 5= m−4

, 1≤n m, ≤100Tìm số phần tử bằng nhau trong 1000 phần tử đầu tiên

C

cách chọn

2 200

T =

1324

T =

7108

T =

1108

T =

Lờigiải

AMN

AB AC A S

T =

Bài toán tương tự:

Câu 1 [2H1-3] Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đôi một vuông góc nhau tại O,

14

49

12

O ABC

, V ABOMN =V O ABC. −V O CMN.Suy ra thể tích khối đa diện ABOMN lớn

CM =

,

CB y

CN = x y, ≥1

Ta chứng minh được

1 1 1 14

CAB CMN

S S

Câu 2 [2H1-3] Cho hình chóp S ABCD

có đáy ABCD

là hình bình hành tâm O

Mặt phẳng ( ) α

thay đổi luôn đi qua B

S BMPN

S ABCD

V V

16

49

S BMPN

S ABCD

V V

đạt GTNN là

1 6