Tìm tọa độ điểm C trên trục tung sao cho CA+CB có giá trị nhỏ nhất.. b Giải hệ phương trình... HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu khi làm bài.. LỜI GIẢI THAM KHẢO CHO HỌC SINH GV:
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THỪA THIÊN HUẾ
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC
NĂM HỌC 2018-2019 Khóa ngày 02 tháng 6 năm 2018 Môn thi: TOÁN ( CHUYÊN TOÁN)
Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thởi gian phát đề)
Câu 1: ( 1,5 điểm)
a) Cho các biểu thức
( ) 5x 12 16x 32
P x
x
-=
và
Q x = +x x+
Tìm số nguyên
0
x
sao cho
( )0
P x
và
( )0
Q x
là các số nguyên, đồng thời
( )0
P x
là ước của
( )0
Q x
b) Cho
1
x t
x x
=
- +
Tính giá trị biểu thức
2
x A
x x
= + +
theo t.
Câu 2: (2,0 điểm)
a) Cho parabol
: 4
và đường thẳng
d y= x
Gọi
,
A B
là các giao điểm của
( )P
và d Tìm tọa độ điểm C
trên trục tung sao cho CA+CB có giá trị nhỏ nhất
b) Giải hệ phương trình
4 0
x xy y x y
x y x y
ìï + - - + + = ïïí
ï + + + - = ïïî
Câu 3: ( 1,5 điểm)
a) Xác định các giá trị của m
để phương trình
x - mx- m- =
(x
là ẩn số) có hai nghiệm phân
biệt
1, 2
x x
thỏa mãn điều kiện 1 2
b) Giải phương trình
33x - x+ -1 33x - 7x+ -2 6x- 3= 2
Câu 4: ( 3 điểm)
Cho tam giác nhọn
ABC AB <AC
nội tiếp đường tròn tâm
,
O
có ba đường cao là
, ,
AD BE CF
và trực tâm là H
Gọi M
là giao điểm của AO
với BC
và
,
P Q
lần lượt là chân các đường vuông góc vẽ từ M
đến
,
AB AC
a) Chứng minh H
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
b) Chứng minh
HE MQ =HF MP
Trang 2c) Chứng minh
2
MB DB AB
MC DC AC
æ ö÷
ç ÷
= çç ÷÷
çè ø
Câu 5: ( 2 điểm)
a) Cho
, ,
x y z
là các số thực dương có tổng bằng 1 Chứng minh rằng
1 1 1 49.
16x+4y+ ³z 16
b) Cho số tự nhiên z
và các số nguyên
,
x y
thỏa mãn
1
x y+ +xy=
Tìm giá trị của
, ,
x y z
sao cho (2z+ 1+42) (x2+y2+ +1 x y2 2)
là số chính phương lớn nhất
HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu khi làm bài Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh: ………
LỜI GIẢI THAM KHẢO CHO HỌC SINH GV: ĐỖ CAO LONG TP HUẾ
1a) Cho các biểu thức
( ) 5x 12 16x 32
P x
x
-=
và
Q x = +x x+
Tìm số nguyên
0
x
sao cho
( )0
P x
và
( )0
Q x
là các số nguyên, đồng thời
( )0
P x
là ước của
( )0
Q x
Giải:
Ta có
P x
Suy ra
( )0
P x
nguyên
x
là các ước nguyên dương của 12
0 0
64
4 12
x x
=
ê
ë
Ta có
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Vậy
0 4
x =
1b) Cho
1
x t
x x
=
- +
Tính giá trị biểu thức
2
x A
x x
= + +
theo t.
Giải:
Lời giải 1:
1) Nếu x =0 thì t =0 và A =0.
Trang 32) Nếu x ¹ 0 thì
ç + - ÷= Þ + = + Þ ç + ÷= +ç ÷
2
1 1 2 1.
x
t
x t
-Khi đó:
2
2
t A
t x
t
+
Từ hai trường hợp trên suy ra
2
1 2
t A
t
= +
Lời giải 2:
Ta có
A
2
1
1 2
t
t
+
Trang 42a) Cho parabol
: 4
và đường thẳng
d y= x
Gọi
,
A B
là các giao điểm của
( )P
và d Tìm tọa độ điểm C
trên trục tung sao cho CA+CB có giá trị nhỏ nhất
Giải:
Hoành độ của A
và B
là nghiệm của phương trình:
2
Phương trình này có hai nghiệm: x =4
và
3. 2
x =
Suy ra
( )4;4 , 3 9;
2 16
A Bæççç ö÷÷÷
÷
Dễ thấy hai điểm
,
A B
cùng nằm về một phía so với trục tung Lấy điểm
' 4;4
A
đối xứng với A
qua trục tung Khi đó
CA CB+ =CA +CB ³ A B
, nên CA+CB đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
', ,
A C B
thẳng hàng, tức là khi C
là giao điểm của đường thẳng A B'
với trục tung
Phương trình đường thẳng d'
đi qua A'
và B
có dạng
y=ax b+
Ta có hệ
5
8
a b a
a b b
ìï
ï = - + ï =
Suy ra
d y= - x+
Vậy
3
0;
2
Cæ öççç ÷÷÷
÷
çè ø
2b) Giải hệ phương trình
4 0
x xy y x y
x y x y
ìï + - - + + = ïïí
ï + + + - = ïïî
Giải:
Trang 5Ta có:
( )2
2
2
1
x x
Û ê - ú- ê + - + =ú
Û ê - ú- = Û ê- ú- çç ÷÷=
çè ø
0
Trường hợp
2 1,
y= x
thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
( )2
1
5
x
x
é = ê ê
ê = -ê
Trường hợp này hệ đã cho có hai nghiệm:
( ) ( ) ( ); 1;1 , ; 4; 13
x y = x y = -æççç - ö÷÷÷÷
Trường hợp
2 ,
y= - x
thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
( )2
x + - x + + -x x- = Û x - x+ = Û x=
Trường hợp này hệ đã cho có một nghiệm:
( ) ( )x y =; 1;1
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:
( ) ( ) ( ); 1;1 , ; 4; 13
x y = x y = -æççç - ö÷÷÷÷
3a) Xác định các giá trị của m
để phương trình
x - mx- m- =
(x
là ẩn số) có hai nghiệm phân
biệt
1, 2
x x
thỏa mãn điều kiện 1 2
Giải:
Điều kiện để phương trình
x - mx- m- =
(x
là ẩn số) có hai nghiệm phân biệt là:
2
D = + + > Û + > Û ¹
-Khi đó
Trang 6Trường hợp 1:
x = x = m+
ta có:
0
x + x = Û + m+ = Û m+ =
, vô nghiệm
Trường hợp 2:
x = m+ x =
ta có:
x + x = Û m+ + = Û m+ = Û =
Vậy
3.
2
m =
3b) Giải phương trình
33x - x+ -1 33x - 7x+ -2 6x- 3= 2
Giải:
Ta có
33x - x+ -1 33x - 7x+ -2 6x- 3= 2
Đặt
Phương trình đã cho trở thành:
( )3 ( )3
a b c d- = + Û a b- = c d+
(2)
Mà
a - b =c +d = x - x+
và a b- = +c d nên (2) trở thành:
é = ê
Trường hợp a=b
, ta có
1
3
x
x
é = ê ê
ê = ê
Trường hợp ab= - cd
, ta có
1
1 13 6
x x
é
ê = ê
Û ê
ê = ± ê
ê
Vậy phương trình đã cho có năm nghiệm:
x= x= x= x= ±
Trang 74) Cho tam giác nhọn
ABC AB <AC
nội tiếp đường tròn tâm
,
O
có ba đường cao là
, ,
AD BE CF
và trực tâm là H
Gọi M
là giao điểm của AO
với BC
và
,
P Q
lần lượt là chân các đường vuông góc vẽ từ
M
đến
,
AB AC
4a) Chứng minh H
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
Giải:
Ta có
BFC =BEC =AFC =ADC =AEB =ADB = °
Suy ra các tứ giác
BFEC AFDC AEDB
nội tiếp
Suy ra:
ABE =ADE
(cùng chắn cung
¼
AE
trong đường tròn
(AEDB)
) (1)
ADF =ACF
(cùng chắn cung »AF
trong đường tròn
(AFDC)
) (2)
ABE =ACF
(cùng chắn cung »FE
trong đường tròn
(BFEC)
) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra
ADF =ADE
nên AD
là đường phân giác trong góc ·EDF
của tam giác EDF
(4) Tương tự, ta chứng minh được:
,
BE CF
lần lượt là đường phân giác trong của các góc
DEF DFE
của tam giác DEF
(5)
Từ (4), (5) suy ra H
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
Trang 84b) Chứng minh
HE MQ=HF MP
Gọi N
là giao điểm của tia AO
với đường tròn
( )O
Ta có: NC ^AC
nên
||
NC BH
Tương tự, ta có
||
NB CH
Suy ra BHCN
là hình bình hành
Ta có:
FEH =BCH
(cùng chắn cung »FB
),
FBH =ECH
(cùng chắn cung »FE
) nên hai tam giác ,
HFE HBC
đồng dạng Do đó, hai tam giác
,
HFE NCB
đồng dạng
Suy ra
HF =NC
(6) Mặt khác:
||
MQ NC
(cùng vuông góc với AC
),
||
MP NB
(cùng vuông góc với AB
), suy ra
MQ AM MP NB MP
NC = AN = NB Þ NC =MQ
(7)
Từ (6), (7) suy ra
HE MP HE MQ HF MP
HF =MQ Þ =
4c) Chứng minh
2
MB DB AB
MC DC AC
æ ö÷
ç ÷
= çç ÷÷
çè ø
Hai tam giác vuông ADB
và MPB
đồng dạng nên ta có
(8)
Trang 9Hai tam giác vuông ADC
và
MQC
đồng dạng nên ta có
(9)
Từ (8), (9) suy ra:
MB AB MP
MC =AC MQ
(10)
Ta có
AMQ=ANC =ABD
suy ra hai tam giác vuông ADB
và
AQM
đồng dạng nên ta có
DB
QM = AM Þ = AM
(11) Tương tự:
AMP =ANB =ACD
suy ra hai tam giác vuông ADC
và APM
đồng dạng nên ta có
(12)
Từ (11), (12) suy ra
(13)
Từ (10), (13) suy ra:
2
MB DB AB
MC DC AC
æ ö÷
ç ÷
= çç ÷÷
çè ø
5a) Cho
, ,
x y z
là các số thực dương có tổng bằng 1 Chứng minh rằng
1 1 1 49.
16x+4y+ ³z 16
Giải:
Ta có
1 1 1 49 1 4 16 49.
16x+4y+ ³z 16Û x+ +y z ³
Với hai số thực không âm
,
a b
ta có
a- b ³ Û a b+ ³ ab
Dấu "=" xảy ra khi a= bÛ a=b
Áp dụng kết quả trên, ta có:
49x 2 49x 49x 14
x+ ³ x Þ x+ ³
(1)
Dấu "=" xảy ra khi
7
Trương tư, ta có:
4 49y 28.
y+ ³
(2)
Dấu "=" xảy ra khi
7
y y
y = Û =
Trang 10Và
(3)
Dấu "=" xảy ra khi
7
Cộng (1), (2), (3) theo vế ta được:
1 4 16 49 x y z 98
x+ +y z + + + ³
1 4 16 49.
x y z
Dấu "=" xảy ra khi
Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh
5b) Cho số tự nhiên z
và các số nguyên
,
x y
thỏa mãn
1
x+ +y xy=
Tìm giá trị của
, ,
x y z
sao cho (2z+ 1+42) (x2+y2+ +1 x y2 2)
là số chính phương lớn nhất
Giải:
Ta có:
(2z+ 1+42) (x2+y2+ +1 x y2 2) =2 2( z +21 1) ( +x2) (1+y2)
Với:
Suy ra
( 1 ) ( 2 2 2 2) ( ) ( ) (2 ) (2 )2
Do đó,
(2z+ 1+42) (x2+y2+ +1 x y2 2)
là số chính phương khi và chỉ khi 2z +21
là số chính phương Nghĩa là tồn tại số tự nhiên n
sao cho
2
2z +21=n
Ta có
Nếu z
lẻ thì
2z º - 1 mod3 º 2 mod3
Khi đó
2 2 mod3
n º
vô lí (vì số chính phương khi chia cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1)
Từ đó suy ra z
là số chẵn
Đặt
z= k kÎ ¥*
Ta có
Vì 21 1.21= =3.7 và n- 2k < +n 2k
nên ta có hai trường hợp sau:
Trường hợp 1:
2 1
2 10,
2 21
k
k k
n n
ìï - =
íï + = ïïî
không có giá trị của k thỏa mãn trường hợp này
Trang 11Trường hợp 2:
2 3
2 7
k
k k
n
k n
ìï - =
íï + = ïïî
Từ giả thiết, ta có
Không mất tổng quát, giả sử
x+ £ y+
suy ra
1 1
1 2
x y
ìï + = ïïí
ï + = ïïî
Giải hệ ta được
0 1
x y
ìï = ïí
ï = ïî
hoặc
2 3
x y
ìï = -ïí
ï = -ïî Nếu
0, 1
x= y=
thì (2z+ 1+42)(x2+y2+ +1 x y2 2) =100 10 = 2
Nếu
2, 3
x= - y=
thì (2z+ 1+42) (x2+y2+ +1 x y2 2) =2500=50 2
Vậy
2, 3, 2
x= - y= - z=
HẾT
