Vận dụng kiến thức và kĩ năng các bạn đã được học để thử sức với Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 11 có đáp án này nhé. Thông qua đề kiểm tra các bạn sẽ được ôn tập và nắm vững kiến thức môn học. Chúc các bạn thi tốt!
Trang 1Đ THI CH N H C SINH GI I C P TRỀ Ọ Ọ Ỏ Ấ ƯỜNG
Môn thi: Toán – L p 11ớ
Th i gian làm bài ờ : 120 phút (không k th i gian giao đ ) ể ờ ề Câu I. (4,0 điêm ̉ )
Cho hàm s ố 3 2
3
x
y = - x + +x m có đ th là ồ ị ( )C Tìm t t c các giá tr c a ấ ả ị ủ m đ ti p tuy n c a ể ế ế ủ
đ th ồ ị ( )C t i đi m ạ ể M có x = ch n hai tr c t a đ m t tam giác có di n tích b ng M 3 ắ ụ ọ ộ ộ ệ ằ 2
Câu II. (6,0 điêm ̉ )
1) Gi i ph ng trìnhả ươ
2 sin 2 sin cos 1
4
� �
2) Tìm s nguyên d ng l ố ươ ẻ n sao cho
1 2.2 2 3.22 3 4.23 4 2n 1 n 2022
C - C + C - C + +n - C =
1
2022(2023 ) 2022 lim
1
x
x I
x
-=
-Câu III. (4,0 điêm ̉ )
1) Gi i ph ng trình:ả ươ 2x + +3 x + =1 3x- 16 2 2+ x2+5x +3
2) Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
3
Câu IV. (4,0 điêm ̉ )
1) Trong m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộ Oxy , cho hình vuông A BCD có đ nh ỉ C thu c độ ường th ngẳ
d x + y - = , đi m ể M ( )1;1 thu c c nh ộ ạ BD bi t r ng chình chi u vuông góc c a đi m ế ằ ế ủ ể M trên c nhạ ,
A B A D đ u n m trên đề ằ ường th ng ẳ D :x + -y 1=0. Tìm t a đ đ nh ọ ộ ỉ C
2) Cho hình vuông A BCD c nh ạ a. G i ọ O là giao đi m c a hai để ủ ường chéo. Trên n a đử ưởng th ngẳ
Ox vuông góc v i m t ph ng ch a hình vuông, ta l y đi m ớ ặ ẳ ứ ấ ể S sao cho góc SCB =? 600. Tính kho ng cáchả
gi a hai đữ ường th ng ẳ BC và SD
Câu V. (2,0 điêm ̉ ) Cho a b c d, , , là các s th c tho mãn ố ự ả a2 +b2 =25;c2+d2 =16 và ac +bd 20. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: ị ớ ấ ủ ể ứ P =a +d
H tế
Thí sinh không đ ượ ử ụ c s d ng tài li u. Cán b coi thi không gi i thích gì thêm ệ ộ ả
H và tên thí sinh:……….……… …… …….….….; S báo danh:……… ……….ọ ố
HƯỚNG D N CH MẪ Ấ
THI CH N H C SINH GI I C P TRỌ Ọ Ỏ Ấ ƯỜNG
Môn: Toán – L p 11ớ
m 1(4,0 đi m)ể
Trang 2Ta có y' x = 2 − 2x 1 +
Theo gi thi t ta có ả ế M(3;3 m)+ (C), phương trình ti p tuy n c a đ th ế ế ủ ồ ị (C) t i ạ M là:
y = y '(3)(x 3) 3 m − + + � y 4(x 3) 3 m = − + + � y 4x 9 m (Δ) = − +
2,0
G i ọ AΔ Ox A 9 m;0
4
−
� �; B= ∆��Oy B(0;m−9)
Di n tích tam giác OAB: ệ SOAB 1OA.OB 1 9 m m 9
−
8
− Theo gi thi t: ả ế
2
2 OAB
m 13 (m 9)
m 5 8
=
−
=
V y ậ m 5;m 13.= =
2,0
2.1 (2 đi m)ể 2 sin 2 sin cos 1
4
� �
(1) sin 2x−cos 2x=sinx+cosx−1
sin 2x−sinx=cos 2x+cosx−1
�
2 2sin cosx x−sinx=2cos x+cosx−1
�
0,5
�
�
1
2
=
− =
1,0
3
2
3
x
π
− = +
2 2 2
= +
= +
0,5
2.2 (2 đi m)ể
x C C x C x C x C x
L y đ o hàm 2 v ta đấ ạ ế ượ c: (1 )n 1 1 2 2 3 3 2 n n 1
n +x - =C + C x + C x + +C x
-1,0
Cho 2 ( 1)n 1 1 2 22 3 23 2 n( 2)n 1
x = - �n - - =C - C + C - +nC -
-Vì n l nên ta có: ẻ 1 2 22 3 23 2 2n 1 n 2022
n =C - C + C - +n - C =
V y ậ n =2022
1,0
2.3 (2 đi m)ể
1
2022 2023 2022 lim
1
x
x I
x
− −
=
−
2
2022 1 lim
1 2023 2022
x
x
−
=
( )
2 1
2022 1 lim
2023 2022
x
x x
=
− +
2 2022
1
2 2022
−
V y ậ I = −1
1,0 3.1 (2 đi m)ể
Trang 3ĐKXĐ: x - 1
Đ t ặ t = 2x + +3 x + , đk: 1 t >0�t2 =3x + +4 2 2x2+5x +3
3x +2 2x +5x +3 =t - 4
�
PT tr thành: ở t =t2- 4 16- 2 4
20 0
5
t
t t
t
=
-
- - =
�t =5
1,0
V i ớ t =5� 2x + +3 x + =1 5 �3x + +4 2 2x2+5x +3 =25
2
2 2x +5x +3 =21 3- x
21 3 0 4(2 5 3) 441 126 9
x
-
2
7
146 429 0
x
7
x
�
V y phậ ương trình có nghi m là ệ x =3
1,0
3.2 (2 đi m)ể Gi i h phả ệ ương trình:
3
Đi u ki n ề ệ 1 / 4
x
-
Phương trình (1) tương đương v i ớ (x+1)3+3(x+ =1) y3+3y
(x 1 y) (+ − �x+1) + +(x 1) y y 3+ + �=0
Vì (x+1)2+ +(x 1) y y 3 0,+ + > ∀2 x y, nên (*)� x+ − =1 y 0� y x= +1
0,5
Thay vào phương trình (2) c a h ta đủ ệ ược
3
3 4x 1 2 6x 4 3x 7+ + − = +
3 2
3
3 4x 1 2x 5 2 6x 4 (x 2) 0
3 4x 1 2x 5 4 (6x 4) 2(x 2) 6x 4 (x 2)
(x 2) 0 x 2(tm) y 3(tm)
0(**)
3 2x 8 x 12 4 (6x 4) 2(x 2) 6x 4 (x 2)
�
Nh n xét: V i ậ ớ x −1/ 4,v trái c a phế ủ ương trình (**) luôn âm , nên (**) vô nghi mệ
V y h ph ậ ệ ươ ng trình có nghi m ( 2;3) ệ
1,0
4.1 (2 đi m)ể
Trang 4C D
B A
M
H I
G i H và ọ K là hình chi u vuông góc c a M trên AB vàế ủ AD; G i N là giao đi m c a KM và BC, g i I là giaoọ ể ủ ọ
đi m c a CM và HK. Ta có ể ủ ∆DKM vuông t i K vàạ
450
MDK = KM = KD=NC
L i có ạ MH MN= (do MHBN là hình vuông) suy ra
nên IMK HKM + =NMC NCM+ =900
CI ⊥HK
1,0
Đường th ng CI qua M(1;1) và vuông góc v i đẳ ớ ường th ng d nên có phẳ ương trình:
(x 1) (y 1) 0 x y 0
− − + − = � − = . Do đi m C thu c để ộ ường th ng CI và đẳ ường th ng ẳ ∆ nên
t a đ đi m C là nghi m h pt ọ ộ ể ệ ệ 0 2
�+ − = � =
V y C(2;2).ậ
1,0
4.2 (2 đi m)ể
60
S
J
G i I, H là trung đi m c a BC và SD.ọ ể ủ
Ta có SO là tr c hình vuông và ụ SCB =600 SA=SB=SC=SD=CB=a và BC//mp(SCD) nên ( , ) ( , (SAD))
d BC SD =d I mp
Ta l i có ạ AD⊥(SIH)�(SIH) (⊥ SAD) theo giao tuy nế
SH. Trong m t ph ng (SIH) d ngặ ẳ ự
IJ ⊥SH �IJ ⊥ SAD �d I SAD( ,( ))=IJ
1,0
Tam giác SIH có:
2
3 3 2
a a
IJ
3
a
d BC SD =
1,0
5 (2 đi m)ể Cho a b c d, , , là các s th c tho mãn ố ự ả a2 +b2 =25;c2+d2 =16 và ac +bd 20. Tìm giá trị
l n nh t c a bi u th c: ớ ấ ủ ể ứ P =a +d
T ừ a2 +b2 =25;c2+d2 =16 t n t i hai góc ồ ạ α β; sao cho 5sin ; 5cos
Khi đó bi u th c ể ứ ac+bd 20 có d ng ạ sin cosa b+cos sina b 1 hay sin(a +b) 1,
nên sin(a +b) =1 do đó 2 ,
p
b= - a + p ? V y ậ sinb=cosa
1,0
Ta có P=5sinα +4sinβ =5sinα+4cosα 41 �Pmax = 41 1,0
Trang 5V y giá tr l n nh t c a ậ ị ớ ấ ủ P là 41
1 Hướng d n ch m này ch trình bày s lẫ ấ ỉ ơ ược m t cách gi i. Bài làm c a h c sinh ph i chi ti t, l p lu n ộ ả ủ ọ ả ế ậ ậ
ch t ch , tính toán chính xác m i đặ ẽ ớ ược tính đi m t i đa.ể ố
2 V i các cách gi i đúng nh ng khác đáp án, t ch m trao đ i và th ng nh t đi m chi ti t nh ng không ớ ả ư ổ ấ ổ ố ấ ể ế ư
được vượt quá s đi m dành cho bài ho c ph n đó. M i v n đ phát sinh trong quá trình ch m ph i ố ể ặ ầ ọ ấ ề ấ ả
được trao đ i trong t ch m và ch cho đi m theo s th ng nh t c a c t ổ ổ ấ ỉ ể ự ố ấ ủ ả ổ
3 Đi m toàn bài là t ng s đi m c a các ph n đã ch m, không làm tròn đi mể ổ ố ể ủ ầ ấ ể
