Với mong muốn giúp các bạn đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới, TaiLieu.VN đã sưu tầm và chọn lọc gửi đến các bạn Đề thi kết thúc học phần học kì 2 môn Đại số tuyến tính 2 năm 2019-2020 có đáp án - Trường ĐH Đồng Tháp hi vọng đây sẽ là tư liệu ôn tập hiệu quả giúp các em đạt kết quả cao trong kì thi. Mời các bạn cùng tham khảo!
Trang 1In Uy
Đề số 1 Môn học: Đại số tuyến tính 2
Mã môn học: MA4003 Học kì: 2 (2019-2020)
Ngành: DHSTOANI9 Hình thức thi: Tự luận
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể phát đề)
Câu 1 (2.0 điểm) Cho V là không gian véctơ trên trường K và ƒ là một toán tử tuyến tính trên V Chứng minh rằng nếu À € K là giá trị riêng của toán tử tuyến tính ƒ thì A” (với mọi số nguyên dương ø) là giá trị riêng của toán tử tuyến tính ƒ” trên V
Câu 2 (3.0 điểm) Trong lR—không gian véctơ 3 cho toán tử tuyến tính ƒ : IRÊ —› R3
xác định bởi
f(x) = (2x1 + 2x9 + £3, 01 + 3x2 + 23,21 + 2xq + 273) véi moi & = (1,22, 73) € Chứng minh toán tử tuyến tính ƒ chéo hóa được và tìm cơ
sở mà ma trận của ƒ có dạng chéo
Câu 3 (3.0 điểm) Trong R—không gian véctơ IRŠ cho dạng toàn phương q có biểu
thức tọa độ là
q(z) = 3 — s4 — 28112 + 4123 + 2s#3 véi moi z = (1,22, 23) € IR3
1 Tìm ma trận của dạng toàn phương ạ đối với cơ sở
{ur = (1,1,1), ue = (1, 1,0), ug = (1,0,0)}
2 Đưa dạng toàn phương q vé dang chinh t&c va chi ra cơ sở tương ứng
Câu 4 (2.0 điểm) Trong không gian véctơ Euclide thực E với tích vô hướng thông thường
LY = #111 + #22 + #33 với mọi # = (1,#a, #3), U = (0i, 12, a2) € EẺ Hãy trực chuẩn hóa Gram-Schmidt cơ sở
{ui = (1,0,3), ue = (3,0, 2), ug = (0,2,0)}
Sinh vién không được sử dụng tài liệu Cứn bộ cơi thả không giải thích gà thêm
Trang 2DAP AN 1 DE THI KET THUC MON HOC
Môn học: Đại số tuyến tính 2 Lớp: ĐHToán19
1 - Giả sử 0 Az € V 1a vécto riéng cha ƒ tương ứng với giá trị riêng | 0.5 diém
À, tức là ƒ() = Àz Ta chứng minh z cũng là véctơ riêng của ƒ”
tương ứng với giá trị riêng À”, tức là ƒ*(z) = À*z bằng quy nạp
- Khi dé f(x) = ƒ(ƒF(œ)) = ƒ(A+z) = A*ƒ(ø) = AF(Az) = A842 | 0.5 điểm
Tổng điểm câu I | 2.0 điểm
2 - Tìm đúng ma trận A của ƒ đối với cơ sở chính tắc 0.5 điểm
- A có 2 giá trị riêng À¡ = 1 (nghiệm kép) À¿ = 5 0.5 điểm
- Không gian con riêng E(1) có một cơ sở là {(—2, 1,0), (1,0, 1)} 0.5 điểm
- Không gian con riêng #⁄(5) có một cơ sở là {(1, 1, 1)} 0.5 điểm
- Toán tử tuyến tính ƒ chéo hóa được vì ƒ có 3 giá trị riêng trong |_ 0.5 điểm
đó có À¡ = 1 nghiệm kép và dimE(1) = 2
- Ma trận của ƒ có dạng chéo là {(—2,1,0),(1,0,1),(1,1,1)} 0.5 điểm
Tổng điểm câu 2| 3.0 điểm
3 - Ma trận A của ạ đối với cơ sở chính tắc Ma trận chuyển Ở từ cơ |_ 0.5 điểm
sở chính tắc sang cơ sở {t, uạ, uạ}
- Gọi là ma trận của ạ đối với cơ sở {ưạ, ue, ug}, suyra B= CtAC | 0.5 diém
- g(x) = (#ì — #a + 243)? — (œs — 3zs) + 4z2 0.5 điểm
- q() = z2 — xổ + 4x với œ = (1,zs,zs) đối với cơ sở {uạ, tạ, uạ} | 0.5 điểm
- Cơ sở {t = (1,0,0),uạ = (1, 1,0), ug = (1,3,1)} 0.5 điểm
Tổng điểm câu 3| 3.0 điểm
Tổng điểm câu 4| 2.0 điểm Chú Ú: Sinh uiên giải cách khác đứng uẫn được điểm tối đa
(w —
ae