(SKKN HAY NHẤT) phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

là môn toán .Ngày nay trong chương trình môn toán ở trường phổ thông khái niệm hàm đã ,đang được thể hiện rõ vai trò chủ đạo của mình trong việc ứng dụng và xây dựng các khái niệm khác .

là môn toán Ngày nay trong chương trình môn toán ở trường phổ thông khái niệm hàm đã ,đang được thể hiện rõ vai trò chủ đạo của mình trong việc ứng dụng và xây dựng các khái niệm khác Trong các kỳ thi cấp quốc gia ngoài các câu hỏi liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có những câu hỏi mà học sinh thường phải vận dụng tư duy hàm số như là một công cụ đắc lực để giải toán như: Giải phương trình, bất phương trình ,tìm cực trị , Các câu hỏi này cũng thường gây khó khăn cho cả thày và trò trong các giờ lên lớp Trong các giờ giảng các em thường bị động trong nghe giảng và rất lúng túng vận dụng vào việc giải toán Nguyên nhân là do các em chưa hiểu được bản chất của vấn

đề ,chưa có kỹ năng và kinh nghiệm trong việc vận dụng hàm số vào giải toán ,các em luôn đặt ra câu hỏi “ Tại sao nghĩ và làm được như vậy’’ Để trả lời được câu hỏi đó trong các giờ dạy ,việc bồi dưỡng năng lực tư duy hàm cho học sinh thông qua các bài toán là một điều rất cần thiết Muốn làm tốt được điều đó người thầy không chỉ có phương pháp truyền thụ tốt mà còn phải có kiến thức vừa chuyên ,vừa sâu,dẫn dắt học sinh tìm hiểu một cách logíc bản chất của toán học.Từ đó giúp các em có sự say mê trong việc học môn Toán-môn học được coi là ông vua của các môn tự nhiên

Khi còn là học sinh, mỗi khi suy tư những bài toán nhỏ ,nhờ sự tư duy của người Thầy giúp tôi có những bài toán mới , lời giải mới Và giúp tôi có những phân tích hay , sâu sắc trên bục giảng , có thêm kinh nghiệm , sự sáng tạo ,có niềm tin vào chính mình Vì vậy song song với việc giảng dạy kiến thức cho học sinh trong các giờ lên lớp ,tôi luôn luôn coi việc bồi dưỡng năng lực tư

Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN

duy toán cho học sinh một cách trực tiếp hoặc gián tiếp thông qua giải toán Đặc biệt là bồi dưỡng năng lực tư duy hàm cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của việc giảng dạy toán

Qua nhiều năm đứng trên bục giảng, khi dạy tới chuyên đề này, tôi luôn băn khoăn làm thế nào để cho giờ dạy của mình đạt kết quả cao nhất ,các em chủ động trong việc chiếm lĩnh kiến thức Thầy đóng vai trò là người điều khiến để các em tìm đến đích của lời giải.Chính vì lẽ đó trong hai năm học 2012-2013 và 2013-2014 Tôi đã đầu tư thời gian nghiên cứu Chuyên đề này Một mặt là giúp học sinh hiểu được bản chất của vấn đề ,các em không còn lúng túng trong việc giải các bài toán liên quan đến hàm số ,hơn nữa tạo ra cho các em hứng thú trong giải toán nói chung và liên quan đến Hàm số nói riêng.Mặt khác sau khi nghiên cứu tôi sẽ có một phương pháp giảng dạy có hiệu quả cao trong các giờ lên lớp,trả lời thoả đáng Câu hỏi “Vì sao nghĩ và làm như vậy”

Viết một cuốn tài liệu rất khó ,để viết cho hay ,cho tâm đắc lại đòi hỏi phải có đẳng cấp thực sự Cũng may tôi cũng không có tư tưởng lớn của một nhà viết sách,tôi cũng không kỳ vọng ở một điều gì lớn lao vì tôi biết những gì mình có còn rất ít ,khi tôi có ý tưởng viêt ra những điều mà tôi gom nhặt được ,Tôi chỉ mong sao qua từng ngày mình sẽ lĩnh hội được nhiều hơn về toán sơ cấp Qua từng tiết học , học trò của tôi ít băn khoăn, ngơ ngác hơn,thay vào đó

là sự hưởng ứng ,có niềm tin vào sự logic,chặt chẽ ,sáng taọ của toán học Khi

đó mỗi người thày chúng ta lại có thêm một người bạn chung niềm đam mê trước sự kỳ diệu của toán học mang lại

Mặc dù đã tham khảo một số lượng lớn các tài liệu hiện nay để vừa viết, vừa đi giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm thực tế, song vì năng lực và thời gian

có hạn ,rất mong được sự Đóng góp của các bạn đồng nghiệp và những người yêu thích môn toán để đề tài này có ý nghĩa thiết thực hơn trong nhà trường Góp phần nâng cao hơn nữa chất lượng Giáo dục phổ thông.Giúp các em có phương pháp - kỹ năng khi giải các bài toán liên quan đến hàm số trong các kỳ thi cuối cấp, đồng thời bước đầu trang bị cho các em kiến thức về toán cao cấp

Ngô Quang Nghiệp

Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN

2 NỘI DUNG SKKN 2.1Cơ sở lý luận của vấn đề 2.1.1 Bất đẳng thức AM-GM − Nếu x1,x2,x3,…,xn là các số không âm thì: 1 2 3

Dấu “=” xảy ra khi: x1x2 x3   x n

− Chú ý: Các trường hợp riêng của bất đẳng thức AM-GM

2.3 Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn

Ví dụ 1:Cho các số thực không âm x,y,z thoả mãn x2  y2 z2  3 Tìm giá trị

lớn nhất của biểu thức

z y x zx yz xy A

( 2 3

f vì t 3 Suy ra f (t) đồng biến trên [ 3 , 3 ] Do đó

3

14 ) 3 ( ) (t  f 

f Dấu đẳng thức xảy ra khi t 3 x yz 1 Vậy GTLN của A là

y x

4 4 8 1 4 4

8 )

(

2 2 2

t t

f

15

1 0

) (

Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN

Từ bảng biến thiên suy ra f(t)  15  P= 2x y  15 Dấu đẳng thức xảy ra

15

1 ,

15



 x y Giá trị nhỏ nhất của P= 2x  y là 15

Ví dụ 4: (Trích đề ĐH B2009)Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn

(x + y)3 + 4xy ≥ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4 x2 y2xy   xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

2 2

y x y x xy

HƯỚNG DẪN GIẢI :

Từ 4 (x2 y2xy)  1  2 (xy)  3 (xy)2  (xy)2  1  2 (x y)

2 ) ( 3 ) ( 2

2

) ( 4

1 )

( 2

1 2

)

y x

2 x  y  xy ) Đặt t = x + y ; ta có :0 t  1,

4

1 )

(t t t

2 2

1 ) (

t t

, với t 0 ; 1

3 ) 1 ( ) ( max 1

Ví dụ 6: Cho x,y,z là các số thực không âm Tìm giá trị lớn nhất của

Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN

Ta có x2y2   1 xy nên x6y6  (x2y2) (  x2y2 2)  3x y2 2 Đặt txy với 1  

;1 \ 0 3

7 '

2 2 1

t t P

KL: GTLN là 1

4 và GTNN là

2 15

t t xy t P

(3 2) 4

2 1

4

t P

33.Dấu “=” xảy ra khi x = 4, y = 1, z = 2

Ví dụ 13: Cho x, y > 0 và x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

ab b

a b

Ví dụ 16: Cho x,y,z là ba số thực dương có tổng bằng 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

( 15 27 27) 2

y

14

Từ bảng biến thiên suy ra MinP = 7    x y z 1

5 23 min ( )

c a b thì ax 10

3

Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1 : Cho ba số dương a b c, , thỏa mãn điều kiện 21ab 2bc 8ca 12 Tìm giá

Bài 8 (Trích ĐH D2013) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

xy   y 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

(Đề thi Olypic Toán Ailen năm 2009)

Bài 13 (Trích THTT 2012) Cho ba số thực x,y,z thảo mãn 3 3 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

Px y z

(Đề thi chọn đội tuyển Inđônêxia dự thi IMO 2009)

Bài 14 (Trích THTT 2012) Cho ba số thực a,b,c thảo mãn 3 3 3

a b c CMR : 2 2 2

6( )( )

(Đề thi Olypic Toán Ấn độ năm 2009)

2.4 HIỆU QUẢ CỦA ÁP DỤNG SKKN

Đề tài trên tôi thực hiện tại lớp 12A- Năm học 2013-2014.Sau khi học xong bài này học sinh thấy hứng thú trong việc học môn toán ,có kỹ năng trong việc vận dụng khai triển vào việc giải các bài tập,giờ dạy rất sôi nổi ,các em chăm chú lắng nghe Giáo viên phát huy tối đa sự chủ động tích cực-sáng tạo của học sinh , các em mới là người làm chủ kiến thức ,thầy chỉ là người dẫn dắt , đánh thức bản năng muốn khám phá của các em.Kết quả khảo sát lớp 12A1 cho thấy :

- Số học sinh chuẩn bị bài và làm bài tập tốt ở nhà là 79,0 o/o

- Chuẩn bị bài chưa tốt và làm chưa tốt bài tập là 6,0 o/o

- Không chuẩn bị bài là 15 o/o

Kết quả cụ thể bài kiểm tra một tiết tại lớp 12 A1–Năm học 2013-2014 như sau:

Giỏi : 25 o/o

Khá : 54 o/o

Trung bình : 8 o/o

Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN

3: KẾT LUẬN

Bồi dưỡng năng lực tư duy hàm cho học sinh thông qua việc tìm GTLN và GTNN của hàm số là một việc làm rất cần thiết của người giáo viên ,có nhiều ứng dụng trong Toán học.Một trong những nhiệm vụ của người thầy dạy môn toán là phải Phát huy được tối đa sự chủ động sáng tạo của học sinh,Nâng cao hơn nữa khả năng tư duy toán cho học sinh Giúp các em có phương pháp và

kỹ năng nhất định trong giải toán ,giúp các em trả lời thoả đáng câu hỏi “Tại sao nghĩ và làm được như vậy” Đồng thời cho học sinh ngày một yêu thích môn toán ,thấy được bản chất của toán học :Toán học xuất phát từ thực tế và quay trở lại thực tế Chính vì vậy ,trong giờ dạy nếu người thầy có kiến thức vừa chuyên ,vừa sâu ,kết hợp với việc có phương pháp giảng dạy tốt và chuẩn bị kỹ bài giảng của mình thì sẽ thu hút được sự chăm chỉ ,lắng nghe của học sinh và thu được kết quả một giờ dạy tốt.Làm được điều đó chúng ta sẽ ngày càng nâng cao hơn nữa chất lượng giáo dục trong nhà trường phổ thông,phát huy được thế mạnh của môn học trí tuệ của loài người

Trên đây chỉ là những tâm huyết mang tính chất chủ quan của riêng bản thân tôi,kính mong được sự góp ý của các bạn đồng nghiệp và những ngừơi yêu thích môn toán, để đề tài này có ý nghĩa thiết thực hơn trong nhà trường phổ Thông

Để thực hiện tốt đề tài này ,Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các Thầy cô trong ban giám hiệu nhà trường,các Thầy cô trong Tổ Toán- Trường THPT Số 3 Bảo Thắng

Hằng năm có rất nhiều những sáng kiến ,những đề tài khoa học có giá trị rất cao được các thầy cô viết bằng sự tâm huyết và trí tuệ, đã được kiểm nghiệm thực tế qua quá trình giảng dạy và đã được Sở giáo dục xếp loại cao Tôi thiết nghĩ nếu các đề tài đó được phổ biến trong các nhà trường phổ thông thì chất lượng giáo dục sẽ được nâng cao,các Thày cô sẽ chuẩn bị cho mình những giáo án tốt trước những tiết học Vì vậy Tôi có đề nghị với sở Giáo Dục Lào Cai nên sớm phổ biến rộng rãi những đề tài đã được các giải cao về các

Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN

học kinh nghiệm quý báu cho mình, đồng thời sẽ thúc đẩy được phong trào tự học ,tự đào tạo mình của mỗi thầy cô.Theo tôi đó mới là ý nghĩa thiết thực của việc viết sáng kiến kinh nghiệm trong các trường phổ thông

Phương pháp hàm số tìm GTLN và GTNN

4 TÀI LIỆU THAM KHẢO:

1 Các đề thi đại học cao đẳng từ năm 2002 đến năm 2013

2 Các số báo của toán học tuổi trẻ từ năm 2008 đến năm 2013

3 Sách tham khảo hình giải tích của Phan Huy Khải

4 Sách tham khảo hình giải tích của Trần Phương

5 Sách tham khảo hình giải tích của Nguyễn Văn Dũng

14 Các đề thi thử đại học năm 2011 đến năm 2014

15 Sách tham khảo của Nguyễn Tất Thu

16 Sách tham khảo của Nguyễn Phú Khánh

17 Sách tham khảo của Võ Quốc Bá Cẩn

3 Kết luận ……… … Trang 19

4.Tài liệu tham khảo……… Trang 21