(SKKN HAY NHẤT) phương pháp dạy một số dạng bài tập hình học không gian lớp 111

Cơ sở lý luận của vấn đề Khi giải một bài toán về chứng minh quan hệ song song trong không gian ngoài yêu cầu đọc kỹ đề bài, phân tích giả thuyết bài toán, vẽ hình đúng ta còn phải chú

2.3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề 3

Trang

Từ lý do trên tôi đã khai thác, hệ thống hoá các kiến thức và tổng hợp thành

một kinh nghiệm: “Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong không gian”

2 GIẢI QUYÊT VẤN ĐỀ 2.1 Cơ sở lý luận của vấn đề

Khi giải một bài toán về chứng minh quan hệ song song trong không gian ngoài yêu cầu đọc kỹ đề bài, phân tích giả thuyết bài toán, vẽ hình đúng ta còn phải chú ý đến nhiều yếu tố khác như: Có cần xác định thêm các yếu tố khác trên hình

vẽ hay không? Hình vẽ như thế có tốt chưa? Có thể hiện được hết các yêu cầu của

đề bài hay chưa? Để giải quyết vấn đề này ta phải bắt đầu từ đâu? Nội dung kiến thức nào liên quan đến vấn đề được đặt ra, trình bày nó như thế nào cho chính xác

và lôgic… có được như thế mới giúp chúng ta giải quyết được nhiều bài toán mà không gặp phải khó khăn Ngoài ra chúng ta còn nắm vững hệ thống lý thuyết, phương pháp chứng minh cho từng dạng toán như: tìm giao tuyến của hai mặt

hàng, chứng minh 3 đường thẳng đồng quy, chứng minh hai đường thẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song

2.2 Thực trạng của vấn đề

Khi gặp các bài toán liên quan đến việc chứng minh quan hệ song song trong không gian đa học sinh số chưa phân loại và định hình được cách giải, lúng túng khi làm bài tập Trong khi đó bài toán liên quan đến chứng minh quan hệ song song trong không gian có rất nhiều dạng bài tập khác nhau, nhưng chương trình hình học lớp 11 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành cho việc làm bài tập các dạng bài toán này là rất ít Qua việc quá trình giảng dạy và việc khảo sát kiểm tra định kỳ nhận thấy nhiều học sinh thường lúng túng hoặc trình bày cách không chính xác hoặc có học sinh còn không làm được bài tập liên quan đến việc chứng minh quan hệ song song trong không gian

2.3 Các biện pháp để tiến hành giải quyết vấn đề

I Dạng toán 1: Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng

Trước tiên giáo viên cần cho học sinh nắm được phương pháp làm bài toán này

I.1 Phương pháp +) Cách 1: Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng

Nếu    

A

AB B

- Trong cách này giáo viên cần rèn cho học sinh kĩ năng tìm điểm chung của   và

  cụ thể: Chọn lấy đường thẳng a   và đường thẳng b  sao cho a và b cùng nằm trên mặt phẳng thứ 3

+) Cách 2: Tìm 1 điểm chung và dựa vào một trong các kết quả sau:

E S

B

Hệ quả (SGK – trang 57): Nếu

/ /

/ / / /( )

( )

a b

a b a

a b

* Nhận xét: Trong 2 cách trên giáo viên cần chú ý cho học sinh thông thường nếu

phát hiện được 2 điểm chung trên hình vẽ thì dùng cách 1, còn nếu chỉ phát hiện 1 điểm chung thì nên suy nghĩ theo cách 2

Hướng dẫn giải

- Với câu a): Giáo viên có thể đặt ra các câu hỏi để học sinh phát hiện:

Câu hỏi: Dựa vào hình vẽ ta xác định được những điểm

chung nào của 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD)? Vì sao?

Với câu hỏi này học sinh dễ dàng phát hiện ra điểm chung thứ nhất là S

F A

D

E S

- Với câu b) tương tự cách làm câu a)

Học sinh có thể phát hiện ra ngay giao tuyến là SF, nhưng với câu b) giáo viên cần yêu cầu học sinh tự mình giải thích vì sao

Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành H, K lần lượt là

trung điểm của BC và CD, M là điểm bất kỳ thuộc SA Xác định giao tuyến của (MHK) và (SAD)

Hướng dẫn giải

- Với VD1 học sinh dễ dàng xác định được 2 điểm chung nhưng với ví dụ 2 để xác định được điểm chung thứ 2 học sinh cần linh hoạt vận dụng phương pháp

Giáo viên có thể đưa ra một số câu hỏi

Câu hỏi 1: (MHK) và (SAD) có điểm chung

thứ nhất là điểm nào?

Với câu hỏi này học sinh dựa và hình vẽ thấy

S = (MHK)  (SAD)

Câu hỏi 2: Để tìm điểm chung thứ 2 ta chọn 2

đường thẳng nào lần lượt thuộc (MHK), (SAD)

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi Gọi O là giao điểm

hai đường chéo AC và BD Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng

  đi qua O, song song với AB và SC

* Nhận xét: GV cần cho học sinh hiểu rõ các điều kiện của   và cần xác định giao tuyến của   với các mặt của hình chóp Khi làm bài học sinh sẽ lúng túng không biết xác định giao tuyến với mp nào trước Khi đó giáo viên cần chỉ cho học sinh nên ưu tiên với những mp chứa điểm   đi qua và chứa đường thẳng mà  

song song

* Hướng dẫn

Giáo viên có thể đưa ra các câu hỏi để gợi ý học sinh

Câu hỏi 1: Xác định giao tuyến với mp nào trước?

+ Xác định giao tuyến của   với mp (ABCD)

Câu hỏi 2: mặt phẳng   và (ABCD) có những điểm chung nào?

Câu hỏi 3: Xác định giao tuyến của   với (ABCD) ta làm thế nào? Vì sao?

Thấy O =     ABCD

Theo Định lý 2 (SGK – 61) có giao tuyến của   và

(ABCD) phải song song với AB

Từ O kẻ đường thẳng d // AB, d  BC = N, d  AD = M

+ Xác định giao tuyến của   với (SBC)

Câu hỏi 4: Xác định được mấy điểm chung và đó là

điểm nào?

Câu hỏi 5: (SBC) và   có quan hệ gì?

Câu hỏi 6: Xác định giao tuyến của   và (SBC) bằng cách nào?

giao tuyến của   và (SBC)

phải song song với SC

Từ N kẻ d’ // SC cắt SB tại P Vậy  (SBC) = d’ hay đoạn giao tuyến là NP

+ Xác định   (SAB)

Câu hỏi 7: Xác định được mấy điểm chung và đó là

điểm nào?

Câu hỏi 8: (SAB) và   có quan hệ gì?

Câu hỏi 9: Xác định giao tuyến của   và (SAB) bằng cách nào?

Từ P kẻ d’’// AB cắt SA tại Q Vậy d’’ =  (SAB) hay đoạn giao tuyến là PQ

+ Xác định   (SAD)

Câu hỏi 10:   và (SAD) có mấy điểm chung và đó là những điểm nào?

Câu hỏi 11:   (SAD) là đoạn giao tuyến nào?

Thấy M =   (SAD) và Q =   (SAD)

Vậy   (SAD) theo đoạn giao tuyến là MQ

Câu hỏi 12: Xác định thiết diện?

Thiết diện là hình thang MNPQ

I.3 Bài tập đề nghị Bài 1: Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AB,AC lần lượt lấy các điểm M,N sao cho

MN không // BC,trong tam giác BCD lấy điểm I Tìm các giao tuyến sau:

a) (MNI)(ABC) b) (MNI)(BCD) c) (MNI)(ABD) d) (MNI)(ACD)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy không phải hình thang.Tìm các giao tuyến

sau: a) (SAC)(SBD) b) (SAB)(SCD) c) (SAD)(SBC

Bài 3: Cho tứ diện ABCD.Trong 2 tam giác ABC và BCD lấy 2 điểm M,N Tìm

các giao tuyến sau: a) (BMN)(ACD) b) (CMN)(ABD) c) (DMN)(ABC)

Bài 4: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB lấy điểm I, trong 2 tam giác BCD và

ACD lần lượt lấy 2 điểm J,K.Tìm các giao tuyến sau:

a) (ABJ)(ACD) b) (IJK)(ACD) c) (IJK)(ABD) d) (IJK)(ABC)

Bài 5: Cho tứ diện ABCD.Gọi I, J là trung điểm của AD và BC

a)Chứng minh rằng IB và JA là 2 đường thẳng chéo nhau b)Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) (JAD)

c)Gọi M là điểmnằm trên đoạn AB;N là điểm nằm trên đoạn AC Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) (DMN)

II Dạng toán 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d và  

II.1 Phương pháp: Để tìm giao điểm của d và   ta có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Bước 1: Chọn mặt phẳng   chứa d (Nên chọn mặt phẳng   sao cho dễ tìm giao tuyến với   )

+ Bước 2: Xác định =    + Bước 3: M =  d

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB Gọi I, J

lần lượt là trung điểm của SA và SB, M là một điểm tùy ý thuộc đoạn SD

a) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mp(SAC)

b) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mp (SBC) c) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM)

Câu hỏi 2: Xác định giao tuyến của (SBD) và (SAC)?

Với bước này học sẽ xác định được 2 điểm chung của (SAC) và (SBD)

Dễ thấy S = (SAC)  (SBD)

Gọi O = AC  BD Khi đó O = (SAC)  (SBD)

Vậy SO = (SAC)  (SBD)

Câu hỏi 3: Xác định giao điểm E của SO và BM?

Câu hỏi 4: Chứng minh E = BM  (SAC)?

Với bước này học sinh sẽ xác định được ngay điểm E vì SO và BM cùng thuộc mp (SBD)

Gọi E = SO  BM

b) Giáo viên nên đặt các câu hỏi để phát hiện vấn đề

Câu hỏi 5: Mặt phẳng chứa IM và dễ xác định giao tuyến

Câu hỏi 8: Trong hình vẽ có nhiều mặt phẳng chứa

SC hãy chọn 1 mặt phẳng mà dễ xác định giao tuyến với (IJM)?

là trung điểm của SB và SC a) Xác định giao tuyến (SAD) và (SBC) b) Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AIJ) c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AIJ)

Bài 2: Cho tứ diện ABCD Trong 2 tam giác ABC và BCD lấy 2 điểm I, J Tìm các

giao điểm sau: a) IJ (SBC) b) IJ(SAC)

Bài 3: Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC Trên

đoạn BD ta lấy điểm P sao cho BP = 2PD Tìm giao điểm của:

a) CD và (MNP) b) AD và (MNP)

Bài 4: Cho tứ diện SABC Gọi I và H lần lượt là trung điểm của SA và AB Trên

đoạn SC ta lấy điểm K sao cho CK = 3KS a) Tìm giao điểm của đường thẳng BC và mặt phẳng (IHK) b) Gọi M là trung điểm IH Tìm giao điểm của KM với mặt phẳng (ABC)

III Dạng toán 3: Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng  

III.1 Phương pháp: Để chứng minh cho d //   ta chứng minh cho d // a với a là một đường thẳng nằm trong mp  

III.2 Ví dụ cụ thể

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N lần

lượt là trung điểm của AB và CD a) Chứng minh rằng MN // (SBC)

b) Gọi P là trung điểm của SA Chứng minh SB // (MNP) c) Chứng minh SC // (MNP)

* Hướng dẫn

a) Với ý a) học sinh dễ dàng xác định được đường thẳng

a là đường thẳng BC Do đó học sinh dễ dàng chứng minh được MN // (SBC)

b) Nhận xét: Để chứng minh SB // (MNP) học sinh dễ phát hiện ra đường thẳng a

là đường MP Đây là một ví dụ mà học sinh có thể làm được nhờ một sự gợi ý nhỏ của giáo viên

* Hướng dẫn:

Câu hỏi 1: Hãy chứng minh SB // MP?

Ta có MP là đường trung bình trong tam giác SAB nên

SB // MP

Mà MP  (MNP) nên SB // (MNP)

c) Nhận xét: Để chứng minh SC // (MNP), với câu hỏi

này học sinh rất khó phát hiện ra được đường thẳng a

Lúc này cần sự hướng dẫn cụ thể của giáo viên thì học sinh mới có thể giải quyết được vấn đề

* Hướng dẫn:

Câu hỏi 2: Lấy O = MN  AC

Chứng minh SC // OP?

Vì O = MN  AC => O là trung điểm của AC

=> OP là đường trung bình của tam giác SAC

=> SC // OP

Câu hỏi 4: Chứng minh SC // (MNP)?

Do SC // OP mà OP  (MNP)

=> SC // (MNP)

Ví dụ 2: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt

phẳng Gọi M là trọng tâm của tam giác ABD và N là trọng tâm của tam giác ABE

Chứng minh MN // (CEF)

* Hướng dẫn

- Để làm được bài toán này học sinh rất khó phát hiện đường thẳng a trong mp (CEF) Khi đó giáo viên phải chỉ cho học sinh thấy mp(CEF) cũng chính là mp (CDFE) Như vậy chứng minh MN // (CEF) cũng chính là chứng minh MN // (CDEF)

Câu hỏi 1: Chứng minh MN // DE ?

Do M là trọng tâm của tam giác ABD => 1

a) Chứng minh rằng BD//(AIJ) b) Gọi H, K là trọng tâm của các tam giác ABC và ACD

Chứng minh rằng HK//(ABD)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Gọi M và N là

trung điểm của SA và SC a) Tìm các giao tuyến (SAC) và (SBD); (BMN) và (ABCD); (BMN) và (SBD)

b) Tìm giao điểm K của SD và (BMN) Chứng minh rằng SK = 1

3 SD c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (BMN)

d) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng minh rằng MI //(SBC)

và (IJN)//(SAD)

IV Dạng toán 4: Chứng minh hai mặt phẳng song song

IV.1 Phương pháp: Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta chứng minh cho

mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia

/ /

a b

a b I a

IV.2 Ví dụ cụ thể

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M và

N lần lượt là trung điểm của SA và CD

a) Chứng minh (OMN) // (SBC)

b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SD, AD và K là một điểm nằm trên mp(ABCD) và cách đều AB, CD Chứng minh (IJK) // (SAB)

* Hướng dẫn

a) Với câu hỏi này học sinh sẽ không khó để chỉ ra 2 đường thẳng cắt nhau cần chứng minh cho song song với mặt phẳng còn lại Có thể chọn 2 đường là OM, ON hoặc BC, SC

Câu hỏi 1: Chứng minh OM // (SBC)?

Ta có OM // SC (Vì OM là đường trung bình của tam giác SAC)

Mà SC (SBC) Vậy OM // (SBC)

Câu hỏi 2: Chứng minh ON // (SBC)?

Ta có ON // BC (Vì ON là đường trung bình trong tam giác DBC)

Câu hỏi 1: Chứng minh IJ // (SAB)?

Có IJ là đường trung bình trong tam giác SAD => IJ // SA (SAB) => IJ // (SAB)

Câu hỏi 2: Chứng minh JK // (SAB)?

Có JP // AB mà K JP nên JK // AB (SAB) => JK // (SAB)

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’ Gọi I, G, K lần lượt là trọng tâm của các

tam giác ABC, ACC’, A’B’C’

Câu hỏi 1: Chứng minh IK // (BB’C’C)?

Do I, K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và

tam giác A’B’C’ => ' 1

MI M K

MB  M B  Mà MM’ // BB’

=> IK // BB’ (BB’C’C) => IK // (BB’C’C)

Câu hỏi 2: Chứng minh IG // (BB’C’C)?

Do G là trọng tâm của tam giác ACC’

b) Để làm được ý b) học sinh càng khó khăn hơn trong việc tìm ra 2 đường thẳng a và b Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh mở rộng các mặt phẳng bằng cách lấy thêm các trung điểm E, F của BC và B’C’

Câu hỏi 1: Mặt phẳng (AIB’) được mở rộng thành mặt

Do F là trung điểm của B’C’ => A’, K, F thẳng hàng

Do G là trọng tâm của tam giác ACC’

=> A’, G, C thẳng hàng

Do đó (A’GK) chính là (A’FC)

Câu hỏi 3: Chứng minh (AEB’) // (A’FC)?

Do BB’C’C là hình bình hành => B’E // FC => B’E // (A’FC) Mặt khác ta lại có AE // A’F => AE // (A’FC)

Vậy (AEB’) // (A’FC) hay (AIB’) // (A’GK)

IV.3 Bài tập đề nghị Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi H, K, L là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD,

ACD Chứng minh rằng (HKL) // (BCD)

Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’

a) Chứng minh rằng (BA’C’) // (ACD’) b) Tìm các giao điểm I = B’D  (BA’C’); J = B’D(ACD’) Chứng minh rằng 2 điểm I, J chia đoạn B’D thành 3 phần bằng nhau

c) GọiM, N là trung điểm của C’B’ và D’D Dựng thiết diện của hình hộp với mặt phẳng (BMN)

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành Gọi I là trung điểm

của SD a) Xác định giao điểm K = BI (SAC) b) Trên IC lấy điểm H sao cho HC=2HI Chứng minh KH // (SAD) c) Gọi N là điểm trên SI sao cho SN=2NI Chứng minh (KHN) // (SBC) d) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (KHN)

* MỘT SỐ ĐIỂM CẦN LƯU Ý

Để làm được một bài toán hình học không gian ngoài việc nắm được phương pháp làm thì hình vẽ cũng đóng một vai trò quan trọng Một hình vẽ tốt phải là hình đảm bảo các yêu cầu sau:

+) Phải đúng theo các quy tắc của một hình biểu diễn trong không gian và khái niệm của các hình như: hình lăng trụ, hình hộp, hình chóp, hình chóp cụt

đó, bản thân tôi mạnh dạn đưa ra các biện pháp sau đây:

1/ Việc quan trọng nhất trong thành công dạy học theo tôi đó là giáo viên phải soạn bài thật tốt, đọc và nghiên cứu nhiều sách tham khảo, có kĩ năng vẽ hình chính xác, biết đưa ra phương pháp phù hợp với từng dạng bài và hệ thống các bài tập phù hợp

2/ Phân tích các bài tập “mẫu” cho học sinh qua các giờ phụ đạo do nhà trường tổ chức hoặc trong các giờ học tự chọn môn toán

3/ Chia học sinh thành các nhóm nhỏ, mỗi nhóm có nhóm trưởng (học sinh có học lực khá, có uy tín với các bạn ) Tổ chức nhóm thảo luận các bài tập “mẫu” mà