cac bai toan nang cao hinh hoc theo chu de lop 9

Tailieumontoan com  Điện thoại (Zalo) 039 373 2038 CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO HÌNH HỌC LỚP 9 (Liệu hệ tài liệu word môn toán SĐT (zalo) 039 373 2038 Tài liệu sưu tầm, ngày 27 tháng 5 năm 2022 Website ta.

Tailieumontoan.com



Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO

(Liệu hệ tài liệu word môn toán SĐT (zalo) : 039.373.2038

Tài liệu sưu tầm, ngày 27 tháng 5 năm 2022

Website: tailieumontoan.com

CHUYÊN ĐỀ 5: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

BÀI 1: T Ỉ SỐ CỦA HAI ĐOẠN THẲNG

A Ki ến thức cần nhớ

1 Định lí Talét

Cho ∆ABC, lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB M( ≠ A; M ≠C)

Lấy điểm N thuộc đường thẳng AC N( ≠ A N; ≠C) sao cho

3 Tính chất đường phân giác của tam giác

Cho ∆ABC, đường phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại

BAC cắt BC tại điểm K Đường phân giác của

góc ABC cắt AK tại I Qua I kẻ

C B

A

B A

B A

I D

E

K

C B

A

Website: tailieumontoan.com

a) Xét ∆ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pitago ⇒BC= 60( )cm

Cho ∆ABC Trên Tia đối của tia BA lấy điể D

sao cho AB= 2BD Gọi E là trung điểm của

Cho ∆ABC có trọng tâm G Trên tia BC lấy

điểm M sao cho 3

C

A

N G

Bài 4: Định lí Menelaus (Mê – nê – na – út)

Cho ∆ABC, các điểm E F, thuộc cạnh AC AB,

Điểm D thuộc đường thẳng BC và nằm ngoài

đoạn BC. Ba điểm D E F, , không trùng với các

đỉnh của ∆ABC Chứng minh rằng ba điểm

MAB MAC

Nối A với I cắt BC tại D' ⇒D' ∈BC

H

D

C B

A

Website: tailieumontoan.com

Bài 6:

Từ ba đỉnh A B C, , của ∆ABC ta vẽ ba đường

thẳng song song với nhau, chúng lần lượt cắt

B A

O

D

C B

A

2 1 2 3 2 4 1 2 3 2 3

3 1 2 3 3 4 1 2 3 3 4

S+S =S +S +S +S ≥ S S S S

Nhân ba vế của (2)(3)(4) ta được: (S+S1)(S+S2)(S+S3)≥ 64S S S1 2 3

Gọi I là trung điểm của BC, kéo dài đoạn AB cắt đường trung trực của BC tại K

Theo đề bài trong ∆ABC có:         0

A= C B= C⇒ + + =A B C C=

KBC

∆ cân tại K nên KCB=2C⇒KCA  =C BKC; =3C

Mặt khác  KAC= +B 2C =3C⇒ ∆KCA cân tại C.

Vậy ta có KB=KC=AC và CA là đường phân giác của C trong ∆KBC

A

K

Cho ∆ABC Trên các cạnh AB và AC lấy

Là giao điểm của BN và CM; gọi E là

giao điểm của MN và BC

1 2

E

J

C B

A

phải nắm vững các kiến thức sau:

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH , ta

h c

Website: tailieumontoan.com

Bài 2:

Cho ∆ABC vuông tại A có đường cao AH

(H∈AB) Gọi M N, là hình chiếu của H trên

cạnh AB AC,

a) Chứng minh rằng AN AB

AM = AC

b) Biết BC= 2a không đổi Tìm vị trí của điểm

A sao cho ∆ABC vuông tại A và tứ giác

Cho ∆ABC vuông cân tại A Điểm D di

chuyển trên cạnh AC Đường thẳng d vuông

góc với AC tại C cắt đường thẳng BD tại E

Chứng minh rằng khi D di chuyển trên cạnh

B C

A

Website: tailieumontoan.com

L ời giải

Hạ BH ⊥d H( ∈d) Trên tia đối của tia HC lấy điểm K sao cho HK =AD

D

E

C d H K B

A

Cho ∆ABC vuông tại A, dựng đường cao AH

Tính độ dài các cạnh còn lại của ∆ABC trong

mỗi trường hợp sau:

H B

A

b) Ta có ∆AOB cân tại O BC, = 2BO

mà BC= 4BH ⇒BH =HO⇒ ∆OAB cũng cân tại B. Hay ∆OAB là tam giác đều

Cho ∆ABC vuông tại A BC, = 2 ,a Gọi O là

trung điểm của BC Dựng AH ⊥BC

Website: tailieumontoan.com

d) Giả sử điểm A thay đổi sao cho

BAC = BC = a Tam giác ∆ABC phải thỏa

mãn điều kiện gì để điện tích ∆AHO lớn nhất

e) Giả sử CG cắt AB tại điểm N. Tứ giác

AMON là hình gì? Tam giác ∆ABC phải thỏa

mãn điều kiện gì để diện tích tứ giác AMON

Website: tailieumontoan.com

Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Từ

H dựng HM HN, lần lượt vuông góc với

4

BA BN

Cho hình vuông ABCD Gọi E là một điểm

nằm giữa A và B Tia DE và tia CB cắt nhau

ở F Kẻ đường thẳng qua D vuông góc với

DE, đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại

Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy

điểm M , trên cạnh CD lấy điểm N Tia

tích tam giác AMN

c) Từ điểm O trong tam giác AIK, kẻ OP,

3 2 1 E

G F

D

C B

Website: tailieumontoan.com

Gọi h h h r1, 2, 3, lần lượt là độ dài các đường cao

và bán kính đường tròn nội tiếp của một tam

giác Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác

đều khi và chỉ khi

M

N

C B

A

Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại E và F

Áp dụng định lí pitago ta có: AM2 =AE2 +ME2 (∆AEM vuông tại E)

Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH,

D

A

Website: tailieumontoan.com

( )

33, 6 70

2 1

A

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao

AH Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H

Cho ∆ABC, hai đường trung tuyến BD và CF

vuông góc với nhau Chứng minh rằng

A

2y 2x

y x G

C B

A

Cho hình vuông ABCD Trên tia đối của tia

DC lấy điểm M , trên tia đối của tia CD lấy

điểm N sao cho DM =CN và AM ⊥AN Cho

Website: tailieumontoan.com

Cho hai điểm A và B cố định và điểm M di

động sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn

Gọi H là trực tâm của tam giác MAB và K là

chân đường cao vẽ từ điểm M của tam giác

MAB Tìm Giá trị lớn nhất của tích KH KM.

Cho tam giác ABC, gọi I là tâm đường tròn

nội tiếp tam giác Qua I dựng đường thẳng

vuông góc với IA cắt AB, AC tại M và N

N A

Website: tailieumontoan.com

Tương tự ta có: CI2 CN CB.  2

Từ (1)(2) suy ra BM BI22

CN CI (đpcm) b) Từ chứng minh trên BMI# INC BM MI BM NC. MI NI.

Cho tam giác ABC với các đỉnh A B C, , và các

cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng là: a b c, ,

a) Tính diện tích tam giác ABC theo a

Website: tailieumontoan.com

,

ABC B C là các góc nhọn Suy ra chân

đường cao hạ từ A lên BC là điểm

p p a p b p c

p p a p b p c

a a

Website: tailieumontoan.com

Cho tam giác nhọn ABC đường cao CK ; H là

trực tâm của tam giác Gọi M là một điểm trên

CK sao cho AMB  90 0 S S S, ,1 2 theo thứ tự là

diện tích các tam giác AMB ABC, và ABH

A

BÀI 3: T Ỉ SỐ LƯỢNG GIÁC CÁC GÓC NHỌN

A Ki ến thức cần nhớ

1 Các tỉ số lượng giác của góc nhọn  (hình) được

định nghĩa như sau:

sin AB;cos AC ; tan AB ;cot AC

α

=

3 Hai góc phụ nhau: Với hai góc  , mà   90 0, ta có :

sin cos ;cos  sin ; tan  cot ;cot  tan

- Nếu hai góc nhọn  và  có sin sin hoặc cos  cos thì  

60 = 3

π radian

- Định lí hàm sin: Trong ∆ABC nhọn ta có: a b c 2R

SinA= SinB= SinC =

R: bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

AB= cm tanB= Hãy tính độ dài các cạnh

của tam giác và đường cao AH

S S

N M

C B

- TH1: Tam giác ABC là tam giác nhọn hoặc tam giác vuông

Kẻ đường cao AH của ∆ABC, ta có H nằm giữa B và C

Trường hợp ∆ABC có một góc vuông, giả sử vuông tại C

- TH2: Tam giác ABC là tam giác tù

Không mất tính tổng quát, giả sử  0

90

C >

Chứng minh tương tự (lưu ý: HC =HB−BC)

Bài 7: Chu Văn An Hà nội – Amsterdam 2005

Cho ∆ABC vuông tại A, có AB< AC và

trung tuyến AM. có ACB=α;AMB=β

Cho ∆ABC có ba góc nhọn, vẽ đường cao

AD và BE Gọi H là trực tâm của tam giác

ABC Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh

BC, CA, AB của tam giác ABC

a) Chứng minh rằng tanB tanC = AD

G

E A

− +

H

B A

A

Ta có ∆AMB cân tại M MBA,= ° ⇒15 AMC = °30

Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao AD

và BE cắt nhau tại H Biết HD HA: = 1: 2,

chứng minh rằng tanB tanC = 3

C

A

C B

E

H

D A

Cho tam giác nhọn ABC có diện tích S,

đường cao AH =h Cho biết S =h2 Chứng

minh rằng cotB cotC+ = 2

Trên tia phân giác của góc này lấy

điểm A cố định Qua A vẽ một đường

thẳng thay đổi cắt Ox Oy, lần lượt tại

K

M H

O

Cho tam giác ABC vuông tại

d) Cho BC= 2a Điểm A thay đổi sao cho

giả thiết vẫn đúng Tìm giá trị lớn nhất của

diện tích tứ giác AEHF

AB AC BC AH BC BC a với O là trung điểm của BC

Dấu “=” xảy ra ⇔H ≡ ⇒ ∆O ABC vuông cân tại A

E

F A

Vậy diện tích tứ giác AEHF lớn nhất bằng

Cho tam giác ABC, có các góc B và C đều

nhọn Các đường cao AD và BE cắt nhau tại

H Gọi G là trọng tâm của ∆ABC

a) Chứng minh rằng tan tanB C= AD

K H

a) Ta có tan ; tan tan tan

Cho tam giác ABC có các góc A B, đều

nhọn Các đường phân giác AD Đường

trung tuyến BM, đường cao AH cắt nhau tại

O Chứng minh rằng AB.cosA=BC.cosB

L ời giải

Vì AD, BM, CH đồng quy tại O nên ta có AH BD CM = 1

HB DC MA (Định lí Xêva)(1) Mặt khác vì CM =MA nên từ (1) ta có: AH BD = 1 2( )

M A

( )

3 sin 60 6 3 2

D

A

K

Ta có ABC cân tại A có BAC = ° ⇒20  ABC=ACB= °80

Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho ABD= ° ⇒60 DBC= ° ⇒20 BDC= °80

Bài 21:

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao

AD BE CF cắt nhau tại H, gọi O là trung

điểm của BC I, là trung điểm của AH , K là

Có ∆OEC cân tại O nên OEC  =OCE( )2

IEA OEC+ =IAE+OCE= ⇔OEI =

H

K I

c) Do OI là trung trực của EF nên IO⊥EF =K

AEF ABC

g) Ta có: DEF ABC AEF BFD DFE 1 AEF BFD DFE

i) Để tính diện tích tam giác ∆ABC ta cần tính đường cao AD theo a

Do ∆ACD vuông cân tại D⇒ AD=DC( )*

A

Ở cách giải thứ nhất ta biểu thị độ dài các cạnh của tam giác ABC theo đại lượng k

rồi sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính cos , tan , cot   Ở cách giải thứ hai, ta sử dụng giả thiết sin 5

HD

AD  , suy ra AD  3HD Thay vào (3) ta được: tan tanB C 3HD 3

DH

 

PH ẦN MỞ RỘNG: ỨNG DỤNG GÓC 15 0

H E

B

A

a) Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD=MA

Tứ giác ABDC có BC và AD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và  90BAC = °

Nên tứ giác ABDC là hình chữ nhật, ⇒ AD=BC

Ta có AMH là góc ngoài của tam giác AMB nên  2.15 30AMH = ° = °

a) Cho ∆ABC vuông tại A có trung tuyến

AM,  15 ;ABM = °S ABC = 16 Tính độ dài BM

b) Cho tam giác ABC có đường cao CH thỏa

2

=

CH AB Cho biết  75 ,BAC= ° chứng

minh tam giác ABC cân

L ời giải

a) ∆ABM vuông tại A, có  15 ,ABM = ° theo chứng minh bài 1 ta có:

150

M H

D B

C H

M

B A

Tam giác ABD vuông tại D có BAD 75 = ° nên  15 ,ABD= °

theo chứng minh bài 1b) ta có 1

Lại có DP/ /CH ⇒DP là đường trung bình của tam giác

ACH, hay D là trung điểm của AC

Vậy tam giác ABC cân tại B

Cách 2: Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC

CH AB AB AB hay B là trung điểm của AB'

Từ đó suy ra BC=BA Vậy tam giác ABC cân tại B

Cho tam giác ABC có  0  0

Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm P

sao cho PC= 2PB Tính số đo góc ACB nếu

x x

DC

CBD BC

A Ki ến thức cần nhớ

1 Tính chất của hai tam giác đồng dạng

Cho ∆ABC và ∆A B C' ' ' đồng dạng với nhau, khi đó

R R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

2 Dấu hiệu nhận biết hai tam giác đồng dạng

- Có hai cặp góc tương ứng bằng nhau

- Có hai cặp cạnh tỉ lệ và góc xen giữa bằng nhau

A'

C B

A

Cho ∆ABC có ba góc nhọn, đường cao BD và

CE giao nhau tại H Chứng minh rằng:

⇒ = ⇒ là phân giác của DEM

Chứng minh tương tự ta có DH MH, là phân giác của  EDM EMD;

Vậy H là trực tâm của đường tròn nội tiếp ∆MDE (đpcm)

H F

C B

1 1

Cho ∆ABC vuông tại A và có AB< AC

Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE =AB.

Gọi H I, lần lượt là hình chiếu của A trên

các cạnh BC và BE Hãy tính số đo của IHA

Cho ∆ABC cân tại A và H là trung điểm

của cạnh BC. Gọi I là hình chiếu vuông góc

của H lên cạnh AC và O là trung điểm của

I

H C

B A

O H

I

A

a) Từ giả thiết ta có:   ICB=OHA=HBA

MK ⊥AB ML⊥AC K∈AB L∈AC Đường thẳng qua A và vuông góc với AM cắt MK,

ML theo thứ tự tại E và F. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với CE, cắt AH tại I CMR

Bài 7:

Cho hình vuông ABCD O, là giao điểm của

hai đường chéo Lấy điểm E trên cạnh DC

sao cho EC<ED. Trên cạnh BC lấy điểm E

F

B A

BÀI 5: TÍNH ĐỘ DÀI, CHU VI, DIỆN TÍCH

A Ki ến thức cần nhớ

1 Các ký hiệu trong tam giác

Cho một tam giác ∆ABC thì ta có:

- Chu vi của tam giác: 2 p

- Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác: r

- Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác: R

- Đường cao: h h h a, b, c

- Đường phân giác: l l l a, ,b c

- Đường trung tuyến: m m m a, b, c

2 Các công thức tính chu vi và diện tích

Bài 1:

Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của

một tam giác vuông có độ dài 25cm, chân

đường vuông góc hạ từ đỉnh góc vuông

xuống cạnh huyền chia cạnh huyền thành hai

Khoảng cách từ A đến đường chéo BD bằng

14, 4cm Tính chu vi và diện tích của hình chữ

32

M H

AC= cm Hãy tính S ABC, độ dài đường

cao AH và độ dài đường phân giác AD

B

A

Theo giả thiết ta có:

AC= cm sin ABC= Các đường phân giác

của góc A và B lần lượt cắt AC và BC tại

xMy= quay quanh điểm

M sao cho 2 tia Mx My. luôn cắt cạnh AB AC,

tại D và E. Chứng minh rằng chu vi tam

giác ADE không đổi

B A

E

D C

B A

⇒ là phân giác DEC

Gọi H I J, , lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB DE AC, , Khi đó

AH = AI DH =DI EI =EJ

Chu vi ∆ADE bằng 2 AH là một giá trị không đổi (đpcm)

Bài 7:

Cho ∆ABC có diện tích S, trung tuyến AM.

Gọi N là trung điểm của AM BN, cắt AC tại

C B

A

B C

O

A

Chuyên đề 2: ĐƯỜNG TRÒN Bài 1: Định nghĩa đường tròn

A Ki ến thức

1 Định nghĩa: Đường tròn tâm O bán kính R, kí hiệu

là (O R; ) là tập hợp các điểm M sao cho OM =R

Từ đó muốn chứng minh 4 điểm A B C D, , , cùng nằm

trên một đường tròn ta tìm điểm O sao cho

OA=OB=OC=OD

2 Đường tròn ( )O đường kính BC, khi đó nếu A là

điêm bất kì nằm trên đường tròn (A khác B và khác C) thì  0

90

BAC = ) Nhắc lại:

+ Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền + Ngược lại: Nếu tam giác vó đường trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện thì tam giác đó vuông

B Bài t ập

Bài 1:

Cho tam giác cân ABC AB( =AC) Gọi H là

trực tâm của tam giác, đường cao CE Gọi

Gọi O là trung điểm của MN

Ta có ∆MEN vuông tại E có trung tuyến EO⇒OE=OM =ON

Theo định lí đường trung bình của tam giác / /

Tam giác DMN vuông tại D có trung tuyến DO⇒OD=OM =ON ⇒OM =ON=OD=OE

Vậy 4 điểm D M E N, , , cùng nằm trên một đường tròn

H

M E

A

Bài 2:

Cho hai đường thẳng xy và x y' ' vuông góc

với nhau tại O Một đoạn thẳng AB= 6cm

chuyển động sao cho A luôn nằm trên xy và B

trên x y' ' Hỏi trung điểm M của AB chuyển

đồng trên đường tròn nào?

M

B

3 2

E

C D

Bài 4:

Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn

(O R; ) H là trực tâm của ∆ABC Vẽ OK ⊥BC

O

H A

C I

N F

D B

M E

c) Gọi I là trung điểm của BC

Chứng minh tương tự ta có IE=IF =IB=IC⇒B C E F, , , cùng nằm trên một đường tròn

Bài 6:

Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp trong

đường tròn ( )O , đường cao AH

a) AH cắt đường tròn ( )O tại D, chứng minh

⇒ ∈ ⇒ thẳng hàng⇒AD là đường kính của đường tròn ( )O

b) Vì AD là đường kính nên ∆ACD vuông tại C

H D

A

Bài 7:

Cho hình thang cân ABCD AB( / /CD) Chứng

minh rằng tồn tại một đường tròn đi qua các

AB= cm Lấy điểm M trên đoạn thẳng OA

sao cho AM = 1cm Đường thẳng vuông góc với

O

D

B C

M A

Ta lại có BD=2 ;R BDC =BAC (góc nội tiếp chắn cung BC)

Vậy BC=2 sinR BAC

*) Chú ý: Nếu BAC tù thì ( 0 )

2 sin 180

Bài 10:

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn

(O R; ) Gọi M là trung điểm của BC Giả sử O

nằm trong tam giác AMC hoặc O nằm giữa A

và M Gọi I là trung điểm của AC Chứng

B

O

C N

M

I

B A

c) Chu vi tam giác ABC lớn hơn 4R

Cho đường tròn (O R; ) và một điểm A cố định

trên đường tròn, B là một điểm di động trên

đường tròn Gọi M là một điểm trên AB sao

Cho đường tròn (O cm;3 ) và một điểm A di

động trên đường tròn Vẽ đoạn thẳng AB⊥OA

và AB=a Gọi H là hình chiếu của A trên OB

và G là trọng tâm của tam giác AOB

a) Khi a= 4cm thì điểm B và điểm H di động

trên đường nào?

A

K M

O B

G H D

B M A

O

Vậy H thuộc đường tròn tâm O bán kính 1,8cm

b) Gọi M là trung điểm của AB thì

Cho ba điểm A B C, , bất kì và đường tròn ( )O

bán kính 1 Chứng minh rằng tồn tại điểm M

nằm trên đường tròn ( )O sao cho

B

Bài 2: Tính đối xứng của đường tròn

A Kiến thức cần nhớ

1 Đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây Ngược lại đường kính đi qua trung điểm của dây (không đi qua tâm) thì vuông góc với dây

2 Hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm

3 Dây cung nào gần tâm hơn thì dài hơn và ngược lại

4 Góc ở tâm có số đo bằng số đo cung bị chắn: EOF =sđEF

5 Hai đường thẳng song song cắt đường tròn tạo thành hai cung có số đo bằng nhau

Nếu AB/ /CD⇒sđAD=sđBC

Bài 1:

Cho đường tròn tâm O đường kính AB= 10

Dây CD vuông góc với AB tại H HA( <HB)

a) Nếu CD= 8 Tính độ dài HA HB,

b) Nếu số đo cung nhỏ CD bằng 0

120 Tính

HA

c) Nếu CD= 8 Gọi M N, theo thứ tự là hình

chiếu của H trên AC BC, Tính diện tích tứ

B

A H

O

K

F E

4

4

600

N H