Tiểu luận phát hiện và khắc phục hiện tượng phương sai sai số thay đổi

Định nghĩa Phương sai sai số thay đổi xảy ra khi giả thiết: VarU = ᵢ với i ≠ j bị vi phạm Khi giả thiết phương sai sai số đồng đều bị vi phạm thì mô hình hồi quy gặp phải hiện tượng

A.LÝ THUYẾT I.Giới thiệu về phương sai của sai số thay đổi.

1.1 Định nghĩa

Phương sai sai số thay đổi xảy ra khi giả thiết:

Var(U ) = ᵢ (với i ≠ j) bị vi phạm

Khi giả thiết phương sai sai số đồng đều bị vi phạm thì mô hình hồi quy gặp phải

hiện tượng này

1.2 Nguyên nhân

Phương sai của sai số thay đổi có thể do một trong các nguyên nhân sau:

- Do bản chất của mối liên hệ của các đại lượng kinh tế.có nhiều mối quan hệ kinh

tế có chứa hiện tượng này Chẳng hạn mối liên hệ giữa thu nhập và tiết kiệm, thôngthường thu nhập tăng thì mưc độ biến động của hiện tượng cũng tăng

- Do kỹ thuật thu nhập và sử lý số liệu được cải tiến dường như giảm Kỹ thuật thuthập số liệu càng được cải tiến thì sai lầm phạm phải càng it hơn

- Do con người học được hành vi trong quá khứ Ví dụ như lỗi của người đánh máycàng it thì nếu thời gian thực hiện càng tăng

- Phương sai của sai số thay đổi cũng cũng xuất hiện khi có các quan sat ngoại lai

Quan sat ngoại lai là các quan sat khác biệt rất nhiều (quá nhỏ hoặc quá lớn) vớicác quan sat khác trong mẫu Việc đưa vào hay loại bỏ các quan sat này ảnh hưởngrất lớn đến phân tích hồi quy

- Nguyên nhân khác đó là mô hình định dạng sai, có thể là do bỏ xot biến thích hợphoặc dạng giải tích của hàm là sai

1.3 Hậu quả

Các ước lượng bình phương nhỏ nhất β ^ là ước lượng tuyến tính khôngchệch nhưng không hiệu quả

Nếu độ rộng của biểu đồ rải của phần dư tăng hoặc giảm khi X tăng thì giả thiết về phương sai hằng số có thể không được thỏa mãn.

Ta hồi quy mô hình hồi quy gốc: Yi = b1 + b2X2i + … + bkXki + Ui

KL:Nếu độ rộng của phần dưu tăng khi X tằng thì kết luận có hiện tượng phươngsai sai số thay đổi.

Lấy ln của 2 vế ta được: lnσ i 2 = lnσ 2 + β 2 lnX ji + V i

Trong đó vi là số hạng nhiễu ngẫu nhiênPark đã đề nghị sử dụng ei2 thay cho σi2 và ước lượng hồi quy sau:

Lne i 2 = lnσ 2

i + β 2 lnX ji + V i = β 1 + β 2 X ’

ji + V i (*)

Trong đó β1= lnσi2; X’

ji = lnXji ; ei2 thu được từ hồi quy gốc

B1 ước lượng MHHQ gốc để thu được phần dư ei

B2 ước lượng mô hình ở dạng ln của các phần dư ei²

Lne i ² = β 1 + β 2 ln X i + ν i

Trường hợp có nhiều biến giải thích thì ước lượng hồi quy này với từng biếngiải thích hoặc với Ŷi

B3.Sử dụng tiêu chuẩn kiểm định T để kiểm định giả thiết:

H : phương sai sai số đồng đều H :

H1 : phương sai sai số thay đổi H1:

Nếu giả thiết Ho bị bác bỏ thì có thể kết luận về sự tồn tại của hiện tượng phương sai sai số thay đổi

2.3 Kiểm định Glejser

B1.Đầu tiên cũng MHHQ gốc để thu được phần dư ei

B2 Ta thay thế bằng một trong các mô hình sau đây:

| ei | =

| ei | =

| ei | =

| ei | =

| ei | =

| ei | =

Tương tự như kiểm định Park, sử dụng tiêu chuẩn kiểm định T, ta đi kiểm định giả thiết:

H0 : phương sai sai số đồng đều H0:

H1 : phương sai sai số thay đổi H1:

Nếu giả thiết này bị bác bỏ thì có thể kết luận có hiện tượng phương sai sai

số thay đổi

2.4 Kiểm định Goldfeld- Quandt.

- Xét mô hình hồi qui 2 biến sau : Y i = b 1 + b 2 X i + U i

Giả sử si2 có quan hệ dương với biến X theo cách sau:

s i 2 = s 2 X i 2 trong đó s2 là hằng số

- Các bước thực hiện kiểm định Goldfeld - Quandt như sau:

B1.Sắp xếp các quan sát theo thứ tự tăng dần về giá trị của biến Xj nào đó.

B2.Bỏ c quan sát ở giữa theo cách sau:

n = 30, lấy c=4 hoặc c=6; n = 60, lấy c = 10 và các quan sát còn lại thành 2 nhóm,trong đó mỗi nhóm có (n – c)/2 quan sát

B3.Sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất để ước lượng tham số của các

hàm hồi qui đối với (n – c)/2 quan sát đầu và cuối;

Thu thập tổng bình phương của các phần dư RSS1 và RSS2 tương ứng Trong đóRSS1 đại diện cho RSS từ hồi qui ứng với các giá trị của Xi nhỏ hơn và RSS2 ứngvới các giá trị Xi lớn hơn

Bậc tự do tương ứng là:

B4.KDGT Ho:phương sai của sai số không đổi

H1: : phương sai sai số thay đổi TCKĐ

 W = { ftn: ftn > F (d.d)}

 KL.Nếu ftn € Wα thì ta bác bỏ Ho chấp nhận H1 nên mô hình cóhiện tượng phương sai sai số xảy ra

2.5 Kiểm định Breusch – Pagan – Godfrey

- Xét mô hình hồi qui k biến sau: Yi = b 1 + b 2 X 2i + … + bkX ki + U i (**)

Giả sử si2 được mô tả như là một hàm số của các biến phi ngẫu nhiên Zi, Zi là các

si2 = f (z2i, z3i, …, zmi)Giả định:

si2 = a1 + a2Z2i + … + amZmi

nếu a2 = a2 = … = a2 = 0 thì s22 = a2 là hằng số

Do vậy, việc kiểm định xem liệu rằng si2 có thay đổi hay không, chúng ta có thểkiểm định giả thuyết H0: a2 = a3 = … = am = 0

• Các bước thực hiện kiểm đinhj Breusch – Pagan - Godfray như sau:

B1.Ước lượng (**) bằng phương pháp OLS để thu được phần dư e1, e2, …, en

B2.Tính

B3 Xây dựng biến pi = ei2/

B4.Hồi qui pi theo các biến Zi dưới dạng:

pi = a1 + a2Z2i + … + amZmi + vi (*) trong đó vi là số hạng ngẫu nhiên của hồi quinày

B5.Thu được ESS (tổng các bình phương được giải thích) từ (*) và xác định:

Giả thuyết rằng ui có phân phối chuẩn và khi cỡ mẫu n tăng lên vô hạn thì q »c2(m – 1) Tức là q sẽ xấp xỉ c2 với m – 1 bậc tự do

Như vậy, nếu trong áp dụng mà ta tính được q vượt giá trị tra bảng c2 với m – 1bậc tự do với mức ý nghĩa đã chọn, thì chúng ta bác bỏ giả thuyết H0 về phương saisai số thay đổi

Ngược lại, chúng ta có thể chấp nhận nó

2.6 Kiểm định White.

Xét mô hình hồi qui sau:

Y i = b 1 + b 2 X 2i + b 3 X 3i + u i

B1.Ước lượng mô hình trên bằng OLS, thu được các phần dư ei

B2.Ước lượng một tron g các mô hình sau đây:

ei2 = a1 + a2X2i + a3X3i + a4X2i2 + a5X3i2 +Vi (1)

ei2 = a1+ a2X2i + a3X3i + a4X2i2 + a5X3i2+a6X2iX3i+vi (2)(1) và (2) có thể có số mũ cao hơn và nhất thiết phải có hệ số chặn bất kể mô hìnhgốc có hay không

R2 là hệ số xác định bội, thu được từ (1) với mô hình không có số hạng chéo hay(2) với mô hình có số hạng chéo

B3.Chọn BTKD :

Với H0: phương sai của sai số không đổi, ta có thể chỉ ra rằng: nR2 có phân phốixấp xỉ c2(df), df bằng số hệ số của mô hình (1) không kể hệ số chặn

- Nếu nR2 không lớn hơn giá trị tra bảng c2(df), chúng ta chấp nhận giả thuyết H0

Do đó, chúng ta có thể kết luận trong mô hình (1) a2 = a3 = a4 = a5 = 0 hay a2 = a3

= a4 = a5 = a6 = 0 trong mô hình (2)

Ngược lại, chúng ta bác bỏ H0 và như vậy, có hiện tượng phương sai sai sốthay đổi

2.7 Kiểm định dựa trên biến phụ thuộc.

Giả thiết: Phương sai sai số ngẫu nhiên Ui là phụ thuộc theo Y

(3)

Các bước thực hiện:

B1.ƯLMHHQ gốc để thu được các phần dư ei

B2.ƯLMHHQ dạng (3) B3.Từ kết quả này thu được R² tương ứng Có thể sử dụng hai kiểm định sau

đây để kiểm định giả thiết:

H0 : phương sai sai số đồng đều

H1 : phương sai sai số thay đổi

a,KĐ TCKĐ =nR2 (R2 là hệ số phù hợp của mô hình bước 2)

Nếu Ho đúng ~ (1)

W ={ : =nR2> }

b KĐ F

KL : Nếu bác bỏ Ho thì có hiện tượng phương sai sai số xảy ra

III.Biện pháp khắc phục.

3.1 Phương sai đã biết.

Khi σi² đã biết , chúng ta có thể dễ dàng khắc phục căn bệnh đó bằng cách

sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số

Xét trường hợp mô hình hồi qui tổng thể 2 biến:

Yi = a1 + a2Xi + Ui

Chúng ta giả sử rằng phương sai sai số si2 đã biết; nghĩa là phương sai sai sốcủa mỗi quan sát đã biết Đơn giản, chúng ta chia hai vế của mô hình cho si đãbiết

Xem phần chứng minh trong giáo trình, Vi2 là hằng số Hay phần sai số

“được chuyển đổi”, vi là đồng đều

Trong thực tế, chúng ta chia mỗi quan sát Yi và Xi cho si đã biết và chạy hồiqui OLS cho dữ liệu đã được chuyển đổi này

Ước lượng OLS của a1 và a2 được tính theo cách này được gọi là ước lượngbình phương bé nhất có trọng số (WLS); mỗi quan sát Y và X đều được chia chotrọng số (độ lệch chuẩn) của riêng nó, si

3.2 Phương sai chưa biết.

Xét mô hình Yi = β1 + β2Xi + β3Zi +Ui (1)

Giả sử mô hình này thoả mãn các giả thiết của mô hình hôi quy tuyến tính cổđiển trừ giả thiết phương sai của sai số thay đổi Chúng ta xét một số giả thiết sau

về phương sai của sai số

Khắc phục theo 4 giả thiết

3.2.1 Giả thiết 1

Phương sai sai số tỉ lệ với bình phương của biến giải thích:

E(Ui² ) = σ² Xi ²

Bằng phương pháp đồ thị hoặc cách tiếp cận Park hoặc Glejser…chỉ chochúng ta rằng có thể phương sai Ui lệ với bình phương của biến giải thích X thìchúng ta có thể biến đổi mô hình gốc theo cách sau:

Chia hai vế của mô hình hồi quy gốc cho Xi (Xi ≠0) ta được:

Trong đó: Vi = là số hạng nhiễu đã được biến đổi

Khi E( vi )2 = thì ta có:

E( vi )2 =

Như vậy tất cả các giả thiết của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển được thoảmãn đối với mô hình trên Vậy ta có thể áp dụng phương pháp bình phương nhỏnhất cho phương trình đã biến

đổi Hồi quy theo Yi /Xi theo 1/Xi

Chú ý rằng trong hồi quy đã được biến đổi thì hạng số chặn β2 là hệ số góctrong phương trình hồi quy gốc và hệ số góc β1 số hạng chặn trong mô hình hồiquy gốc

3.2.2Giả thiết 2

Phương sai của sai số tỉ lệ với biến giải thích Xi

E(Ui² ) = σ² Xi

Nếu sau khi ước lượng hồi quy bằng phương pháp bình phương nhỏ nhấtthông thường, chúng ta vẽ đồ thị của phần dư này đối với biến giải thích và quansát thấy hiện tượng chỉ ra phương sai của sai số thấy liên hệ tuyến tính với biếngiải thích thì mô hình gốc sẽ được biến đổi như sau:

Chia hai vế của mô hình gốc cho (với Xi >0) ta đựơc:

Trong đó: Vi = là số hạng nhiễu đã được biến đổi

Tiến hành hồi quy bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất theo mô hìnhmới

Chú ý: Mô hình trên là mô hình không có hệ số chặn cho nên ta sử dụng môhình hồi quy qua gốc để ước lượng β1 và β2 ,sau khi ước lượng chúng ta sẽ trở lại

mô hình gốc bằng cách nhân cả hai vế mô hình này với hình trên là mô hình không

có hệ số chặn cho nên ta sử dụng mô hình hồi quy qua gốc để ước lượng β1 vàβ2 ,sau khi ước lượng chúng ta sẽ trở lại mô hình gốc bằng cách nhân cả hai vế mô

hình này với

3.2.3 Giả thiết 3

Phương sai của sai số tỉ lệ với bình phương của giá trị kỳ vọng của Yi

nghĩa là E(Ui² ) = σ² (E(Yi )² )

Khi đó thực hiện phép biến đổi biến số như sau:

=

Trong đó: = Với cách khắc phục này ta có thể tiến hành theo 2 bước:

Bước1: Ước lượng hồi quy ban đầu bằng phương pháp bình phương bé nhấtthông thường, thu được Ŷ (Yf) Sau đó dùng Ŷ (Yf) để biến đổi mô hình gốc thànhdạng như sau:

Bước 2: : Ước lượng hồi quy trên theo biến mới,dù Ŷi không chính xác làE(Yi), chúng chỉ là ước lượng vững nghĩa là khi cỡ mẫu tăng lên vô hạn thì chúnghội tụ đến E(Yi).Chú ý phương pháp này có thể sử dụng với bài toán có cỡ mẫutương đối lớn

3.2.4 Giả thiết 4

Dạng hàm sai

Thay cho việc ước lượng hồi quy gốc ta sẽ ước lượng hồi quy:

ln Y i = β 1 + β 2 lnX i + β 3 lnZ i +U i

Ước lượng mô hình theo biến mới Việc ước lượng hồi quy trên có thể làm giảmphương sai của sai số thay đổi do tác động của phép biến đổi loga Một trong ưuthế của phép biến đổi loga là hệ số góc là hệ số co dãn của Y đối với X

KL: Để khắc phục hiện tượng phương sai sai số thay đổi ta có thể sử dụng 1trong 4 cách phục trên đây Tuỳ từng mô hình ta có thể sử dụng các giả thiết đểkhắc phục riêng

B BÀI TẬP THỰC HÀNH TRÊN EVEWS.

Dựa trên cơ sỏ lý luận đã tìm hiểu và sự phân tích một tình huống kinh tế cụthể để phát hiện và khác phục hiện tượng phương sai của sai số thay đổi Ta sửdụng bảng số liệu thể hiện mối quan hệ giữa giá trị sản xuất nông nghiệp theo giátrị thực tế với sản lượng và diện tích trồng lúa cả năm của nước ta từ năm 1990 đếnnăm 2009

Dưới đây là bẳng số liệu thu thập được Nguồn lấy từ tổngcụcthốngkê(http://www.gso.gov.vn/default.aspx?

tabid=390&idmid=3&ItemID=10038, http://www.gso.gov.vn/default.aspx?

tabid=390&idmid=3&ItemID=10049)

Yi : Giá trị sản xuất nông nghiệp theo giá trị thực tế (tỷ đồng)

Xi : Sản lượng lúa cả năm (nghìn tấn)

Zi : Diện tích lúa cả năm ( nghìn ha)Với mức ý nghĩa α = 5% hãy phát hiện hiện hiện tượng phương sai sai số thay đổi

và khắc phục hiện tượng này

I Lập mô hình hồi quy mô tả mối quan hệ phụ thuộc giữa các biến.

Ta có mô hình hồi quy tổng thể:

Yi = β1 + β2Xi + β3Zi + Ui

Trong đó: Yi : Giá trị sản xuất nông nghiệp theo giá trị thực tế

Xi : Sản lượng lúa cả năm

Zi : Diện tích lúa cả năm

Ui : sai số ngẫu nhiênThực hiện ước lượng mô hình trên theo phương pháp bình phương nhỏ nhấttrên phần mềm eviews ta có bảng 1:

Từ kết quả ước lượng trên ta thu được hàm hồi quy mẫu có dạng như sau:

Ŷ i = 420749.9 + 22.25775*Xi – 133.0592*Zi

Ước lượng mô hình trên ta được bảng giá trị các phần dư ei và lưu với tên e

Và biến Ŷi lưu với tên mặc định yf Bảng 3:

II Phát hiện hiện tượng phương sai sai số thay đổi bằng các kiểm định.

1 Phát hiện hiện tượng bằng kiểm định White

a Kiểm định White có tích chéo

Ước lượng mô hình :

ei2 = α1+ α2 Xi+ α3Zi+ α4Xi² + α5Zi² +α6XiZi + Vi

Từ cửa sổ Equation chọn View → Residual Test → WhiteHeteroskedasticity (coss terms) Ta được bảng 4:

Từ bảng kết quả Eviews ta thu đưojc mô hình : = (-2.26E+11) – 6417147*Xi + 84256936*Zi + 121.0646*Xi² - 5201.868*Zi² -130.4743*XiZi.

Kiểm định giả thuyết :H0: α2 = α3 = α4 = α5 = α6 = 0H1: Tồn tại ít nhất αj 0 (j = 2 -> 6) BTKD  Ho : phương sai của sai số không đổi H1 : phương sai của sai số thay đổi

Sử dụng tiêu chuẩn kiểm định : χ2 = nR2 ~ χ2(m)

Với m là số hệ số trong mô hình (2) không tính hệ số chặn

Ta có miền bác bỏ : Wα = { χ2

tn : χ2

tn > χ2(m)

α }Theo kết quả bảng 4 ta có χ2

tn = 15.52547

Với α = 0,05 , m = 5 ; nên χ2

0,05(5) = 11,0705

Ta thấy χ2

tn > χ2 0,05(5) => bác bỏ giả thuyết H0

Kết luận : Với mức ý nghĩa α = 0,05, thì mô hình trên có hiện tượng phương saicủa sai số thay đổi

b Kiểm định White không có tích chéo.

Ước lượng mô hình : ei2 = α1+ α2 Xi+ α3Zi+ α4Xi² + α5Zi² + Vi

Từ cửa sổ Equation chọn View → ResidualTest→ White Heteroskedasticity(no coss terms) Ta được bảng 5

Từ bảng báo cáo trên ta có mô hình hồi quy:

ei2 = (-2.43E+11) – 7075240 Xi + 91673909 Zi + 116.5538 Xi² – 5990.575 Zi² (3)

Kiểm định giả thuyết: H0: α2 = α3 = α4 = α5 = 0

H1: Tồn tại ít nhất αj # 0 (j = 2, 3, 4, 5)

Sử dụng tiêu chuẩn kiểm định : χ2 = nR2 ~ χ2(m)

Với m là số hệ số trong mô hình (3) không tính hệ số chặn

Ta có miền bác bỏ : Wα = { χ2

tn : χ2

tn > χ2(m)

α }Theo kết quả bảng 5 ta có χ2

tn = 15.52237 Với α = 0,05 , m = 4 ; nên χ2

0,05(4) = 9,48773

Ta thấy χ2

tn > χ2 0,05(4) => bác bỏ giả thuyết H0

Kết luận : Với mức ý nghĩa α = 0,05, thì mô hình trên có hiện tượng phương saicủa sai số thay đổi

2.Kiểm định park.

Ước lượng mô hình dạng : ln = + ln + Vi

Thực hiện trên bảng eviews ta được bảng 6

Từ kq bảng ivews ta thu được MH ở dạng ln của các phần dư ei ²

ln ei ²=-0.298947 + 1.722063ln(YF) + Vi.

Để kiểm tra mô hình trên có hiện tượng phương sai sai số thay đổi hay không

Ta tiến hành kiểm định cặp giả thuyết sau :

H0:  H0 : phương sai sai số đồng đều

H1: H1 : phương sai sai số thay đổi

Sử dụng tiêu chuẩn kiểm định : T =

Nếu H0 đúng T ~ T(n-k)

Miền bác bỏ : Wα = { ttn: |ttn | > t(n-k)

α/2 }Theo kết quả bảng 5 ta có ttn = 2.974939 Với α = 0,05 , k = 2 ; nên t0,025(18) = 2,101

Ta thấy |ttn| > t0,05(18) => bác bỏ giả thuyết H0

Kết luận : Với mức ý nghĩa α = 0,05, có thể nói mô hình trên có phương sai của sai

số thay đổi

3.kiểm định glejser.

Từ mô hình hồi quy mẫu:

Ŷi = 420749.9 + 22.25775*Xi – 133.0592*ZiSau khi lưu phần dư ei và dưới dạng (yf) ta thực hiện hồi quy theo mô hình sau:

│ei│= β1+ β2Xi + Vi

Để hồi quy được mô hình trên trên cửa sổ chính Eviews ta thực hiện các thaotác sau, chọn Quick→ Estmate Equation sau đó nhập tên các biến lần lượt là :abs(e) c yf ta được :