tat tan tat ve cac truong hop bang nhau cua tam giac vuong chi tiet

Phương pháp giải Ngoài các trường hợp bằng nhau đã biết của hai tam giác vuông, còn có trường hợp bằng nhau theo cạnh huyền – cạnh góc vuông..  Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của

Trang 1

CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG

A Phương pháp giải

Ngoài các trường hợp bằng nhau đã biết của hai tam giác vuông, còn có trường hợp bằng nhau theo cạnh huyền – cạnh góc vuông

 Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau

90

(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

B Một số ví dụ

Ví dụ 1: Cho tam giác cân tại A Đường

thẳng vuông góc với AB tại B cắt đường

thẳng vuông góc với AC tại C ở D Chứng

minh rằng AD là tia phân giác của góc

BAC

Giải

* Tìm cách giải Để chứng minh AD là tia phân giác của góc BAC, chúng ta cần chứng minh

BAD CAD Do đó hiển nhiên cần chứng minh BAD CAD

* Trình bày lời giải

Trang 2

Xét BADvà CAD có: ABD ACD 90 ; AD là cạnh chung;AB AC ( ABCcân tại A)

Do đó BAD CAD (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

BAD CAD (cặp góc tương ứng)

Vậy AD là tia phân giác góc BAC

* Nhận xét Chúng ta còn có DA là tia phân giác của góc BDC, tam giác DBC cân tại D

AD vuông góc với BC

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ AH vuông góc với BC Trên cạnh BC lấy điểm

E sao choBE BA Kẻ EK AC K AC Chứng minh rằng AK AH.

Giải

* Tìm cách giải Để chứng minh AK AH,

chúng ta cần ghép chúng vào hai tam giác

và chứng minh hai tam giác đó bằng nhau

Do vậy cần chứng minh AEH AEK

* Trình bày lời giải

ABE cân tại B nên BAE BEA EK, / /AB(vì

cùng vuông góc với AC) EAB AEK (so

le trong) AEH AEK

AEH AEK (cạnh huyền - góc nhọn),

suy ra AK AH

Ví dụ 3 Cho tam giác ABC (AB < AC), M là trung điểm của BC Đường trung trực của BC

cắt tia phân giác của góc BAC tại điểm P Vẽ PH và PK lần lượt vuông góc với đường thẳng

AB và đường thẳng AC

a) Chứng minh PB = PC và BH = CK

b) Chứng minh ba điểm H, M, K thẳng hàng

c) Gọi O là giao điểm của PA và HK

Giải

Trang 3

a) PMB và PMCcó PMB PMC 90 ,MB MC, MP là cạnh chung

PMB PMC c g c PB PC (hai cạnh tương ứng)

b) PHAvà PKA có PHA PKA 90 ,PAH PAK, AP là cạnh chung

PHA PKA (cạnh huyền - góc nhọn)

PH PK (hai cạnh tương ứng)

PHB PKC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

BH CK (hai cạnh tương ứng)

b) Kẻ BE/ /AC E HK BEH AKH(hai góc đồng vị) (1)

Mà PHA PKA(chứng minh trên) AH AK(hai cạnh tương ứng)

AHKcân tại A AHK AKH(tính chất tam giác cân) (2)

Từ (1) và (2) BEH AHK hay BEH BHE

BEH cân tại B BH BE.

Mà BH CK(chứng minh trên) BE CK

BEM CKM (c.g.c)

BME CMK (hai góc tương ứng)

Mà BME EMC 180 (hai góc kề bù)

Mà E HK H, M, K thẳng hàng

AOH AOK, suy ra AOH AOK, mà hai góc này kề bù nên

Trang 4

90

Áp dụng định lý Py-ta-go vào các tam giác vuông tại O là OAH, OAK, OPH, OPK ta có:

;

;

AH PH PA (định lý Py-ta-go)

C Bài tập vận dụng

11.1 Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh BC lấy D, E (D nằm giữa B và E) sao cho

BD CE Vẽ DM AB tại M, EN ACtại N Gọi K là giao điểm của MD và NE Chứng minh rằng:

11.2 Cho tam giác ABC cân tại A Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia

CB lấy điểm E sao choBD CE Kẻ BH ADtại H, kẻ CK AEtại K

Chứng minh rằng:

b) AHB AKC;

c) BC/ /HK.

11.3 Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, AM là tia phân giác góc A Kẻ MH

vuông góc với AB; MK vuông góc với AC Chứng minh rằng:

a) MH MK;

b) ABCcân

11.4 Cho tam giác ABC vuông tại A có C 30 ,đường cao AH Trên đoạn HC lấy điểm D sao choHD HB Từ C kẻ CE AD Chứng minh rằng:

a) Tam giác ABD là tam giác đều

b) EH song song với AC

11.5 Cho tam giác ABC vuông tại A Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD BA Qua D

vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại E

Trang 5

a) Chứng minh rằng:AE DE

b) Đường phân giác góc ngoài tại C cắt đường thẳng BE tại K TínhBAK

11.6 Cho tam giác ABC có AB AC BAC; 90 và M là trung điểm của BC Trên tia đối của tia CB lấy điểm D Kẻ BK vuông góc với đường thẳng AD tại K Chứng minh rằng KM là tia phân giác của BKD

11.7 Cho tam giác DEF vuông tại D vàDF DE Kẻ DH vuông góc với EF (H thuộc cạnh EF) Gọi M là trung điểm của EF Chứng minh rằng MDH E F

11.8 Cho tam giác ABC vuông cân đáy BC Gọi M, N là trung điểm của AB, AC Kẻ

NH CMtại H, kẻ HE ABtại E Chứng minh rằng:

a) Tam giác ABH cân

b) HM là tia phân giác góc BHE

Trang 6

HƯỚNG DẪN GIẢI 11.1

a) Xét MBD và NCE có: BMD CNE 90 ;

;

(cạnh huyền – góc nhọn) MB NC

b) MBD NCE (chứng minh trên)

MB NC

Xét MAK và NAK có: AMK ANK 90 ;

AK là cạnh chung; AM = AN

Do đó MAK NAK (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

11.2

a) Ta có ABD ABC 180 ;ACE ACB 180 mà

BD CE BHD CKE (cạnh huyền – góc nhọn)

b) Ta có AHB và AKC có AHB AKC 90 ;

;

AB AC BH CK BHD CKE

AHB AKC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

2

HAK AHK

2

DAE ADE

/ /

AHK ADE HK DE Vậy BC // HK

11.3

a) AHM và AKM có: AHM AKM 90 ;

Trang 7

AHM AKM (cạnh huyền góc nhọn)

b) BHM và CKM có BHM CKM 90 ;

;

BM MC MH MK

BHM CKM (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

B C ABC cân tại A

11.4

a) AHB AHD (c.g.c), suy ra AB = AD

ABC vuông tại A, có C 30 nên B 60

Tam giác ABD cân, có B 60 nên ABD là tam giác đều

AHC CEA (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra CH = AE

ADC cân tại vì DAC DCA nên DA = DC

Suy ra AE AD CH CD hay DE DH Do đó DEH cân tại D, hai tam giác cân DAC và

/ /

EH AC

11.5

a) ABE và DBE có:

90

A D (Vì AE AB AD, BC) AB AD (giả thiết), BE: cạnh chung

Vậy ABE DBE (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

AE DE

b) Từ câu a) suy ra ABE DBE, do đó BK là phân giác của góc ABC

Trang 8

Vẽ KN BA KH, AC KM, BC

Tam giác vuông KMC và tam giác vuông KHC có: C2 C1 (giả thiết); CK cạnh chung

Do đó KMC KHC (cạnh huyền – góc nhọn), suy ra KM KH (1)

Ta lại có KMB KNB (cạnh huyền – góc nhọn) nên KM KN (2)

Từ (1) và (2) suy ra KH KN

Tam giác vuông AKH và tam giác vuông AKN có:

;

KH KN AK cạnh chung

Do đó AKH AKN (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

11.6 Kẻ MH BK MI, KD

ABC vuông cân tại A có MB MC nên dễ dàng suy ra AMB AMC (c.c.c), từ đó suy ra

,

Trang 9

MHK và MIK có MHK MIK 90 , MK chung; MH = MI

MHK MIK (cạnh huyền – cạnh góc vuông) HKM IKM

Vậy KM là tia phân giác BKD

11.7 Áp dụng ví dụ 10 chuyên đề 8, ta có: ME = MD

MDE cân tại M MDE E

Mặt khác, ta có: HDE F (cùng phụ với góc HDF)

Trang 10

11.8

a) Từ A kẻ AK MC tại K và AQ HN tại Q

Hai tam giác vuông MAK và NCH có

1 , 2

BAK và ACH có AK = CH, A1 C1, AB = CA

.

AQN và CHN có AN = NC,

Từ (1) và (2), suy ra: AK = AQ

AKH và AQH có AKH AQH 90 ,AK AQ AH, chung

Tam giác AKH có KHA 45 nên nó vuông cân tại K suy ra KA = KH

.

BKA BKH c g c BA BH hay ABH cân tại B

Trang 11

b) Dễ chứng minh được AKB và HKB c c c . A1 H1

Mà HE/ /CA H2 C1 (góc đồng vị) vì A1 C1 H1 H2

Hay HM là tia phân giác góc BHE