Giả sử n nguyên dương.. a Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD.. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và DH.. Gọi I là trung điểm của AA'... a Tính góc giữa hai mặt phẳng S
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán - Lớp 11; Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 (1,5 điểm) Giả sử n nguyên dương Tính tổng
S = C − C + C −L + n− nC
Câu 2 (1,5 điểm) Giả sử ( )f x là hàm số chẵn trên ¡ và tồn tại '(0) f Chứng minh
rằng '(0) 0.f =
Câu 3 (1,5 điểm) Chứng minh rằng phương trình 1 1 cosx 12sinx 0
vô số nghiệm
Câu 4 (1,5 điểm) Cho dãy số ( )u n n 1
≥ xác định bởi
2
n
n n
+
−
+
Tìm lim( )nu n
Câu 5 (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
· 60 ,0
4
a
SA = và vuông góc với (ABCD)
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD)
b) Gọi H là hình chiếu của B lên SC Tính theo a khoảng cách giữa hai
đường thẳng AB và DH
Câu 6 (2,0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác cân tại A, ABC· =α, góc giữa BC' và (ABC) bằng β. Gọi I là trung điểm của AA'.
Biết rằng BIC· =90 0 Tính giá trị của biểu thức S = tan2α +tan 2β
HẾT
-Ghi
chú: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu;- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Trang 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN CHUYÊN HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán - Lớp 11; Thời gian làm bài: 150 phút
Câu
1
(1,5
điểm)
Giả sử n nguyên dương Tính tổng
S = C − C + C −L + n− nC
Với n ≥ 2 Sử dụng khai triển Niu-tơn cho biểu thức
Tính f'' 1( )− = 0 theo hai cách suy ra S n = 0 0,5
Câu
2
(1,5
điểm)
Giả sử f x( ) là hàm số chẵn trên ¡ và tồn tại f '(0) Chứng minh rằng f '(0) 0.=
Theo định nghĩa ta có
0
( ) (0) '(0 ) lim
t
f t f f
t
+
+
→
−
ff
0,5
Theo giả thiết, tồn tại f '(0) Suy ra ff'(0 )+ = '(0 ).− (2) 0,5
Từ (1) và (2) ta có ff'(0 )+ = '(0 ) 0.− = Do đó f '(0) 0.= 0,5
Câu
3
(1,5
điểm)
Chứng minh rằng phương trình 1 1 cosx 12sinx 0
Đặt f x( ) 1 1 cosx 12sin ,x x 0
Rõ ràng f x( ) là hàm liên tục trên khoảng (0;+∞).
0,5
Xét hai dãy số ( )n 1, ( )n 1
≥ ≥ xác định bởi
2 , 2 , 1, 2, 3,
a =n π b = +π n π n =
Rõ ràng ta có a n <b n <a n+1, với mọi n ≥1 Do đó (a b n; n) và (a b m; m)
là các khoảng rời nhau với ∀m n, ≥1, m n≠ . (1)
0,5
+
Suy ra trên mỗi khoảng (a b n; n) phương trình f x( ) 0= có ít nhất một
nghiệm (2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh
0,5
Câu
4
(1,5
điểm)
Cho dãy số ( )u n n 1
≥ xác định bởi 1 5, 1 1 2 1 , 1, 2,
2
n
n n
+
−
+
Tìm lim( )nu n
Trang 31 2 1 2
+
1 2
+
2
3 2. 2
u
n
−
Chú ý rằng, bằng quy nạp ta chứng minh được 2n+1>n2, ∀ ≥n 1 0,5 Suy ra 0 3 1 12
2n
n n
−
< < Từ đây suy ra lim 3 1 0
2n
n
− =
3
2
n
nu = + − =
0,5
Câu
5
(2,0
điểm)
Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD· = 60 ,0
6 4
a
SA = và vuông góc với (ABCD)
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD)
b) Gọi H là hình chiếu của B lên SC Tính theo a khoảng cách giữa hai
đường thẳng AB và DH
a) Ta có
( )
SBC SDC ccc
nên chân đường cao của hai tam giác này kẻ từ B và D
trùng nhau tại H Khi đó
((SBC), (SCD)) (= HB HD, )
0,5
Gọi O =AC ∩BD Vì SC ⊥(BHD) nên SC ⊥OH. Kẻ đường cao AI
của tam giác SAC Khi đó
2
6 3
3 8
3 / 6
BHO
OH a
= = = Do đó BHD· = 2BHO· =120 0
Suy ra ((·SBC), (SCD)) (= HB HD· , ) 180= 0−1200 =60 0
0,5
b) Mặt phẳng chứa DH và song song với AB là (SCD). Kẻ
AM ⊥CD tại M, AK ⊥SM tại K Khi đó AK ⊥(SCD). Suy ra
d AB DH =d AB SCD =d A SCD =AK
0,5
Trang 4sin60
2
vuông AMS ta có
2
a AK
AK = AM + AS = a + a = a ⇒ =
2
a
d AB DH =
0,5
Câu
6
(2,0
điểm)
Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác cân tại A, ABC· =α,
góc giữa BC ' và (ABC) bằng β Gọi I là trung điểm của AA' Biết rằng
· 90 0
BIC = Tính giá trị của biểu thức S = tan2α +tan 2β
Vì CC ' (⊥ ABC) nên
(BC ', (ABC)) CBC'
Gọi M là trung điểm của BC Ta
có AM ⊥BC Đặt BC =x Ta có
2cos
x
AB AC
β α
0,5
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AIB ta có
α
0,5
Vì BC ⊥AM BC, ⊥IA ⇒BC ⊥(IAM)⇒BC ⊥IM. Do đó tam giác
IBC vuông cân tại Suy ra 2 1 2 1 2
BI = BC = x
0,5
Từ đó suy ra
2
x
