Giáo trình Cơ học lý thuyết: Phần 2 - Trần Huy Long

Tiếp nối nội dung phần 1, phần 2 giáo trình Cơ học lý thuyết – Trần Huy Long tiếp tục cung cấp cho các bạn nội dung 6 chương còn lại gồm: Định lí động lực học; Nguyên lí di chuyển khả dĩ; Nguyên lí Đailambe; Động lực học vật rắn;... Hi vọng với cuốn giáo trình chúng tôi cung cấp, các bạn sẽ học tập thật tốt và có thể áp dụng vào thực tiễn cuộc sống.

7 CHƯƠNG VII: CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC

7.1 Định lý chuyển động khối tâm:

7.1.1 Các đặc trưng hình học của cơ hệ:

m r r

M

(7.1) trong đó: rC là vectơ định vị khối tâm C

M =m là khối lượng cơ hệ

Nếu chiếu (7.1) lên hệ trục tọa độ Oxyz, ta có:

C C C

k k k

k k k

k k k

m x x

M

m y y

M

m z z

2.- Xác định khối tâm: Nếu cơ hệ ở trong trường trọng lực, chú ý rằng: P mg=

nên trong các biểu thức (7.1) và (7.2) nhân tử số và mẫu số với g, ta được:

C

k k k

P r r

k k k

k k k

P x x

P

P y y

P

P z z

Chú ý: Trọng tâm chỉ tồn tại trong trường trọng lực, còn khối tâm thì luôn luôn

tồn tại khắp mọi nơi

7.1.1.2 Momen quán tính của cơ hệ:

1.- Định nghĩa:

• Momen quán tính của cơ hệ đối với trục z là tổng

các tích khối lượng từng chất điểm của cơ hệ với bình

phương khoảng cách từ chất điểm đến trục z Ký hiệu là J z

(Hình 7.2)

2

z k k k

2

Ta có: J z 0;JO 0 và có thứ nguyên là tích khối lượng với bình phương độ

dài Đơn vị của momen quán tính trong hệ SI là kg.m2

Từ Hình 7.2, nếu ta lấy O làm gốc của hệ tọa độ Oxyz, ta có:

( )2 2

Trong kỹ thuật người ta thường biểu diễn momen quán tính của vật đối với 1 trục bằng tích của khối lượng với bình phương bán kính quán tính  :

Dễ dàng thấy rằng: J xy = J yx ; J yz =J zy ; J zx = J xz

Momen quán tính của vật đối với một trục đặc trưng cho tính quán tính của vật đối với chuyển động quay quanh trục

2.- Momen quán tính của một số vật đồng chất:

a.- Thanh đồng chất:

Giả sử thanh AB có khối lượng M,

chiều dài l, bỏ qua chiều dày và chiều rộng

Từ A ta lập hệ tọa độ Đề các vuông góc Axy

với Ax là trục dọc theo thanh AB, còn Ay ⊥

AB (Hình 7.3)

x y

x k

b.- Vành tròn đồng chất:

Giả sử vành tròn đồng chất có khối lượng M, bán kính R

có tâm O Ta lập hệ tọa độ Oxyz với Ox và Oy là các đường

kính vành tròn, Oz vuông góc với mặt phẳng chứa vành tròn

Để tính momen quán tính đối với trục z, ta chia vành tròn

y z

c.- Tấm tròn đồng chất:

Cho tấm tròn đồng chất khối lượng M, bán kính R, để

tính momen quán tính đối với trục Oz đi qua tâm O và vuông

góc với mặt phẳng tấm, ta chia tấm ra các phần tử là các hình

vành khăn đồng tâm O có khối lượng m k , bán kính r k và bề

y z

3.- Momen quán tính của vật đối với các trục song song:

Định lý Huygen: Momen quán tính của vật đối với một trục nào đó bằng

momen quán tính của vật đối với trục đi qua khối tâm song song với trục ấy cộng với tích khối lượng với bình phương khoảng cách 2 trục

2

z z

Chứng minh:

Hai trục cần

lấy momen quán tính

của vật song song với

nhau, ta chọn 2 hệ

tọa độ Ox’y’z’ và

Cxyz (C là khối tâm

vật) sao cho Oy và Cy

trùng nhau (Hình

7.6) Theo định nghĩa

momen quán tính của

vật đối với một trục,

  (với yC là tọa độ của khối tâm C

trên trục y đối với hệ trục Cxyz nên y =C 0

Ví dụ: Trong ví dụ tính momen quán tính của

thanh đồng chất, ta đã tính được momen quán tính

của thanh đối với trục đi qua đầu thanh là

Từ đó ta dễ dàng suy ra công thức tính momen quán tính của thanh đối với trục vuông góc đi qua điểm giữa của thanh (khối tâm C) (Hình 7.7) Theo định lý Huygen,

4.- Momen quán tính của vật rắn đối với trục bất kỳ qua gốc tọa độ:

Cho vật rắn với hệ trục tọa độ Đề các vuông

góc Oxyz Ta cần tính momen quán tính của nó đối

với trục O (Hình 7.8) Theo định nghĩa (7.5), ta có:

2

k k k

J =m h

với: h k là khoảng cách từ chất điểm

m k đến trục O

os −2J yzcos cos  −2J zxcos cos 

Từ đó, ta có định lý sau:

Momen quán tính của vật rắn đối với trục  bất kỳ qua gốc tọa độ được xác định bằng biểu thức:

2 cos cos 2 cos cos 2 cos cos

5.- Momen quán tính của tiết diện phẳng:

Trong một số trường hợp, ta cần tính momen quán tính của tiết diện phẳng đối với một trục nào, khi đó ta coi tiết diện có khối lượng trên một đơn vị diện tích là đơn

vị nên ta có thể thay khối lượng M trong các công thức tính momen quán tính bằng diện tích S của tiết diện

Ví dụ: Momen quán tính của tiết diện tròn đối với trục Oz vuông góc với diện

tích đi qua tâm O của nó được tính bằng công thức:

Bảng 7.1: Momen quán tính một số vật đồng chất

Thanh mảnh

khối lượng M,

z l

C

x

2

120

x z y

x y z

MR

MR J

z

O

a 2

a 2

b 2 b 2

R x

z

y

R x

Dạng Vật đồng chất Momen quán tính đối với trục

Quả cầu khối

lượng M, bán

kính R

y z

x y z

J =J =J = MR

6.- Trục quán tính chính và trục quán tính chính trung tâm:

Định nghĩa: Trục Oz được gọi là quán tính chính tại O nếu thỏa mãn các điều

kiện sau:

0

zx zy

J = J =

Trục Oz được gọi là quán tính chính trung tâm nếu nó là trục quán tính chính và

đi qua khối tâm

Chú ý: Nếu 2 trục Ox và Oy vuông góc là các trục quán tính chính thì trục Oz

vuông góc với chúng cũng là trục quán tính chính

➢ Tính chất trục quán tính chính:

– Người ta cũng chứng minh rằng tại mỗi điểm của vật rắn tồn tại 3 trục quán tính chính vuông góc với nhau

– Vật rắn đồng chất có trục đối xứng thì trục đó là trục quán tính chính trung tâm

– Vật rắn đồng chất có mặt phẳng đối xứng thì trục bất kỳ thẳng góc với mặt phẳng đối xứng là trục quán tính chính tại điểm giao của mặt phẳng đối xứng và trục

Chú ý: Vì khối tâm của vật rắn có mặt phẳng đối xứng nằm ngay trên mặt

phẳng đối xứng nên trục quán tính chính trung tâm là trục thẳng góc với mặt phẳng đối xứng qua khối tâm

Từ những tính chất nêu trên, ta thấy để tính momen quán tính của vật rắn đối với trục bất kỳ thì ta chỉ cần biết momen quán tính của nó đối với 3 trục quán tính chính vuông góc tại khối tâm (tức hệ trục quán tính chính trung tâm) Trong sổ tay kỹ thuật người ta thường cho sẵn các giá trị momen quán tính của vật rắn đối với trục quán tính chính trung tâm

7.1.2 Định lý chuyển động khối tâm:

7.1.2.1 Định lý:

Khối tâm của một cơ hệ chuyển động như một chất điểm tại đó tập trung khối lượng toàn bộ cơ hệ dưới tác động của lực bằng vectơ chính các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ

Chứng minh: Giả sử cơ hệ có n chất điểm khối lượng m m1, 2, ,m n Mỗi chất điểm chịu tác dụng của ngoại lực e

k

F và nội lực i

k

F Áp dụng định luật 2 Newton cho

mỗi chất điểm:

Định lý đã được chứng minh

7.1.2.2 Phương trình vi phân chuyển động khối tâm:

1.- Chiếu phương trình vectơ (7.17) lên các trục của hệ tọa độ Oxyz:

2.- Trong trường hợp biết quỹ đạo chuyển động của khối tâm, ta có thể chiếu

phương trình (7.17) lên các trục của hệ tọa độ tự nhiên Cnb:

2 2

0

C

2 C

x

n

b

e k k e k k e k k

d x

dt V

7.1.2.3 Định lý bảo toàn chuyển động khối tâm:

Tức là: khối tâm cơ hệ chuyển động thẳng đều hoặc đứng yên

2.- Từ (7.17), ta nhận thấy nếu hình chiếu vectơ chính hệ ngoại lực lên một trục

tọa độ nào đó bằng 0, ví dụ: k e x 0

Ví dụ 7.1: Xác định phản lực

của nền lên trục quay của một mô tơ

được mô hình bằng khối lượng lệch tâm

một đoạn OM = e với khối lượng lệch

tâm là m2 Vỏ mô tơ có khối lượng m1

Trục quay đang quay đều với vận tốc

góc 

Bài giải:

Do phản lực động cơ gắn chặt

với nền có các phản lực N x và N y

(Hình 7.9) Khảo sát chuyển động của

C C

x y

C

x y

N N

động Chiếc thuyền có chiều dài AB

= l, trọng lượng Q đang đậu trên

mặt nước Đầu thuyền có một người

trọng lượng P đứng (Hình 7.10) Hỏi

thuyền dịch chuyển một đoạn bao

nhiêu nếu người đó đi từ đầu thuyền

đến cuối thuyền Bỏ qua sức cản

của nước

Bài giải:

Xét hệ gồm thuyền và người

Lực tác động lên hệ: (P Q N, , )

P

Q

N

P Q

N

x a

N là phản lực của nước có phương vuông góc mặt nước do bỏ qua lực cản

Chọn trục Ox nằm ngang Ta nhận thấy:

0

x

e k k

F =

 (tổng hình chiếu các ngoại lực lên trục Ox bằng 0)

Theo (7.1.2.3), vận tốc khối tâm hệ theo phương x được bảo toàn, tức:

x là tọa độ x của khối tâm tại thời điểm người đi đến B Giả sử lúc đó thuyền

đi được một đoạn là x

Thuyền đi ngược một đoạn: P l

P+Q

7.2 Định lý biến thiên động lượng:

7.2.1 Động lượng:

7.2.1.1 Động lượng chất điểm là một đại lượng vectơ bằng tích khối lượng chất điểm với

vận tốc của nó: m v

7.2.1.2 Động lượng cơ hệ bằng tổng động lượng các chất điểm Ký hiệu động lượng cơ hệ là

7.2.2 Xung lượng của lực:

7.2.2.1 Xung lượng nguyên tố:

Xung lượng nguyên tố là đại lượng bằng tích của lực nhân với vi phân thời gian

dt: ds Fdt= biểu thị tác dụng của lực trong khoảng thời gian dt

7.2.2.2 Xung lượng hữu hạn:

Xung lượng hữu hạn bằng tổng các xung lượng nguyên tố

1

0

t t

biểu thị tác dụng của lực trong khoảng thời gian (t t , )

7.2.3 Định lý biến thiên động lượng:

7.2.3.1 Định lý 1:

Đạo hàm động lượng của cơ hệ theo thời gian bằng vectơ chính các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ

e k k

F là nội lực tác dụng lên chất điểm thứ k

Lấy tổng 2 vế phương trình trên theo k:

= , ta có:

e k

dQ=F dt

Lấy tích phân 2 vế từ t0 đến t1:

1 1

0 0

e k k

k k

k k e z

k k

dQ

F dt

dQ

F dt

dQ

F dt

1 0

0 1

7.2.5 Áp dụng:

Ví dụ 7.3: Một chiếc xe khối lượng M đang đứng yên Một viên đạn bay

ngang với vận tốc v đập vào xe (Hình 7.11) Hỏi xe chuyển động thế nào, biết khối

lượng viên đạn là m và bỏ qua ma sát giữa xe và mặt đường, giả sử sau khi viên đạn

đập vào xe nó cùng với xe chuyển động

Bài giải:

Khảo sát xe và viên đạn

Các ngoại lực tác dụng lên hệ:

Q là hình chiếu vectơ động lượng của hệ lên trục x trước khi

viên đạn đập vào xe:

Ví dụ 7.4: Dòng nước chảy từ

vòi phun nằm ngang với vận tốc

10 m

v

s

= và đập vào tường chắn thẳng

đứng Biết đường kính của đầu vòi phun

4

d = cm Bỏ qua sự nén của dòng nước

và giả sử sau khi đập vào tường, nước

chảy dọc theo tường Xác định áp lực

của dòng nước lên tường chắn (Hình

Xét khối nước aabbcc với các mặt cắt bb và cc bắt đầu chảy dọc theo tường Giả sử sau thời gian dt khối nước chảy đến vị trí a a b b c c      Áp dụng định lý biến

thiên động lượng cho khối nước aabbcc, ta có:

Suy ra: Q1−Q0 =Q bbb b ccc c    −Q aaa a 

Lực tác dụng lên khối nước gồm trọng lượng P và phản lực N

Chiếu đẳng thức (a) lên trục x, ta có:

0

0

t dt aaa a

2

2

d vdt v N dt

d

N =  v

Thay số: N =125,6( )N

7.3 Định lý biến thiên momen động lượng:

7.3.1 Momen động lượng:

7.3.1.1 Momen động lượng của chất điểm đối với một điểm O (hoặc đối với trục z) là

momen của vectơ động lượng của chất điểm đối với điểm (hoặc trục) đó

( ) ( )

7.3.1.2 Momen động lượng của cơ hệ đối với 1 điểm O (hoặc đối với trục z) bằng tổng

momen động lượng của các chất điểm của cơ hệ đối với điểm (hoặc trục) đó

( ) ( )

z

k k k

7.3.1.3 Tính momen động lượng của vật rắn quay quanh trục cố định:

Giả sử vận tốc góc là  (Hình 7.13):

Đạo hàm theo thời gian vectơ momen động lượng của cơ

hệ đối với điểm O bằng tổng vectơ momen các ngoại lực đối với

điểm đó:

( )

O

O k e k

d L

dt = (7.28)

h z

Đạo hàm theo thời gian của của momen động lượng cơ hệ đối với trục z bằng

tổng momen các ngoại lực đối với trục đó:

( )e

z

z k k

d L

m F

Chứng minh:

Trước hết ta chứng minh đẳng thức (7.28) Giả sử hệ có n chất điểm, áp dụng

định luật II Newton cho từng chất điểm:

7.3.2.3 Phương trình vi phân chuyển động vật rắn quay quanh trục cố định:

Vật rắn quay quanh trục cố định z, ta có (7.27):

Nếu tổng momen các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ đối với trục z bằng 0 thì

momen động lượng cơ hệ đối với trục đó bảo toàn

Ví dụ 7.5: Viết phương trình vi phân chuyển động con lắc

vật lý có khối lượng M, momen quán tính đối với trục quay là J và

khoảng cách từ khối tâm đến trục quay là a (Hình 7.14)

Bài giải:

Khảo sát chuyển động của con lắc vật lý

Các lực tác dụng: ,M g R O

+  = , nghiệm của nó có dạng: =Asin(kt+ ) (*)

với A,  là các hằng số được xác định từ điều kiện ban đầu:

A là biên độ cực đại của dao động;

Mga k

J

= là tần số vòng

Chu kỳ dao động: T 2 2 J

Ví dụ 7.6: Tấm phẳng có dạng hình tròn được xem là

đĩa tròn đồng chất có khối lượng M, bán kính R có thể quay

quanh trục thẳng đứng đi qua tâm O Xác định vận tốc góc của

đĩa quay quanh O khi trên đĩa có người khối lượng m đi dọc theo

chu vi đĩa với vận tốc v Biết lúc đầu hệ đứng yên (Hình 7.15)

Bài giải:

Khảo sát chuyển động của hệ gồm đĩa và người

Các lực tác dụng: (mg Mg R R, , 1, 2)

z

m.g

v M.g

( )0

z z

L =L

Lúc đầu, hệ đứng yên: L z( )0 = Tính 0 L : giả sử khi người đi vận tốc v, đĩa có z

vận tốc góc , ta có:

2.2

7.4.1.1 Động năng của chất điểm:

Động năng của chất điểm là đại lượng vô hướng bằng ½ tích khối lượng chất điểm với bình phương vận tốc của nó: 1 2

2mv

7.4.1.2 Động năng cơ hệ:

Động năng của cơ hệ bằng tổng động năng các chất điểm Ký hiệu động năng

T, ta có:

2

2

k k v

Chú ý: Động năng là đại lượng vô hướng, luôn luôn  0, chỉ bằng 0 khi mọi

0

k

v = tức hệ đứng yên không chuyển động

7.4.1.3 Tính động năng của vật rắn chuyển động:

1.- Vật rắn chuyển động tịnh tiến:

Giả sử vật có khối lượng M và chuyển động với vận tốc v :

2.- Vật rắn chuyển động quay quanh trục cố định (Hình 7.13):

Xét phần tử k có khối lượng m k nằm cách trục quay đoạn h k

Ta có: v k =h k thay vào (7.33):

với: J z là momen quán tính vật rắn đối với trục quay

3.- Vật rắn chuyển động song phẳng:

Xét trường hợp tấm phẳng có khối lượng M, khối tâm C, có

vận tốc vC và vận tốc góc của hình phẳng là  Gọi P là tâm vận

tốc tức thời của hình phẳng Tại thời điểm đang xét hình phẳng

quay tức thời quanh tâm P với vận tốc góc  (Hình 7.16) Áp dụng

với: JC là momen quán tính của hình phẳng đối với trục đi qua khối tâm C

Vậy: động năng của vật trong chuyển động song phẳng bằng tổng động năng của chuyển động tịnh tiến với vận tốc của khối tâm cộng với động năng của chuyển động quay quanh khối tâm đó

7.4.2 Công của lực:

7.4.2.1 Công nguyên tố:

Công nguyên tố của lực F là công sinh ra khi lực

di chuyển một vi phân độ dài bằng tích vô hướng của

lực F với đoạn dịch chuyển đó dr (Hình 7.17); ký hiệu

công nguyên tố là dA:

7.4.2.2 Công hữu hạn:

Công hữu hạn của lực F khi di chuyển từ M0 đến M1 bằng tổng công nguyên tố trên toàn đoạn di chuyển

7.4.2.4 Biểu thức tính công của một số lực:

1.- Công của hằng lực: (Hình 7.18)

Tính công của F di chuyển từ M0 đến M1 với

0 0

2

02

02

A A A

2.- Công của trọng lực:

Trọng lực có tính chất là giá trị không đổi và

hướng thẳng đứng xuống dưới (Hình 7.19)

( ) ( )

1 1 1

0 0 0 1

Hình 7.19

( ) ( )

2 2 2

0 0 0 2

Tóm lại, công của trọng lực có thể biểu diễn:

3.- Công của lực đàn hồi tuyến tính:

Lực đàn hồi tuyến tính có dạng F = −c r với r là vectơ định vị điểm đặt lực; c=const được gọi là hệ số tỉ lệ

Tại O, lò xo không dãn, do đó x là độ dãn được của lò xo

4.- Công của ngẫu lực không đổi tác dụng

lên vật quay: (Hình 7.21)

Ngẫu lực (F F có trị số momen 1, 2)

Nếu ngẫu có chiều ngược với chiều quay của vật, tương tự ta tính được

A= −M Vậy nói chung, ta có:

Với dấu (+) khi ngẫu cùng chiều quay và dấu (–) khi ngược chiều quay

7.4.3 Định lý biến thiên động năng:

Định lý biến thiên động năng có thể phát biểu ở 3 dạng tương đương nhau:

Dạng 1: Vi phân động năng cơ hệ bằng tổng công nguyên tố của các lực tác

dụng lên cơ hệ

k k

Dạng 2: Đạo hàm động năng cơ hệ theo thời gian bằng tổng công suất của các

lực tác dụng lên cơ hệ

k

k

dA dT

N

Dạng 3: Biến thiên động năng cơ hệ trong một khoảng thời gian nào đó bằng

tổng công của các lực tác dụng lên cơ hệ trong suốt khoảng biến thiên đó

k

Chú ý: Trong định lý động năng, công sinh ra có thể của cả ngoại lực và nội

lực tác dụng lên hệ

Chứng minh:

Trước hết ta chứng minh dạng 1 Giả sử hệ có n chất điểm, áp dụng định luật II

Newton cho từng chất điểm:

e i

k k k k

m a =F +F Chú ý: k

k

dv a dt

k

dr v dt

= , thay vào trên và nhân vô hướng 2 vế với dr k, ta

N

dt = dt =Để chứng minh dạng 3, ta lấy tích phân 2 vế dạng 1:

Ví dụ 7.7: Trên mặt phẳng nghiêng

với góc nghiêng , người ta kéo một vật nặng

(A) có trọng lượng P bằng cách buộc nó vào

sợi dây mềm không dãn, đầu kia của dây

quấn vào tời (B) (Hình 7.22) Tời (B) được

xem là đĩa tròn đồng chất trọng lượng Q, bán

kính R quay quanh trục nằm ngang cố định O

Tác dụng lên tời một ngẫu lực có momen

không đổi M Cho hệ số ma sát trượt giữa vật

(A) và mặt nghiêng là f Bỏ qua ma sát ổ

a.- Vận tốc vật A theo góc quay  của tời B, biết lúc đầu hệ đứng yên

b.- Gia tốc góc của tời

Bài giải:

Xét hệ gồm vật (A) và tời (B) nối với

nhau bằng dây không dãn (A) có chuyển

động tịnh tiến, tời (B) quay quanh trục cố

định O

Lực tác dụng lên hệ: (P Q N F, , , ms,M R, O)

a.- Áp dụng định lý động năng:

k

T −T =A (a) trong đó: • T là động năng hệ khi tời quay góc , giả sử khi đó tời có

vận tốc góc B và vật (A) có vận tốc v A và

do dây không dãn: v A =R.B

 trong (a) được tính như sau:

k

A =M−PR − f P  R =M−PR + f  

Thay tất cả vào (a):

(sin cos ) 0

Hay: MPR(sin+ f cos )

b.- Để tính gia tốc tời (B), từ (b) thay v A =RB rồi đạo hàm 2 vế theo thời gian

Ví dụ 7.8: Để di chuyển tấm

gỗ AB trọng lượng Q, người ta dùng 2

con lăn C và D Các con lăn là những

trụ tròn đồng chất cùng trọng lượng P và

cùng bán kính Cho biết các con lăn

chuyển động lăn không trượt trên mặt

đường nằm ngang và không có sự trượt

giữa các con lăn với tấm gỗ Tác dụng lên tấm gỗ lực F nằm ngang không đổi Xác

định gia tốc tấm gỗ (Hình 7.24)

Bài giải:

Khảo sát hệ gồm tấm thanh gỗ AB

chuyển động tịnh tiến và 2 con lăn chuyển

động song phẳng

Lực tác dụng lên hệ (Hình 7.25):

F F là các lực ma sát trượt giữa con lăn và mặt đường

Áp dụng định lý động năng (dạng 2):

k k

dA dT

•• Do 2 con lăn chuyển động như nhau nên: TC =TD

 , với ds là di chuyển nguyên tố của AB

•• Các lực , ,P Q NC,ND không sinh công vì di chuyển vuông góc phương chuyển động

•• Các lực ma sát trượt F msC,F msD trong chuyển động lăn không trượt không sinh công vì: dA F( )msC =F ds msC I, dsI =v dtI mà I là tâm vận tốc tức thời nên 0

=+

Ví dụ 7.9: Cơ cấu hành tinh gồm

3 bánh xe 1, 2, 3 cùng trọng lượng P và

bán kính R tiếp xúc ngoài với nhau, các

trục O, A, B cùng gắn trên tay quay OA

Tay quay OA xem là thanh đồng chất và

có trọng lượng Q chuyển động quay quanh

trục O dưới tác dụng ngẫu lực có momen

không đổi M Toàn hệ nằm trong mặt

phẳng nằm ngang Bánh xe 1 cố định

(Hình 7.26) Xác định vận tốc góc của tay

quay OA theo góc quay  của nó, biết lúc

đầu hệ đứng yên

O



A

B 1

Hình 7.26

Bài giải:

Khảo sát chuyển động cơ cấu hành tinh

gồm tay quay OA quay quanh trục cố định O,

bánh xe 2 và 3 chuyển động song phẳng

Vì hệ nằm trong mặt phẳng nằm ngang

nên chỉ có ngẫu lực M sinh công

Áp dụng định lý động năng:

k

• Tính động năng T: Gọi  là vận tốc góc

của tay quay OA

O



A

B 1

2

3

4R

R R R

Để tìm quan hệ của 2 và 3 theo , ta sử dụng công thức Vilis:

Công thức Vilis như sau: Xét quan hệ vận tốc các bánh xe đối với tay quay OA

(công thức truyền động bánh răng theo công thức (6.18)):

OA OA

R R

R R

R R

R R

Chú ý: đối với bài toán này, ta có: R1 =R2 =R3 =R ; OA = ; 1 =0 nên:

2 2

 

− , tức bánh xe 3 chuyển động tịnh tiến

7.4.5 Định luật bảo toàn cơ năng:

7.4.5.1 Một số định nghĩa:

Lực F gọi là lực thế nếu:

• F chỉ phụ thuộc vào vị trí đặt lực: F =F x y z( , , )

• Tồn tại hàm  = (x y z, , ) thỏa mãn điều kiện:

3.- Thế năng cơ hệ:

Giả sử cơ hệ chuyển động trong trường lực thế (tất cả các lực F tác động lên k

cơ hệ đều là lực có thế) Khi đó ta tìm được hàm thế năng:

và công của tất cả các lực tác dụng lên cơ hệ được tính:

a.- Công nguyên tố:

Trọng lực P là lực có thế vì: P(0,0,−P) (Hình 7.28)

Nếu ta chọn hàm thế năng:  =P z thì ta có:

x

O

P y

x z

Hình 7.28

thỏa mãn điều kiện (7.48) và thế năng trọng lực P là hàm  =P z với gốc lấy thế năng là O

b.- Lực đàn hồi lò xo:

Lực đàn hồi Fđh(−cx,0,0) (Hình 7.29) là lực

có thế vì: Nếu ta chọn hàm thế năng: 2

2

cx

 = thì điều kiện (7.48) thỏa mãn:

7.4.5.2 Định luật bảo toàn cơ năng:

Cơ hệ chuyển động trong trường lực thế thì tổng động năng và thế năng cơ hệ là đại lượng không đổi:

k k

dT =dA = −d

Hay: d T( + )=  0 T + = const

Chú ý: Biểu thức (7.52) được gọi là tích phân năng lương của cơ hệ

Khi cơ hệ chuyển động, nếu cơ năng E =const thì cơ hệ được gọi là hệ bảo toàn, còn nếu E const thì cơ hệ được gọi là hệ không bảo toàn

7.4.5.3 Áp dụng:

Định luật bảo toàn cơ năng được áp dụng để giải các bài toán cơ hệ chuyển động trong trường lực thế

trục O nằm ngang Hỏi thanh cần có vận tốc góc bằng bao

nhiêu để nó có thể chuyển động từ vị trí thẳng đứng lên đến

vị trí nằm ngang (Hình 7.30) Bỏ qua ma sát ổ trục

Bài giải:

Lực tác động P là lực có thế Cơ hệ thỏa mãn định

luật bảo cơ năng:

(T + )0 là cơ năng của hệ tại vị trí ban đầu thanh thẳng đứng xuống dưới Lấy O làm gốc thế năng Ta có:

O

l P J g

=Thay vào (*), ta được:

7.5 Câu hỏi ôn tập:

1 Khối tâm là gì? Công thức xác định khối tâm So sánh với trọng tâm đã học ở chương 4

2 Thế nào là momen quán tính Các công thức tính momen quán tính của một số vật đơn giản Phát biểu định lý Huyghen

3 Phát biểu định lý khối tâm Khi nào khối tâm bảo toàn chuyển động?

4 Phát biểu định lý động lượng dạng đạo hàm và dạng hữu hạn Trường hợp nào bảo toàn động lượng?

5 Phát biểu định lý momen động lượng Viết phương trình vi phân vật rắn quay quanh trục cố định Khi nào momen động lượng bảo toàn

6 Động năng là gì? Các công thức tính động năng cho vật chuyển động tịnh tiến, vật quay quanh trục và vật chuyển động song phẳng

7 Công nguyên tố của lực là gì? Công hữu hạn của lực là gì? Nêu các công thức tính công của các lực đặc biệt

8 Phát biểu định lý động năng dạng vi phân, dạng đạo hàm và dạng hữu hạn

9 Thế nào là lực có thế, tính chất của lực có thế Phát biểu định lý bào toàn năng lượng cơ học

8 CHƯƠNG VIII: NGUYÊN LÝ DI CHUYỂN KHẢ DĨ

Yêu cầu:

1 Hiểu được các khái niệm cơ hệ theo quan điểm giải tích: liên kết và phương trình liên kết, phân loại liên kết, di chuyển khả dĩ và số bậc tự do, tọa độ suy rộng, lực suy rộng

2 Nắm được nguyên lý di chuyển khả dĩ và áp dụng nó để giải bài toán cân bằng của một cơ hệ

8.1 Các khái niệm cơ bản:

8.1.1 Liên kết:

8.1.1.1 Định nghĩa liên kết:

Liên kết là các ràng buộc về vị trí và vận tốc Khi cơ hệ chịu liên kết, chúng không còn tự do

8.1.1.2 Phương trình liên kết:

Để biểu diễn liên kết, người ta có thể dùng phương trình toán học mô tả nó gọi là phương trình liên kết

Tổng quát, phương trình liên kết có dạng:

( , 1, 1, , ,1 n, n, n, , 1, 1, , ,1 n, n, n) 0 ( 1, )

trong đó: b là số phương trình liên kết

Ví dụ: Để mô tả chất điểm M2 luôn luôn nằm trên

nằm đường nằm ngang, ta dùng phương trình: yM2 = 0

Còn chất điểm M1 có phương trình: yM1  mô tả M0 1 có

thể nằm trên mặt đường, có thể ở phía trên mặt đường

(mô hình của quả bóng nẩy trên đường) (Hình 8.1)

Còn chất điểm M trong mặt phẳng (x,y) treo trên

OM = l (Hình 8.2) có thể biểu diễn bằng phương trình

liên kết: 2 2 2

x +y = Nếu dây treo OM dãn được thì l

phương trình liên kết: 2 2 2

Hình 8.2 8.1.1.3 Phân loại liên kết:

➢ Nếu phương trình liên kết có dấu bất đẳng thức (>) gọi là liên kết không giữ

Nếu phương trình liên kết chỉ có dấu đẳng thức (=) gọi là liên kết giữ

➢ Nếu phương trình liên kết có thời gian t ở dạng hiện gọi là liên kết không

dừng; trường hợp không chứa t gọi là liên kết dừng

➢ Nếu phương trình liên kết có chứa cả vận tốc gọi là liên kết động học, còn nếu phương trình liên kết không chứa các yếu tố vận tốc hoặc chứa vận tốc nhưng có

thể tích phân để mất thành phần vận tốc thì liên kết được gọi là liên kết hình học hoặc liên kết Hôlômôn Cơ hệ chịu liên kết Hôlômôn gọi là hệ Hôlômôn

Ví dụ: Bánh xe lăn trên mặt đường nằm ngang (Hình

8.3), bánh xe chuyển động song phẳng, điều kiện để bánh

xe lăn trên mặt đường y =O 0 hoặc v =I 0 Mặt dù phương

trình liên kết có chứa vận tốc (vI) nhưng ta có thể tích phân

được để mất thành phần vận tốc như sau: vO = +vI vOI =vOI

là biến phân vectơ r )

2.- Ví dụ:

Chất điểm trên một mặt cong nào đó, tất cả các vectơ vô

cùng bé r theo phương tiếp tuyến với mặt điều là các di

chuyển khả dĩ của chất điểm Như vậy, đối với một cơ hệ, số

vectơ di chuyển khả dĩ là vô số (Hình 8.4)

8.1.2.2 Số bậc tự do:

Đối với một cơ hệ, số vectơ di chuyển khả dĩ là vô số nhưng chúng không hoàn toàn độc lập với nhau Mỗi cơ hệ do chịu các liên kết nên chỉ có 1 số ít vectơ di

chuyển khả dĩ là độc lập với nhau, còn các di chuyển khả dĩ khác phải phụ thuộc vào nó Ví dụ chất điểm nằm trên mặt (Hình 8.4) chỉ có 2 di chuyển khả dĩ r1 và r2theo 2 phương tiếp tuyến vuông góc (x,y) là độc lập nhau, còn tất cả các di chuyển

khả dĩ khác đều biểu diễn qua r1 và r2 theo quan hệ:

 = + với ,  là các hằng số

Tổng quát, cơ hệ có n chất điểm, nếu tất cả chúng tự do thì mỗi chất điểm có 3

di chuyển khả dĩ độc lập nên hệ có 3n di chuyển khả dĩ độc lập Tuy nhiên khi giữa chúng có liên kết để hạn chế sự tự do, giả sử hệ có b phương trình liên kết thì số di

chuyển khả dĩ độc lập của hệ là:

y

M

x l

• Hệ mô tả bởi Hình 8.5 có 3 chất điểm A, B, C chuyển động đường thẳng chịu

liên kết mô tả bởi phương trình:

2

x + y + y =l , trong đó: l là chiều dài dây

Để tìm số bậc tự do, ta sử dụng công

O

Hình 8.5

Ở đây, n=3,b=1, vậy: s = − =3 1 2 Hệ có 2 bậc tự do

8.1.3 Tọa độ suy rộng của cơ hệ:

8.1.3.1 Định nghĩa:

Tọa độ suy rộng của cơ hệ là tập hợp các thông số để xác định vị trí của cơ hệ, như vậy, tọa độ suy rộng có thể là tọa độ Đề các, tọa độ tự nhiên, tọa độ cực, … Người

ta có thể dùng ký hiệu: q q q1, 2, 3, để biểu diễn tọa độ suy rộng

8.1.3.2 Tọa độ suy rộng đủ:

Tọa độ suy rộng đủ là số tọa độ suy rộng tối thiểu đủ để xác định vị trí cơ hệ,

nó chính bằng số bậc tự do của cơ hệ Giả sử hệ có s bậc tự do, các tọa độ suy rộng đủ

sẽ được ký hiệu là q q q1, 2, 3, ,q s Khi đó vị trí của chất điểm của cơ hệ được biểu diễn qua các tọa độ suy rộng đủ:

Giả sử hệ có n chất điểm chịu tác dụng của các lực: F F1, 2, ,F có s bậc tự do n

Ta tính công của các lực của hệ trong di chuyển khả dĩ r k gọi tắt là công khả dĩ:

rộng của hệ lực tác động lên cơ hệ tương ứng với tọa độ suy rộng q j

Chú ý: Lực suy rộng là đại lượng vô hướng, có thứ nguyên là:  

j

j

A Q

q

  =

    

Ví dụ nếu q j là độ dài thì thứ nguyên của Q j là lực, còn nếu q j là góc thì Q j

có thứ nguyên của ngẫu lực

Từ quá trình biến đổi trên ta suy ra phương pháp tính lực suy rộng là ta tính tổng công khả dĩ của cơ hệ rồi biểu diễn chúng qua các biến phân của tọa độ suy rộng, hệ số của biến phân tọa độ suy rộng nào ứng với lực suy rộng của tọa độ đó

Trong trường hợp số tọa độ suy rộng đủ chúng sẽ độc lập với nhau, nhiều

trường hợp chỉ cần tính lực suy rộng Q i ứng với tọa độ suy rộng q i nào đó, ta có thể cho các q1=0,q2 =0, ,q i 0, ,q s =0 rồi tính tổng công khả dĩ của các lực của

cơ hệ ứng với tập hợp di chuyển khả dĩ vừa chọn, ta sẽ được:

8.1.3.4 Liên kết lý tưởng:

Trong tập hợp các loại liên kết ta xét một lớp các liên kết thường gặp gọi là liên kết lý tưởng Liên kết lý tưởng là liên kết nếu tổng công khả dĩ của các phản lực liên kết trong mọi di chuyển khả dĩ của cơ hệ đều bằng 0

0

k k k

Rr =

với: R là phản lực liên kết tác dụng lên chất điểm thứ k k

k r

 là di chuyển khả dĩ của chất điểm thứ k

Trong thực tế, các liên kết vật rắn bỏ qua ma sát và tính đàn



'

F ms

8.2 Nguyên lý di chuyển khả dĩ:

8.2.1 Nguyên lý di chuyển khả dĩ:

Điều kiện cần và đủ để cơ hệ chịu liên kết Hôlômôn giữ, dừng, lý tưởng cân bằng tại một vị trí đang xét là tổng công khả dĩ của các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ trong mọi di chuyển khả dĩ từ vị trí đó đều triệt tiêu

 là di chuyển khả dĩ của chất điểm thứ k từ vị trí đang xét

Chứng minh:

ĐIỀU KIỆN CẦN: Giả sử hệ thỏa mãn các giả thiết trên và cân bằng ở vị trí

đang xét Xét chất điểm thứ k: F k +R k = Cho hệ một di chuyển khả dĩ 0 r k

Nhân vô hướng với r k rồi lấy tổng theo k , ta được:

điều kiện cần

ĐIỀU KIỆN ĐỦ: Giả sử cơ hệ thỏa mãn các giả thiết trên và ta có:

0

k k

k

F r =

 , ta chứng minh cơ hệ cân bằng

Ta chứng minh bằng phản chứng: Giả sử cơ hệ không cân bằng, khi đó có ít

nhất 1 chất điểm chuyển động Giả sử đó là chất điểm thứ i, ta có:

 Vậy, hệ cân bằng Ta chứng minh xong điều kiện đủ

8.2.2 Phương trình cân bằng trong tọa độ suy rộng đủ:

8.2.2.1 Phương trình cân bằng: Giả sử cơ hệ có s bậc tự do, chọn các tọa độ suy rộng đủ: