Giáo trình Cơ học lý thuyết: Phần 1 - Trần Huy Long

Mời các bạn cùng tham khảo phần 1 cuốn giáo trình Giáo trình Cơ học lý thuyết do Trần Huy Long biên soạn với nội dung gồm 12 chương. Ở phần 1, chúng ta sẽ tìm hiểu 6 chương đầu có nội dung trình bày về: Các tiên đề tĩnh học; Hệ lực phẳng; Hệ lực không gian; Trọng tâm; Động lực học; Các định luật cơ bản của động lực học và chuyển động chất điểm; Các chuyển động của vật rắn. Mời các bạn cùng tham khảo.

LỜI NÓI ĐẦU

Trong công cuộc cải tiến các giáo trình trong trường Đại Học, được sự động viên và kích lệ của TSKH Cao Văn Phường, Hiệu trưởng trường Đại Học Bình Dương, chúng tôi đã soạn cuốn giáo trình Cơ học kỹ thuật gồm 2 tập: tập một là phần

Cơ học lý thuyết, tập hai là phần Sức bền vật liệu nhằm giúp cho sinh viên các ngành kỹ thuật, đặc biệt là Kỹ thuật Xây dựng có thêm tài liệu học tập

Giáo trình được viết theo quan điểm hiện đại và thực hành, tăng cường nhiều ví dụ minh họa cho lý thuyết

Trong quyển một, phần động học và động lực học được soạn đan xen với nhau, giúp cho người đọc thuận tiện trong việc nhận thức các kiến thức Những phần lý thuyết khó và không cần thiết, chúng tôi không đưa vào giáo trình này Những phần trùng nhau giữa hai môn học (các đặc trưng hình học của cơ hệ, phương trình cân bằng lực, …) mà trước đây môn học nào cũng đề cập đến, trong giáo trình này, chúng tôi chỉ trình bày một lần, vì thế thời lượng giảng dạy cũng được giảm bớt Mỗi tập của giáo trình cũng được trình bày với thời lượng 5 đơn vị học trình

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn GS TSKH Nguyễn Cao Mệnh, GS TSKH Đỗ Sanh, PGS TS Phan Ngọc Châu đã đọc và cho ý kiến nhận xét phản biện quý báu cho cuốn giáo trình Đặt biệt xin chân thành cảm ơn TSKH Cao Văn Phường đã cho nhiều ý kiến chỉ đạo và đóng góp trong từng giai đoạn biên soạn giáo trình để giáo trình hoàn thành theo đúng tiêu chí nhàtrường đề ra

Chúng tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thành viên trong hội đồng khoa học Khoa Xây dựng trường Đại học Bình Dương đã giúp đỡ trong quá trình biên soạn

Cuốn sách chắc chắn còn nhiều thiếu sót Chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp của bạn đọc cho nội dung cuốn sách Các ý kiến xin gởi về: TS TRẦN HUY LONG, Khoa Xây dựng, Đại học Bình Dương, số 405 Đại lộ Bình Dương, thị xã Thủ Dầu Một, tỉnh Bình Dương Điện thoại: (0650) 38 33927, DĐ: 0918 133 272, Email: Nep1952@yahoo.com

Tác giả

BÀI MỞ ĐẦU

Chúng ta đang sống trong thế kỷ 21, sự phát triển của khoa học kỹ thuật hiện nay giúp cho các nhà khoa học, các kỹ sư giải quyết được nhiều bài toán của kỹ thuật như: thiết kế, tính toán các công trình nhà cửa, cầu đường, các thiết bị máy móc, động cơ,… Các tính toán này muôn màu muôn vẻ nhưng cơ sở của nó là những định luật, nguyên lý của một ngành học rất cơ bản, đó là các quy luật của chuyển động và cân bằng của vật thể mà người ta gọi chung là chuyển động cơ học

Khoa học nghiên cứu các quy luật về chuyển động và cân bằng của các vật thể và sự tương tác giữa chúng gọi là Cơ học lý thuyết Các vật thể ở đây được coi là tuyệt đối cứng, vì thế người ta còn gọi Cơ học lý thuyết là Cơ học vật rắn tuyệt đối Cũng dựa trên các nguyên lý này, nếu ta kể đến tính biến dạng của vật thể, tức là nghiên cứu các vật biến dạng được gọi là Sức bền vật liệu hoặc Cơ học vật rắn biến dạng Từ những nguyên lý chung này, tùy theo các ngành khoa học kỹ thuật cụ thể, người ta phát triển ra các ngành học khác nhau như Cơ học kết cấu, Cơ học nền móng,

Cơ học đất đá và môi trường rời, Nguyên lý máy, Chi tiết máy, Thủy lực, … Như vậy, có thể nói hầu hết các ngành học của kỹ thuật (Kỹ thuật Xây dựng, Kỹ thuật cơ khí,…) đều dựa trên cơ sở lý thuyết của một môn học cơ sở rất quan trọng đó là Cơ học lý thuyết và sức bền vật liệu mà nhiều tác giả gọi chung là Cơ học kỹ thuật

Nhiệm vụ chính của Cơ học lý thuyết là nghiên cứu các quy luật của chuyển động và cân bằng của vật thể dưới tác dụng của lực Để việc nghiên cứu được thuận tiện, người ta chia Cơ học lý thuyết ra thành các phần: Tĩnh học, Động học, Động lực học Trong đó phần tĩnh học nghiên cứu các lực và điều kiện cân bằng của một hay nhiều vật thể dưới tác dụng của lực Động học nghiên cứu các đặc trưng chuyển động của vật thể như: phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc Còn động lực học nghiên cứu bài toán tổng quát nhất của chuyển động: dưới tác dụng của lực, vật thể hoặc hệ hệ vật thể chuyển động như thế nào

Trong giáo trình này, Cơ học lý thuyết được xây dựng trên cơ sở của phương pháp tiên đề, có nghĩa là ngay từ đầu, người ta phát biểu một hệ tiên đề là những điều hiển nhiên đúng Sau đó, dùng các phép toán toán học suy ra các định lý, công thức, quy tắc để áp dụng giải các bài toán trong thực tế cũng như trong kỹ thuật Vì thế các lý thuyết được xây dựng trong môn học đủ độ tin cậy để chúng ta sử dụng

Còn trong phần Sức bền vật liệu, ngoài việc dựa vào kết quả của phần Cơ học lý thuyết, người ta còn dựa vào một định luật về biến dạng của vật thể là định luật Hooke (Húc), xây dựng một số thí nghiệm để kiểm chứng tính chất của vật liệu Trong bài toán Sức bền vật liệu, người ta tính toán ứng suất và biến dạng của một thanh khi chịu lực tác dụng Từ đó đưa ra tiêu chuẩn độ bền của thanh trong chế độ làm việc Tùy thuộc vào tác dụng của lực, người ta chia ra các bài toán: kéo nén đúng tâm, xoắn thuần túy, uốn phẳng, uống xiên,…

Các lý thuyết, định luật cơ học đã được con người phát hiện ra rất sớm thông qua quá trình phát triển xã hội Từ trước công nguyên (cách đây vài nghìn năm),

người ta đã biết vận dụng quy tắc mặt phẳng nghiêng để đưa những tảng đá nặng hàng trăm tấn lên cao để xây dựng tháp Ai cập, hoặc những người La mã cổ đại đã biết sử dụng quy tắc đòn bẩy là các súng bắn đá,… đó đều là các định luật cơ học

Tuy nhiên, phải đến thế kỷ 15 – 16, cùng với sự phát triển của các ngành công nghiệp hàng hải, kỹ thuật quân sự cũng như các phát triển về thiên văn học đã tạo điều kiện để hệ thống hóa các quy luật cơ học thành một ngành hoàn chỉnh Người có công đầu trong các phát kiến này phải kể đến Galilê (1564 – 1642) và Ixắc Niutơn (1643 – 1727) Trong công trình “Cơ sở toán học của triết học tự nhiên” xuất bản năm

1687, lần đầu tiên Niutơn đã trình bày một cách có hệ thống những định luật cơ bản của cơ học cổ điển và còn được sử dụng cho đến ngày nay mà người ta thường gọi là các định luật Niutơn

Đến thế kỷ 18, sự phát triển mạnh mẽ của ngành giải tích toán đã được áp dụng vào cơ học, đặc biệt là phép tính vi, tích phân Người có công đầu trong lãnh vực này là nhà toán học và cơ học vĩ đại Lêona Ơle (1707 – 1783) đã vạch ra các phương pháp giải các bài toán động lực học điểm và vật rắn bằng cách thiết lập và tích phân các phương trình vi phân chuyển động của chúng Trong số các công trình khác về lãnh vực này, phải kể đến các công trình của hai nhà bác học lỗi lạc người Pháp là Đalămbe và G.Lagrange (1736 – 1813) đã đề ra phương pháp giải tích tổng quát trong động lực học bằng cách dựa vào nguyên lý Đalămbe và nguyên lý độ dời khả dĩ mà ngày nay chúng ta gọi là phương trình Lagrange Ngày nay, phương pháp giải tích Lagrange là phương pháp cơ bản được áp dụng trong động lực học

Quá trình phát triển của ngành Sức bền vật liệu gắn liền với những công trình trong thế kỷ 18 Năm 1768, Húc đưa định luật cơ bản của vật thể đàn hồi ở dạng tuyến tính biểu diễn quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của vật liệu:  = E. Cũng đồng thời với Húc là các công trình của Ơle và Bécnuli về bài toán uốn của thanh đàn hồi, bài toán ổn định dọc của Ơle, … Vào giữa thế kỷ 19, do nhu cầu phát triển công nghiệp thôi thúc, các nhà khoa học đã xây dựng những phương pháp tính toán các bài toán phức tạp của vật rắn biến dạng, những người có công đầu trong lãnh vực này phải kể đến Ơle, Becnuli, Giurapxki, Lamê, Culông, Xanhvơnăng, … Đặc biệt sang đầu thế kỷ 20, ngành cơ học vật rắn biến dạng đã phát triển vô cùng rộng lớn, bao gồm lý thuyết tấm vỏ của Búpnốp và Galiockin Tính mái che không dầm của Lâybenzôn, lý thuyết hệ thanh của mỏng của Vlasốp Đặc biệt các tác phẩm về Sức bền vật liệu, tấm vỏ và lý thuyết đàn hồi của nhà bác học người Mỹ gốc Nga Timôsencô, v.v… Gần đây nhiều công trình đã phát triển sang lý thuyết đàn hồi dị hướng để nghiên cứu các vật rắn biến dạng không đồng nhất và khi máy tính phát triển, giải quyết được những bài toán với khối lượng tính toán lớn (hàng triệu phép tính trong một giây) thì những phương pháp tính như phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp phần tử biên đã được áp dụng vào Sức bền vật liệu để tính các bài toán hệ khung phức tạp cũng như các bài toán hệ tấm khung rất hữu hiệu Vào nửa sau thế kỷ 20, các công trình về lý thuyết dẻo, lý thuyết từ biến, lưu biến đã phát triển rất mạnh

Tóm lại, những kết quả mà ta học được trong môn học Cơ học kỹ thuật được làm cơ sở để học tiếp các môn học tiếp theo trong chương trình như: các môn Cơ học kết cấu, Cơ học đất và đá, Lý thuyết nền móng, Động lực học công trình, Công trình ngầm, Công trình trên nền đất yếu, … Ngoài ra, bản thân các phương pháp tư duy trong môn học cũng giúp ta có được phương pháp luận đúng đắn để sau này ra làm việc biết cách mô hình hóa một bài toán thực tế và tìm cách giải chúng một cách hợp lý

Trong môn học, do phải sử dụng rất nhiều các kết quả toán học, do vậy để học tốt môn Cơ học kỹ thuật, người đọc cần nắm vững các kết quả của các phần toán học sau: Phép tính vi, tích phân hàm một biến và hàm nhiều biến; Lý thuyết giải hàm; Lý thuyết giải phương trình vi phân cấp 1, cấp 2; đặc biệt là các phương trình vi phân tuyến tính

Ngày nay, khoa học và kỹ thuật rất cần thiết phục vụ cho việc phát triển và hoàn thiện không ngừng nền sản xuất cơ khí hóa, tự động hóa và một môn học không thể thiếu được cho nhiệm vụ đó là Cơ học kỹ thuật

PHẦN A: TĨNH HỌC

Yêu cầu:

1 Hiểu được các khái niệm cơ bản của cơ học: Vật rắn tuyệt đối, cân bằng lực,

liên kết và phản lực liên kết

2 Nắm được các liên kết thường gặp và vẽ được phản lực liên kết của nó

3 Nắm được hệ tiên đề tĩnh học

1.1 Các khái niệm cơ bản:

1.1.1 Vật rắn tuyệt đối:

Vật rắn tuyệt đối là một tập hợp vô hạn các chất điểm mà khoảng cách giữa 2

chất điểm bất kỳ luôn luôn không thay đổi

– Vật rắn tuyệt đối là mô hình đơn giản nhất của vật thể

– Trong nhiều trường hợp, khi nghiên cứu vật thể có thể coi là vật rắn tuyệt

đối: ví dụ vật thể có biến dạng nhỏ, …

– Trong toàn bộ phần I này, mô hình vật thể là vật rắn tuyệt đối và ta gọi tắt

là vật rắn

1.1.2 Cân bằng:

Cân bằng là trạng thái đứng yên của vật thể so với một vật thể khác được chọn

làm mốc Vật thể làm mốc được gọi là hệ quy chiếu Trong tĩnh học, hệ quy chiếu

được chọn phải thỏa mãn định luật quán tính của Newton (hệ quy chiếu đứng yên

tuyệt đối) Cân bằng khi đó được gọi là cân bằng tuyệt đối

1.1.3 Lực:

Lực là một đại lượng vật lý hiển thị sự tương tác giữa các vật mà kết quả là thay đổi

trạng thái cơ học của vật Lực được đặc trưng bởi các yếu tố:

a Điểm đặt lực: Vị trí các vật tương tác

b Phương chiều lực: Phương chiều của tương tác

c Cường độ lực: Độ lớn này đo bằng đơn vị lực gọi là Newton, ký hiệu là N, cũng

như các bội số của nó: KilôNewton (kN), …

Mô hình toán học của lực là vectơ lực, là đại lượng vectơ, ví dụ

lực F , … Phương chiều và độ lớn của vectơ biểu diễn phương chiều và

cường độ của lực Đường thẳng chứa vectơ lực gọi là được tác dụng

Hợp lực của hệ lực là 1 lực tương đương với hệ lực: R(F F1, 2, ,F n)

Hệ lực cân bằng là hệ lực mà dưới tác dụng của nó vật rắn ở trạng thái cân bằng hay nói cách khác hệ lực cân bằng là hệ lực có hợp lực bằng 0

(F F1, 2, ,F n) 0

1.1.5 Ngẫu lực:

Ngẫu lực là hệ gồm 2 lực song song ngược chiều và có cùng cường độ

a Một ngẫu lực được đặc trưng bởi các yếu tố sau (Hình 1.4):

– Mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực là mặt

phẳng P chứa các lực của ngẫu lực

– Chiều quay của ngẫu lực nằm trong mặt

phẳng P

– Cường độ của ngẫu lực tỉ lệ thuận với cường

độ của lực cũng như khoảng cách hai lực d gọi là cánh

tay đòn của ngẫu, như vậy nó được đặc trưng bằng tích

Fd gọi là giá trị mômen của ngẫu Đơn vị đo mômen

ngẫu lực là Newton mét (N.m) và các bội số của nó:

kN.m, …

F' F

P

d

Hình 1.4

b Trong không gian, khi các ngẫu lực

nằm trong các mặt phẳng khác nhau, ngẫu

lực được biểu diễn bằng vectơ mômen ngẫu

lực, ký hiệu m được xác định như sau (Hình

1.5):

– Phương vuông góc với mặt phẳng

chứa ngẫu lực

– Chiều: đứng theo chiều đó thấy

ngẫu lực quay ngược chiều kim đồng hồ

– Độ lớn m được xác định bằng giá

trị mômen ngẫu lực là Fd

F' F

Quy ước gốc của vectơ m nằm trên mặt phẳng chứa ngẫu lực Trong trường

hợp tất cả các ngẫu lực nằm trong mặt phẳng, khi đó nếu biểu diễn bằng vectơ

mômen ngẫu chúng đều song song với nhau, vì vậy, trong trường hợp này, ta chỉ cần

dùng mômen đại số để biểu diễn ngẫu, ký hiệu m= Fd, lấy dấu (+) khi quay ngược

chiều kim đồng hồ, lấy dấu (–) khi quay ngược lại

1.1.6 Liên kết và phản lực liên kết:

Liên kết là những điều kiện cản trở di chuyển của vật Trong tĩnh học sự cản

trở này được thực hiện bằng việc tiếp xúc giữa các vật Vật bị cản trở gọi là vật

không tự do

Trong các bài toán tĩnh học, vật rắn được ta chọn nghiên cứu gọi là vật khảo

sát, các vật rắn khác gây cản trở di chuyển vật khảo sát gọi là vật gây liên kết, lực

tạo ra do vật gây liên kết tác động lên vật khảo sát gọi là phản lực liên kết

Phản lực liên kết luôn có chiều ngược với chiều vật khảo sát muốn di chuyển

khi bị cản trở bởi vật gây liên kết

Các loại liên kết thường gặp:

a.- Liên kết tựa:

Vật tựa lên mặt, chuyển động của vật bị cản trở theo phương pháp tuyến với

mặt tựa, do đó, phản lực liên kết tựa luôn có phương pháp tuyến chung giữa 2 mặt

tiếp xúc và đi ra khỏi mặt tựa (Hình 1.6)

– Gối tựa di động là 1 dạng của liên kết tựa (Hình 1.6c)

b.- Liên kết dây mềm:

Liên kết dây mềm xuất hiện khi dây mềm không dãn, bị kéo

căng Phản lực liên kết gọi là lực căng dây có phương dọc dây và đi ra

khỏi vật khảo sát thường ký hiệu là T (Hình 1.7)

T

Hình 1.7

c.- Liên kết bản lề trụ:

Bản lề trụ gồm một lõi trụ tròn gọi là trục bản lề và một vỏ trụ bao ngoài lõi trụ tròn đó Lõi trụ gắn với vật khảo sát còn vỏ trụ gắn vào vật gây liên kết (Hình 1.8)

R

A

x y

X Y

b.-R

A

x y

X Y

c.-A

A

A A

A A

Hình 1.8

Chuyển động của vật khảo sát không bị cản trở theo hướng dọc trục, do đó phản lực liên kết bản lề trụ có phương bất kỳ vuông góc với trục bản lề, ký hiệu R A

Thường để thuận tiện ta phân R ra thành 2 thành phần theo các trục Ax và Ay là 2 A

trục tọa độ Đề các vuông góc nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục bản lề ( , )

A A A

R  X Y (Hình 1.8b) Gối tựa cố định là một dạng của liên kết bản lề trụ (Hình 1.8c)

d.- Liên kết bản lề cầu:

Vật khảo sát được

gắn vào một quả cầu xoay

tự do trong mặt hốc cầu

Vì liên kết này cản trở vật

di chuyển theo mọi phía

đối với tâm quả cầu nên

phản lực liên kết bản lề

cầu R là một lực đặt tại

tâm quả cầu và có phương

tùy ý trong không gian

người ta cũng thường phân

R ra 3 thành phần theo 3

trục tọa độ Đề Các vuông

góc với gốc là tâm quả

cầu R A (X Y Z A, A, A) (Hình 1.9a) Liên kết cối trụ (Hình 1.9b) cũng thuộc dạng bản

lề cầu, chỉ lưu ý phản lực R có phương bất kỳ nhưng hướng lên phía trên so với đáy

cối

e.- Liên kết ngàm:

y z

Vật khảo sát và vật gây liên kết được gắn cứng vào nhau được gọi là liên kết ngàm Ví dụ: dầm gắn cứng vào tường, đinh đóng chặt vào tường, … Trong trường hợp này vật gây liên kết cản trở cả dịch chuyển dài lẫn dịch chuyển xoay quanh điểm gắn

Do vậy, phản lực liên kết ngàm là một lực R có phương bất kỳ và một ngẫu lực xác định bởi mômen ngẫu M có phương bất kỳ ( ) (R M,  X Y ZA, A, A,M M M x, y, z) (Hình 1.10a)

Nếu ngàm trong mặt phẳng, gọi tắt là ngàm phẳng thì R chỉ có 2 thành phần

,

A A

X Y và mômen ngẫu đại số M (Hình 1.10b) ( ) (R M,  X Y MA, A, )

1.2 Hệ tiên đề tĩnh học:

1.2.1 Tiên đề 1 (tiên đề về 2 lực cân bằng):

Điều kiện cần và đủ để vật nằm

cân bằng dưới tác dụng của 2 lực là 2

lực đó cùng đường tác dụng, ngược

chiều nhau và cùng cường độ

(F F1, 2) 0

F2

Hình 1.11

1.2.2 Tiên đề 2 (tiên đề về thêm bớt lực):

Tác dụng của hệ lực không thay

đổi nếu thêm vào hay bớt đi một hệ lực

của lực lên vật rắn

không thay đổi nếu

1.2.3 Tiên đề 3 (định lý về hình bình hành lực):

2 lực tác dụng tại một điểm tương đương với 1 lực đặt tại

cùng điểm đó và có vectơ lực xác định bằng đường chéo hình bình

hành với các cạnh là các vectơ lực thành phần (Hình 1.14)

1.2.4 Tiên đề 4 (tiên đề tác dụng và phản tác dụng):

Lực tác dụng và lực phản tác dụng giữa 2 vật luôn luôn

có cùng cường độ, cùng đường tác dụng và ngược chiều (Hình

1.15)

F' F

(B)(A)

C C'

Hình 1.15

Chú ý: (B) tác dụng lực F lên (A) tại điểm C nằm trên (A) thì (A) tác dụng lực

F  lên (B) đặt tại C trên (B), vì thế F và F không phải là hệ lực cân bằng vì chúng

không cùng nằm trên một vật rắn

1.2.5 Tiên đề 5 (tiên đề hóa rắn):

Một vật biến dạng cân bằng dưới tác dụng của một hệ lực thì khi hóa rắn nó

vẫn cân bằng

Chú ý: điều ngược lại không đúng

1.2.6 Tiên đề 6 (tiên đề về giải phóng liên kết):

Vật rắn chịu liên kết cân bằng có thể được xem là vật rắn tự do cân bằng nếu

ta thay các liên kết bằng các phản lực liên kết (Hình 1.16)

Chú ý về liên kết thanh: trong trường hợp giữa 2 vật rắn được nối với nhau bởi

1 thanh cứng, nếu bỏ qua trọng lượng thanh có thể xem là liên kết thanh với phản lực

liên kết là một lực có phương dọc theo đường thẳng nối giữa 2 đầu thanh (Hình 1.17)

nhờ vào tiên đề 1

(F F1, 1, ,F n,thanh AB, thanh CD) (F F1, 1, ,F S S n, 1, 2)

1.3 Câu hỏi ôn tập:

1 Liên kết là gì? Phản lực liên kết là gì?

2 Mô tả các liên kết thường gặp và vẽ phản lực liên kết của chúng (liên kết dây, liên kết bản lề trụ, …)

3 Phát biểu hệ tiên đề tĩnh học

2 CHƯƠNG II: HỆ LỰC PHẲNG

Yêu cầu:

1 Nắm được phương pháp thu gọn hệ lực để nghiên cứu hệ lực phẳng

2 Hiểu được bài toán cân bằng hệ lực phẳng

3 Áp dụng để giải bài toán phẳng một vật và nhiều vật

4 Hiểu được lực ma sát trượt và ma sát lăn

Định nghĩa: Hệ lực phẳng là hệ lực mà tất cả các lực đều nằm trong cùng một

mặt phẳng

2.1 Thu gọn hệ lực phẳng:

2.1.1 Vectơ chính của hệ lực phẳng:

Cho hệ lực phẳng (F F1, 2, ,F n)

a.- Định nghĩa: Vectơ chính của hệ lực (F F1, 2, ,F , ký hiệu R là vectơ bằng n)

tổng các vectơ của hệ lực

b.- Xác định vectơ chính: Lấy 1 điểm O trên mặt

phẳng chứa lực, dựng các vectơ song song và

bằng F Dùng phương pháp cộng vectơ, ta k

kín đa giác hình học của các lực thành phần

Có thể xác định vectơ chính bằng phương pháp tọa độ: Đựa vào hệ trục tọa độ

Đề Các vuông góc Oxy tùy ý, ta có:

R R

2.1.2 Mômen chính của hệ lực phẳng đối với 1 điểm:

a.- Mômen của lực đối với một điểm: Cho lực F và điểm O nằm cùng trong mặt

phẳng Mômen của lực đối với điểm O, ký hiệu là mO( )F là một đại lượng đại

số: mO( )F = F d

trong đó: F là cường độ của lực

d là khoảng cách từ O đến đường tác dụng của F , gọi là

cánh tay đòn

Lấy dấu (+) khi F quay quanh O ngược chiều kim đồng

hồ Lấy dấu (–) khi F quay quanh O cùng chiều kim đồng hồ

(Hình 2.2)

Trị số của mômen lực đối với điểm O bằng 2 lần diện tích

tam giác OAB (tam giác tạo bởi vectơ lực và điểm O)

Ta nhận thấy khi đường tác dụng đi qua O thì d = 0 mO( )F = F d = 0

Đơn vị của mômen lực là Nm

b.- Mômen chính của hệ lực phẳng đối với điểm O là một đại lượng đại số, ký

hiệu M bằng tổng đại số mômen của các lực thành phần đối với điểm đó O

=

=

Chú ý: Khi điểm lấy mômen thay đổi thì mômen của hệ lực thay đổi

2.1.3 Thu gọn hệ lực phẳng:

a.- Định lý dời lực song song:

Dời lực song song F đặt tại A về điểm B, muốn tương

đương phải thêm vào mômen của F đặt tại A lấy đối với B:

Chứng minh: Giả sử cho lực F đặt tại A Tại B thêm hệ lực cân bằng có các

lực song song và bằng F (Hình 2.3) Ta có:

b.- Thu gọn hệ lực phẳng về tâm O:

Cho hệ lực phẳng (F F1, 2, ,F Lấy một n)

điểm O trong mặt phẳng tác dụng của hệ lực gọi là

tâm thu gọn Áp dụng định lý đời lực song song đưa

Vậy, (F F1, 2, ,F n) (F F1 , 2, ,F n) và hệ ngẫu (m m1, 2, ,m n)

Vì (F F1 , 2, ,F n là hệ lực đồng quy nên ) (F F1 , 2, ,F n) R và

1

n k k

=

 = là vectơ chính của hệ (F F1, 2, ,F n)

Thu gọn hệ lực về tâm O, ta được một lực bằng vectơ chính của hê lực và một

ngẫu lực có mômen bằng mômen chính của hệ lực đối với tâm O

c.- Các dạng chuẩn của hệ lực phẳng:

Dạng chuẩn là dạng đơn giản nhất có thể có được sau khi thu gọn hệ lực phẳng

Từ định lý thu gọn trên, ta suy ra các dạng chuẩn sau:

1.- R =0,MO = 0 (F F1, 2, ,F n) 0: hệ lực phẳng cân bằng

2.- R =0,MO  0 (F F1, 2, ,F n) MO: hệ lực phẳng thu về ngẫu lực

3.- R0,MO = 0 (F F1, 2, ,F n) R đặt tại O: hệ lực phẳng có hợp lực đặt tại O

4.- R0,MO  0 (F F1, 2, ,F n) R và MO Theo định lý dời lực song song, ta có thể tìm O để dời R và MO về O chỉ còn tương đương với R Trong trường hợp này:

(F F1, 2, ,F n) R đặt tại O O 

d.- Định lý biến thiên mômen chính:

Mômen chính của hệ lực đối với tâm thu gọn mới bằng mômen chính của hệ lực đối với tâm thu gọn cũ cộng với mômen của vectơ chính đặt tại tâm cũ lấy với tâm mới MO1 =MO+mO1( )RO

(F F1, 2, ,F n) R và MO1

Vậy, so sánh, ta có: MO1 =MO+mO1( )RO

e.- Định lý Vari-nhông:

Nếu hệ có hợp lực, mômen của hợp lực đối với 1 điểm bất kỳ bằng tổng mômen các lực thành phần lấy đối với điểm đó

Ta có: (F F1, 2, ,F n) R , thu gọn hệ lực về O: (F F1, 2, ,F n) R và M O

Mặt khác, dời song song R về O: R R và mO( )R (định lý dời lực song song)

Vậy, R và MO R và mO( )R

2.2 Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng:

2.2.1 Điều kiện cân bằng:

Định lý: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là vectơ chính và

mômen của hệ lực đối với một điểm bất kỳ phải đồng thời bằng 0

k k

Dựa vào các dạng chuẩn của hệ lực phẳng thì định lý này hiển nhiên

2.2.2 Các phương trình cân bằng:

a.- Dạng 1: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng hình chiếu các

lực lên 2 trục tọa độ vuông góc thuộc mặt phẳng bằng 0 và tổng mômen các

lực đối với 1 điểm bất kỳ bằng O

0

O

n kx k n ky k n

k k

b.- Dạng 2: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng hình chiếu các

lực lên một trục nào đó bằng 0 và tổng mômen các lực đối với 2 điểm A và B

tùy ý triệt tiêu với điều kiện AB không vuông góc trục chiếu lực

( ) ( )

1

1

1

000

A

B

với trục

n kx k n

k k

n

k k

Điều kiện cần suy ra từ (2.1) Ta chứng minh điều kiện

đủ: Giả sử (2.3) thỏa mãn, ta chứng minh hệ cân bằng Giả sử

hệ lực không cân bằng, khi đó theo kết luận dạng chuẩn nó chỉ

có thể tương đương hoặc ngẫu lực hoặc hợp lực

thỏa mãn đồng thời 3 phương trình (2.3)

Vậy, hệ cân bằng

c.- Dạng 3: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng mômen của các

lực ấy lấy với 3 điểm A, B, C không thẳng hàng bằng 0

( ) ( ) ( )

1

1

1

000

n

k k

n

k k

Chứng minh: Điều kiện cần suy trực tiếp từ (2.1) Ta chứng minh điều kiện đủ

Dùng phương pháp phản chứng: Giả sử hệ lực không cân bằng, như vậy theo kết luận của dạng chuẩn nó còn có thể hoặc thu về ngẫu lực, hoặc thu về một một hợp lực Ngẫu lực không đúng vì nếu tương đương với ngẫu lực thì phải có M  , với O 0phương trình ( )

Vậy, hệ cân bằng

2.3 Các bài toán áp dụng:

Ví dụ 2.1 Cột OA = 2a, trọng lượng P được chôn thẳng

đứng xuống nền đất Cột chịu tác dụng của lực nằm ngang

F đặt tại A và ngẫu lực m (Hình 2.8) Xác định:

a.- Phản lực tại ngàm O

b.- Trạng thái lực tại mặt cắt ngang E cách chân trụ 1

P

2a x

O

EA

Hình 2.8

Bài giải:

a.- Xác định phản lực ngàm tại O:

Tại O chịu liên kết ngàm, vì hệ lực tác dụng (F P m , , )

là hệ lực phẳng nên liên kết ngàm là phẳng Ta thay nó bằng

các phản lực liên kết: (X Y mO, O, O) Theo nguyên lý giải phóng

liên kết, ta có hệ lực cân bằng sau: (F P m X Y m, , , O, O, O) 0

Đưa vào hệ trục Oxy, viết phương trình cân bằng (dùng dạng

O

O

kx k ky k

k k

F

F

m

F P F

X Y

Từ (2)  YO =P

Từ (3)  mO = +m F.2a

Thay số:

5007500.2 2000 500.2.2 4000

O O O

X Y

chiều phản lực X ngược lại (chiều đâm sang trái) O

b.- Xác định trạng thái lực tại mặt cắt ngang E:

Ta tưởng tượng cắt trục bằng một mặt cắt ngang

vuông góc với trục y tại E để chia trụ thành 2 phần trên và

dưới Xét 1 trong 2 phần đó, giả sử phần trên EA, khi đó

phần dưới của trụ EO đóng vai trò vật gây liên kết và liên

kết ở đây cũng chính là liên kết ngàm phẳng Ta thay liên

kết bằng các phản lực liên kết (Hình 2.10) (X Y m , đây E, E, E)

chính là các thành phần nội lực mặt cắt ngang Ta có hệ cân

bằng: (F P m X Y m, , ,1 E, E, E) 0

m ~ F

P 2a-x

k k

F

F

F P

Ví dụ 2.2 Thanh OA trọng lượng bỏ qua, chịu liên kết và

lực tác dụng như Hình 2.11 Biết OB = 2AB;  = 300 Tìm phản



Hình 2.11

Bài giải:

Xét thanh OA Thay liên kết bản lề O

bởi lực X Y , thay liên kết dây BC bởi lực O, O

căng dây T Ta có hệ lực cân bằng:

cossinsi

k k

( )

( ) ( )

P= N đặt ở giữa cầu, chiều dài AB

= 200m chịu liên kết bản lề tại A, liên kết

gối tựa con lăn tại B nghiêng với phương

nằm ngang một góc 450 Trên đoạn CD =

20m có một đoàn tàu tải trọng được xem là

phân bố đều với mật độ q 1000 N

m

định phản lực bản lề A và gối tựa con lăn B

khi đoàn tàu cách A 125m (Hình 2.13)

❖ Nghiên cứu lực phân bố trên đoạn CD

Lực phân bố là lực được bố trí trên một đoạn theo một quy luật nhất định gọi là

hàm phân bố

Ví dụ: Trên đoạn MN dọc theo trục x có hệ

lực phân bố với hàm phân bố f x Ta cần xác ( )

định hợp lực của nó và điểm đặt của hợp lực này

0

0

a a

f x x dx d

a a

x q

q x dx

a d

a a

q x qx

x

R d= 2a 3

a

Hình 2.16

Trở về bài toán của chúng ta, hệ lực phân bố

đều trên đoạn CD có hợp lực

.CD 1000N 50 50.000

m

giữa đoạn CD (Hình 2.17) Ta có hệ lực cân bằng

k k

Một tháp nước có các kích thước như

Hình 2.18, trọng lượng P (N) chịu tải trọng gió

phân bố đều theo chiều cao bồn chứa q (N/m)

Tìm chiều rộng tối thiểu b để tháp nước

không bị lật Lấy hệ số an toàn n=3

P

q

2b

h a

Xét tháp nước chịu liên kết bản lề

tại A và tựa tại B Dưới tác dụng của các

lực P R R, ( =qa) đặt tại điểm E (EM =

EN =

2

a ) Ta nhận thấy dưới tác dụng

của R tháp có khả năng bị lật quay

quanh A; còn P có tác dụng giữ tháp

không cho lật, ở trạng thái sắp lật, liên

kết tại B không còn nữa (Hình 2.19)

Điều kiện không lật với hệ số an

toàn n=3 là: mlật 3mgió

a 2

x y

k k

( ) ( ) ( )

1

23

2.4 Bài toán cân bằng của hệ vật:

Hệ vật là tập hợp 2 hay nhiều vật chịu liên kết với nhau Trong bài toán hệ vật,

ta có khái niệm ngoại lực và nội lực

– Ngoại lực là các lực bên ngoài hệ tác động lên các vật thuộc hệ và ký hiệu:

e (external), ví dụ R , … e

– Nội lực là các lực tương tác giữa các vật thuộc hệ, ký hiệu: i (internal), ví

dụ F , … i

2.4.1 Phương pháp tách vật:

Phương pháp tách vật là tách vật thuộc hệ để xét

Ví dụ 2.5 Thanh đồng chất OA=6a, trọng

lượng P1 Thanh đồng chất CB=4a, trọng lượng

P2 Hệ chịu lực Q tác dụng thẳng đứng tại A và

các liên kết tại O và C như hình vẽ (Hình 2.20)

Tìm phản lực liên kết tại O, B, C

Bài giải:

Xét hệ gồm 2 thanh OA và BC cân bằng

1.- Tách thanh OA (Hình 2.21) Ta có hệ

lực cân bằng: (X Y N P QO, O, B, ,1 ) 0

Phương trình cân bằng (chọn hệ trục tọa độ

Oxy) như hình vẽ:

( ) ( )

2.- Tách tiếp thanh CB (Hình 2.22) Ta có hệ lực cân bằng:

(X Y m P NC, C, C, 2, B) 0:

Phương trình cân bằng (chọn hệ trục tọa độ Cxy) như hình vẽ:

( ) ( )

Ví dụ 2.6 Hai thanh AB và BC được nối

bản lề với nhau và chịu liên kết như hình vẽ

(Hình 2.23) Trên chúng đặt một cần trục có

trọng lượng P đạt tại G, cần trục có độ vươn

LI và đang cẩu vật nặng Q Bỏ qua trọng

lượng các thanh và biết: AB=6a, AD=3a,

BC=10a, EB=BF=a, LI=6a

1.- Tách cần trục (Hình 2.24)

Ta có hệ lực cân bằng: (N NE, F, ,P Q) 0

Phương trình cân bằng (chọn hệ trục tọa độ Exy) như

N

N N

H

6a

NE NF

x y

Hình 2.24

Giải hệ phương trình trên, ta được:

( ) ( )

Ta có hệ lực cân bằng: (X YB, B,NF,NC) 0

Phương trình cân bằng (chọn hệ trục tọa độ

Hình 2.25

( ) ( )

k k

( )

( ) ( )

Ta có hệ lực cân bằng: (X Y NA, A, D,NE,XB ,YB) 0

PT cân bằng (chọn hệ trục tọa độ Axy) như hình vẽ:

( ) ( )

( ) 76

2.4.2 Phương pháp hóa rắn:

Áp dụng tiên đề hóa rắn, xem hệ như một vật rắn và viết phương trình cân bằng cho toàn hệ Sau đó tách dần các vật để tính nếu cần thiết

Ví dụ 2.7 Thang gấp ABC gồm 2 thanh

cùng trọng lượng P và cùng chiều dài a được

nối với nhau bằng bản lề B trên nền nhẵn

Tại K có môt người đứng có trọng lượng Q

Xác định phản lực tại A và C cũng như phản

lực tại liên kết bản lề B và dây nối EF (Hình

2.27) Biết BK = 2AE = 2FC = 1

3a

KB

CA

a 6

Hình 2.27

Bài giải:

Xét hệ gồm 2 thanh AB và BC (hệ 2 vật

rắn) Áp dụng tiên đề hóa rắn, đối với toàn hệ ta

có hệ lực cân bằng sau (Hình 2.28):

B

CA

a 6

Hình 2.28

Phương trình cân bằng (chọn hệ trục tọa độ Axy):

( ) ( )

k k

Để tính R và E T , ta xét riêng thanh E

AB và xét cân bằng nó (Hình 2.29): Ta có hệ

lực cân bằng:

(N T P X YA, E, , B, B) 0Phương trình cân bằng (chọn hệ trục tọa

độ Axy):

( )

kx k

B E

ABAB

VìX Y B, B 0, do đó chiều chọn là chưa đúng và phải đổi chiều

2.4.3 Khái niệm về bài toán siêu tĩnh:

Tất cả các bài toán tĩnh học đã giải, số phương trình

cân bằng bằng với số ẩn thì gọi là bài toán tĩnh định Trong

trường hợp số phương trình cân bằng nhỏ hơn số ẩn: bài toán

siêu tĩnh Để giải bài toán siêu tĩnh phải lập thêm phương

trình

Ví dụ phương trình mô tả biến dạng của vật khi nó vượt

khỏi khuôn khổ của vật rắn tuyệt đối Ta có bài toán vật rắn

biến dạng và nó thuộc phạm vi của môn học sức bền vật liệu

A

P

Hình 2.30

Hình 2.30 cho vật nặng P được treo bằng 3 dây phẳng tại O là bài toán siêu

tĩnh vì chỉ có 2 phương trình cân bằng cho 3 ẩn là 3 lực căng dây

2.4.4 Định lý về 3 lực đồng phẳng:

Định lý: 3 lực đồng phẳng không song song mà cân bằng thì nó phải đồng quy

tại một điểm

Giả sử ba lực F F F thuộc mặt phẳng P Giả sử 1, 2, 3 F2 và

3

F không song song, suy ra đường tác dụng của nó gặp nhau tại

C (Hình 2.31) Ta có: (F2,F3) RC

Theo giả thiết: (F F F1, 2, 3) 0(F1,RC) 0

Theo tiên đề 1, F và 1 R cùng đường tác dụng tức là C F 1

Hình 2.31

Chú ý: chiều ngược lại của định lý không đúng

2.5 Bài toán cân bằng hệ lực phẳng với liên kết ma sát:

Trong thực tế cũng như trong kỹ thuật, ma sát là một hiện tượng quan trọng nó

xuất hiện khi một vật chuyển động hoặc có xu hướng chuyển động trên một vật khác

Đây là bài toán phức tạp và kết quả đạt được chủ yếu nhờ thực nghiệm

2.5.1 Ma sát trượt:

a.- Thí nghiệm:

Vật nặng A có trọng lượng P đặt trên mặt bàn nhám

nằm ngang Người ta buộc sợi dây vào A vắt qua ròng rọc cố

định, đầu kia buộc vào một đĩa cân (Hình 2.32) Lúc đầu, đặt

vào đĩa quả cân có trọng lượng Q nhỏ, Q tạo ra lực T Khi T

nhỏ, ta nhận thấy vật A vẫn đứng yên trên mặt bàn Sở dĩ như

vậy là vì mặt bàn tạo ra lực ma sát F ngược chiều và bằng ms

T để cho hệ cân bằng

A

Q P

N T

F ms

T

Hình 2.32

Tăng T bằng cách tăng Q đến một giá trị Q * thì vật A bắt đầu mất cân bằng và

vật A chuyển động trượt trên mặt bàn Giá trị F ms khi vật bắt đầu mất cân bằng gọi là

gh

ms

F và ta có:

b.- Định luật Culông: Lực ma sát trượt có chiều ngược với chiều vật có xu

hướng trượt và giá trị cực đại của nó tỉ lệ với phản lực pháp tuyến của mặt tựa:

Khi vật chuyển động trên mặt tựa vẫn còn lực ma sát, thường hệ số ma sát

động nhỏ hơn hệ số ma sát tĩnh, tức fđ  f

c.- Phản lực toàn phần, góc ma sát:

Hợp lực R của phản lực pháp tuyến N và ms

max

ms

F gọi là phản lực toàn phần lớn nhất Góc  tạo

bởi (Rmax,N gọi là góc ma sát Khi đó nếu vật có xu )

hướng di chuyển theo các phía mặt tựa thì Rmax sẽ vẽ

nên một mặt nón gọi là nón ma sát (Hình 2.33)

Nếu mặt tựa như nhau theo mọi phía thì nón ma sát là nón tròn xoay Nhờ nón

ma sát (và từng trường hợp góc ma sát) ma ta có thể xác định bài toán ma sát bằng

hình học Cụ thể khi phản lực toàn phần R còn nằm trong nón ma sát (góc ma sát) thì

vật còn cân bằng

Chú ý: tan F msmax fN

Ví dụ 2.8 Thanh đồng chất AB trọng lượng P, dài 2a

tựa vào đầu A trên tường nhẵn thẳng đứng, còn đầu B tựa

trên mặt nhẵn ngang Biết hệ số ma sát trượt f, tìm góc  bé

nhất mà thanh còn cân bằng

Bài giải:

Xét thanh AN, ta có hệ lực cân bằng:(NA, ,P NB,F msB) 0

Phương trình cân bằng (chọn hệ trục tọa độ Oxy):

( ) ( )

Điều kiện không trượt: F msB  f N B ( )4

Giải hệ phương trình trên, ta được:

( )

cot2

2cot

2.5.2 Ma sát lăn:

a.- Hiện tượng ma sát lăn:

Xét một vật có khả năng lăn được (ví dụ

bánh xe) Tác dụng vào trục O lực F nằm ngang,

khi lực F còn nhỏ vật vẫn đứng yên Tăng dần lực

F đến một giá trị F vật bắt đầu lăn (mất cân *

bằng) Khi đó ngẫu lực ( * )

k

Hình 2.36

trong đó: k là hệ số ma sát lăn, có thứ nguyên [độ dài], được xác định

bằng thực nghiệm

Nếu F F gh, vật cân bằng, khi F =F gh con lăn ở vị trí cân bằng tới hạn (bắt

đầu mất cân bằng)

Định luật ma sát lăn: Ngẫu lực ma sát xuất hiện khi vật có xu hướng lăn, có

chiều ngược với chiều của xu hướng lăn và có giá trị:

l

Chú ý: Đối với những vật có khả năng lăn, ma sát trượt vẫn tồn tại và thông

thường hệ số ma sát lăn bé hơn nhiều lần hệ số ma sát trượt nên người ta thường bỏ

qua ma sát lăn

b.- Bài toán cân bằng khi có ma sát lăn:

Ví dụ 2.9 Trên một đường thẳng nằm ngang có

bánh xe đồng chất tâm O, bán kính R, trọng lượng P chịu

tác dụng của ngẫu lực m và lực Q như hình vẽ (Hình

2.37) Biết hệ số ma sát trượt f và hệ số ma sát lăn k Xác

định m và Q để bánh xe lăn không trượt

R

Hình 2.37

Bài giải:

Xét bánh xe, ta có hệ lực cân bằng:

(Q,N, , ,P m m ms,F ms) 0

PT cân bằng (chọn hệ trục tọa độ Axy):

( ) ( )

 bánh xe lăn không trượt

( )

11

ms ms

2.6 Bài toán dàn phẳng:

2.6.1 Liên kết thanh:

Xét 2 vật rắn được nối với

nhau bởi một thanh mảnh, bỏ

qua trọng lượng và trên thanh

không có lực tác dụng, còn

đầu nối có thể là bản lề, tựa

(Hình 2.39a)

Khi đó, nếu ta xét

riêng cân bằng của thanh CD

hoặc EF (Hình 2.39b), ta thấy

tại các đầu, thanh chịu phản

lực liên kết, đó là 2 lực cân

bằng nên đường tác dụng của

chúng phải trùng nhau

(A)

(B)

CD

E

F

Hình 2.39

Do đó ta xác định ngay được phương của phản lực liên kết thanh dọc theo

đường nối 2 đầu thanh là loại liên kết một ẩn bất kể đầu nối là loại liên kết gì Liên

kết dạng này gọi là liên kết thanh và phản lực liên kết gọi là ứng lực trong thanh

2.6.2 Dàn phẳng:

Dàn là một loại kết cấu cứng gồm:

• Các thanh nối với nhau bằng các bản lề ở đầu mút của thanh gọi là nút của dàn

• Các lực tác dụng lên dàn cũng nằm tại các đầu mút

• Dàn phẳng nếu các thanh và lực tác dụng nằm trong cùng một mặt phẳng

Ta chỉ xét dàn đủ thanh tức là dàn mà lấy đi bất kỳ thanh nào thì nó không còn

là kết cấu cứng nữa Để xây dựng dàn đủ thanh ta lập một tam giác cơ sở, sau đó

ghép dần 2 thanh để tạo các tam giác mới, khi đó liên hệ giữa số thanh m và số nút n

phải thỏa mãn đẳng thức:

6 7

ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN DÀN TA CÓ THỂ DÙNG CÁC PHƯƠNG PHÁP SAU: a.- Phương pháp hóa rắn: Hóa rắn toàn dàn để tìm các phản lực liên kết với

bên ngoài, sau đó tách dần các nút để tìm ứng lực tại các thanh

b.- Phương pháp tách nút: Lần lượt tách các nút và xét cân bằng của từng nút,

vì mỗi nút là là hệ lực phẳng đồng quy nên ta chỉ có thể viết được 2 phương trình cân bằng, do đó chỉ nên tách những nút nào chỉ có 2 ẩn để xét trước

c.- Phương pháp mặt cắt: Cắt dàn bằng một mặt cắt để chia nó thành 2 phần,

xét cân bằng của từng phần dàn Vì một phần dàn là một hệ lực phẳng nên dùng mặt cắt sao cho tạo ra phần dàn có chứa 3 ẩn để với 3 phương trình cân bằng của hệ lực phẳng có thể giải được nó

Ví dụ 2.10 Cho dàn phẳng ABCD chịu lực và

có kích thước như hình vẽ (Hình 2.40) Xác định

phản lực tại A, B và ứng lực tại các thanh Biết

Giải bằng phương pháp hóa rắn: hóa rắn

hệ (Hình 2.41), ta có hệ lực cân bằng:

(XA,YA,F1,F2,NB) 0

Phương trình cân bằng (chọn hệ trục tọa độ Oxy):

( ) ( )

3

45

Tách nút A (Hình 2.42), ta có hệ lực cân bằng:

(XA,YA, ,S1 S2) 0

Phương trình cân bằng (chọn hệ trục tọa độ Axy):

( ) ( )

23

Giải hệ phương trình trên, ta được:

S

Học sinh tự kiểm tra cân bằng của nút C

Ví dụ 2.11 Cho dàn phẳng ABCDE chịu lực

và có kích thước như hình vẽ (Hình 2.46) Xác

định phản lực tại A, B và các ứng lực trong thanh

Cho P=10 2( )kN

Bài giải:

Kiểm tra kết cấu cứng: 7=2.5-3 (đúng)

Giải bằng phương pháp tách nút:

Tách nút E (Hình 2.47), ta có hệ lực cân

bằng: (S S6, 7,P) 0

Hình 2.46

Phương trình cân bằng (chọn hệ trục tọa độ Exy):

( ) ( )

0

0 7