Đề thi HSG môn Toán 12 năm 2019-2020 có đáp án - Tỉnh Phú Thọ

Nhằm giúp các bạn học sinh củng cố lại phần kiến thức đã học, cũng như làm quen với cấu trúc ra đề thi và xem đánh giá năng lực bản thân qua việc hoàn thành đề thi. Mời các bạn cùng tham khảo Đề thi HSG môn Toán 12 năm 2019-2020 có đáp án - Tỉnh Phú Thọ dưới đây để có thêm tài liệu ôn thi. Chúc các em thi tốt!

Đ  H C SINH GI I PHÚ TH Ề Ọ Ỏ Ọ

NĂM H C 2019 ­ 2020 Ọ

TH I GIAN : 180 PHÚT – Đ  S  1 Ờ Ề Ố

I. PH N T  LU N (8,0 Ầ Ự Ậ đi m ể )

Bài 1 a) Tìm giá tr  l n nh t và giá tr  nh  nh t c a bi u th c ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ể ứ

b) Tìm t t c  các giá tr  th c c a ấ ả ị ự ủ  đ   đ ng bi n trên kho ng .ể ồ ế ả

Bài 2 Cho lăng tr  ụ ABC A B C  có đáy là tam giác đ u c nh ề ạ a và  Bi t kho ng cách gi a hai đế ả ữ ườ  ng

th ng  và  b ng ẳ ằ

a) G i ọ G là tr ng tâm tam giác ọ ABC  Ch ng minh ứ A G vuông góc v i m t ph ng ớ ặ ẳ ( ABC )

b) Tính th  tích c a kh i lăng tr  ể ủ ố ụ ABC A B C

Bài 3 Trong không gian v i h  t a đ  , cho đớ ệ ọ ộ ường th ng  và m t ph ng .ẳ ặ ẳ

a) Tìm t a đ  giao đi m  c a  và .ọ ộ ể ủ

b) Vi t phế ương trình đường th ng n m trong m t ph ng , vuông góc v i  và kho ng cách tẳ ằ ặ ẳ ớ ả ừ 

đ n  b ng .ế ằ

Bài 4

a) Tìm h  s  c a s  h ng ch a  trong khai tri n  thành đa th c .ệ ố ủ ố ạ ứ ể ứ

b) M t h p có 60 qu  c u độ ộ ả ầ ược đánh s  t  1 đ n 60. L y ng u nhiên 3 qu  c u t  h p đó.ố ừ ế ấ ẫ ả ầ ừ ộ  Tính xác su t đ  tích 3 s  ghi trên 3 qu  c u là m t s  chia h t cho 8.ấ ể ố ả ầ ộ ố ế

II. PH N TR C NGHI M KHÁCH QUAN (12,0 Ầ Ắ Ệ đi m ể )

Câu 1 Nguyên hàm c a hàm s   là ủ ố

Câu 2 M t h p có  viên bi tr ng,  viên bi vàng và  viên bi xanh. L y ng u nhiên l n lộ ộ ắ ấ ẫ ầ ượt  viên bi 

trong h p, s  cách l y ra độ ố ấ ược đúng m t viên bi vàng b ngộ ằ

Câu 7 Trong không gian  cho m t ph ng  và đặ ẳ ường th ng. Đẳ ường th ng n m trong  và vuông gócẳ ằ  

v i có m t véct  ch  phớ ộ ơ ỉ ương. Giá tr  c a b ngị ủ ằ

Câu 8 Cho c p s  nhân  tăng th a mãn . Công b i c a c p s  nhân đã cho b ngấ ố ỏ ộ ủ ấ ố ằ

Câu 9 G i ọ M  là giá tr  l n nh t, ị ớ ấ m là giá tr  nh  nh t c a hàm s   trên đo n . Khi đó t ng  thu cị ỏ ấ ủ ố ạ ổ ộ  

kho ng nào dả ưới đây?

 Câu 16 Cho hình lăng tr  đ ng  có đáy  là tam giác vuông cân, ụ ứ

 t o v i đáy  góc  Th  tích kh i lăng tr  đã cho b ngạ ớ ể ố ụ ằ :

Câu 17 Cho hàm s  . ố M nh đ  nào sau đây ệ ề đúng?

Câu 21.  Cho hình chóp có tam giác đ u ề

 có th  tích b ng  m t bên t o v i đáy m t  góc ể ằ ặ ạ ớ ộ  Kho ngả  cách t   đ n m t ph ng b ng  ừ ế ặ ẳ ằ

Câu 22.  M t ngộ ười mua xe máy tr  góp v i giá ti n là  tri u đ ng, m c lãi su t  tháng v i h p đ ngả ớ ề ệ ồ ứ ấ ớ ợ ồ  

là tr   tri u đ ng/tháng (c  g c và lãi). Sau m t năm lãi su t l i tăng lên là  tháng và h pả ệ ồ ả ố ộ ấ ạ ợ  

đ ng thay đ i là tr  2 tri u đ ng/1 tháng. H i sau bao nhiêu tháng ngồ ổ ả ệ ồ ỏ ười đó tr  h t n ?ả ế ợ  (tháng cu i có th  tr  không quá 2 tri u đ ng).ố ể ả ệ ồ

Câu 27 Cho hình chóp  có đáy  là hình bình hành  và  c nh bên  và ạ SD vuông góc v i m t ph ng đáy.ớ ặ ẳ  

Sin c a góc t o b i đủ ạ ở ường th ng  và m t ph ng  b ngẳ ặ ẳ ằ

Câu 28. Có bao nhiêu giá tr  nguyên c a  đ  hàm s  ị ủ ể ố  ngh ch bi n trên kho ng ị ế ả       

Câu 29.  Cho hình chóp  có đáy  là hình vuông c nh . Tam giác  đ u, tam giác  vuông t i . Đi m  thu cạ ề ạ ể ộ  

đường th ng  sao cho  vuông góc v i . ẳ ớ Đ  dài ộ đo n th ng ạ ẳ  b ngằ

Câu 30. Cho hình ph ng ẳ  gi i h n b i các đ ng . Th  tích c a v t th  tròn xoay t o thành khi quayớ ạ ở ườ ể ủ ậ ể ạ  

Câu 33.   Cho hàm s  . Đ  th  hàm s  nh  hình v   bên.ố ồ ị ố ư ẽ

B t phấ ương trình đúng v i  khi và ch  khi:ớ ỉ

Câu 36 Cho hàm s   có đ  th  c a hàm s   nh  hình v  bên. ố ồ ị ủ ố ư ẽ

H i hàm s   đ ng bi n trên kho ng nào dỏ ố ồ ế ả ưới 

Câu 38.  Cho hình lăng tr   kho ng cách t   đ n  và  l n lụ ả ừ ế ầ ượ ằt b ng  và  

góc gi a hai m t ph ng  và  b ng  Hình chi u vuông góc c a  lên m t ữ ặ ẳ ằ ế ủ ặ

ph ng  là trung đi m  c a  và  Th  tích c a kh i lăng tr  ẳ ể ủ ể ủ ố ụ

 b ngằ

Câu 39. Trong không gian , cho hình chóp  có , , đường th ng ẳ

 có phương trình   và góc gi a  và m t ph ng đáy b ng . Khi ba ữ ặ ẳ ằ

đi mể   cùng v i ba trung đi m c a ba c nh bên c a hình chóp ớ ể ủ ạ ủ  n m trên m t m t ằ ộ ặ   

G i di n tích hình ph ng gi i h n b i (ọ ệ ẳ ớ ạ ở C) và tr cụ  

là , di n tích   c a hình ph ng gi i h n b i cácệ ủ ẳ ớ ạ ở  

đườ g, ,  và  b ngn ằ

H ƯỚ NG D N GI I Ẫ Ả

I. PH N T  LU N (8,0 Ầ Ự Ậ đi m ể )

Bài 1 a) Tìm giá tr  l n nh t và giá tr  nh  nh t c a bi u th c ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ể ứ

b) Tìm t t c  các giá tr  th c c a ấ ả ị ự ủ  đ   đ ng bi n trên kho ng .ể ồ ế ả

     D u b ng x y ra t i  ,ấ ằ ả ạ

Trên kho ng ả  thì  có nghi m duy nh t ệ ấ

Ta có 

Suy ra:   

b) T  gi  thi t ta có .ừ ả ế

      Nh  v y ta c n tìm t t c  các giá tr  c a  đ  ,.ư ậ ầ ấ ả ị ủ ể

     Đ u tiên ta th y  không th a mãn.ầ ấ ỏ

     Do đó chúng ta gi i bài toán trong trả ường h p .ợ

Ta có

     Khi đó , khi và ch  khiỉ

      ho c       .ặ

      Gi i  ta đả ược 

      Gi i  ta đả ược 

  Nh  v y t p t t c  các giá tr   c n tìm là .ư ậ ậ ấ ả ị ầ

Cách 2: 

T  gi  thi t ta có ừ ả ế

Ta c n tìm các giá tr  c a đầ ị ủ ể

Đ t ặ

B ng bi n thiên.ả ế

0

Bài 2 Cho lăng tr  ụ ABC A B C  có đáy là tam giác đ u c nh ề ạ a và  Bi t kho ng cách gi a hai đế ả ữ ườ  ng

th ng  và  b ng ẳ ằ

a) G i ọ G là tr ng tâm tam giác ọ ABC  Ch ng minh ứ A G vuông góc v i m t ph ng ớ ặ ẳ ( ABC )

b) Tính th  tích c a kh i lăng tr  ể ủ ố ụ ABC A B C

L i gi iờ ả

Tác gi : Tr n Quang ả ầ ; Fb: Quang Tr n ầ

a)  G i  là giao đi m c a  và . ọ ể ủ

      Ta có tam giác  đ u nên .ề

      M t khác ta cũng có tam giác  cân t i  nên .ặ ạ

      T  đó suy ra .ừ

      Do đó 

      Tương t  ta cũng ch ng minh đự ứ ược 

      Nên ta có th  k t lu n để ế ậ ược . 

b) G i  là chân đọ ường vuông góc h  t   đ n .ạ ừ ế

    Ta đã ch ng minh đứ ược, t  đây suy ra .ừ

    Nh  v y  chính là đư ậ ường vuông góc chung c a ủ  và .

     T c  b ng kho ng cách gi a  ứ ằ ả ữ  và 

    Theo gi  thi t ta có .ả ế

    Ta nh n th y tam giác  và tam giác  đ ng d ng v i nhau.ậ ấ ồ ạ ớ

Bài 3 Trong không gian v i h  t a đ  , cho đớ ệ ọ ộ ường th ng  và m t ph ng .ẳ ặ ẳ

a) Tìm t a đ  giao đi m  c a  và .ọ ộ ể ủ

b) Vi t phế ương trình đường th ng n m trong m t ph ng , vuông góc v i  và kho ng cách tẳ ằ ặ ẳ ớ ả ừ 

b)  có vect  pháp tuy n ơ ế ; đường th ng ẳ  có vect  ch  phơ ỉ ương 

Do đường th ng  n m trong m t ph ng , vuông góc v i  nên ẳ ằ ặ ẳ ớ có véc t  ch  phơ ỉ ương . 

G i  là hình chi u vuông góc c a  trên , khi đó: .ọ ế ủ

Gi i h  ta tìm đả ệ ược và 

V i , ta có .ớ

V i , ta có .ớ

Bài 4

a) Tìm h  s  c a s  h ng ch a  trong khai tri n  thành đa th c .ệ ố ủ ố ạ ứ ể ứ

b) M t h p có 60 qu  c u độ ộ ả ầ ược đánh s  t  1 đ n 60. L y ng u nhiên 3 qu  c u t  h p đó.ố ừ ế ấ ẫ ả ầ ừ ộ  Tính xác su t đ  tích 3 s  ghi trên 3 qu  c u là m t s  chia h t cho 8.ấ ể ố ả ầ ộ ố ế

Đ  ể tích 3 s  ghi trên 3 qu  c u là m t s  chia h t cho 8ố ả ầ ộ ố ế  có các trường h p x y ra là:ợ ả

TH1. Ch n ọ 3 s  ch n t  ố ẵ ừ 30 s  ch n. Khi đó tích c a ố ẵ ủ 3 s  đó là m t s  chia h t cho 8 ta có số ộ ố ế ố cách ch n là .ọ

TH2. Ch n  s  ch n và  s  l  Ta xét hai kh  năng sau: ọ ố ẵ ố ẻ ả

+ Ch n đọ ượ ốc s  chia h t cho  và  s  l  Khi đó s  cách ch n là .ế ố ẻ ố ọ

+ Ch n đọ ược  s  chia h t cho ,  s  ch n không chia h t cho  và  s  l  Khi đó s  cách ch n ố ế ố ẵ ế ố ẻ ố ọ

II. PH N TR C NGHI M KHÁCH QUAN (12,0 Ầ Ắ Ệ đi m ể )

Câu 1 Nguyên hàm c a hàm s   là ủ ố

Câu 2 M t h p có  viên bi tr ng,  viên bi vàng và  viên bi xanh. L y ng u nhiên l n lộ ộ ắ ấ ẫ ầ ượt  viên bi 

trong h p, s  cách l y ra độ ố ấ ược đúng m t viên bi vàng b ngộ ằ

L i gi iờ ả

Tác gi : Nguy n Minh Thành  ả ễ ; Fb: Nguy n Minh Thành       ễ

Ch n Aọ

S  cách đ  trong  viên l y ra đố ể ấ ược đúng m t viên bi vàng là  ộ

Câu 3  Cho hình chóp tam giác  có  đôi m t vuông góc và  . G i là trung đi m c a . Góc gi a hai ộ ọ ể ủ ữ

A

M

N

G i ọ là trung đi m c a. Ta có . Nên góc gi a hai để ủ ữ ường th ng  và ẳ

 b ng góc gi a hai đằ ữ ường 

Câu 7 Trong không gian  cho m t ph ng  và đặ ẳ ường th ng. Đẳ ường th ng n m trong  và vuông gócẳ ằ  

v i có m t véct  ch  phớ ộ ơ ỉ ương. Giá tr  c a b ngị ủ ằ

Do đường th ng n m trong  có giá vuông góc v i đẳ ằ ớ ường th ng .ằ

Do  vuông góc v i nên  có giá vuông góc v i  đớ ớ ường th ng .ằ

Câu 9 G i ọ M  là giá tr  l n nh t, ị ớ ấ m là giá tr  nh  nh t c a hàm s   trên đo n . Khi đó t ng  thu cị ỏ ấ ủ ố ạ ổ ộ  

kho ng nào dả ưới đây?

D a vào b ng bi n thiên ta có  suy ra .ự ả ế

Câu 10 Có bao nhiêu giá tr  nguyên dị ương c a tham s  ủ ố m đ  hàm s   đ ng bi n trên kho ng ?ể ố ồ ế ả

Xét hàm s  ,  nên hàm s  đ ng bi n trên t  đó .ố ố ồ ế ừ

T  đó ta có , do nguyên dừ ương nên . Có 18 giá tr  .ị

Câu 11 T ng s  đổ ố ường ti m c n ngang và đệ ậ ường ti m c n đ ng c a đ  th  hàm s  ệ ậ ứ ủ ồ ị ố  là

+  là ti m c n ngang c a đ  th  hàm s ệ ậ ủ ồ ị ố

+  là đường ti m c n đ ng c a đ  th  hàm s ệ ậ ứ ủ ồ ị ố

V y đ  th  hàm s  đã cho có  đậ ồ ị ố ường ti m c n ngang và đ ng.ệ ậ ứ

Phương trình hoành đ  giao đi m c a đ  th  hàm s   và làộ ể ủ ồ ị ố

Di n tích hình gi i h n b i tr c tung, đ  th  hàm s  và phệ ớ ạ ở ụ ố ị ố ương trình ti p tuy n là:ế ế

Câu 16 Cho hình lăng tr  đ ng  có đáy  là tam giác vuông cân, ụ ứ

 t o v i đáy  góc  Th  tích kh i lăng tr  đã cho b ngạ ớ ể ố ụ ằ :

L i gi iờ ả

Câu 21.  Cho hình chóp có tam giác đ u ề

 có th  tích b ng  m t bên t o v i đáy m t  góc ể ằ ặ ạ ớ ộ  Kho ngả  cách t   đ n m t ph ng b ng  ừ ế ặ ẳ ằ

C

B A

S

G i là hình chi u vuông góc c a  lên m t ph ng . Khi đó, theo gi  thi t ta có:ọ ế ủ ặ ẳ ả ế

 là tr ng tâm tam giác đ u . G i  là giao c a  và là trung đi m c a ọ ề ọ ủ ể ủ

góc gi a m t ph ng và đáy  là  , gi  s  đ  dài c nh tam giác đ u  là ữ ặ ẳ ả ử ộ ạ ề

Do đó th  tích c a t  di n là: .ể ủ ứ ệ

M t khác: .ặ

Cách khác đ  tìm kho ng cách t   đ n m t ph ng ngoài cách dùng th  tíchể ả ừ ế ặ ẳ ể

Ta th y: ấ

Câu 22.  M t ngộ ười mua xe máy tr  góp v i giá ti n là  tri u đ ng, m c lãi su t  tháng v i h p đ ngả ớ ề ệ ồ ứ ấ ớ ợ ồ  

là tr   tri u đ ng/tháng (c  g c và lãi). Sau m t năm lãi su t l i tăng lên là  tháng và h pả ệ ồ ả ố ộ ấ ạ ợ  

đ ng thay đ i là tr  2 tri u đ ng/1 tháng. H i sau bao nhiêu tháng ngồ ổ ả ệ ồ ỏ ười đó tr  h t n ?ả ế ợ  (tháng cu i có th  tr  không quá 2 tri u đ ng).ố ể ả ệ ồ

Sau tháng th  nh t, ngứ ấ ười đó còn n  l i .ợ ạ

Sau tháng th  hai, ngứ ười đó còn n  l iợ ạ

.Sau tháng th  ba, ngứ ười đó còn n  l i ợ ạ

Tương t  ta có: sau tháng th  , ngự ứ ười đó còn l i .ạ

V y sau năm đ u tiên, ngậ ầ ười đó còn n  l i .ợ ạ

T  tháng đ u tiên c a năm th  hai, ta coi đó là tháng th  nh t.ừ ầ ủ ứ ứ ấ

Làm tương t  nh  trên ta có, sau  tháng, ngự ư ười đó còn n  l i .ợ ạ

Ta có 

Do đó, sau  tháng, người đó s  tr  h t n  ẽ ả ế ợ

Câu 23.  Có bao nhiêu s  t  nhiên có 5 ch  s  d ng  và th a mãn ? ố ự ữ ố ạ ỏ

Ta có . V y ch n Aậ ọ

Câu 25 Trong không gian  cho hai đường th ng , và đi m . Đẳ ể ường th ng  đi qua , vuông góc v i  vàẳ ớ  

Câu 27 Cho hình chóp  có đáy  là hình bình hành  và  c nh bên  và ạ SD vuông góc v i m t ph ng đáy.ớ ặ ẳ  

Sin c a góc t o b i đủ ạ ở ường th ng  và m t ph ng  b ngẳ ặ ẳ ằ

Ta có . Suy ra hàm s   đ ng bi n trên kho ngố ồ ế ả .

Do đó hàm s  đã cho ngh ch  bi n trên kho ng  khi và ch  khiố ị ế ả ỉ

. Mà nên . 

V y có 5 giá tr  c a th a mãn.ậ ị ủ ỏ

Câu 29.  Cho hình chóp  có đáy  là hình vuông c nh . Tam giác  đ u, tam giác  vuông t i . Đi m  thu cạ ề ạ ể ộ  

đường th ng  sao cho  vuông góc v i . ẳ ớ Đ  dài ộ đo n th ng ạ ẳ  b ngằ

L i gi iờ ả

Tác gi : Nguy n Hoàng Huy ả ễ ; Fb: Nguyen Hoang Huy

Ch n Bọ

G i  là trung đi m c a đo n  và  là hình chi u vuông góc c a  lên .ọ ể ủ ạ ế ủ

D a trên đ  th  c a các hàm s , ta cóự ồ ị ủ ố  th  tích c a v t th  tròn xoay t o thành khi quay hình ể ủ ậ ể ạ

Thay t a đ  đi m  vào phọ ộ ể ương trình th y không th a mãn, suy ra: .ấ ỏ

V y 4 đi m  là b n đ nh c a m t hình t  di n.ậ ể ố ỉ ủ ộ ứ ệ

G i  l n lọ ầ ượt là trung đi m c a .ể ủ

Ta d  ch ng minh đễ ứ ược các m t ph ng , , ,,, ,  là các m t ph ng th a mãn yêu c u bài toán. ặ ẳ ặ ẳ ỏ ầ

V y có  m t ph ng cách đ u  đi m đã cho.ậ ặ ẳ ề ể

Câu 32 Cho t  di n  có  và  Bi t kho ng cách gi a hai đứ ệ ế ả ữ ường th ng  và ẳ  b ng  Th  tích kh i t  di nằ ể ố ứ ệ  

Câu 33.   Cho hàm s  . Đ  th  hàm s  nh  hình v   bên.ố ồ ị ố ư ẽ

B t phấ ương trình đúng v i  khi và ch  khi:ớ ỉ

A.   B.  C.    D. 

L i gi iờ ả

Tác gi :Hoàng Th  Thúy; FB: Hoangthuy ả ị

T   và  ta có ừ

D u  x y ra khi và ch  khi ấ ả ỉ

Câu 36 Cho hàm s   có đ  th  c a hàm s   nh  hình v  bên. ố ồ ị ủ ố ư ẽ

H i hàm s   đ ng bi n trên kho ng nào dỏ ố ồ ế ả ưới 

Cách 1 Ta t nh ti n đ  thị ế ồ ị  lên trên m t đ n v  ta đ c đ  th  hàm s  . Ti p t c t nh ti n đ  ộ ơ ị ượ ồ ị ố ế ụ ị ế ồ

th  hàm s   sang ph i 2 đ n v  ta đị ố ả ơ ị ược đ  th  hàm s  . T  đó ta có đ  th  hàm s   nh  sau: ồ ị ố ừ ồ ị ố ư

Câu 38.  Cho hình lăng tr   kho ng cách t   đ n  và  l n lụ ả ừ ế ầ ượ ằt b ng  và  

góc gi a hai m t ph ng  và  b ng  Hình chi u vuông góc c a  lên m t ữ ặ ẳ ằ ế ủ ặ

ph ng  là trung đi m  c a  và  Th  tích c a kh i lăng tr  ẳ ể ủ ể ủ ố ụ

 . Suy ra tam giác  vuông t i ạ

G i  là trung đi m và  là giao đi m c a và. Suy ra  ọ ể ể ủ

Do hình chi u vuông góc c a  lên m t ph ng  là trung đi m  c a ế ủ ặ ẳ ể ủ nên

Câu 39. Trong không gian , cho hình chóp  có , , đường th ng ẳ

 có phương trình   và góc gi a  và m t ph ng đáy b ng . Khi ba ữ ặ ẳ ằ

đi mể   cùng v i ba trung đi m c a ba c nh bên c a hình chóp ớ ể ủ ạ ủ  n m trên m t m t ằ ộ ặ   

  N u  b  gi  thi t  thì ta v n vi t đ ế ỏ ả ế ẫ ế ượ c ph ươ ng trình (ABC) b ng các gi  thi t đi qua   D, ằ ả ế  

ch a đ ứ ườ ng th ng AB  và ẳ

Câu 40.  Cho hàm s  b c ba  có đ  th  (ố ậ ồ ị C) nh  hình vư ẽ bên. 

Bi t đ  th  hàm s  đã cho c t tr c  t i ba đi m cóế ồ ị ố ắ ụ ạ ể  

hoành đ    theo th  t  l p thành c p s  c ng vàộ ứ ự ậ ấ ố ộ  

G i di n tích hình ph ng gi i h n b i (ọ ệ ẳ ớ ạ ở C) và tr cụ  

là , di n tích   c a hình ph ng gi i h n b i cácệ ủ ẳ ớ ạ ở