Toán 8 Bài 4: Đường trung bình của tam giác, của hình thang 1.. Đường trung bình của tam giác * Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ
Trang 1Toán 8 Bài 4: Đường trung bình của tam giác, của hình thang
1 Đường trung bình của tam giác
* Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với
cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba
Bài toán: Cho tam giác ABC có D là trung điểm của AB Qua D kẻ đường thẳng song
song với BC cắt AC ở E Chứng minh rằng AE = EC
Chứng minh:
+ Qua E, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BC tại M
+ Xét tứ giác DEMB có: DE // BC (gt)
DEMB là hình thang (dhnb)
Mà EM // DB DB = EM (tính chất)
+ Có D là trung điểm của AB (gt)
Mà DB = EM (cmt)
AD = EM
Trang 2+ Có DE // BC ADE ABC = (đồng vị)
Mà EM // AB ABC EMC= (đồng vị)
Suy ra ADE EMC= (= ABC)
+ Xét ∆ ADE và ∆ EMC có:
AD = EM (cmt)
Suy ra ∆ADE= ∆EMC(g – c - g) AE = EC hay E là trung điểm của
* DE được gọi là đường trung bình của tam giác ABC
Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác
* Định lý 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thú ba và bằng
nửa cạnh ấy
Bài toán: Cho tam giác ABC có D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC
Chứng minh rằng DE//BC và 1
2
Chứng minh:
Trang 3+ Trên tia đối của tia ED, lấy điểm F sao cho E là trung điểm của DF
+ Xét ∆ADE và ∆ CEFcó:
AE = EC (E là trung điểm của AC)
ED = EF (E là trung điểm của DF)
Suy ra ∆ ADE = ∆ CEF(c – g – c) AD = CF và BAC ACF = (cạnh và góc tương ứng) + Có AD = DB (D là trung điểm của AB) và AD = CF (cmt) DB = CF
+ Có BAC ACF = , hai góc ở vị trí so le trong nên AD // CF hay DB // CF
DBCF là hình thang
+ Xét hình thang DBCF có DB = CF nên DF = BC và DF // BC
DE // BC và 1 1
2 Đường trung bình của hình thang
* Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song
song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai
Trang 4Bài toán: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi E là trung điểm của AD Qua E kẻ
đường thẳng song song với AB và DC cắt BC tại F Chứng minh rằng F là trung điểm của BC
Chứng minh:
+ Nối AC cắt EF tại M
+ Xét tam giác ADC có:
E là trung điểm của AD (gt)
EM // DC
M là trung điểm của AC (định lý)
+ Xét tam giác ABC có:
M là trung điểm của AC (cmt)
MF // AB
F là trung điểm của BC (định lý)
* EF được gọi là đường trung bình của hình thang ABCD
Trang 5 Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang
* Định lý 2: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa
tổng hai đáy
Bài toán: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Có E là trung điểm của AD, F là trung
điểm của BC Chứng minh rằng EF//AB, EF // CD và
2
AB CD
Chứng minh:
+ Kéo dài AF cắt DC tại M
+ Xét ∆ FBA và ∆FCM có:
BF = FC (F là trung điểm của BC)
Suy ra ∆FBA= ∆FCM (g – c – g) AF = FM và AB = CM (cạnh tương ứng)
+ Xét tam giác ADM có:
E là trung điểm của AD
Trang 6F là trung điểm của AM
Suy ra EF là đường trung bình của tam giác ADM
EF // DK hay EF // CD và EF // AB và 1
2
EF = DK(định lý)
+ Có DK = DC + CK = DC + AB nên
2
DC AB
