Bài 3 bài tập có đáp án chi tiết về mặt phẳng oxyz trong không gian

 Khi gặp lớp câu hỏi “Tìm tọa độ điểm thuộc mặt phẳng sao cho k MA i.. Thì điểm M chính là hình chiếu vuông góc của I xuống mặt phẳng đã cho với k IA i.uur ri 0... Để thỏa mãn yêu cầ

Câu 1 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : 1 2

x y z

 và haiđiểm A0; 1; 3  , B1; 2; 1  Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho

 Các bạn có thể dùng công thức tìm nhanh để tìm tọa độ điểm I ở Cách 3như sau:

sao cho MA2 MB22MC2 đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó, tổng a b c  bằng bao nhiêu?

Lời giải Chọn B.

T  B Tmin 25 C min

252

T  D Tmin 45

Lời giải Chọn D.

Cách 1:

đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó, tổng a2b4c bằng bao nhiêu?

Lời giải Chọn D.

T  MAuuur MBuuur đạt giá trị nhỏ nhất là T Khi đó, min T bằng bao nhiêu?min

A Tmin  4 B Tmin  3 C Tmin  14 D Tmin  6

Lời giải Chọn C.

Câu 9 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   :x2y2z  và ba9 0

điểm A 1; 2; 0 ,B2; 0; 1 , C3; 1; 1 Tìm tọa độ điểm M  sao cho

2MA 3MB 4MC đạt giá trị nhỏ nhất

A M1; 2; 3   B M3; 1; 4  C M3; 2; 5  D M1; 3; 2  

Lời giải Chọn C.

Xét điểm I thỏa mãn 2IAuur3IBuur4uur rIC 0 2IO OAuur uuur  3 IO OBuur uuur  4 uur uuurIO OC  0r

    ( do 2IAuur3IBuur4ICuur r0)

Do 2IA23IB24IC2 không đổi nên 2MA23MB24MC2 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi

min

MI M là hình chiếu vuông góc của I trên   Ta có IM   uuuur uuurIM n  1; 2; 2

là vecto chỉ phương của IM

 Khi gặp lớp câu hỏi “Tìm tọa độ điểm thuộc mặt phẳng sao cho k MA i i2 đạt giá trị nhỏ nhất( hoặc lớn nhất – nếu k i 0)” Thì điểm M chính là hình chiếu vuông góc của I xuống mặt

phẳng đã cho với k IA i.uur ri 0

Câu 10 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P : 5x y z    và hai2 0

điểm A 0; 1; 0  ,B2; 1; 1 Biết điểm M thuộc mặt phẳng   P sao cho MA22MB2

đạt giá trị lớn nhất Khi đó điểm M có hoành độ x bằng bao nhiêu? M

Lời giải Chọn A.

2

4

1 22

1 22

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì M là hình chiếu vuông góc của I trên  P

Câu 11 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P x y:     và ba3z 7 0

điểm A 2; 1; 0 ,B 0; 1; 2 ,C 2; 3; 1 Biết điểm  M x y z thuộc mặt phẳng  0; ; 0 0  P

sao cho MA23MB22MC2 đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó tổng T  x0 3y02z0bằng baonhiêu?

Lời giải Chọn D.

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì M là hình chiếu vuông góc của I trên  P

Câu 12 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   :x5y   và ba3z 4 0

điểm A1; 1; 5  , B0; 1; 2,C2; 3; 1 Biết điểm M thuộc mặt phẳng    sao cho biểuthức P MA 22MB22MC2 đạt giá trị nhỏ nhất là P Khi đó, min P gần giá trị nào nhấtmin

trong các giá trị sau?

Lời giải Chọn D.

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì M là hình chiếu vuông góc của I trên  P

Câu 13 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   : 2x y    và ba3z 1 0

điểm A1; 1; 1 , B3; 1; 0 ,C2; 1; 1 Biết điểm  M  sao cho biểu thức

T  MAuuur MBuuur MCuuuur đạt giá trị nhỏ nhất

A M0; 1; 0. B M2; 1; 2  C M1; 0; 1. D M1; 2; 1 

Lời giải Chọn C.

Ta có 2MAuuur5MBuuur6MCuuuur 2MI IAuuur uur  5 MI IBuuur uur  6 MI ICuuur uur   MIuuur2IAuur5IBuur6uurIC

min min

Khi gặp lớp câu hỏi “Tìm tọa độ điểm thuộc mặt phẳng sao cho  k MA iuuuuri đạt giá trị nhỏ

nhất” Thì điểm M là hình chiếu vuông góc của I xuống mặt phẳng đã cho với k IA iuur ri 0

Câu 14 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P x y z:     và hai1 0

điểm A5; 1; 2,B1; 2; 2  Trong tất cả những điểm M thuộc mặt phẳng   , điểm2

2

1

1 22

1 222

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì M là hình chiếu vuông góc của I trên  P

Câu 15 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   : 2x y    và hai3z 6 0

điểm A0; 1; 1 ,B1; 2; 0  Biết điểm M thuộc mặt phẳng   sao cho P 2MA MBuuur uuur đạtgiá trị nhỏ nhất là P Khi đó, min P có giá trị bằng bao nhiêu?min

A Pmin 2 3 B Pmin  3 C Pmin  14 D Pmin  21

Lời giải Chọn C.

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì M là hình chiếu vuông góc của I trên  P

CHÚ Ý: Khi gặp lớp câu hỏi “Tìm giá trị nhỏ nhất của Pk MA iuuuuri với M là một điểm thuộc

mặt phẳng cho trước” Thì ta luôn kết quả Pmin  k MI i với k IA iuur ri 0 Do đó ở bài toántrên ta có thể suy ra Pmin MI do  k i    2  1 1

Câu 16 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   :x2y z   và hai3 0

điểm A1; 1; 0 ,B2; 1; 3 Đường thẳng  đi qua điểm A , nằm trong mặt phẳng    sao

cho khoảng cách từ điểm B tới  là lớn nhất Khi đó phương trình đường thẳng  là

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên  , khi đó:

d B  BH BA

Suy ra d B , max  14 khi H  hay AB   A

Bài toán được phát biểu lại thành bài toán cơ bản sau:

“Viết phương trình đường thẳng  nằm trong   , cắt

Và vuông góc với AB tại A ”.

1; 2; 1

, 4; 4; 4 4 1; 1; 11; 2; 3

Câu 17 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   :x y 2z  và hai5 0

điểm M2; 1; 0 ,N3; 4; 5 Đường thẳng  đi qua điểm M , nằm trong mặt phẳng   

sao cho khoảng cách từ điểm N tới  là nhỏ nhất Khi đó phương trình đường thẳng  là

Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N trên  và  

Câu 18 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : 2 1

 và haiđiểm A1; 2; 0 ,B2; 3; 1 Đường thẳng  đi qua điểm A , vuông góc với  d sao cho

khoảng cách từ điểm B tới  là lớn nhất Khi đó phương trình đường thẳng  là

Gọi H là hình chiếu của B trên  , khi đó:

d B  BH BA

Suy ra d B , max 3 3 khi H  hay AB   A

Bài toán được phát biểu lại thành bài toán cơ bản sau:

“Viết phương trình đường thẳng  đi qua A vuông góc

Câu 19 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P : 2x y z    và hai1 0

điểm M1; 2; 1 ,N3; 1; 0  Đường thẳng  đi qua điểm M , song song với  P sao cho

khoảng cách từ điểm Ntới  là lớn nhất Khi đó phương trình đường thẳng  là

Gọi H lần lượt là hình chiếu vuông góc của N trên  ,khi đó:

d N  NH NM 

Suy ra d N , max  6 khi H  hay MN   A

Bài toán được phát biểu lại thành bài toán cơ bản sau:

“Viết phương trình đường thẳng  đi qua M vuông góc với MN và song song với  P ”.

Lời giải Chọn D.

 Nếu T  0 A B, nằm cùng phía so với mặt phẳng  

 Nếu T  0 A B, nằm khác phía so với mặt phẳng  

Câu 21 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   :x y z    và điểm1 0

1; 1; 0

A ,B3; 1; 4  Gọi M là điểm thuộc mặt phẳng   sao cho P MA MB  đạt giá trị

nhỏ nhất Khi đó, giá trị P bằng bao nhiêu?

A P5 B P6 C P7 D P8

Lời giải Chọn B.

Gọi 'A là điểm đối xứng với A qua   Gọi AA'     H

Khi đó uuuur uuurAA'n  1; 1; 3 

Câu 23 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A1; 1; 0,B3; 1; 4  và mặt phẳng

  :x y z    Tìm tọa độ điểm 1 0 M  sao cho MA MB đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 24 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A1; 1; 2 ,B0; 1; 6 và đường thẳng

A Tmin  14 B Tmin  3 C Tmin 3 2 D Tmin 2 3

Lời giải Chọn A.

Biết điểm M a b c thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MAB có ; ; 

diện tích nhỏ nhất.Khi đó, giá trị T  a 2b bằng bao nhiêu?3c

A T  2 B T  3 C T  4 D T  5

Lời giải Chọn D.

Viết phương trình đường thẳng  , biết  cắt

ba đường thẳng d ,1 d ,2 d lần lượt các điểm A , B ,3 C sao cho AB BC

Xét ba điểm A , B ,C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d ,1 d ,2 d , khi đó:3

Gọi  cắt d và 1 d lần lượt tại điểm A , B 2

Với A1; 1; 2 ,  O0; 0; 0, suy ra phương trình :

Đường thẳng  đi qua P1; 1; 2 có  uuur 1; 0; 1 nên có phương trình

Câu 30 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M1; 2; 3 Biết mặt phẳng   đi

qua M và cắt các tia Ox ,Oy , Oz lần lượt tại A , B , Csao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏnhất (với O là gốc tọa độ) Phương trình mặt phẳng   là

A   :x y z    6 0 B   : 6x3y2z18 0

C   :x2y3z14 0 D   : 3x2y z 10 0

Lời giải Chọn B.

  cắt 3 tia Ox ,Oy ,Oz tại A a ; 0; 0,B0; b; 0,C0; 0; c có dạng

9

a b

Câu 31 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A2; 0; 0, M8; 1; 2 Mặt

phẳng   đi qua AM cắt các tia Oy , Oz tại B , Cphân biệt sao cho OB2OC có phươngtrình là

A   :x4y3z  2 0 B   :x2y6z  2 0

C   :x4y   7z 2 0 D   :x2y4z  2 0

Lời giải Chọn D.

Câu 32 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A0; 2; 0,B0; 0; 1 và C Ox 

Biết khoảng cách từ C tới mặt phẳng  P : 2x2y z   bằng khoảng cách từ C tới đường0

Gọi C a ; 0; 0Ox, chọn điểm M1; 0; 2  MCuuuur a 1; 0; 2; uuur 1; 2; 2

Theo giả thiết d C P ;  d C ;   8 2 24 36 2

Câu 33 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm B0; 3; 0,M4; 0; 3 Viết

phương trình mặt phẳng  P chứa B , M và cắt các tia Ox ,Oz lần lượt tại A ,C sao cho thể

tích khối tứ diện OABC bằng 3 (với O là gốc tọa độ).

Gọi A a ; 0; 0Ox,C0; 0; cOz Do OABC là tứ diện và  P cắt tia Ox ,Oz

Câu 34 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M1; 2; 1 ,N1; 0; 1 Viết

phương trình mặt phẳng  P đi qua M , N và cắt trục Ox ,Oy theo thứ tự tại A và B (khác

Giả sử  P cắt Ox ,Oy , Oz lần lượt tại A a ; 0; 0,B0; b; 0 ,C0; 0; c có dạng

Câu 35 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M2; 1; 3,N1; 0; 1 Viết

phương trình mặt phẳng  P đi qua M và cắt ba trục tọa độ tại A , B , C khác gốc tọa độ O

sao cho tam giác ABC có trực tâm M

A  P :x y z    4 0 B  P : 2x y 3z12 0

C  P : 2x y 3z14 0 D  P :x y z   0

Lời giải Chọn C.

Cách 1:

Giả sử  P cắt Ox ,Oy , Oz lần lượt tại A a ; 0; 0,B0; b; 0,C0; 0; c với  abc0

 

3

23

Câu 36 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho x2y2 z2 2mx2m1y m   2 0

là phương trình của mặt cầu  S m Biết với mọi số thực m thì  S m luôn chứa một đường tròn

Gọi M x y z là một điểm thuộc đường tròn cố định với mọi số thực m , khi đó ta có: ; ; 

Câu 37 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba mặt phẳng   :x2y z   ,1 0

  :x2y z   ,8 0   : x2y z   Một đường thẳng  thay đổi cắt ba mặt phẳng4 0

  ,  ,  lần lượt tại A , B ,C Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 144

Vì ta có       / /  / /  , nên theo định lí Thales trong không gian, ta có:

Câu 38 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P :x2y2z  và mặt 3 0

cầu  S :x2y2 z2 10x6y10z39 0 Từ một điểm M thuộc mặt phẳng  P kẻ một

đường thẳng tiếp xúc với  S tại N Biết MN 4 Tính độ dài đoạn OM

A OM  6 B OM  3 C OM  5 D OM  11

Lời giải Chọn D.

 S :x2y2z2  Đường thẳng d thay đổi, đi qua điểm M , cắt mặt cầu 8  S tại hai điểm

A , B phân biệt Tính diện tích lớn nhất S của tam giác OAB

A S 2 2 B S 2 7 C S 4 D S  7

Lời giải Chọn D.

Dấu “  ” xảy ra khi x  hay H M1  Khi đó SOAB  f x   7  S

Nhưng do AB luôn đi qua điểm M cố định nên dấu “  ” ở các đánh giá trên đều không thể xảy

ra Vì vậy với những bài toán có yếu tố cực trị ta luôn dựa vào yếu tố bất biến để tư duy và bàitoán này R2 2 và OM  là hai yếu tố “bất biến” ( không đổi) nên ta sẽ dựa vào nó để tìm1giá trị lớn nhất

Câu 40 [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P :x2y2z  và mặt 3 0

Cách 1: Do MNuuuur cùng phương với vectơ ur1; 0; 1 nên :

Gọi H là hình chiếu của Nxuống  P

 Tam giác MNH vuông cân tại H MN  2NH

Ta có NH N H' ' IN IH '  R d I ,  P    1 2 3

Suy ra MN 3 2MNmax 3 2