ly thuyet nhung hang dang thuc dang nho phan 3 va bai tap co dap an

Sử dụng hằng đẳng thức 1 và giả thiết ta có thể tính được tích xy.. Mặt khác phân tích kết luận bằng hằng đẳng thức 4, ta chỉ cần biết thêm tích xy là xong.. Từ đó ta có lời giải sau..

NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ PHẦN 3

A LÝ THUYẾT

6 Tổng hai lập phương: 3 3    2 2

A B  AB A ABB

7 Hiệu hai lập phương: 3 3    2 2

A B  AB A ABB

B VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính:

b)   3 3

2

xy  x y

Giải

a) Áp dụng bất đẳng thức ta được:

   2 2    2 2

2

b) Áp dụng bất đẳng thức ta được:   3 3

2

x y  x y

 3 2 2 3  3 2    2 3

x x y xy y x x y xy y

9x y 9xy 9y

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:

x x  x x x  x

b)   3 3

xy  xy

x  x  x  x  x x

Giải

b)   3 3

xy  xy

x x y xy y x x y xy y

x x y xy y x x y xy y

6x y 2y 2y 3x y

c)  2 2  2  2   

x  x  x  x  x x

            

Ví dụ 3: Cho x y 1 Tính giá trị biểu thức sau: 3 3

3

Ax  xy y

Giải

Áp dụng hằng đẳng thức bậc 3, ta được:

Ax y  xy x y x xyy  xy

    2 

Theo bài ra x y 1, thay vào A ta được:

    2   2 

A xy x y  xy  xy  xy  xy  xy xy

Vậy A 1

Ví dụ 4: Cho x y 4 và xy 5 Tính 3 3  2

Bx y  xy

Giải

Áp dụng hằng đẳng thức, ta được:

  2     2

Bx y  xy  xy x xy y  xy

    2   2

3

Theo bài ra x y 4, xy 5 thay vào B ta được:

    2   2  2 

B xy xy  xy  xy    

Vậy B 140

Ví dụ 5: Tính giá trị biểu thức:

9x  48x 64 5  x tại x 2 b) 3 2

x  x  x tại x  4 c)

3

2

1 1

x

x



2 3

   

Giải

9x  48x 64 5  x  3x 8  5x

Thay x 2 vào ta được:  2 3

3.2 8   5.2   36

b) Ta có 3 2  3

x  x  x  x

Thay x  4 vào ta được:   3 3 3

  

2

2

Thay x 6 vào ta được:

1 6 6 1 43

x

     

d) Ta có:

 

2 3

   

 

        

2

2

  

Thay x 3 vào ta được: 23 1 3 1 2 2 28

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho x  y 7 và 2 2

11

x y  Tính 3 3

?

x  y

Giải

Tìm cách giải Sử dụng hằng đẳng thức (1) và giả thiết ta có thể tính được tích xy Mặt khác

phân tích kết luận bằng hằng đẳng thức (4), ta chỉ cần biết thêm tích xy là xong Từ đó ta có lời giải sau

Trình bày lời giải

x  y    xy xy

x y  xy  xy xy    

3 3

91

   

Bài 2: Tính nhanh:

3 2

2020 1

)

2020 2019



3 2

2020 1 )

2020 2021



Giải

Tìm cách giải Quan sat kỹ đề bài, ta nhận thấy mỗi phân số đều ẩn chứa hằng đẳng thức Do

vậy, việc dùng hằng đẳng thức để phân tích ra thừa số là suy luận tự nhiên

Trình bày lời giải

   2  3

2020 1 2020 2020 1

2020 1

2020 2019 2020 2020 1

3

2020 1 2020 2020 1

2020 1

2020 2021 2020 2020 1

Bài 3: Cho x y 2 Tính giá trị  3 3  2

A x y  xy

Giải

Tìm cách giải Dựa vào giả thiết và kết luận ta nghĩ tới hai hướng sau:

 Biến đổi biểu thức A nhằm xuất hiện xy để thay bằng số 2

 Từ giả thiết, suy ra x y 2thay vào kết luận, ta được biểu thức chỉ chứa biến y Sau đó rút gọn biểu thức

Trình bày lời giải

Cách 1 Ta có :

 3 3  2

A x  y  x y

   2 2   2

2 x y x y xy 3  x y 4xy

        

4 x y 2xy 3xy 3 x y 12xy

      

4 x y 3 x y 12xy 12xy x y 4

Cách 2 Từ giả thiết, suy ra x y 2 thay vào biểu thức A ta có :

 

A y  y  y  y

2 y 6y 12y 8 y 3 2y 2

      

12y 24y 16 12y 12y 12 4

Bài 4 Tính giá trị biểu thức :

2

3 3

2019 2020 2021

2021 2020 2019

.

2020 1

2020 1 2020 1





Hướng dẫn giải – đáp số

3

2021 2020 2019 2019 2020 2021

.

2020 1

2020 1 2020 1





 

.

2020 1 2020 1 2020 1 2020 2020 1 2020 1 2020 2020 1



1

.2019 1

2019

Bài 5 Tìm x, biết :

  2 2   

a x  x  x x 

   2   2 

b x x  x x x  

  3   2  

c x  x  xx  x x 

Hướng dẫn giải – đáp số

  2 2   

a x  x  x x 

    2

       

20x 1 19

  

9

20 18

10

   2   2 

b x x  x x x  

7

5

  3   2  

c x  x  xx  x x 

 3 3 2

9x 7 17

  

10

9 10

9

Bài 6 Cho các số thực x; y thỏa mãn điều kiện 2 2

x y x y  Tính giá trị biểu thức

3 3

x y

Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có:

 2 2 2

x y  x y  xy  xy

9 17

4 2

xy 

3 3

x y  x y  xy x y    

Bài 7 Cho x  y a b 1 và 3 3 3 3 

2

x  y a b

Chứng minh rằng : 2 2 2 2

x y a b

Hướng dẫn giải – đáp số

3

x y  x  y  xy x y (1)

 3 3 3  

3

ab a b  ab ab (2) Kết hợp với (1) và (2) suy ra xyab (3)

xy  ab x y  xya b  ab

Kết hợp với (3) suy ra : 2 2 2 2

x y a b