Các dạng bài tập Dạng 1: Chứng minh hai tam giác đồng dạng Phương pháp Sử dụng định nghĩa hoặc định lí.. Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau.. Hai tam giác đồng dạng với nha
Trang 1TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
A Lý thuyết
Định nghĩa: ΔA1B1C1 gọi là đồng dạng với ∆ABC nếu:
1 1 1 1 1 1
A A ,B B ,C C
A B B C C A
AB BC CA
Khi đó:
• Kí hiệu A B C 1 1 1∽ ABC
• Tỉ số A B 1 1 B C 1 1 C A 1 1 k
AB BC CA gọi là tỉ số đồng
dạng
Chú ý: Khi viết A B C 1 1 1∽ ABC, chúng ta cần hiểu ở đó có sự tương ứng giữa các đỉnh của hai tam giác với nhau, tức là không thể viết lại kí hiệu trên dưới dạng: B A C 1 1 1∽ ABC,
và nếu muốn đảo đỉnh thì cần đảo cả hai vế của dấu đồng dạng B A C 1 1 1∽ BAC
B Các dạng bài tập
Dạng 1: Chứng minh hai tam giác đồng dạng
Phương pháp
Sử dụng định nghĩa hoặc định lí
Ví dụ 1: Trong hai mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? Mệnh đề nào sai?
a Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau
b Hai tam giác đồng dạng với nhau thì bằng nhau
Hướng dẫn: Sử dụng định nghĩa hai tam giác đồng dạng
Giải
a Mệnh đề "Hai tam giác hằng nhau thì đồng dạng với nhau" là đúng vì nếu hai tam giác
bằng nhau thì có ba cặp góc tương ứng bằng nhau và ba cặp này tỉ lệ với nhau
b Mệnh đề "Hai tam giác đồng dạng với nhau thì hằng nhau" là sai vì nếu hai tam giác đồng
dạng thì có ba cặp góc tương ứng bằng nhau và ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ nhưng không bằng nhau Do đó, hai tam giác không bằng nhau
Ví dụ 2: Từ điểm M thuộc cạnh AB của ∆ABC với AM 1 MB
2 , kẻ các tia song song với AC
và BC, chúng cắt BC và AC lần lượt tại L và N
a Nêu tất cả các cặp tam giác đồng dạng
b Đối với mỗi cặp tam giác đồng dạng, hãy viết các cặp góc bằng nhau mà tỉ số đồng dạng tương ứng
Trang 2 Hướng dẫn
Ta lần lượt
- Với câu a) Sử dụng định lí cùng với tính chất 3 để nhận được ba cặp tam giác đồng dạng
- Với câu b) sử dụng định nghĩa tam giác đồng dạng
Giải – học sinh tự vẽ hình
a) Ta có ba cặp tam giác đồng dạng
MN // BC AMN∽ ABC (1)
LM // AC BML∽ BAC (2)
Từ (1) và (2) BML∽ AMN
1 3
Achung ,M B ,N C AM
k AB
BML∽ BAC 2 1
2 3
Bchung,M A,L C BM
k BA
BML∽ AMN 2 1 1 1
1 2
A M ,M B ,N L AM
k MB
Ví dụ 3: A' B' C'∽ A" B"C"theo tỉ số đồng dạng k1, A" B"C"∽ ABCtheo tỉ số k2 Hỏi
∆A’B’C’ đồng dạng với ∆ABC theo tỉ số nào?
Hướng dẫn: Sử dụng định nghĩa hai tam giác đồng dạng để nhận được cách biểu diễn A'B'
và AB theo k1, k2 và A"B" Từ đó, suy ra giá trị của tỉ số A' B'
AB và đó chính là tỉ số đồng
dạng của hai tam giác cần tìm
Giải
Ta có:
A' B' C'∽ A" B"C"theo tỉ số đồng dạng k1 => A'B' = k1A"B"
A" B"C"∽ ABCtheo ti số k2 => A"B" = k2AB =>
2
A'' B'' AB
k
Từ đó, suy ra:
1
1 2
2
k A" B"
A' B' k k
A" B"
AB
k
A' B' C'∽ ABC theo tỉ lệ k k 1 2
Chú ý: Ví dụ sau minh hoạ ứng dụng thực tế của ví dụ 3
Trang 3Ví dụ 4: Người ta lập hai bản đồ của một thửa ruộng hình tam giác Bản thứ nhất theo tỉ xích
1: 1000, bản thứ hai theo tỉ xích 1 : 10000 Tính tỉ số đồng dạng của bản đồ thứ nhất với bản
đồ thứ hai
Hướng dẫn: Thực hiện tương tự ví dụ 3
Giải
Gọi ΔABC là hình biểu diễn mảnh đất, ΔA1B1C1 và ΔA2B2C2 là hình của các bản đồ với tỉ xích 1: 1000 và 1: 10000
Ta có:
1 1 1
A B C ∽ ABC, 1 1 1
1000
A B
AB
2 2 2
A B C ∽ ABC, 2 2 1
10000
AB
Suy ra:
2 2
1 1
10
1000 10000
A B : A B : A B
Vây, ta đươc A B C 1 1 1∽ A B C 2 2 2, tỉ số 1 1
2 2
10
A B
A B
Dạng 2: Sử dụng tính chất hai tam giác đồng dạng giải bài toán định tính và định
lượng
Ví dụ 1: Cho ΔABC có AB = 6cm, AC = 9cm Các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh
AB, AC sao cho BD = 4cm, CE = 6cm
a Chứng minh rằng ADE∽ ABCvà xác định tỉ số đồng dạng của chúng
b Kẻ EK // AB (K BC ) Chứng minh rằng ADE∽ EKC
c Tính tỉ số chu vi ΔADE và ΔEKC
Hướng dẫn: Ta lần lượt:
• Với câu a), sử dụng định lí Ta-lét đảo để khẳng định được DE song song với BC Từ đó, suy ra
ADE∽ ABC
• Với câu b), thực hiện tương tự câu a) kết hợp với việc sử dụng kết quả trong a)
• Với câu c), sử dụng kết quả trong b) kết hợp với tính chất của dãy tỉ lệ thức bằng nhau, cụ thể nếu có:
a b c a b c
a b c a b c
Giải
Trang 4a Trong ΔABC ta có:
2 1 3 1
AD , AE AD AE DE / / BC
=> ADE∽ ABC
Tỉ số đồng dạng của ΔADE và ΔABC là:
1
3
AD
AB
b Theo kết quả câu a) ta có ADE∽ ABC.(1)
Mặt khác vì EK // AB nên EKC∽ ABC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ADE∽ EKC
c Theo kết quả câu b) ta có ADE∽ EKCsuy ra:
1 2
ADE EKC
CV
AD DE AE AD DE AE .
EK KC EC EK KC EC CV
Vậy, ta được 1
2
Ví dụ 2: A' B' C'∽ ABCtheo tỉ số đồng dạng 3
5
k
a Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đã cho
b Cho biết hiệu chu vi của hai tam giác trên là 40dm, tính chu vi của mỗi tam giác
Hướng dẫn: Tham khảo ví dụ 1
Giải -Học sinh tự vẽ hình
a Ta có:
5
k A' B' A' C' B' C'
AB AC BC
( A' B' C') ( ABC )
CV A' B' A' C' B' C' .
AB AC BC CV
Vậy, tỉ số chu vi của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng
b Ta có:
A' B' C' A' B' C' A' B' C'
ABC ABC A' B' C'
3
40 60 2
CV A' B' C' . (dm)
Do đó CVABC 40 60 100 ( dm )
Trang 5Ví dụ 3: Cho ΔABC Hãy vẽ một tam giác đồng dạng với ΔABC theo tỉ số đồng dạng 1
2
Giải -Học sinh tự vẽ hình
Cách dựng: Ta lần lượt:
■ Dựng ΔABC bất kì
■ M là trung điểm cạnh BC và N là trung điểm cạnh AC
■ Nối M với N thì ΔAMN là tam giác cần dựng
Chứng minh: Do M và N là trung điểm của hai cạnh AB và AC, suy ra MN là đường trung
bình của
ΔABC, suy ra:
MN // BC và 1
2
MN BC AMN∽ ABC
Tỉ số đồng dạng của hai tam giác này là:
1 2
AM AN MN
AB AC BC
Vậy, ta đã được dựng được tam giác AMN thoả mãn bài toán
Ví dụ 4: Cho ΔABC Hãy vẽ ΔAB'C' đồng dạng với ΔABC theo tỉ số đồng dạng 2
3
k
Giải - Học sinh tự vẽ hình
Cách dựng: Ta lần lượt:
■ Dựng ΔABC bất kì
■ Dựng tia Ax nằm ngoài ΔABC
■ Trên tia Ax đặt ba đoạn thẳng liên tiếp nhau: AM = MN = NP
■ Nối p với B rồi từ N dựng NB' // PP (B' AB )
■ Từ B' dựng B'C' // BC (C' AC )
■ ΔAB'C' là tam giác cần dựng
Chứng minh: Xét ΔAPB có:
AN AB'
NB'/ / PB
AP AB
Lại có:
Do B'C' // BC (cách dựng) AB' C'∽ ABC 2
3
k AB' .
AB
Trang 6Vậy, ta đã dựng được ΔAB'C' thoả mãn đề bài
