Giáo trình Trắc địa cơ sở (Chuyên sâu) - Trường ĐH Công nghiệp Quảng Ninh

Giáo trình Trắc địa cơ sở (Chuyên sâu) cung cấp cho học viên những nội dung về: bình sai điều kiện lưới đo cạnh và lưới đo góc cạnh; bình sai gián tiếp lưới đo cạnh và lưới đo góc cạnh; bình sai lưới tự do;... Mời các bạn cùng tham khảo!

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH

- -Chủ biên: ThS Nguyễn Thị Mai Anh

Th.S Ngô Thị Hài

GIÁO TRÌNH TRẮC ĐỊA CƠ SỞ (CHUYÊN SÂU)

(LƯU HÀNH NỘI BỘ)

Quảng Ninh – 2019

BÀI 1: GIỚI THIỆU NỘI DUNG MÔN HỌC

Đây là học phần chuyên sâu học thay thế làm đồ án môn học Học phần bao gồm 3 nộidung cơ bản:

+ Bình sai điều kiện lưới đo cạnh và lưới đo góc cạnh

+ Bình sai gián tiếp

+ Bình sai lưới tự do

Khi xây dựng lưới trắc địa, ngoài các trị đo cần thiết bao giờ người ta cũng đothừa một số trị đo nhằm kiểm tra, đánh giá chất lượng kết quả đo và nâng cao độ chínhxác các yếu tố của mạng lưới sau bình sai Lưới tam giác là mạng lưới có kết cấu hìnhhọc chặt chẽ, có nhiều trị đo thừa Giữa các trị đo cần thiết và các trị đo thừa, các sốliệu gốc luôn tồn tại các quan hệ toán học ràng buộc lẫn nhau Biểu diễn các quan hệràng buộc đó dưới dạng các công thức toán học ta được các phương trình điều kiện

Trong các kết quả đo luôn tồn tại các sai số đo vì vậy chúng không thỏa mãncác điều kiện hình học của mạng lưới và xuất hiện các sai số khép Viêc bình sai mạnglưới nhằm mục đích loại trừ các sai số khép, tìm ra trị số đáng tin cậy nhất của các trị

đo và các yếu tố cần xác định trong mạng lưới tam giác

Bài 2: Bình sai lưới đo cạnh và lưới đo góc cạnh

2.1 Thành lập phương trình điều kiện số hiệu chỉnh phương trình chuẩn số liên hệ

2.1.1 Cơ sở lý thuyết

Giả sử có n dãy trị đo: L1, L2, …, giá trị sau bình sai là L1’, L2’, …, Ln’, trong

đó số tương ứng là P1, P2, …, Pn Giữa các đại lượng đo ta lập được r phương trìnhtoán học gọi là các phương trình điều kiện r < n, dạng ban đầu của chúng là:

Thay (2.2) vào (2.1) t có phương trình:

Fj(L1 + V1, L2 + V2,, …, Ln + Vn) = 0

Ứng dụng phương pháp khai triển chuỗi Taylor biến đổi các phương trình trên

về dạng tuyến tính bỏ qua các số hạng bậc cao ta có hệ phương trình điều kiện số hiệuchỉnh như sau:

=++++

=++++

0

0

0

2 2 1 1

2 2 1 1

2 2 1 1

r n n

b n n

a n n

w v r v

r v r

w v b v

b v b

w v a v

a v a

L

F a





=

i i

L

F b



=



P ; pi là trọng số trị đo thứ i

Hệ (3.3) là hệ phương trình tuyến tính đối xứng gồm r phương trình, r ẩn số Giải hệ theo sơ đồ Gauss ta được các số liên hệ Ka, Kb, …, Kr Các số hiệu chỉnh của trị đo được tính theo công thức:

Nếu dùng ngôn ngữ thuật toán ma trận, ta ký hiệu ma trận hệ số trong phương trình điều kiện số hiệu chỉnh là B, vectơ số hiệu chỉnh là V và vectơ số hạng tự do phương trình điều kiện là W, vectơ số liên hệ là K ta có:

2.1.2 Các dạng phương trình điều kiện, phương trình điều kiện số hiệu chỉnh

1 Số lượng phương trình điều kiện

Một yêu cầu rất chặt chẽ của phương pháp bình sai điều kiện là phải xác định đúng số lượng phương trình điều kiện trong lưới tam giác và phải lựa chọn để thành lập các phương trình điều kiện hoàn toàn độc lập nhau Nếu không thực hiện đúng các yêu cầu trên thì việc bình sai không đạt hiệu quả, sau bình sai vẫn nhận được tập hợp nghiệm duy nhất nhưng có thể đó không phải là kết quả đáng tin cậy nhất

Nguyên tắc chung để tính tổng số phương trình điều kiện trong lưới là tính số lượng trị đo thừa trong mạng lưới Để tính trị đo thừa, ta sẽ tính tổng trị đo và tổng số trị đo cần thiết Tổng trị đo thừa cũng chính là tổng số phương trình điều kiện trong lưới được tính bằng công thức:

Trong đó: n là số trị đo, t là trị đo cần thiết và r là số trị đo thừa

Tuỳ thuộc vào mạng lưới tự do hay phụ thuộc mà ta sẽ tính được số lượng các phương trình điều kiện

- Lưới tự do: Là lưới có số liệu gốc tối thiểu vừa đủ hoặc thiếu để xác định vị trí

và kích thước của mạng lưới trong một hệ tọa độ nhất định

- Lưới phụ thuộc: Là lưới có số liệu gốc nhiều hơn số lượng gốc tối thiểu để xác định vị trí và kích thước của mạng lưới trong một hệ tọa độ nhất định

Với lưới độ cao ta có tổng số trị đo n = 6, tổng số điểm trong lưới p = 5, số điểm đã biết k = 2, trị đo cần thiết t = 5 - 3 = 3 Do đó, số lượng phương trình có trong lưới là:

5

r = 6 - 3 = 3 phương trình

Với lưới mặt bằng ta có tổng số trị đo là n = 20, tổng số điểm trong lưới p = 7,

số điểm đã biết k = 4, trị đo cần thiết t = 2(7 - 4) = 6 Do đó, số lượng phương trình có trong lưới là:

r = 20 - 6 = 14 phương trình (gồm 7 phương trình điều kiện hình, 1 phương trình điều kiện vòng, 2 phương trình điều kiện cực, 2 phương trình điều kiện góc cố định, 2 phương trình điều kiện cạnh cố định)

2 Lưới mặt bằng tự do:

+ Lưới mặt bằng đo góc, đo góc - cạnh

Các lưới tự do mà chúng ta có thể gặp có nhiều dạng đồ hình khác nhau Ở lưới mặt bằng tự do ta thường gặp các phương trình điều kiện sau:

a Phương trình điều kiện hình:

+ Đối với mạng lưới tam giác đo góc, góc - cạnh

Phương trình điều kiện hình được lập cho các hình đa giác đo góc khép kín, có thể là hình tam giác, tứ giác trong lưới tam giác đo góc, cũng có thể là hình đa giác khép kín trong lưới đường chuyền

trong những hình đa giác khép kín phải đúng bằng trị

lý thuyết đã biết của nó Chẳng hạn tổng ba góc đã

bình sai trong hình tam giác phẳng phải đúng bằng

1800

Nếu kí hiệu β1 ’, β2 ’,…, βn ’ là các giá trị sau

bình sai của n góc trong hình đa giác khép kín, β1,

β2,…, βn là các góc đo, vi là số hiệu chỉnh cho các

kiện hình sẽ được viết:

β1 ’ + β2 ’ +…+ βn ’ - (n-2).1800 = 0

Ta có quan hệ: βi ’ = βi + vi

Từ phương trình trên ta dễ dàng viết được

phương trình điều kiện số hiệu chỉnh dạng:

V1 + V2+…+ Vn + h = 0

h= β1+ β2+…+ βn -(n-2).1800

Công thức tính số lượng phương trình điều kiện hình như sau:

rhình = (n1-n’) - q+1 Trong đó:

n1- Tổng số trị đo góc trong tam giác

n’- Tổng số cạnh của lưới q- Là số điểm trung tâm tại đó ta đo tổng các hướng

Ví dụ 1: Cho lưới mặt bằng đa giác trung tâm như hình vẽ Biết A, B là hai điểm gốc, tiến hành đo 15 góc Ta sẽ tính và viết được phương trình điều kiện hình như sau:

76

Hình 2-5:Xác định điều kiện hình trong đa giác trung tâm

Ví dụ 2: Cho mạng lưới tứ giác trắc địa như

hình vẽ, có 8 góc đo Ta sẽ tính được số lượng

phương trình điều kiện hình là:

b Phương trình điều kiện vòng:

Ý nghĩa của phương trình điều kiện vòng là tổng trị bình sai của các góc tại trung tâm của các hình đa giác trung tâm phải đúng

bằng 3600

rvòng= q với q là số điểm trung tâm,

Dễ dàng nhận thấy rằng phương trình điều

kiện vòng chỉ xuất hiện trong đa giác trung tâm có

đo tất cả các góc ở điểm trung tâm

Ví dụ: Cho lưới đa giác trung tâm đo góc ta

c Phương trình điều kiện cực:

Nội dung của phương trình điều kiện cực:

Xuất phát từ một cạnh nào đó trong lưới tam giác,

Hình 2-5:Xác định điều kiện hình trong đa giác trung tâm

76

O

7

dùng các góc đã bình sai để tính chuyền sang các cạnh khác, khi quay trở lại cạnh ban

đầu thì trị số tính được phải bằng trị số đã biết

Phương trình điều kiện cực là phương trình chỉ ràng buộc các góc với nhau, các

cạnh tính chuyền chiều dài luôn luôn chung nhau 1 đỉnh gọi là cực Số lượng phương

trình điều kiện cực được tính như sau:

rcực= n’-2p+3

Trong đó: n’-S ố cạnh của lưới

p - Số điểm của lưới

Ví dụ: Với hình vẽ trên ta có:

n’=10, p=6

Vậy rcực= 10 - 2x6 + 3 = 1 phương trình

Nếu xuất phát từ cạnh OA, dùng trị bình sai của các góc tính chuyền chiều dài

theo một vòng khép kín theo chiều thuận kim đồng hồ trở về cạnh OA ta được phương

trình điều kiện cực như sau:

Điều kiện đặt ra là cạnh OA tính phải đúng bằng cạnh OA ban đầu, nghĩa là

Ta thấy, phương trình các phương trình điều kiện hình, vòng là các phương

trình dạng tuyến tính còn phương trình điều kiện cực là phương trình phi tuyến tính, ta

phải chuyển chúng về phương trình số hiệu chỉnh dạng tuyến tính như sau:

Gọi các góc 1’, 2’, …., 10’ là các góc sau bình sai, các góc 1, 2, …,10 là các

góc đo, v1, v2, …, v10 là các số hiệu chỉnh tương ứng, ta có thể viết:

Đưa phương trình điều kiện trên về dạng tuyến tính ta phải tính đạo hàm riêng

phần theo các góc ở tử và mẫu số theo công thức:

Vậy phương trình số hiệu chỉnh dạng tuyến tính sẽ là:

Trong đó ρ’’= 206265

những giá trị rất nhỏ, để tiện cho tính toán có thể sử dụng phương trình điều kiện dạng:

8

Cách khai triển phương trình điều kiện cực như đã trình bày ở trên không phải

sử dụng logarit và phù hợp với kỹ thuật tính toán trên các máy tính hiện nay Trước đây khi tính toán bình sai người ta thường phải dùng bảng tra logarit, trong trường hợp này người ta thành lập phương trình số hiệu chỉnh như sau:

Từ phương trình điều kiện ta tiến hành logarit (cơ số 10) hai vế rồi khai triển tuyến tính ta sẽ được phương trình điều kiện dạng:

Trong đó là giá trị biến thiên của logarit sin góc βi khi góc thay đổi 1’’,

nhỏ)

Trong đó µ là modul chuyển đổi cơ số logarit: µ = lge ≈ 0.4343

lấy đơn vị theo số lẻ như

Với i(tử) = 1, 3, 5, 7, 9; i(mẫu) =2, 4, 6, 8, 10

Đối với lưới tứ giác trắc địa như hình vẽ cũng có

một phương trình điều kiện cực Ta có thể chọn một

trong bốn điỉnh của tứ giác làm cực hoặc có thể chọn

giao của hai đường chéo làm cực Cụ thể nếu chọn giao

của hai đường chéo làm cực ta có:

Vậy phương trình số hiệu chỉnh dạng tuyến tính sẽ là:

Nếu ta chọn điểm A làm cực ta được:

Hay

9

Với

Chú ý khi phương trình điều kiện cực có một số góc vừa xuất hiện ở tử số vừa

xuất hiện ở mẫu số, sau khi triển khai thành dạng tuyến tính ta cần tập hợp các hệ số

của chúng lại và lấy các số hiệu chỉnh của các góc

đó ra làm thừa số chung

Trong hình rẻ quạt (Hình 2-7) cũng có một

phương trình điều kiện cực, trong trường hợp này

cực tại điểm C là đỉnh chung của các đỉnh tam giác

Phương trình điều kiện cực sẽ là:

Phương trình số hiệu chỉnh là:

Chú ý: Trong chuỗi tam giác khép vòng tồn tại một phương trình điều kiện có ý

nghĩa hình học giống như phương trình điều kiện cực, tức là xuất phát từ bất kỳ một

cạnh nào đó dùng trị bình sai là các góc tính chuyền chiều dài theo một vòng khép kín

rồi trở về cạnh xuất phát, phải nhận được chiều dài đùng bằng chiều dài ban đầu

Nhưng ở đây không tồn tại một cực cụ thể như trong các hình đa giác trung tâm hoặc

tứ giác trắc địa, hình quạt trường hợp này có thể xem như một phương trình điều kiện

cực đặc biệt

3 Lưới mặt bằng đo cạnh

Ta biết rằng trong hình tam giác đo ba cạnh không có trị đo thừa Các góc trong

mạng lưới tam giác đo cạnh sẽ được tính ra từ giá trị chiều dài các cạnh đo Các góc

tính dùng để tính sai số khép các phương trình điều kiện trong các hình tứ giác trắc địa

hoặc đa giác trung tâm đo cạnh, tính phương vị cạnh,…Để tính góc theo cạnh, ta dựa

vào các công thức lượng giác phẳng trong hình tam giác Có nhiều công thức để tính

góc:

1 Tính góc theo định lý cosin:

Giả sử có hình tam giác ABC đo 3 cạnh a, b, c hình 3.11 Ta cần tính ra giá trị

của 3 góc là A, B, C Các công thức tính góc theo định lý cosin như sau:

a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA

c2 = a2 + b2 - 2ac.cosA

2 Tính góc theo diện tích tam giác

Giá trị sin của các góc được tính qua diện tích tam

giác như sau:

+ Quan hệ vi phân giữa góc và cạnh

Khi bình sai lưới tam giác đo cạnh theo phương pháp điều kiện, người ta có thể lập các phương trình điều kiện đó ở dạng góc Như vậy, cần phải biểu diễn số hiệu chỉnh của các góc qua số hiệu chỉnh của các cạnh đo trực tiếp Để có được quan hệ đó

ta phải xuất phát từ công thức:

sin bc

dc A cos b c db A cos c b ada ''

Lại có: bcsinA =a.ha

cos coscos coscos cos

Bdc cos a Cdb cos a ada '' d

'' ''

11

B

B v cos Cv cos Av h

'' ''

c

c v cos Bv cos Av h

'' ''

Như vậy các công thức trên cho phép chúng ta biểu diễn số hiệu chỉnh của góc qua 3 số hiệu chỉnh chiều dài trong hình tam giác đo cạnh

+ Phương trình điều kiện trong lưới tam giác đo cạnh

a Phương trình điều kiện trong hình đa giác trung tâm

Giả sử ta có hình đa giác trung tâm đo cạnh tạo bởi 5 tam giác hình 3.12, đo 10 cạnh, 5 cạnh bên từ S1 đến S5 và 5 cạnh hướng tâm r1 đến r5 Trong 1 hình đa giác trung tâm đo cạnh chỉ có 1 trị đo thừa nên sẽ lập được 1 phương trình điều kiện Phương trình điều kiện này có thể viết ở nhiều dạng khác nhau nhưng đơn giản nhất vẫn là dạng góc Viết ở dạng góc thì điều kiện cần lập chính là điều kiện trung tâm

1

''

1 v cosA V cosB Vh

Hình 3.12

b Phương trình điều kiện trong hình tứ giác trắc địa:

Giả sử só hình tứ giác trắc địa đo cạnh như hình vẽ 3.13 Trong tứ giác đó có

đo 6 cạnh từ S1 đến S6 Trong tứ giác trắc địa đo cạnh cũng chỉ có một trị đo thừa, do

đó cũng chỉ có một phương trình điều kiện Phương trình này có thể lập ở dạng chiều dài hay diện tích song đơn giản nhất vẫn là dạng góc

Nếu chọn các góc tại đỉnh A để lập phương trình điều kiện thì phương trình sẽ

có dạng như sau:

0 A A

3 ' 2 '

A 1

A 2

13

( S5 1 S1 2 S4)3

A 3

4 Lưới mặt bằng phụ thuộc:

Trong lưới phụ thuộc, ngoài các phương trình điều kiện của lưới tự do chúng ta còn gặp các dạng phương trình điều kiện phụ thuộc sau

a Phương trình điều kiện góc phương vị (góc định hướng):

Trong hệ tọa độ vuông góc phẳng, góc phương vị chính là góc định hướng, nó

có quan hệ với tọa độ các điểm đầu mút như sau:

Trong mạng lưới tam giác hay đa giác khi có thừa phương vị khởi tính (phương

vị gốc) sẽ xuất hiện các phương trình điều kiện phương vị Phương vị gốc ở đây được quan niệm là các phương vị Laplace trong lưới tam giác hạng I, II Nhà nước hoặc là phương vị cố định được tính từ toạ độ các điểm cấp cao hơn

Ý nghĩa của phương trình điều kiện góc phương vị: Xuất phát từ phương vị đã

nhận được giá trị phương vị đúng bằng giá trị đã biết c của cạnh đó

Ta thấy rằng phương trình điều kiện phương vị không chỉ ràng buộc các góc với nhau mà còn liên quan đến số liệu gốc là các phương vị đã biết trước

14

Trong lưới đường chuyền đa giác, khi có thừa phương vị gốc cũng sẽ xuất hiện

phương trình điều kiện phương vị Dạng phương trình của chúng cũng viết tương tự

như trong chuỗi tam giác đo góc

Ví dụ có đường chuyền phù hợp như hình , hai đầu tuyến có hai phương vị đã

biết là: αAB và αCD

Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh của tuyến đường chuyền này như sau:

Vβ1 + Vβ2 + Vβ3 +….+ Vβn + ωα = 0

khép phương vị ωα được tính:

Số lượng phương trình điều kiện góc phương vị được tính như sau:

rα=Nα-1

điểm gốc) và phương vị đo (phương vị Laplace)

Vậy phương trình điều kiện phương vị chỉ xuất hiện trong mạng lưới phụ thuộc

trong đó có từ 2 phương vị khởi tính trở lên

Chú ý: Đối với trường hợp hai phương vị đã biết ở liền kề tạo thành 1 góc cố định (đã biết) thì phương trình điều kiện phương vị trong trường hợp này còn gọi là phương trình điều kiện góc cố định Ví dụ: Cho đồ hình lưới đo góc như hình, số lượng phương trình điều kiện là: rα=Nα-1 = 2 - 1 = 1 phương trình Phương trình điều kiện góc cố định sẽ là: 1’+2’+3’- =0

Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh:

V1+V2+V3+ α =0

α = 1+2+3 -

Đối với mạng lưới đo toàn cạnh phương trình điều kiện góc phương vị sẽ được viết như sau:

Giả sử ta có chuỗi tam giác đo cạnh như hình vẽ 3.14

C

A

B

P

Q

1

2

3

4

5

6

7

8

9

C

A

D

S 1

C 1

C 2

C 3

C 4

C 5

S 2

S 3

S 4

S 5

S 6

S 7

S 8

S 9

Hình 3.14

1

D

C B

A

2

Dựa vào mối quan hệ giữa góc và cạnh để thay số hiệu chỉnh của góc qua số

hiệu chỉnh của cạnh ta sẽ được phương trình điều kiện góc phương vị của lưới đo cạnh

b Phương trình điều kiện chiều dài

Phương trình điều kiện chiều dài sẽ xuất hiện trong các mạng lưới tam giác đo

góc có thừa chiều dài khởi tính (có từ 2 chiều dài khởi tính trở lên) Chiều dài khởi

tính là chiều dài được đo trực tiếp với độ chính xác cao để có thể bỏ qua sai số của

chúng khi bình sai lưới (đo bằng thước dây inva hoặc máy đo dài điện tử) Chiều dài

khởi tính cũng có thể là chiều dài được tính ra từ toạ độ của các điểm cấp cao hơn

Ý nghĩa hình học của phương trình điều kiện chiều dài là: Xuất phát từ một

chiều dài cạnh cố định dùng các góc sau bình sai tính chuyền chiều dài về một cạnh cố

định khác phải nhận được giá trị đúng bằng giá trị đã biết của cạnh đó

Xét một chuỗi tam giác như hình vẽ , trong đó cạnh đầu AB và cạnh cuối chuỗi

CD là các cạnh đã biết chiều dài

Nếu ký hiệu các góc sau bình sai trong các tam giác trong chuỗi là Ai’ , Bi’, Ci’,

ta sẽ viết được phương trình điều kiện chiều dài cạnh như sau:

Trong phương trình trên các chiều dài cạnh AB và CD là các chiều dài được coi

là không có sai số Sau khi thay trị bình sai của các góc bằng trị đo cộng số hiệu chỉnh

và khai triển Taylor ta sẽ có phương trình điều kiện số hiệu chỉnh dạng tuyến tính như

sau:

Nếu từ phương trình điều kiện ta logarit cơ số 10 hai vế rồi khai triển tuyến tính

ta sẽ nhận được phương trình điều kiện dạng:

Trong đó sai số khép hình được tính:

logarit làm đơn vị

Số lượng phương trình điều kiện chiều dài dược tính theo công thức:

Trong đó:

16

Đối với trường hợp mạng lưới tam giác như hình

thì phương trình điều kiện chiều dài còn được gọi là

phương trình điều kiện cạnh cố định Lúc đó phương

trình điều kiện sẽ có dạng:

0BC9

Sin7Sin5Sin

8Sin.6Sin4Sin

' ' '

=

Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh là:

Chú ý:

+ Trong mạng lưới tam giác đo góc có N cạnh cố

định nối với nhau tạo thành 1 nhóm điểm gốc như hình

thì bao giờ cũng có (N-1) phương trình góc cố định và

(N-1) phương trình điều kiện cạnh cố định Với hình có

3 cạnh cố định nối với nhau tạo thành 1 nhóm điểm gốc

thì số lượng phương trình điều kiện góc cố định và cạnh cố định trong mạng lưới là:

c Phương trình điều kiện toạ độ

Công thức tính số lượng phương trình điều kiện tọa độ như sau:

rxy = 2(Nxy-1)

+ Đối với mạng lưới tam giác đo góc:

Khi phát triển các mạng lưới tam giác cấp thấp dựa vào các điểm tam giác cấp cao nếu có thừa số lượng điểm cấp cao sẽ xuất hiện phương trình điều kiện toạ độ

17

Nếu các điểm cấp cao trong lưới ở liền kề thì tuy có thừa điểm cấp cao song sẽ

không có phương trình điều kiện toạ độ Trong trường hợp này ta gọi chúng là một

nhóm điểm gốc Như vậy phương trình điều kiện toạ độ chỉ xuất hiện khi trong mạng

lưới có từ 2 điểm gốc trở lên và một trong các nhóm đó phải có từ 2 điểm gốc trở lên

hoặc có xác định chiều dài và phương vị khởi tính của một cạnh trong lưới

Ý nghĩa hình học của phương trình điều kiện toạ độ: Xuất phát từ toạ độ đã biết

của điểm khởi tính, dùng các góc, cạnh đã bình sai tính chuyền toạ độ về 1 điểm đã

biết khác (thuộc nhóm khác) thì phải nhận được giá trị toạ độ đúng bằng toạ độ đã biết

của điểm đó

Xét chuỗi tam giác hình, biết tọa độ các điểm A, B, C tạo thành 2 nhóm điểm

khởi tính

Vì toạ độ của các điểm A, B, C đã biết; nếu xuất phát từ toạ độ X, Y của điểm

B tính chuyền toạ độ về C thì phải nhận được giá trị toạ độ đã biết của điểm C, vậy sẽ

lập được phương trình điều kiện hoành độ và tung độ như sau:

Phương trình điều kiện:

=

−

 +

5 1 i

C i B

5 1 i

C i B

0 Y Y Y

0 X X X

Số gia toạ độ X, Y trên được tính chuyền theo đường nét đứt nối giữa điểm

B và C, các cạnh trên đường đó gọi là cạnh tính chuyền toạ độ, giá trị chiều dài và

phương vị của các cạnh được tính:

' i '

2 '

1

' i '

2 '

1 i

SinB

SinBSinB

SinA

SinASinAAB

S =

0 '

i '

2 ' 1 AB

i =  − C + C  C  180



Trong đó Ai’, Bi’, Ci’ là các giá trị sau bình sai của các góc trong tam giác, các

góc Ai’, Bi’ được gọi là góc tính chuyền chiều dài, Ci’gọi là góc tính chuyền phương

vị Các góc Ai, Bi, Ci là các góc đo, các số hiệu chỉnh tương ứng là VAi, VBi, VCi

Từ phương trình điều kiện ta có thể viết:

Gọi Si và αi là giá trị gần đúng của chiều dài và phương vị cạnh thứ i, ta có thể

18

Các số hiệu chỉnh Vαi và VSi không phải là số hiệu chỉnh của trị đo trực tiếp vì thế phải biến đổi để tìm ra quan hệ của chúng với số hiệu chỉnh của các góc đo trong lưới tam giác

Từ các phương trình ta tiến hành triển khai tuyến tính đối với Vαi và VSi ta được:

góc đo ta có:

Từ các phương trình trên ta sẽ biểu diễn Vαi và VSi qua số hiệu chỉnh của các góc

VAi, VBi, VCi như sau:

i C iC

Y Y Y

X X X

19

1 Vạch đường tính chuyền toạ độ nối giữa 2 điểm đã biết toạ độ Đường tính chuyền cần vạch sao cho trong mỗi tam giác góc Ci chỉ làm nhiệm vụ tính chuyền phương vị, không tham gia tính chuyền dài, còn các góc Ai, Bi chỉ tham gia tính chuyền chiều dài mà không tham gia tính chuyền phương vị

2 Tính toạ độ gần đúng của các điểm trên đường tính chuyền để phục vụ cho tính các hệ số, việc tính này được kết hợp khi tính sai số khép x, y

3 Viết phương trình điều kiện toạ độ dạng tuyến tính, khi viết cần phân biệt các

chiều dài Ai, Bi

Ví dụ có mạng lưới như hình vẽ, A, B, C, D là 4 điểm đã biết tọa độ

Ta tính được số lượng phương trình điều kiện tọa độ trong mạng lưới là:

rxy = 2(Nxy-1) với Nxy = 2 Vậy rxy = 2(2 - 1)= 2 phương trình Phương trình điều kiện toạ độ là:

Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh đối với x là:

+ Đối với mạng lưới đo cạnh và lưới đo góc - cạnh:

Lưới góc cạnh bao gồm cả lưới tam giác đo góc - cạnh và lưới đường chuyền đa giác Tuy kết cấu lưới tam giác đo góc - cạnh và lưới đường chuyền đa giác có khác

21

Trong những lưới đường chuyền tạo thành những vòng khép kín chúng ta sẽ lập được các phương trình điều kiện tọa độ khép vòng, các phương trình này được viết:

(2.4)

Tương tự cách biến đổi như trên ta sẽ viết được phương trình điều kiện số hiệu chỉnh tọa độ vòng

Các phương trình điều kiện tọa độ dạng là viết cho đường chuyền đa giác, góc

chuyền nên khi lập phương trình điều kiện tọa độ cho mạng lưới đo góc cạnh cần chú

ý đến dấu của góc tính chuyền phương vị Nếu góc chuyền phương vị nằm bên trái đường chuyền thì hệ số mang dấu dương, bên phải thì hệ số mang dấu âm Do vậy, dạng tổng quát của phương trình là:

(2.4)

Đối với lưới đo toàn cạnh, để viết phương trình điều kiện tọa độ ta cũng phải dựa vào một chuỗi tam giác nối giữa các điểm gốc với nhau Cách viết phương trình điều kiện tọa độ trong lưới đo cạnh tương tự như trong lưới đo góc cạnh chỉ khác là lưới chỉ đo toàn cạnh nên phải chuyển số hiệu chỉnh từ góc sang cạnh

Ví dụ với lưới tam giác đo cạnh như hình, ta viết được phương trình điều kiện tọa độ như sau:

S11

S9

S8 S10

S7 S6

S5 S4

S3 S2 S1

IV

IV I

II

C3 C2

C1

B

A

22

Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh:

Áp dụng mối quan hệ giữa góc và cạnh trong lưới tam giác đo cạnh để thay thế các số hiệu chỉnh của góc về số hiệu chỉnh của cạnh ta sẽ được phương trình số hiệu chỉnh dạng:

a1 VS1 + a2 VS2 + a3 VS3 + a4 VS4 + a5 VS5 + a6 VS6 + =0

b1 VS1 + b2 VS2 + b3 VS3 + b4 VS4 + b5 VS5 + b6 VS6 + =0

Chú ý: Trong mạng lưới tam giác khi có từ hai nhóm điểm khởi tính trở lên sẽ

có phương trình điều kiện tọa độ Trong lưới đường chuyền ta không sử dụng khái niệm nhóm điểm khởi tính Ví dụ lưới đường chuyền đa giác trong hình có 1 phương trình điều kiện phương vị và 2 phương trình điều kiện tọa độ mặc dù 3 điểm khởi tính

A, B, C ở trong một nhóm

Ví dụ: Cho lưới mặt bằng đo góc như hình vẽ Trong đó B, I, C là điểm gốc, cạnh gốc CD, phương vị gốc CD Các điểm A, II, III, D là điểm cần xác định

S6 S5

S4 S3

S2 S1

D

α CD

23

Hãy tính số lượng phương trình điều kiện và viết các phương trình điều kiện số hiệu chỉnh cho mạng lưới trên

+ Số lượng phương trình điều kiện:

- Tổng trị đo trong lưới là n = 22

- Trị đo cần thiết t = 2(7 – 3) = 8 Vậy r = n – t =14

1.Phương trình điều kiện hình

10 16 16 12 12 20 20 18 18 5 5

7 2 7 2 14 14 10 10 14 10 11 11 19 19 17 17 4 4 1

1

=+

++

++

V V

V

V V V

V V

V V

V V

4 Phương trình điều kiện góc phương vị

v10-v7+v6 - v17 +w13= 0

5 Phương trình điều kiện cạnh cố định

6 Phương trình điều kiện tọa độ

Khi tính toán bình sai đã viết được hệ phương trình điều kiện số hiệu chỉnh thì

bước tiếp theo là ta lập hệ phương trình chuẩn số liên hệ

Giả sử hệ phương trình điều kiện số hiệu chỉnh có dạng:

=++++

=++++

0

0

0

2 2 1

1

2 2 1

1

2 2 1

1

r n n

b n n

a n n

w v r v

r v

r

w v b v

b v

b

w v a v

a v

a

Tất cả các hệ số của phương trình điều kiện và phương trình chuẩn được tính

trong bảng 2.3.1 Dựa vào bảng 2.3.1 ta lập được hệ phương trình chuẩn số liên hệ như

- Số lượng phương trình điều kiện:

r = n - t = 8 - 2(4 - 2) = 4 phương trình, bao gồm 3 phương trình điều kiện hình, 1 phương trình điều kiện cực

2.2 Giải hệ phương trình chuẩn số liên hệ

2.2.1 Giải hệ phương trình chuẩn theo sơ đồ Gaus-Dulit

Đặc điểm của phương pháp:

- Việc tính toán cần có quy luật nhất định và cách thức cố định

tiếp tục nhân (E1 x [qac]) + (c) ta được:

(b.1)

(c.1)

ký hiệu sau để biểu thị các hệ số của số liên hệ và số hạng tự do của phương trình (b.1)

và (c.1)

hiệu sau để biểu thị các hệ số của số liên hệ và số hạng tự do của phương trình (b.1) và (c.1)

Dùng ký hiệu Gauss ta viết lại phương trình (b.1) và (c.1):

Gạch bỏ phương trình (a) và các số có chứa số liên hệ thứ nhất Tất cả các hệ số và

số hạng tự do của các phương trình còn lại đều thêm 1 để chuyển thành ký hiệu Gauss

aa

ab

c b

1

bb

K bb

bc

c b

2.2.2 Giải hệ phương trình chuẩn theo sơ đồ khai căn

*Phương pháp khai căn Kracovian

Phép nhân Kracovian được thực hiện theo nguyên tắc cột với cột, vecto cột của bảng đầu với vec tơ cột của bảng cuối

Cơ sở của phương pháp khai căn là phân tích bảng số đối xứng N thành 2 bảng

số tam giác trên giống nhau:

s’1= [aa] +[ab] +…+ [ar]+ [af]

- Giải hệ phương trình chuẩn trên sơ đồ Gauss

2.3 Đánh giá độ chính xác mạng lưới

2.3.1 Tính sai số trung phương của kết quả đo trực tiếp trong bình sai điều kiện:

Trong lý thuyết bình sai đã chứng minh được công thức tính sai số trung phương của đại lượng đo trực tiếp khi bình sai điều kiện là:

   

r

VV t

31

v-Số hiệu chỉnh

2 2

1 V V n V

1

1

1 0

2 2

r bb

1

1 1

1

r S

bb aa

cc P

bb P

aa

1

1

2

2.1

1 1

P aa

S PVV a a b p

2.3.2 Trọng số của hàm số tuyến tính các đại lượng đã bình sai:

Giả sử cho hàm số có dạng tuyến tính:

F= f(x1, x2, …, xn) với xi=Li+Vi

Người ta đã chứng minh được trọng số đảo của hàm các đại lượng là:

m

m P

P F

1

1

1

.

2 2

r rf bb

bf af aa

af ff r ff

32

            ( ( ) )    ( 1) 

1

1

r rf a

aa

af f

r f

2.4 Bài tập ứng dụng về bình sai điều kiện

VD: Cho lưới như hình vẽ:

7 5 3 1

' ' ' '

' ' ' '

=

Sin Sin Sin Sin

Sin Sin Sin Sin

Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh: