Bài tập liên quan đến giao điểm của hai đồ thị

Trình bày theo hướng khác:Phân tích hướng dẫn giảia DẠNG TOÁN: Đây là dạng dùng bảng biến thiên của hàm số f x để tìm số nghiệm thuộcđoạn [a; b] của PT c.f gx + d = m... Phương trình 3 c

f (x) = g(x) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thịy = f (x), y = g(x).

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị y = f (x), y = g(x)

11 (cos x) = − sin x 12 (cos u) = −u sin u

13 (sin x) = cos x 14 (sin u) = u · cos u

Trình bày theo hướng khác:

Phân tích hướng dẫn giảia) DẠNG TOÁN: Đây là dạng dùng bảng biến thiên của hàm số f (x) để tìm số nghiệm thuộcđoạn [a; b] của PT c.f (g(x)) + d = m

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Đặt t = sin x, t ∈ [−1; 1] thì phương trình 2f (sin x) + 3 = 0 (1) trở thành

+ Với t1 ∈ (−1; 0) ⇒ sin x = t1 ∈ (−1; 0) ⇒ phương trình có 4 nghiệm x ∈ [−π; 2π]

+ Với t2 ∈ (0; 1) ⇒ sin x = t2 ∈ (0; 1) ⇒ phương trình có 2 nghiệm x ∈ [−π; 2π]

Vậy số nghiệm thuộc đoạn [−π; 2π] của phương trình 2f (sin x) + 3 = 0 là 2 + 4 = 6

Chọn phương án B

3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN

Câu 1 Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau

y +∞

3π 2

cos x = (2 − a 4 ) ∈ [−1; 1) cos x = (2 − a4) < −1Chỉ có phương trình cos x = (2 − a4) ∈ [−1; 1) có nghiệm

Xét đồ thị hàm số y = cos x trên [−π; 3π]

3π 2

− 1 < m < 1 ⇒ phương trình cos x = m có 4 nghiệm đơn phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−π; 3π]

⇔

ñsin x = a2∈ (−1; 0) (1) sin x = a2= −1 (2).

Xét đồ thị hàm số y = sin x trên [0; 3π]

ñsin x = 2 > 1 (1) sin x = m + 1 > 3 (2)Các phương trình (1) và (2) đều vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có không có nghiệm nào thuộc đoạn [0; 2π]

5

−2

2

2;

3π 2

o: f (0) = 0, f (2π) = 0

x

y

O

π 2

π

3π 2 2π 1

Đồng thời trong số chúng không có 2 nghiệm nào trùng nhau

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [0; 2π] \

nπ

2;

3π 2

o.Chọn phương án C

Câu 6 Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau:

Xét đồ thị hàm số y = cot x trên [0; 2π] \ {0; π; 2π}

3π 2

2π 1

Đồng thời trong số chúng không có 2 nghiệm nào trùng nhau

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [0; 2π] \ {0; π; 2π}

1 2 3

−1

Ta thấy

Phương trình (1) vô nghiệm

Phương trình (2) có 2 nghiệm

Phương trình (3) có 2 nghiệm không thuộc [−3; 3]

Đồng thời trong số chúng không có 2 nghiệm nào trùng nhau

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−3; 3]

2x − 1 = b2∈ (−∞; −2), b2> b1 (2) 2x − 1 = b 3 ∈ (−2; 3), b 3 > b 2 (3)

Phương trình (3) có 1 nghiệm thuộc (0; 3).

Đồng thời trong số chúng không có 2 nghiệm nào trùng nhau

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−3; 3]

1 2 3

−3

1

−1

+∞

1 2 3

−1

Suy ra phương trình x2− 2x = b 2, b ∈ (2; +∞) có hai nghiệm trái dấu

Trong đó nghiệm dương: x > 1 + √

5 thỏa mãn x ≥ 2.Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm

Chọn phương án A

Câu 11

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ Gọi S là

tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình f (sin x) =

3 sin x + mcó nghiệm thuộc khoảng (0; π) Tổng các phần tử củaS bằng

−1Lời giải

Dựa vào đồ thị hàm số ta có f (x) = x3− 3x + 1; f (x) = 3x2− 3

Đặt u = sin x, (−1 ≤ u ≤ 1)

u 0

1

0Suy ra x ∈ (0; π) ⇒ u ∈ (0; 1] ⇒ 0 < u ≤ 1

Vậy dựa vào bảng biến thiến ta có với mỗi u ∈ (0; 1) phương trình sin x = u có 2 nghiệm x ∈ (0; π)

Và u = 1 ⇒ sin x = u = 1 có một nghiệm x = π

2.Khi đó phương trình

f (sin x) = 3 sin x + m ⇔ f (u) = 3u + m ⇔ f (u) − 3u = m.

Dựa vào bảng biến thiên ta có với x ∈ (0; 1] thì phương trình f (x) − 3x = m có nghiệm khi

g(1) ≤ m < g(0) ⇔ −4 ≤ m < 1 ⇒ m ∈ {−4; −3; −2; −1; 0} Tổng các giá trị của S bằng 10

Chọn phương án B

Câu 12

Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới Có bao nhiêu số

nguyên của tham số m để phương trình 1

3f

x

2 − 1+ x = m có nghiệmthuộc đoạn [−2; 2]

−2

−4

− 6 + 3 m

Với x ∈ [0; 2] ⇒ d : y = −6x − 6 + 3m thay đổi và đi qua từ điểm A(0; −4) tới điểm B(2; 6) và luôn cógiao điểm với y = f (x) Suy ra

g(0) = −6 · 0 − 6 + 3m = −4 ⇒ m = 2

3,g(2) = −6 · 2 − 6 + 3m = 6 ⇒ m = 8.

Vậy giá trị của m cần tìm để phương trình thỏa mãn yêu cầu bài toán có nghiệm 2

3 ≤ m ≤ 8.Suy ra có 8 giá trị của m là số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ta có

f0(x) = 2x x

2 − 9
(x − 4) + 2x x2− 1

3) = 3f ( √

3) − 6 = 0 h(0) = 3f (0) = 0

h(1) = 3f (1) < 0.

Từ đó ta có bảng biến thiên

h(1)

h( √ 3)Vậy g(x) ≤ m ⇔ g(x) ≤ h( √

3) = 3f ( √

3).Chọn phương án A



= Gx1+ x2

3 ;

x1+ x2+ 2m 3



= G3 − m

3 ;

3 − m + 2m 3



= G3 − m

3 ;

3 + m 3

.

Ta có G

3 − m

3 ;

3 + m 3



∈ (C) : x2+ y2− 3y = 4 nên

3 − m 3

2 +

3 + m 3

0 +∞

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình |f (1 − 3x) + 1| = 3 có 4 nghiệm

Chú ý: Ta có thể làm nhanh như sau

f (x) → f (1 − 3x) chỉ thay đổi tính đơn điệu và cực trị ngược lại: yCT = 5, yCD = −3

f (1 − 3x) → f (1 − 3x) + 1: Tịnh tiến lên trên 1 đơn vị nên yCT = 6, yCD = −2

f (1 − 3x) + 1 → |f (1 − 3x) + 1|: Lật dưới lên trên sẽ được như hình sau:

6

0 +∞

Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như đường cong như hình dưới đây Tìm

tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình |f (x)| = m có 6

nghiệm phân biệt

Đồ thị hàm số y = |f (x)| có được bằng cách: giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = f (x) nằm trêntrục hoành, lấy đối xứng phần dưới trục hoành qua trục hoành

−134

−2

6

Đặt t = 2x3− 6x + 2, với x ∈ [−1; 2] thì t ∈ [−2; 6]

Dựa vào bảng biến thiên, ta có nhận xét với mỗi giá trịt0 ∈ (−2; 6]thì phương trìnht0 = 2x3−6x+2

có hai nghiệm phân biệt x ∈ [−1; 2] và tại t0 = −2 thì phương trình t0 = 2x3− 6x + 2có một nghiệmduy nhất

Với nhận xét trên và đồ thị hàm số trên đoạn [−2; 6] thì phương trình f 2x3− 6x + 2

= m có 6nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−1; 2] khi và chỉ khi phương trình f (t) = m có 3 nghiệm phân biệttrên nửa khoảng (−2; 6]

Cho hàm sốy = f (x)liên tục trên R và có đồ thị như hình bên Tìmm

để phương trình fÄex2ä= m2+ 5m có hai nghiệm thực phân biệt

Đặt t = ex2 ≥ e 0 = 1 Khi đó ứng với mỗi nghiệm t > 1, ta được hai nghiệm x

Từ đồ thị của hàm số y = f (x), ta thấy phương trình f (t) = m2+ 5m có đúng một nghiệm t > 1khi và chỉ khi

m2+ 5m > −4 ⇔

ñ

m < −4

m > −1.Chọn phương án D

Câu 21 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:

y +∞

−15

5 (2)

Số nghiệm x của phương trình (1) bằng số nghiệm t của phương trình (2)

Số nghiệm của phương trình (2) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f (t) và đường thẳng

y = −1

5

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = −1

5 và đồ thị hàm số y = f (t) có đúng 2 giaođiểm phân biệt nên phương trình (2) có 2 nghiệm t phân biệt

Vậy số nghiệm của phương trình 5f (1 − 2x) + 1 = 0 là 2

Chọn phương án D

Câu 22 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

2 nên số nghiệm t của phương trình |f (t)| = 10

3 bằng số nghiệm x của phương trình

0

+∞ +∞

3

+∞

trong đó x0 là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x) với trục hoành

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình |f (t)| = 10

3 có 4 nghiệm t phân biệt nên phương trình

3 |f (2x − 1)| − 10 = 0

có 4 nghiệm x phân biệt

Chọn phương án C

Câu 25

Cho hàm sốy = f (x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên Có bao

nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f (2| sin x|) = fm

−2716Lời giải

Ta có bảng biến thiên của hàm số y = g(x) = 2| sin x| trên đoạn [−π; 2π]

có đúng 12 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−π; 2π]khi và chỉ khiphương trình f (t) = f

m 2

2 6= 32

Đặt t = x2+ 1, điều kiện t ≥ 1, từ đó phương trình trở thành |f (t)| = m, t ≥ 1

Do t ≥ 1 nên ta xét bảng biến thiên của hàm y = f (t) trên [1; +∞) như sau

Xét hàm số y = f (x + 2017) − 2018 có đồ thị bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = f (x) sang trái

2017 đơn vị, sau đó tịnh xuống dưới 2018 đơn vị Ta được bảng biến thiên của hàm số y = g(x) =

f (x + 2017) − 2018 như sau

g(x) +∞

−4036

0

−∞

Khi đó đồ thị hàm số y = |f (x + 2017) − 2018| gồm hai phần

Phần 1: Giữ nguyên toàn bộ phần đồ thị hàm số y = g(x) nằm phía trên trục hoành

Phần 2: Lấy đối xứng phần phía dưới trục hoành của đồ thị hàm số y = g(x) qua Ox

Vậy ta có bảng biến thiên của hàm số y = |g(x)| như sau

Å3x2+ 2x + 3 2x 2 + 2

ã

3 2 3

Đặt t = 3x

2 + 2x + 3

2x 2 + 2 ⇒ t = −4x

2 + 4 (2x 2 + 2)2; t = 0 ⇔

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy x ∈R⇔ t ∈ [1; 2]

Vậy phương trình

f

Å3x2+ 2x + 3 2x 2 + 2

ã = 1Đặtt = x2−2xta được|f (|t|)| = 1.Khi đó dựa vào đồ thị ta nhận thấy đồ thị hàm số y = |f (|t|)| cắt

đường thẳng y = 1 tại 5 điểm là t1 = a ∈ (−2; 1), t2 = −1, t3 = 0,

+∞

Chọn phương án B

Câu 31

Cho hàm sốy = f (x) liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ bên Tìm

tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f x2− 2x

i

i

Ta thấy hàm số u(x) = x2− 2x liên tục trên đoạn h−3

2;

7 2

i

và u0= 2x − 2; u0(x) = 0 ⇔ x = 1.Bảng biến thiên:

x −3

7 2

|u(x)|

21 4

0

1

0

21 4

Nhận xét:

với t = 0 hoặc 1 < t ≤ 21

4 thì phương trình t = x2− 2x có 2 nghiệm phân biệt;

với t = 1 thì phương trình t = x2− 2x có 3 nghiệm phân biệt;

i

trong các trườnghợp sau

4

.Khi đó phương trình f ... data-page="25">

Ta có đồ thị hàm số y = |f (|x|)| có cách giữ nguyên phần

đồ thị hàm số y = f (x) nằm bên phải trục Oy đối xứng

phần đồ thị qua Oy... Oy Sau giữ nguyên phần đồ thị phía

Ox lấy đối xứng phần đồ thị phía Ox qua Ox Như

đồ thị hàm số y = |f (|x|)|... được|f (|t|)| = 1.Khi dựa vào đồ thị ta nhận thấy đồ thị hàm số y = |f (|t|)| cắt

đường thẳng y = 1 5 điểm t1