Bài giảng trong tâm toán 12 hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

Dạng toán 4: Tính đạo hàm của các hàm số luỹ thừa, mũ, lôgarit và hàm số hợp của chúng Phương pháp Sử dụng các kết quả trong phần kiến thức cơ bản cần nhớ..  Nhận xét: Trong lời giải t

chương 2 − hàm số luỹ thừa,

hàm số mũ và hàm số lôgarit

A Kiến thức cần nhớ

Định nghĩa 1: (Luỹ thừa với số mũ nguyên): Với a ≠ 0, n = 0 hoặc n là một số nguyên

âm, luỹ thừa bậc n của a là số an xác định bởi:

a0 = 1,

an = 1n

a− với n nghuyên âm

Định nghĩa 2: ( Căn bậc n): Với n nguyên dương căn bậc n của số thực a là số thực b

(nếu có) sao cho bn = a

Ta thừa nhận hai khẳng định sau đây:

 Khi n là số lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n, kí hiệu na

 Khi n là số chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau Căn có giá trị dương kí hiệu là na (còn gọi là căn số học bậc n của a), căn có giá trị âm kí hiệu là và −na

Định nghĩa 3: ( Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ): Cho a là số thực dương và r là một số hữu

tỉ Giả sử r = m

n , trong đó m là một số nguyên còn n là một số nguyên dương Khi đó, luỹ thừa của a với với sô mũ r là số ar xác định bởi:

ar =

m n

 

 

n n

a

Định lí 1: Cho m, n là những số nguyên Khi đó:

1 Với a > 1 thì am > an khi và chỉ khi m > n

2 Với 0 < a < 1 thì am > an khi và chỉ khi m < n

So sánh hai lôgarit cùng cơ số

Định lí 1: Cho các số dương b và c

(1) Khi a > 1 thì logab > logac ⇔ b > c

Hệ quả: Khi a > 1 thì logab > 0 ⇔ b > 1

(2) Khi 0 < a < 1 thì logab > logac ⇔ b < c

Hệ quả: Khi 0 < a < 1 thì logab > 0 ⇔ b < 1

(3) logab = logac ⇔ b = c

Các quy tắc tính lôgarit

Định lí 2: Với a dương khác 1 và các số dương b, c, ta có:

(1) logab + logac = loga(bc),

Trường hợp chỉ có bc > 0 thì loga(xy) = logab + logac

(2) logab − logac = logab

trường hợp chỉ có bc > 0 thì logab

c = logab − logac

(3) logabα = αlogab,

Trường hợp b ∈  và α = 2k, k ∈ Z thì logabα = αlogab

Hệ quả: Với n nguyên dương thì

c Nếu u = u(x) là hàm số có đạo hàm trên J thì với mọi x ∈ J, ta có

(eu)' = u'.eu và (au) = u'.au.lna

 Luôn cắt trục Oy tại A(0; 1)

 Nằm ở phía trên trục hoành

 Nhận trục hoành làm tiệm cân ngang

Định nghĩa: Hàm số logarit cơ số a (0 < a ≠ 1) có dạng y = logax

Đạo hàm của hàm số mũ: Ta ghi nhận các kết quả sau:

Xét hàm số y = logax, với 0 < a ≠ 1, ta có các tính chất sau:

1 Hàm số liên tục trên D = (0, + ∞) và tập giá trị I = 

2 Sự biến thiên: Hàm số đơn điệu với mọi x

 Với a > 1 thì logax1 > logax2 ⇔ x1 > x2, tức là hàm số đồng biến

 Với 0 < a < 1 thì logax1 > logax2 ⇔ x1 < x2, tức là hàm số nghịch biến

3 Đồ thị của hàm số có 2 dạng và:

 Luôn cắt trục Oy tại A(1; 0)

 Nằm ở bên phải trục tung

 Nhận trục tung làm tiệm cân đứng

 Nếu α nguyên âm hoặc α = 0 thì hàm số có tập xác định là *

Đạo hàm của hàm số lũy thừa: Ta ghi nhận các kết quả sau:

a Hàm số y = xα có có đạo hàm tại mọi điểm x > 0 và:

(xα)' = α.xα − 1

b Nếu u = u(x) là hàm số có đạo hàm và u(x) > 0 trên J thì:

(uα)' = α.u'.uα − 1, với mọi x ∈ J

 Chú ý: 1 Với n là số nguyên tùy ý, ta có (xn)' = n.xn − 1 với mọi x ≠ 0; và nếu

u = u(x) là hàm số có đạo hàm và u(x) ≠ 0 trên J thì (un)' = n.u'.un

với mọi x > 0 nếu n chẵn, với mọi x ≠ 0 nếu n lẻ

3 Nếu u = u(x) là hàm số có đạo hàm trên J và thỏa mãn điều kiện u(x)

> 0 với mọi x thuộc J khi n chẵn, u(x) ≠ 0 với mọi x thuộc J khi n

2 Phương trình lôgarit cơ bản có dạng logax = m, trong đó m là số đã cho

Ta phải có điều kiện x > 0 và 0 < a ≠ 1

Với mọi m phương trình luôn có nghiệm duy nhất x = am

Ta có các kết quả:

logaf(x) = logag(x) ⇔ f(x) = g(x) > 0

Với a > 1 thì logaf(x) > logag(x) ⇔ f(x) > g(x) > 0

Với 0 < a < 1 thì logaf(x) > logag(x) ⇔ 0 < f(x) < g(x)

một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

a. Phương pháp đưa về cùng cơ số

b. Phương pháp đặt ẩn phụ

c. Phương pháp lôgarit hóa: Ta có thể giải một phương trình có hai vế luôn

dương bằng cách lấy lôgarit hai vế theo cùng một cơ số thích hợp

d. Phương pháp sử dụng tính chất đồng biến hay nghịch biến của hàm số

B Phương pháp giải các dạng toán liên quan

0

x x

f(x)limg(x)

→

= 2 − 3 = −1

x 0

limx

2x

−+

x 0

ln(2x 1)lim

→

++

2 x

e 1limx

x 0

xlim

Vậy, với a = 1 thỏa mãn điều kiện đầu bài

Dạng toán 4: Tính đạo hàm của các hàm số luỹ thừa, mũ, lôgarit và

hàm số hợp của chúng

Phương pháp

Sử dụng các kết quả trong phần kiến thức cơ bản cần nhớ

Thí dụ 1 Chứng minh rằng hàm số y = ln1 x+1 thoả mãn hệ thức xy' + 1 = ey

2

x2x.ln x 1

x 1

Dạng toán 5: ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số mũ

và lôgarit Các bài toán liên quan

Thí dụ 3 Cho hàm số (Cm): y = xe mx

1. Với m = −2:

a Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số (C)

b. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình xe− 2x = a

c. Tìm b để phương trình sinx.e− 2sinx = b có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng [0; π]

d. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hòanh

(2) Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực

Nhận xét rằng với mỗi t0∈[0; 1) thì:

sinx = t0 phương trình này có 2 nghiệm thuộc khoảng [0; π]

Vậy, điều kiện là đường thẳng y = b cắt đồ thị (C) phần [0; 1] tại đúng một điểm:

a Hàm số đồng biến trên  khi:

y' ≥ 0 với mọi x∈  ⇔ mx + 1 ≥ 0 với mọi x∈  ⇔ m = 0

b Hàm số có cực trị khi:

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất ⇔ m ≠ 0

c Hàm số có cực tiểu khi (1) có nghiệm duy nhất và qua đó y' đổi dấu từ − sang +, tức m > 0

2 ⇔ 4x − 9 = 5x

2

⇔ 8x − 18 = 5x ⇔ 3x = 18 ⇔ x = 6

Vậy, phương trình có nghiệm là x = 6

 Nhận xét: Trong lời giải trên:

 Với phương trình af(x) = bg(x) ta cần chọn phần tử trung gian c

để biến đổi phương trình về dạng:

(cα)f(x) = (cβ)g(x) ⇔ cα f(x) = cβ g(x) ⇔ αf(x) = βg(x),

 Với phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 ta sử dụng kết quả

 Nhận xét: Trong lời giải trên ở câu a), chúng ta đã sử dụng kết quả trong chú ý

ở cuối dạng 1 để tránh phải kiểm tra điều kiện x3 − 4x2 + 2x + 6 > 0

Thí dụ 3 Giải các phương trình sau:

2log3[1 + log2(1 + 3log2x)]} = 2 ⇔ log3[1 + log2(1 + 3log2x)] = 1

⇔ 1 + log2(1 + 3log2x) = 3 ⇔ log2(1 + 3log2x) = 2 ⇔ 1 + 3log2x = 4

⇔ log2x = 1 ⇔ x = 2

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2

 Nhận xét: Trong lời giải trên:

 ở câu a), chúng ta đã sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử để chuyển phương trình về dạng tích Và từ đó, nhận

được hai phương trình mũ dạng 2

 ở câu b), chúng ta đã sử dụng phương pháp biến đổi dần để loại bỏ được lôgarit Cách thực hiện này giúp chúng ta tránh

được phải đặt điểu kiện có nghĩa cho phương trình

Dạng toán 2: Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình mũ và

lôgarit

Phương pháp

Phương pháp dùng ẩn phụ là việc sử dụng một (hoặc nhiều) ẩn phụ để chuyển

phương trình ban đầu thành một phương trình hoặc hệ phương trình với một (hoặc nhiều) ẩn phụ

1 Các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau đối với phương trình mũ:

 

 

  , điều kiện t > 0, ta được α1t

2 + α2t + α3 = 0

Mở rộng: Với phương trình mũ có chứa các nhân tử a2f, b2f, (a.b)f , ta

thực hiện theo các bước sau:

- Chia hai vế của phương trình cho b2f > 0 (hoặc a2f, (a.b)f)

- Đặt t =

f

ab

 

 

  , điều kiện hẹp t > 0

 Chú ý: Ta sử dụng ngôn từ điều kiện hẹp t > 0 cho trường hợp đặt t = af(x) vì:

 Nếu đặt t = ax thì t > 0 là điều kiện đúng

 Nếu đặt t = 2x 2 + 1 thì t > 0 chỉ là điều kiện hẹp, bởi thực chất điều kiện cho t phải là t ≥ 2 Điều này đặc biệt quan trong cho lớp các bài toán có chứa tham số

2 Các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau đối với phương trình lôgarit:

Dạng 1: Nếu đặt t = logax với x > 0 thì k

a

t với 0 < x ≠ 1

Dạng 2: Ta biết rằng alog c b = clog a b , do đó nếu đặt t = alog x b thì t = xlog a b

Tuy nhiên, trong nhiều bài toán có chứa alog x b , ta thường đặt ẩn phụ dần với t = logbx

Thí dụ 1 Giải các phương trình sau:

Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt x = ±2

 Nhận xét: Như vậy, thông qua thí dụ trên chúng ta đã được làm quen với hai

Thí dụ 2 Giải các phương trình sau:

x

233

Vậy, phương trình có nghiệm là x = 2 hoặc x = log32 − 1

b Viết lại phương trình dưới dạng:

2log3x + 1 = 0 ⇔ 9log3 x − 10log3x + 1 = 0

Đặt t = log3x, ta biến đổi phương trình về dạng:

Vậy, phương trình có nghiệm là x = 3− 0,8 hoặc x = 3− 3

 Nhận xét: Như vậy, thông qua thí dụ trên chúng ta đã được làm quen với

dạng đặt ẩn phụ cơ bản của phương trình lôgarit Và ở đó:

 Với câu a), các em học sinh dễ nhận thấy ẩn phụ t = log3x Tuy nhiên, rất nhiều em biến đổi nhầm 2 3 2

1log 4x

Biến đổi phương trình về dạng:

3log x log x log x

3 +12 =2.8 ⇔ 33log x 2 +(3.2 )2 log x 2 =2.23log x 2 (**)

Đặt t = log3x, ta biến đổi phương trình về dạng:

 Nhận xét: Với câu b) các em học sinh có thể giảm bớt một lần đặt ẩn phụ

bằng cách chia hai vế của phương trình (*) cho 23log x 2

Thí dụ 5 Giải phương trình lg2x − lgx.log2(4x) + 2log2x = 0

Vậy, phương trình có hai nghiệm x = 100 và x = 1

 Chú ý: Một mở rộng khá tự nhiên của phương pháp đặt ẩn phụ kiểu này là

chúng ta có thể sử dụng ngay các hằng số hoặc các tham số trong phương trình để làm ẩn phụ, phương pháp này có tên gọi là "Phương pháp hằng số biến thiên"

Dạng toán 3: Phương pháp lôgarit hóa giải phương trình mũ và

lôgarit

Phương pháp

Ta có thể giải một phương trình có hai vế luôn dương bằng cách lấy lôgarit hai vế theo cùng một cơ số thích hợp

Cụ thể:

af(x) = bg(x) ⇔ logaaf(x) = logabg(x) ⇔ f(x) = g(x).loga b

hoặc logbaf(x) = logbbg(x) ⇔ f(x).logba = g(x)

hoặc logcaf(x) = logcbg(x) ⇔ f(x).logca = g(x).logcb

 Chú ý: Phương pháp logarit hoá tỏ ra rất hiệu lực khi hai vế phương trình có

dạng tích các luỹ thừa

Thí dụ 1 Giải các phương trình sau:

a 23 x =32 x b 5x x

1 x 8

− = 500

 Giải

a Ta trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Lấy logarit cơ số 3 hai vế của phương trình, ta được:

 

 

lg3lg2 ⇔ x = 3 2

b Điều kiện x ≠ 0 Tới đây, ta trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Lấy logarit cơ số 5 hai vế của phương trình, ta được:

− = 1

Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được:

x 3

x 3 x2

Vậy, phương trình có hai nghiệm x = 3, x = −log52

 Nhận xét: Như vậy, thông qua thí dụ trên chúng ta đã được làm quen với

Thí dụ 2 Giải các phương trình sau:

a 32 log x − 3 = 81x b x6.5− log 5 x = 5− 5

 Giải

a Điều kiện x > 0

Lấy lôgarit cơ số 3 cả hai vế của phương trình, ta được:

log332 log x − 3 = log3(81x) ⇔ 2 −log3x = 4 + log3x ⇔ log3x = −1 ⇔ x = 3− 1

Vậy, phương trình có nghiệm là x = 3− 1

b Điều kiện 0 < x ≠ 1

Lấy lôgarit cơ số 5 cả hai vế của phương trình, ta được:

log5(x6.5−log 5 x ) = log55− 5 ⇔ log5x6 + log55−log 5 x = −5

Dạng toán 4: Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số để giải

phương trình mũ và lôgarit

Phương pháp

Ta sử dụng các tính chất sau:

Tính chất 1 Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trong khoảng (a, b) thì phương trình f(x) = k

có không quá một nghiệm trong khoảng (a, b)

Phương pháp áp dụng: ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 4: Vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Tính chất 2 Nếu hàm f tăng trong khoảng (a; b) và hàm g là hàm hằng hoặc là một

hàm giảm trong khoảng (a; b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b) (do đó nếu tồn tại x0∈(a; b): f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))

Thí dụ 1 Giải các phương trình sau:

Do vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Nhận xét rằng x = 0 là nghiệm của phương trình vì log22 + log33 = 2, đúng

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = 0

Thí dụ 2 Giải các phương trình sau:

b 3x = 4 − x b log3x = 4 − x

 Giải

a Nhận xét rằng:

 Vế trái của phương trình là một hàm đồng biến

 Vế phải của phương trình là một hàm nghịch biến

Do vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Nhận xét rằng x = 1 là nghiệm của phương trình vì:

31 = 4 − 1 ⇔ 3 = 3, đúng

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

b Nhận xét rằng:

 Vế trái của phương trình là một hàm đồng biến

 Vế phải của phương trình là một hàm nghịch biến

Do vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Nhận xét rằng x = 3 là nghiệm của phương trình vì:

log33 = 4 − 3 ⇔ 1 = 1, đúng

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

Thí dụ 3 Giải phương trình 31 − x − log2x − 1 = 0

 Vế trái của phương trình là một hàm nghịch biến

 Vế phải của phương trình là một hàm đồng biến

Do vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

−

 

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

 Chú ý: 1 Đối với phương trình logarit có một dạng rất đặc biệt, đó là:

Khi đó (3) được viết lại dưới dạng:

Vậy theo định lý Rôn phương trình g(x) = 0 có không quá 2 nghiệm trên D Nhận xét rằng g(0) = g(1) = 0

Vậy, phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 1

 Chú ý: Ta xét dạng phương trình lặp:

f[f(x)] = x, trong đó f(x) là hàm đồng biến trên tập xác định D

Ví dụ sau sẽ minh hoạ cụ thể dạng phương trình kiểu này

Thí dụ 5 Giải phương trình log2[3log2(3x − 1) − 1] = x

Cộng theo vế hai phương trình của (I), ta được:

log2(3y − 1) + y = log2(3x − 1) + x (3) Xét hàm số f(t) = log2(3t − 1) + t, ta có:

 Miền xác định D = (

1 3

3+ ; + ∞)

 Đạo hàm:

 Miền xác định: D = (

1 3

log x

142y3

2 x y 1

y3

 Nhận xét: Trong lời giải trên:

 ở câu a), chúng ta sử dụng ngay phép thế y = x− 3 vào phương trình thứ nhất của hệ để nhận được một phương trình mũ dạng: [u(x)]f(x) = [u(x)]g(x) ⇔ u(x) 1

 Nhận xét: Trong lời giải trên:

 ở câu a), bằng việc sử dụng công thức biến đổi tổng của hai logarit cùng cơ số (trong đó 1 = log44) chúng ta nhận được dạng Vi−ét cho hai ẩn x, y

Ngoài ra, cũng có thể sử dụng phương pháp thế như sau: Rút y = 20 − x từ phương trình thứ nhất của hệ thay vào phương trình thứ hai, ta được:

log4x + log4(20 − x) = 1 + log49 ⇔ log4[x(20 − x)] = log436

Như vậy, từ đây các em học sinh có thể thấy được tính tối ưu của việc sử dụng các phép biến đổi tương đương để giải hệ phương trình

Và áp dụng nó để giải hệ phương trình (HVNH Hà Nội − 1999)::

log x log 7.log y 1 log 2

3 log y (1 3log x)log 5

log x log y 1 log 2

3 log y log 5 3log 5.log x

12

y

12x

ln(xy) ln x 1ln(xy) ln y 1

Vậy, hệ có nghiệm duy nhất (10; 10)

 Chú ý: Với các em học sinh đã có kinh nghiệm trong việc giải toán thì:

 ở câu a), chúng ta có thể trình bày (với điều kiện x > 0, y > 0) theo cách:

Vậy, hệ có hai cặp nghiệm (1; 1) và (3; 3)

Thí dụ 2 (ĐHQG Hà Nội − 1995): Giải hệ phương trình:

log (x 1) y 1log y x

log2(x + 1) + x = log2y + y − 1 ⇔ log2(x + 1) + x + 1 = log2y + y

Xét hàm số f(t) = log2t + t là hàm đồng biến với t > 0, do đó phương trình có dạng: f(x + 1) = f(y) ⇔ x + 1 = y

af(x) ≤ ag(x) ⇔

a 1f(x) g(x)

a 1

0 a 1f(x) g(x)

a Ta có thể trình bày theo hai cách sau:

Cách 1: Bất phương trình được biến đổi về dạng:

 Nhận xét: Như vậy, để thực hiện bài toán trên ở cả hai cách chúng ta đều

thực hiện một công việc là đưa bất phương trình về dạng có cùng cơ số, tuy nhiên:

 Trong cách 1, với việc sử dụng cơ số a < 1 nên dấu bất đẳng thức phải đổi chiều và đây là điểm thường gây ra lỗi đối với một vài học sinh

 Trong cách 2, với việc sử dụng cơ số a > 1 nên dấu bất đẳng thức không đổi chiều Trong những trường hợp tương tự các em học hãy lựa chọn theo hướng này

b Ta có thể trình bày theo hai cách sau:

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (−3; −1)

 Nhận xét: Như vậy, để thực hiện bài toán trên ở cả hai cách chúng ta đều

thực hiện một công việc là đưa bất phương trình về dạng có cùng cơ số, tuy nhiên:

 Trong cách 1, chúng ta đã tìm cách biến đổi 5 2 6+ theo

3− 2 và ở đây các em học sinh cũng cần lưu ý rằng cơ số này nhỏ hơn 1

 Trong cách 2, chúng ta đã sử dụng ý tưởng về cơ số trung gian

đã biết trong phần phương trình mũ

c Bất phương trình được biến đổi về dạng:

x2 − 1 < log32 ⇔ x2 < 1 + log32 tham số x2 < log36 ⇔ x < log 63

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (− log 6; log 63 3 )