Bài 1 bài tập có đáp án chi tiêt về chứng minh đồ thị có tâm đối xứng

Thực hiện phép tịnh tiến theo OI.. Hệ trục Oxyuur ⇒hệ trục IXY.. Thực hiện phép tịnh tiến theo OI.. Hệ trục Oxyuur →Hệ trục IXY... Vì không cần xem xét thứ tự của hai điểm M với N nên t

HƯỚNG DẪN GIẢI.

Vấn đề 1 Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng

Bài 1:

1 y' 3x= 2−6x,y'' 6x 6 , y'' 0= − = ⇔ =x 1 , y 2.=

Vậy ( )C có một điểm uốn là I 1;2( )

2 y' 4x= 3−12x,y'' 12x= 2−12 , y'' 0= ⇔ = ±x 1 , y= −3

Vậy ( )C có một điểm uốn là I 1; 3(± − )

Bài 2:

1 Thực hiện phép tịnh tiến theo OI Hệ trục Oxyuur ⇒hệ trục IXY

Công thức chuyển hệ tọa độ :  = + = +

 = + = +



I I

Đối với hệ trục IXY, phương trình của (C) là

3

Y 2 (X 1) 3(X 1) 4 X 3X 3X 1 3X 6X 3 4

Y X 3X F(X)

+ = + − + + = + + + − − − +

⇔ = − =

Vì ∀ ∈X ¡ ,F( X)− = −X3+3X= −F(X) nên Y = F(X) là hàm số lẻ ,suy ra điểm I(1;2) là tâm đối xứng

2 Thực hiện phép tịnh tiến theo OI Hệ trục Oxyuur →Hệ trục IXY

Công thức chuyển hệ tọa độ :  = + = −

 = + = +



I I

y Y y Y 3. Đối với hệ trục IXY, phương trình của (C) là

+ = ⇒ = − = − =

− +

Vì hàm số Y = F(X) là hàm số lẻ nên điểm I(-1;3) là tâm đối xứng của (C)

Bài 3: Hàm số viết lại : = + +

−

1

y x 1

x 1

Giả sử ( )C có tâm đối xứng là I x ;y( 0 0)

Chuyển : ( )→( )=  = = ++



uur

0

Phương trình ( )C trong hệ mới là :

+ = + + + ⇔ = + + − +

Để hàm số là lẻ :  + − = ⇒ = ⇔ ( )

I 1;2

Chứng tỏ đồ thị hàm số có tâm đối xứng I 1;2 ( )

Vấn đề 2: Tìm tham số m để đồ thị có tâm

đối xứng

Bài 1: Ta có : y'= −3x2+6mx⇒y''= −6x+6m

m

⇔ − + = ⇒ = ⇒ −

Để đồ thị có tâm đối xứng I thì

2

5 5

 =  = ±

=

− = 



Vậy với m= ±1 , đồ thị có tâm đối xứng I

Bài 2:

1 Với m 2= ⇒(C ):y x2 = 3−5x2+6x 3+

Gọi A(a;a3−5a2+6a 3), B(b;b+ 3−5b2+6b 3)+ là hai điểm thuộc (C) và

3 a

5

 = −

 = −

=

− + + = − + − −

Vậy hai điểm thuộc (C) đối xứng nhau qua O là :

3 33 3

5 5 5

  và

3 33 3

− −

2 Gọi M(x ;y ), N(x ;y ) là hai điểm thuộc (C)1 1 2 2

M ,N đối xứng nhau qua

1 2

x ,x 0

 ≠



⇔ = −

 =

1 2

2 1

x ,x 0

x 2m 0

 ≠



⇔ = −

 + = ∗



Yêu cầu bài toán ⇔ ∗( ) có hai nghiệm phân biệt ⇔ −2m 0> ⇔m 0< Vậy m 0< là những giá trị cần tìm

Vấn đề 3: Chứng minh đồ thị có trục đối xứng

Bài 1: Ta có v (3;4)r = là một véctơ chỉ phương của d m

Vì M ,N thuộc d nên MN k.vm uuuur= r Mặt khác, MN 5= nên k= ±1 Nếu

k= −1 thì MNuuuur= − ⇔vr NM vuuuur=r Vì không cần xem xét thứ tự của hai

điểm M với N nên ta chỉ cần xét trường hợp MN vuuuur r= .

Xét phép tịnh tiến Tvr Gọi (C') T (C)= vr thì (C') :

y 4 (x 3)− = − −3(x 3) 3− + ⇔ =y − + 4x−11

Vì M (C)∈ nên N T (M) T (C) (C')= vr ∈ vr = Do đó, N là giao điểm của (C)

và (C')

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C') là

2

x −3x+3= − + −11 Phương trình này có hai nghiệm là x 2

3

=

hoặc x 7

3

=

* Khi x 2

3

= ta được N 2 35;

3 27

 

 ÷

  Vì N d∈ m nên

11 m 27

=

* Khi x 7

3

= ta được N 7 235;

3 27

 

  Vì N d∈ m nên

151 m 27

=

Kiểm tra ta thấy m 11

27

= hoặc m 151

27

= thì d cắt (C) tại ba điểm m phân biệt

Bài 2: Vì MN song song với trục hoành nên MN k.i (k;0)uuuur= r= , với

i (1;0)=

r

là véctơ đơn vị của trục hoành Khi này ta có MN= k

Xét phép tịnh tiến theo véctơ v (k;0)r =

Gọi (C ) là ảnh của (C) qua k Tvr thì (C ): y (x k)k = − 3−3(x k) 3− +

Vì N T (M) T (C) (C )= vr ∈ vr = k nên N là giao điểm của (C) và (C ) k

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C ) làk

3x −3k.x k+ − =3 0

Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi ∆ = −3k2+36 0≥ ⇔ k ≤2 3 Khi k 2 3= thì (C) và (C ) có duy nhất một điểm chung là k N( )3;3 Khi k= −2 3 thì (C) và (C ) có duy nhất một điểm chung là k N(− 3;3)

Vậy MN= k lớn nhất khi và chỉ khi k= ±2 3

Vậy, hai điểm cần tìm là N( )3;3 và M(− 3;3) hoặc N(− 3;3) và

( )

M 3;3

Bài 3: Giả sử đường thẳng x x= 0 là trục đối xứng của đồ thị ( )C , gọi ( 0 )

I x ;0

Chuyển : ( )→( ) =  = = +



uur

y Y Phương trình của ( )C trong hệ tọa độ mới là :

( )4 ( )3 ( )2 ( )

Y= x x+ −4 x x+ +7 x x+ −6 x x+ +4

Để hàm số là chẵn thì các hệ số của ẩn bậc lẻ và số hạng tự do bằng

không :

 − =



⇔ − + − = ⇒ =

 − + − + =



0

4x 4 0

Chứng tỏ đồ thị hàm số có trục đối xứng , phương trình của trục đối

xứng là : x 1=

Bài 4:

Giả sử đường thẳng x x= 0 là trục đối xứng của đồ thị ( )C , gọi I x ;0( 0 )

Chuyển : ( )→( ) =  = = +



uur

y Y Phương trình của ( )C trong hệ tọa độ mới là :

= 4+ + 3+ 2+ + 2+ 3+ 2+ + 4+ 3+ 2

Để là hàm số chẵn thì :  ( + =)  = −

⇒

 + + =  =



m 4

Vấn đề 4: Lập phương trình đường cong đối

xứng với một đường cong qua một điểm hoặc

qua một đường thẳng.

Bài 1:

1 Gọi một điểm bất kỳ A x;x 1 1 ( ) (C ,B x';y') ( )C'

x 2

Khi A chạy trên ( )C qua điểm I , thì B chạy trên ( )C' , cho nên nếu

( )C' đối xứng với ( )C qua I thì A và B đối xứng nhau qua I

 = −  = − −



⇔ ⇒ ⇔ − = − − − − ⇔ − = − − +



I

I

Vậy, ( )C' có phương trình : y x 5 1

x

= + −

Khi A chạy trên ( )C qua điểm I , thì B chạy trên ( )C' , cho nên nếu

( )C' đối xứng với ( )C qua I thì A và B đối xứng nhau qua I

( )− ( )

 = −

⇒ − = − − + ⇔ = − + +

 = −



x'

Vậy, ( )C' có phương trình : y= −x4+3x2+3

Bài 2:

1 Gọi A x;y thuộc ( ) ( )C và B x';y' thuộc ( ) ( )C'

Nếu ( )C' đối xứng với ( )C qua d , thì A và B đối xứng nhau qua d

AB d

y y' 1

y y' 2 x x'

 −   = −

  −  ÷− = 



( ) ( )

y y' 2 x x' 1

1

y y' x x' 2 2

2

 − = − −



⇒ 

+ = + +



y 2x y' 2x' 5y 3y' 4x' 4 2y x x' 2y' 2 5x 3x' 4y' 4

 + = +  = − + +

− = − + = + −

Từ phương trình hàm số :

= + + ⇒ − + = + − + +

2 ( )C' : = − −

−

4

y 1 x

x 2

3 Gọi A x;y thuộc ( ) ( )C và B x';y' thuộc ( ) ( )C' đồng thời đối xứng

với A qua Ox Khi đó : x x'= và y= −y'

Do A thuộc ( )C : − = −y' 2x' 4 x'( + ) ⇔y'= − −2x' 4 x' ( + ) ( )∗

Phương trình ( )∗ chính là phương trình của ( )C' : y= −2x 4 x( + )

Nếu ( )C cắt ( )C' thì phương trình hoành dộ điểm chung :

x 4

 ≤

= − − +

Vậy, ( )C cắt ( )C' bằng E-Líp : ( − )

+ =

1

Bài 3:

1 ( )C’ T ((C))= uur

Gọi M’ (x’;y’) là ảnh của điểm M(x;y) qua phép tịnh tiến vectơ

u (1;2)=

ur

,ta có

x' x 1 x x' 1

MM ' u

y' y 2 y y' 2

 − =  = −

= ⇔ ⇔

− = = −

uuuuur ur

M (C)∈ ⇔ =y x −3x 1+ ⇔ − =y' 2 (x' 1)− −3(x' 1) 1− +

y' 2 x' 3x' 3x' 1 3x' 4 y' x' 3x' 5 M ' (C'): y x 3x 5

⇔ − = − + − − + ⇔ = − + ⇔ ∈ = − +

Vậy phương trình của (C’) : y = x3−3x2+5

2 Gọi M’ (x’;y’) là ảnh của M(x;y) qua phép đối xứng tâm I(- 1;1), ta

có

I là trung điểm của MM’ I

I

 + = = −  = − −



+ = = = −

3

M (C)∈ ⇔ =y x −3x 1+ ⇔2– y’= −2– x’ − −3 2– x’ +1

M ' (C'): y x 6x 9x 3

Cách khác : Tịnh tiến OI uur Hệ trục Oxy ⇒ Hệ trục IXY

Công thức chuyển hệ tọa độ : I

I

 = + = −



 = + = +

Đối hệ trục IXY , phương trình (C) :

Y 1+ = X 1 – 3 X – 1 1− + ⇔ =Y (X 1)− −3(X 1) F X− = (C’) đối xứng với (C) qua gốc tọa độ I ,suy ra phương trình

C’ : Y= − F X− ⇔ = − −Y X – 1 + −3 X – 1

Suy ra phương trình (C’) đối với hệ trục Oxy :

y  1− = − − x – 2 + −3 x – 2 ⇔ =y x +6x +6x 3.+

3 Gọi M(x’;y’) là ảnh của M(x;y) qua phép đối xứng qua đường thẳng

(d) : x = 2 ,ta có  + =x x' 4y y' ⇔ = −x 4 x'y y' .

 =  =

M(x,y) (C)∈ ⇔ =y x −3x 1+ ⇔y' (4 x')= − −3(4 x') 1− +

y' x' 12x' 45x' 53 M ' (C'): y x 12x 45x 53

⇔ = − + − + ⇔ ∈ = − + − +

Vậy phương trình ( )C’ : y= − +x3 12x2−45x 53.+

Cách khác Tịnh tiến OE uuur với E(2;0) Hệ trục Oxy ⇒Hệ trục EXY

Công thức chuyển hệ tọa độ : E

E

 = + = +



 = + =



Đối với hệ trục EXY:

Phương trình (d) : X = 0

Phương trình (C) : ( )3 ( ) ( )

Y= X 2+ −3 X 2+ + =1 G X (C’) đối xứng với (C) qua trục tung EY , suy ra phương trình (C’) :

( ) ( )3 ( )

Y G X= − = − X 2 – 3 X 2+ − + +1

Suy ra phương trình (C’) đối với hệ trục Oxy

Y= 4– x – 3 4– x + =1 − +x3 12x2−45x 53.+