Bài 3 bài tập có đáp án chi tiêt về chứng minh đồ thị có tâm đối xứng

HƯỚNG DẪN GIẢI.hàm số.... Từ tập xác định của hàm số suy ra đồ thị hàm không có tiệm cận đứng.. Ta có thể xem tiệm cận ngang như là trường hợp đặc biệt của tiệm cận xiên khi a = 0 ,do đó

HƯỚNG DẪN GIẢI.

hàm số

Bài 1:

1 *

x 2

lim y



   và

x 2

lim y



   nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm ( khi x  2và khi x2)

*xlim y 3  và xlim y 3

  nên đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (khi x   và khi x   )

*

2 3





và x

y lim 0 x

  nên đồ thị hàm không có tiệm cận xiên

2 * 1

x

3

lim y





 

và 1 x 3

lim y





 

nên đường thẳng x  1

3

  là tiệm cận

đứng của đồ thị hàm ( khi x 1

3



  và khi x 1

3



  )

*

x

2

lim y

3

   và

x

2 lim y

3

   nên đường thẳng y 2

3

  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm (khi x   và khi x   )

*

lim 0 , lim 0

    nên đồ thị hàm không có tiệm cận xiên

Bài 2:

1 *

x 5

lim y



   và

x 5

lim y



   nên đường thẳng x = 5 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm (khi x5 và khi x5)

* xlim y   và xlim y

   ,suy ra đồ thị hàm không có tiệm cận ngang

*

1 lim [y (x 1)] lim ( ) 0

x 5

1 lim [y (x 1)] lim ( ) 0

x 5

 nên đường thẳng y = x+1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm (khi x

  và khi x   )

2 * 1

x

3

lim y





 

và 1 x 3

lim y





 

nên đường thẳng x 1

3

  là tiệm cận

đứng của đồ thị hàm (khi x 1

3



  và khi x 1

3



  )

*xlim y   và xlim y

   ,suy ra đồ thị hàm không có tiệm cận ngang

*

2 20 x

3  9 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm (khi x   và khi x   )

Bài 3:

1 *

x 2

lim y



   và

x 2

lim y



   nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm (khi x2 và khi x2)

*

x 2

lim y



   và

x 2

lim y



   nên đường thẳng x = - 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm (khi x  và khi x2   ).2

*xlim y 0  và xlim y 0

  nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm (khi x   và khi x   )





 nên đồ thị không có tiệm cận xiên

2 *xlim y 0  và xlim y 0

  nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm (khi x   và khi x   )

 nên

đồ thị không có tiệm cận xiên

Bài 4:

1 *

x 1

lim y



   và

x 1

lim y



   nên đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm (khi x  và khi x1   ) 1

*xlim y   và xlim y

   ,suy ra đồ thị hàm không có tiệm cận ngang

2x 4 lim [y (2x 3)] lim 0

x 1



2x 4 lim [y (2x 3)] lim 0

x 1



 nên đường thẳng y = 2 x 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm (khi x

  và khi x   )

2 *

x 0

lim y



   và

x 0

lim y



   nên đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm (khi x0 và khi x0)

*

x 2

lim y



   và

x 2

lim y



   nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm (khi x2 và khi x2)

*xlim y   và xlim y

   ,suy ra đồ thị hàm không có tiệm cận ngang

4x 2 lim [y (x 2)] lim 0

x 2x



4x 2 lim [y (x 2)] lim 0

x 2x



 nên đường thẳng y = x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm (khi x

  và khi x   )

Bài 5:

1 *

x 2

lim y



   và

x 2

lim y



   nên đường thẳng x = - 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm (khi x  và khi x2   ) 2

*

x 2

lim y



   và

x 2

lim y



   nên đường thẳng x =2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm (khi x2 và khi x2)

*xlim y   và xlim y

   ,suy ra đồ thị hàm không có tiệm cận ngang

7x 4 lim [y 2x] lim 0

x 4



7x 4 lim [y 2x] lim 0

x 4



 nên đường thẳng y = 2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm (khi x   và khi x

  )

2 *xlim y 1  và xlim y 1

  nên đường thẳng y 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm (khi x   và khi x   )

*

3

2

 

nên đồ thị hàm không có tiệm cận xiên

Bài 6:

1 D ( ;1] [2;U )

Từ tập xác định của hàm số suy ra đồ thị hàm không có tiệm cận đứng

Ta có thể xem tiệm cận ngang như là trường hợp đặc biệt của tiệm cận xiên khi a = 0 ,do đó ta chỉ cần tiệm cận xiên của đồ thị hàm ,nếu đường tiệm cận có dạng y = b thì đó là tiệm cận ngang

2 2

                 

2

2

    

và

                

2

5

2

           

Vậy đường thẳng y = 2x 5

2

 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm (khi x )

 

2

2

    

2

3 2

x x

       

2

2

  

           

Vậy đồ thị hàm số có đường thẳng y = 11

2 là đường tiệm cận ngang (khi x   )

Cách khác.Trong bài toán này ta áp dụng cách biến đổi sau để tìm

tiệm cận xiên của đồ thị hàm

Với a > 0 ,ta có ax2 bx c a x b ax2 bx c a x b

Đặt (x) ax2 bx c a x b

2a

      thì ta chứng minh được rằng

xlim (x) 0

 

Áp dụng vào bài toán

Ta có x2 3x 2 x 3 x2 3x 2 x 3

Đặt (x) x2 3x 2 x 3

2

      ,ta có:

x 3x 2 x 3x

x

2

1



   

Suy ra y x 4 x 3 (x)

2

     

Khi x   thì y = x 4 x 3 (x) 2x 5 (x)

        

Vì

5 lim [y (2x )] lim (x) 0

2

      nên đường thẳng y = 2x 5

2

 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm (khi x )

Khi x   thì y = x 4 x 3 (x) 11 (x)

       

Vì

11

lim (y ) lim (x) 0

2

     nên đường thẳng y = 11

2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm ( khi x   )

2 Ta có x2  4 x x2  4 x

Đặt (x) x2  ,ta có 4 x

2

2

2

4

x

x

2

1

4

x



 

Suy ra y 3x  x2 4 3x x  (x)

Khi x   thì y = 3x x  (x) 4x  (x)

Vì xlim (y 4x)  xlim (x) 0  nên đường thẳng y = 4x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm (khi x )

Khi x   thì y = 3x x  (x) 2x  (x)

Vì xlim (y 2x)  xlim (x) 0  nên đường thẳng y = 2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm ( khi x   )

Đồ thị hàm không có tiệm cận ngang

3 *x x

2

2x lim y lim

3

x 1 x

  



  , suy ra đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm

   , suy ra đường thẳng y = - 2

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm

*

2

 , suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên

Vấn đề 2 Một số dạng toán khác.

Bài 1:

0

4x 1

3 x

    

TCĐ của (C) : x – 3 = 0 d(M ,TCD) x 0 3

TCN của (C): y + 4 = 0 0



0 0

13 d(M ,TCD).d(M ,TCN) x 3 13

x 3

 (đpcm).

2

Cauchy

2

0

13

x 3



Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 13khi và chỉ khi M( 3 13; 13 4) hoặc M( 3 13; 13 4)

Bài 2:

Ta có y = mx 3 m2 1

x 1



 

 , suy ra (C) có tiệm cận xiên (d)  m 0 Khi

đó phương trình của (d) : y = mx+3

1 A(1;4) (d)  4 m 3 m 1 (thõa mãn điều kiện m 0)

2 Giao điểm của (d) với hai trục tọa độ là M(0;3) và M( 3;0)

m

Diện tích tam giác vuông OMN: S = 12OM.ON 12 m3. 3 9

2 m

Theo giả thiết : S 6  2 m9  9 m  12 m  (thỏa mãn điều kiện21

m 0)

3 d(O;(d)) 3 32 3 m2 1 3

 2

      (thỏa mãn điều kiện m 0)

Bài 3: y = (m 1)x2 (2m 1)x 2

x 1

2 (m 1)x m

x 1

 ,suy ra (C) có hai đường tiệm cận x = - 1 (d1), y = (m+1)x+m (d2)

0

2

M (C) M(x ;(m 1)x m )

x 1



0

d(M ,(d )).d(M ,(d )) x 1 (m 1)x m (m 1)x m

x 1 (m 1) 1

2

2

(m 1) 1



 

2

2 d(M ,(d )).d(M ,(d )) 2 2 (m 1) 1 1 m 1

(m 1) 1

 

2 Giao điểm của hai đường tiệm cận là I(-1; -1) Vì tọa độ I thỏa

mãn phương trình (P) nên I (P).

3 (C) có tiệm cận xiên m 1 0  m 1

Đường tròn ( ) có tâm là gốc tọa độ O , bán kính R = 1

2 ,suy ra Tiệm cận xiên tiếp xúc đường tròn

2

m

( ) d(O;TCX)

2 2 2 1 7

3



m 1)

Bài 4:

1 Gọi M(x ;y ) (C)0 0 

M cách đều hai trục tọa độ 0 0 0

0

3x 1

x 2





0



0

         



Vậy có bốn điểm cần tìm: M1,2 5 21 5; 21 ,M3,4 1 5 1; 5

m

2 Gọi M(x ;y ) (C)0 0  Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là:

0

0

3x 1

x 2



 Với x0 1 d 1

   nên với x0 1 d 1

  

Ta xét

2

3x 1 x x 1 1

x x 1 1 3x 2x 1 (3x 1)(x 1)

0

x : x

3

  Suy ra d 1 x : x0 0 1

Vậy M 1;0

3

 

 

  là giá trị cần tìm.

3 Ta có A 2 a;3 5 , B 2 b;3 5

       

    (với a,b 0 ) là hai điểm nằm về hai nhánh của (C)

2

2 2

Đẳng thức xảy ra khi

2 2

a b

a b 5 25

1

a b

 

 

Vậy   3 5

A 2 5;3 5 , B 2 5;  

4 Ta có M m;3m 1 (C)

m 2

2

3m 1

d(M , )



 Suy ra d(M , ) 12 3m2 17m 2 12 m 2

5

2

2

26

m 1;m

11

3



Vậy có bốn điểm thỏa yêu cầu bài toán

M (1; 2),M ; ,M 2; ,M ;6