Khi đó giả thiết của bài toán trở thành 4... Xác định tham số để hàm số có giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất thỏa điều kiện cho trước Bài 1: 1... Từ đó suy ra.. =OA maxMT 2 ⇔M trùng v
Trang 1HƯỚNG DẪN GIẢI.
Bài 1:
3 x x 4x 3 khi x 4x 3 0 x 5x 6 khi x 1,x 3
3 x x 4x 3 khi x 4x 3 0 x 3x khi 1 x 3 Với x (∈ −∞;1) (3;U +∞), y' 2x – 5 hay = y' 2 x – 2 1= ( )−
Ta thấy: y' 0 với < x (∈ −∞;1 và y' 0 với > x (3;∈ +∞)
Với x (1;3), y'∈ = − +2x 3 và y' 0= ⇔ = ∈x 3 (1;3)
2 Tại x 1: = y'(1 )+ = −2(1) 3 1,y'(1 ) 2(1) 5+ = − = − = −3⇒y'(1) không tồn tại Tại x 3: = y'(3 ) 2(3) 5 1,+ = − = y'(3 )− = −2(3) 3+ = −3⇒y'(3) không tồn tại
→±∞ →±∞
2
Từ bảng biến thiên trên suy ra ∈ = ∈
miny 0 , maxy không tồn tại
=
2 2
4 x x 1 khi x [1;2]
y
4 x 1 x khi x [ 2;1]
2
x (1;2) , y' 1
x (1;2) x (1;2)
x (1;2) x (1;2)
2
x ( 2;1) , y' 1
∈ −
− = −
2
x ( 2;1)
x ( 2;1)
4 x x Tại x 1:y'(1 )= + = − 1 +1 , y'(1 )− = − 1 − ⇒1 y'(1)
Tại x 2 , x= = −2 thì y' không xác định
Từ bảng biến thiên trên suy ra
∈
x D
x D maxy 2 2 1 , miny 1
Bài 2:
Trang 21 Điều kiện : 5 x− 2≥ ⇔ ∈ −0 x [ 5; 5] Ta có
−
−
2
2
2(x 4)
Vì f(± 5) 0, f(2) 1,f( 2) 5 nên = = − = maxf(x) f( 2) 5;= − =
( )
min f(x) f 5 0
2 Hàm số xác định trên D= − 2;2
2
2
< ≤
0 x 2
x 2
4 x x Do y( 2)− = −2;y(2) 2;y( 2) 2 2 nên= =
maxy y( 2) 2 2; miny y( 2) 2
3 Hàm số xác định ⇔2x x− 2≥ ⇔ ≤ ≤0 0 x 2
2
Tại hai điểm x 0 ,x 2 thì y’ không tồn tại.= =
y' 0,x (0;2)
2x x x 2x 1 2x 4x 1 0 2x x x 1
+
⇔ =x 2 2
2
( ) = ( ) = + ÷÷= +
2 2
y 0 2 , y 2 4 ,y 3 2
x D
x D maxf(x) 3 2 , minf(x) 2
Bài 3:
+ +
2
x 1
5 ,y 1 ( )− =2
3.
2
2 2
1
x 2
x
Tương tự
→−∞ =
x
1 lim y
2.
Từ bảng biến thiên trên suy ra
∈
¡
x
maxy , miny
Trang 32 Ta có: = + +
2
10x 22x 4 y'
(3x 2x 1) ⇒ = ⇔ 2+ + = ⇔ = −1 = −
y' 0 5x 11x 2 0 x ,x 2
5 Mặt khác:
→∞ =
x
10 lim y
3 nên ta có bảng biến thiên sau:
x -∞ −2 −1
5 +∞
y' + 0 − 0 + y
7 10
3 10
3
5
2 Dựa vào bảng biến thiên suy ra: maxf(x) 7, minf(x)= =5
2.
Chú ý: Với bài toán trên ta có thể giải bằng phương pháp miền giá trị
như sau:
2
2 2
20x 10x 3
3x 2x 1
* y=20⇒(1)
3 có nghiệm
* Nếu y≠20⇒(1)
3 có nghiệm⇔ ∆ = −' 2y2+19y 35 0− ≥ ⇔ ≤ ≤5 y 7
Vậy maxf(x) 7, minf(x)= =5
2.
Bài 4:
y'
2 x x 1 2 x x 1
⇒y' 0= ⇔(2x 1) x+ 2− + =x 1 (2x 1) x− 2+ +x 1 (1)
Bình phương hai vế ta có phương trình hệ quả
(2x 1) [(2x 1) 3] (2x 1) [(2x 1) 3]
⇔(2x 1)+ 2=(2x 1)− 2⇔ =x 0 thay vào (1) ta thấy 1= −1 vô lý
Vậy phương trình y' 0 vô nghiệm hay y' không đổi dấu trên ¡ , mà=
= > ⇒ > ∀ ∈¡
y'(0) 1 0 y' 0 x .
[-2;3]
[-2;3]
maxf(x) f(3) 13 7; min f(x) f( 2) 5 7
Trang 42 Điều kiện: − + + ≥
⇔ − ≤ ≤
2 2
x 4x 21 0
2 x 5
x 3x 10 0 Xét trên miền − < <2 x 5, ta có : = − − − − −
2
nên
−
− −
− − ÷
3 x
25 (x 2) 49 3
x
2
2
)
− − − ÷ ÷= − ÷ − −
2
2
3
2 3
(x 2) x 0
⇔ =x 1
3 Ta có
1 y( 2) 3; y 2; y(5) 4
= ÷=
2 x 5
1
Chú ý: Vì ( x− +2 4x 21) ( x+ − − +2 3x 10) x 11 0+ = + > ⇒ >y 0
⇒y2= +(x 3)(7 x) (x 2)(5 x) 2r(x 3)(7 x)(x 2)(5 x)− + + − − + − + −
= (x 3)(5 x)+ − − (x 2)(7 x)+ − 2+ ≥2 2 Suy ra y≥ 2 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=1
3 Vậy miny= 2
Bài 5:
−
−
2
2 2 2
3
1 4sin 2x 4 3sin 2x
y
1 sin 2x
2
Đặtt sin 2x, 0 t 1 Khi đó: = 2 ≤ ≤ = − =
−
4 t
2 t với 0 t 1, ≤ ≤
Ta có
2 g'(t) 0 maxy maxg(t) 3, miny 2
Trang 52 Đặt = ⇒ ≤
+ 2
2x
1 x ⇒ =y sint cos2t 1+ + = −2sin t sint 22 + +
Đặt u sint= ⇒ −sin1 u sin1≤ ≤ ⇒ = −y 2u2+ +u 2
Ta cóy'= −4u 1+ ⇒y' 0= ⇔ =u 1
4 miny= −2sin 1 sin1 2; maxy2 − + =17
8 .
Bài 6:
1 Từ giả thiết 3≥a2+b2+c2≥3 a b c3 2 2 2⇒abc≤1
Áp dụng BĐT Cô si, ta có: (a b)(b c)(c a) 8abc+ + + ≥
abc
a b c ⇒ ≥P 8abc+ 3
abc. Đặt t abc= ⇒ < ≤0 t 1
8 và P 8t≥ + =3 f(t)
t Xét hàm f(t) có f'(t) 8= − 32<0
t
⇒ ≥ ÷= ∀ ∈
f(t) f 25 t 0;
⇒ ≥P 25 Đẳng thức xảy ra ⇔ = = =a b c 1
2.
2 Cách 1 :
Đặt: u x y,v xy= + = ⇒(x y xy x+ ) = 2+y2−xy⇔uv u= 2−3v
u 3
Vậy
u u 3v
x y
A
u
−
−
+ + + ( lưu ý u 0≠ )
u 1 u 3
⇔ ≥ ∨ < − u 3 0
u
+
⇒ > Xét hàm ( ) u 3 ( ) 32
= ⇒ = < ⇒f u( ) ( )≤f 1 =4⇒ ≤A 16 Đẳng thức xảy ra x y 1
2
⇔ = = Vậy GTLN của A 16=
Cách 2 : Đặt a 1;b 1
= = Khi đó giả thiết của bài toán trở thành
4
Trang 6Đẳng thức xảy ra a b 2 x y 1
2
Cách 3 : Xét hệ phương trình :
x y xy x y xy
1 1
A
x y
( )
( )
2
3 3
x y xy x y xy x y xy x y xy
A A
xy xy
=
=
2 2
x y xy x y 3xy SP S 3P
S
A
P xy
; S x y
P xy
= +
=
2
S ≥4P
Giả thiết suy ra
2 S A P
=
÷
thỏa điều kiện A 0> , do đó S= AP Thay S= AP vào phương trình SP S= 2−3P rồi rút gọn ta được
(A− A P 3) = , để phương trình này có nghiệm thì A− A ≠0 tức
0 A 1< ≠
Với 0 A 1< ≠ suy ra P 3
=
− và
3 S
A 1
=
−
2
Vậy, GTLN của A 16=
t xyz 0 t
3
f'(t) 6t 0 t 0;
3
1 29 3
f(t) f
9
3 Vậy minP=29 3
9 .
Bài 8: Đặt t cotx=
Trang 72
1 tan x 1 cot x 1 t t 1
+ −
+
2 2
t 2t 1 f(t)
t 1
(sin x 2sin x 1)(cos x 2cos x 1)
g(x)
(sin x 1)(cos x 1)
sin xcos x 8sin xcos x 2 u 8u 2
sin xcos x 2sin xcos x 2 u 2u 2 , trong đó
u sin xcos x; 0 u
4
2
h'(u) 2 0 u 0;
4 (u 2u 2)
⇒ hàm số h(u) luôn tăng trên
1 0;
4 nên ∈
= ÷=
1
u 0;
4
max h(u) h
4 25
∈
1
u 0;
4
min h(t) h(0) 1
Vậy maxg(x)= 1; ming(x)= −1
Bài 9: Xét hệ: + − =
+ − − =
x my 2 0 2x (m 2)x 1 0 (*) có D= − −m 2
• Nếu m≠ − ⇒2 (*) có nghiệm duy nhất (x ;y )0 0
Khi đó P 0, ≥ =
= ⇔ =x x00⇒ =
• m= −2 ta có: P (x 2y 2)= − − 2+(2x 4y 1)− − 2
Đặt t x 2y 2, ta có: = − − P t= 2+(2t 3)+ 2=5t2+12t 9+
Suy ra minP=9
5.
Vấn đề 2 Xác định tham số để hàm số có giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất thỏa điều kiện
cho trước
Bài 1:
1 Gọi = ∈
¡
x
m miny Điều kiện cần để m 2 là > y 1( )> ⇒2 4a 2> ⇒ >a 1
2
=
U
4ax x 4x 3 x 4(a 1)x 3 , x ( ;1] [3; )
y
4ax x 4x 3 x 4(a 1)x 3 , x [1;3]
*Với x (∈ −∞;1] [3;U +∞) : y' 2x 4 a – 1 và = + ( ) y' 0= ⇔ =x 2(1 a) 1− <
* Với x [1;3]: ∈ y'= − +2x 4 a 1 và ( + ) y' 0= ⇔ =x 2(a 1) 3.+ >
Trang 8Từ bảng biến thiên trên suy ra
miny m y 2 1 a 4 1 a 8 a 1 3 3 4 a 1 8a – 4a – 1
> ⇔ − 2− > ⇔ 2− + < ⇔ < <1 3
Kết hợp a>1
2ta được các giá trị của tham số a cần tìm là 1< <a 3
2 Tìm tập giá trị E của hàm số y,y E∈ ⇔phương trình = +
+
msinx 1 y
cosx 2 (1) có nghiệm (1)⇔ycosx 2y msinx 1+ = + ⇔ycosx msinx 1 2y − = − (1) có nghiệm ⇔m2+y2≥ −(1 2y)2⇔3y2−4y 1 m+ − 2≤0
⇔2 1 3m2 ≤ ≤y 2 1 3m2
miny
< − ⇔ 2 1 3m2 < − ⇔ + 2> ⇔ + 2>
3
⇔m2> ⇔8 m≤ −2 2,m 2 2≥
3 y' 8x – 4m= ⇒ = ⇔ =y' 0 x m
2 Xét các trường hợp sau
* m≤ − ⇔2 m≤ −4
2 Khi đó ∀ ∈ −x ( 2;0) , y' 0 > ⇒Hàm số y đồng biến trên ( 2;0) , hàm số y liên tục trên − [ 2;0]−
( )
∈ −
x [ 2;0]min y y 2 m 6m 16
Miny 2 m 6m 16 2 m 6m 14 0 ,phương trình này vô nghiệm
*− ≤2 m≤ ⇔ − ≤0 4 m 0≤
2
Bảng biến thiên của hàm số y trên [ 2;0]− ⇒ = = −
÷
m
= ⇔ − = ⇔ = − ∈ −
Miny 2 2m 2 m 1 [ 4;0]
*m> ⇔0 m 0>
2 ,khi đó ∀ ∈ −x ( 2;0) , y' 0< ⇒Hàm số y nghịch biến trên
−
[ 2;0]⇒ ∈ − = ( )= 2
x [ 2;0]min y y 0 m – 2m
Miny 2 m 2m 2 m 2m 2 0 m 1 3
Vì m 0 nên chỉ nhận giá trị > m 1= + 3
Trang 94
¡
¡
2 1
1
ax b
x 1
¡
¡
2
2 1
2
x ,4x ax 4 b 0
0 a 16b 64 0 (1)
x ,4x ax 4 b 0
*
¡
¡
2 2
2
ax b
x 1 ⇔∀ ∈ + + + ≥ ⇔ ∆ = ⇔ − − =
¡
¡
2
2 2
2
x ,x ax b 1 0
0 a 4b 4 0 (2)
x ,x ax b 1 0
Hệ + − = − = =
2
2
20b 60 0 b 3
a 16b 64 0
a 4b 4 0 a 16
a 4b 4 0
= ±
⇔ =
a 4
b 3 .
Bài 2:
1 Đặt t x – 3x= 3 2+4, x 0;4 Tìm tập giá trị của t
=
= 2− ∈t' 0 ⇔ =
x (0;4)
Vì t 0( ) =4, t 4( ) =20, t 2( ) =0, hàm số t liên tục và có đạo hàm trên
0;4 , suy ra tập giá trị của t là 0;20
Hàm số y trở thành hàm f t( ) = +t m , t [0;20].Bài toán quy về: Tìm ∈ tham số m để t [0;20]∈max f(t) đạt giá trị nhỏ nhất
O
Trên trục t’Ot , gọi A, T, M là các điểm có hoành độ lần lượt là 20 , t
và – m , khi đó MT= +t m và T di động trên đoạn OA Từ đó suy ra
* Nếu M ở ngoài đoạn OA thì maxMT max MO,MA= { } ≥OA
* Nếu M ở trong đoạn OA thì maxMT max MO,MA= { } ≥OA
2 .
=OA
maxMT
2 ⇔M trùng với trung điểm E của OA
Trang 10Vậy maxMT đạt giá trị nhỏ nhất bằng OA =10
2 ⇔ M trùng E
⇔m= −10
x x 2 m(x 2) x x 2
−
2
x x 2
t , x [ 1;1]
=
−
= − ⇒ ∈ − ⇔ =
2
2
t' 0
x 4x
x ( 1;1) (x 2)
Từ bảng biến thiên trên suy ra tập giá trị của t là − − 2; 1
Hàm số y trở thành f t( ) = −t m Bài toán quy về: Tìm tham số m để
∈ − −
t [ 2; 1]max f(t) đạt giá trị nhỏ nhất
t'
Trên trục t’Ot , gọi A, B, T, M là các điểm có hoành độ lần lượt là -2 ,
- 1 , t và m , khi đó MT t m f t và T di động trên đoạn AB Từ= − = ( )
đó suy ra
* Nếu M ở ngoài đoạn AB thì maxMT max MA ,MB= { } ≥AB
* Nếu M ở trong đoạn AB thì maxMT max MA ,MB= { } ≥AB
2 .
=AB
maxMT
2 ⇔M trùng với trung điểm E của AB
Vậy maxMT đạt giá trị nhỏ nhất bằng AB 1=
2 2 ⇔ M trùng E⇔
= −3
m
2.
