luận văn tiến sỹ phân tích dao động của tấm chữ nhật mỏng trực hướng trên nền đàn hồi với biên hoàn toàn tự do bằng phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép

THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG UỐN CỦA TẤM MỎNG TRÊN NỀN ĐÀN HỒI THEO MÔ HÌNH NỀN WINKLER……….. Phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trên nền đàn hồi theo mô hình nền W

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng tất cả những kết quả khoa học trình bày trong luận văn này là thành quả lao động của bản thân tôi với sự giúp đỡ của người hướng dẫn khoa học

Học viên

Vũ Thị An Ninh

LỜI CÁM ƠN

Trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự hướng dẫn tận tình của các thầy, cô giáo và sự giúp đỡ của các cán bộ công tác tại khoa cơ học Kỹ thuật và Tự động hóa trường Đại học Công nghệ - Viện cơ

Trước hết, tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo, các cán bộ công tác tại khoa cơ học Kỹ thuật và Tự động hóa trường Đại học Công nghệ - Viện

cơ đã tận tình dạy bảo cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc tới TS Phạm Thị Toan, người đã dành rất nhiều thời gian và tâm huyết hướng dẫn nghiên cứu và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Nhân đây, tôi xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong Bộ môn Cơ

lý thuyết- Trường Đại học Giao thông Vận tải đã tạo rất nhiều điều kiện để tôi học tập và hoàn thành tốt luận văn

Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và người thân đã động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

Mặc dù tôi đã có nhiều cố gắng hoàn thiện luận văn bằng tất cả nhiệt tình

và năng lực của mình, tuy nhiên không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng góp quí báu của thầy cô và các bạn

Hà nội, ngày 01 tháng 3 năm 2011

Học viên

Vũ Thị An Ninh

MỤC LỤC

MỤC LỤC………

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT………

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ………

MỞ ĐẦU………

Chương 1 TỔNG QUAN………

1.1 Tổng quan các nghiên cứu về dao động tấm…………

1.2 Phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép………

Kết luận chương 1………

Chương 2 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG UỐN CỦA TẤM MỎNG TRÊN NỀN ĐÀN HỒI THEO MÔ HÌNH NỀN

WINKLER………

2.1 Các giả thiết cơ bản của lý thuyết tấm mỏng………

2.2 Thiết lập phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trực hướng………

2.3 Phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng đẳng hướng… 2.4 Phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trên nền đàn hồi theo mô hình nền Winkler………

2.4.1 Ứng xử của nền đàn hồi………

2.4.2 Mô hình nền Winkler………

2.4.3 Phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trên nền đàn hồi theo mô hình nền Winkler………

Kết luận chương 2

Chương 3 GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CỦA TẤM MỎNG TRỰC HƯỚNG TRÊN NỀN ĐÀN HỒI VỚI BIÊN HOÀN TOÀN TỰ DO………

3.1 Bài toán………

3.2 Giải bài toán………

3.3 Kết quả số………

Kết luận chương 3………

1i 3i 5i

1

3

3

4

5

6

6

7

16

17

17

18

19

20

21

21

22

40

40

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ………

TÀI LIỆU THAM KHẢO………

PHỤ LỤC

PL1 Chương trình Matlab tính định thức cho tấm trực hướng

PL2 Chương trình Matlab tính định thức cho tấm đẳng hướng

41

43

46

46

50

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Qx,: Lực cắt trên một đơn vị dài ở các mặt cắt x = const theo hướng z

Qy: Lực cắt trên một đơn vị dài ở các mặt cắt y = const theo hướng z

Mx: Mô men uốn trên một đơn vị dài ở các mặt cắt x = const

My: Mô men uốn trên một đơn vị dài ở các mặt cắt y = const

Mxy: Mô men xoắn trên một đơn vị dài, vuông góc với mặt cắt x= const

Myx: Mô men xoắn trên một đơn vị dài, vuông góc với mặt cắt y = const

q: Tải trọng ngoài phân bố trên một đơn vị diện tích, vuông góc với mặt trung hòa

w(x,y,t): Dịch chuyển của các điểm thuộc mặt trung hòa theo hướng z

u: Dịch chuyển theo phương x của điểm M cách mặt trung hòa một khoảng z v: Dịch chuyển theo phương y của điểm M cách mặt trung hòa một khoảng z w: Dịch chuyển theo phương z của điểm M cách mặt trung hòa một khoảng z

u0: Dịch chuyển theo phương x của điểm A thuộc mặt trung hòa

v0 : Dịch chuyển theo phương y của điểm A thuộc mặt trung hòa

w0: Dịch chuyển theo phương z của điểm A thuộc mặt trung hòa

Ex, Ey: mô đun đàn hồi theo các phương x và y

yx

xy 

Gxy: mô đun cắt.

Dx : độ cứng uốn của tấm đối với trục x

Dy : độ cứng uốn của tấm đối với trục y

h: bề dày của tấm

ω : Tần số riêng của tấm

W(x, y) : hàm dạng mô tả ‘‘mode’’ dao động của tấm

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 2.1: Cách thiết lập hệ trục tọa độ………

Hình 2.2: Phân tố hình hộp chữ nhật chịu tác dụng của các lực

và mô men………

Hình 2.3: Tại mặt cắt y = const của tấm………

Hình 2.4: Mô tả sự biến dạng của tấm chịu tác động của tải trọng phân bố theo mô hình nền Winkler………

7

8

11

18

MỞ ĐẦU

Trong thực tế, tấm chữ nhật trực hướng thường gặp nhiều trong các ứng dụng kỹ thuật khác nhau của vật liệu composite như các kết cấu, công trình xây dựng, cơ khí và công nghiệp hàng không Dao động của tấm chữ nhật với các điều kiện biên thay đổi được nghiên cứu rộng rãi từ lâu Hầu hết các nghiên cứu

đó chỉ thích hợp với các điều kiện biên đặc biệt

Phương pháp được sử dụng nhiều nhất trong phân tích dao động tự do của tấm là phương pháp năng lượng Rayleigh – Ritz Gorman áp dụng phương pháp chồng chất để giải xấp xỉ bài toán dao động tự do của tấm với các điều kiện biên hình học thay đổi [9,10] Hurlebaus và các tác giả khác [8] mở rộng lời giải chuỗi Fourier với các điều kiện biên phức tạp hơn điều kiện biên tựa đơn giản Các phương pháp số khác như phương pháp phần tử hữu hạn [20] và phương pháp phần tử biên [21] được nhiều nhà nghiên cứu áp dụng để phân tích tấm trên nền đàn hồi Tuy nhiên, rất khó thu được lời giải chính xác thỏa mãn cả phương trình đạo hàm riêng và các điều kiện biên của tấm

Biến đồi tích phân là một trong các phương pháp tốt nhất thu được lời giải hiển của phương trình đạo hàm riêng trong đàn hồi [17] Phương pháp này thường sử dụng để phân tích một số bài toán kết cấu [18] Trong thiết kế mặt đường cứng cao tốc hoặc mặt đường bê tông xi măng là mô hình giống như tấm mỏng Kirchhoff với các biên tự do hoàn toàn Rất tiếc, dựa trên hiểu biết của tác giả, không có bài báo nào nói về cách áp dụng phép biến đổi tích phân hữu hạn

để phân tích tấm chữ nhật trực hướng trên nền đàn hồi

Luận văn này trình bày chi tiết cách thiết lập phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trực hướng và áp dụng phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép để xác định tần số dao động riêng của tấm mỏng trực hướng đặt trên nền đàn hồi theo mô hình nền Winkler Do chỉ áp dụng các biến đổi tích phân cơ bản vào phương trình chuyển động của tấm mỏng trên nền đàn hồi, nên lời giải trình bày trong luận văn này là hợp lý và đơn thuần lý thuyết

Mục đích của đề tài: Xác định tần số riêng của tấm mỏng chữ nhật trực hướng

với điều kiện biên tự do Áp dụng phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép để giải bài toán

Bố cục luận văn gồm ba chương:

Chương 1 Tổng quan Tổng hợp các phương pháp nghiên cứu dao động của tấm

nói chung và trình bày phương pháp được áp dụng trong luận văn

Chương 2 Thiết lập phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trên nền đàn hồi theo mô hình nền Winkler Dựa trên nguyên lý Đ’Alembert và các

phương trình cơ bản trong lý thuyết đàn hồi và các giả thiết cơ bản của lý thuyết tấm mỏng để thiết lập phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trực

hướng đặt trên nền đàn hồi theo mô hình nền Winker

Chương 3 Giải bài toán dao động của tấm mỏng trực hướng trên nền đàn hồi với biên hoàn toàn tự do Trình bày chi tiết cách thiết lập định thức để xác định

tần số dao động riêng của tấm trực hướng đặt trên nền đàn hồi dựa trên phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép Áp dụng phần mềm Matlab để giải định thức trên

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN

Trong các ngành kỹ thuật hiện đại, nhiều kết cấu và chi tiết là những tấm

dị hướng, tức là tấm làm bằng vật liệu có tính chất đàn hồi khác nhau theo các phương Trong số những vật liệu dị hướng, vật trực hướng có tầm quan trọng trong các ứng dụng thực tế Do vậy, dao động tấm mỏng chữ nhật trực hướng được rất nhiều tác giả quan tâm Tuy nhiên, rất khó thu được lời giải chính xác thỏa mãn cả phương trình đạo hàm riêng và các điều kiện biên của tấm

Xác định tần số riêng trong dao động tự do của tấm chữ nhật mỏng trực hướng biên hoàn toàn tự do không đặt tải bằng phương pháp biến đổi tích phân hữu hạn kép được đặt ra Phương pháp này không cần phải xác định hàm biến dạng mà chỉ cần sử dụng một số phép biến đổi toán học cơ bản áp dụng cho phương trình chuyển động của tấm trực hướng trong lý thuyết tấm kinh điển

1.1 Tổng quan các nghiên cứu về dao động tấm

Nghiên cứu tần số dao động của tấm đầu tiên phải kể đến Chaladni [22], người tiên phong trong lĩnh vực nghiên cứu thực nghiệm Sau đó Navier và Levy tìm được các lời giải giải tích đối với các điều kiện biên đặc biệt Tuy không tìm được nghiệm dạng đóng đối với trường hợp tấm chữ nhật với các điều kiện biên tự do, nhưng cũng đã đưa ra một số phương pháp giải xấp xỉ

Warburton [19] áp dụng các hàm dao động mô tả đặc tính của dầm theo phương pháp Rayleigh [16] để thu được biểu thức xấp xỉ đơn giản cho tần số dao động tự nhiên của tấm mỏng trực hướng Bài báo của ông được Hearmon [13] mở rộng và áp dụng cho tấm trực hướng đặc biệt, và Dickinson [6] nghiên cứu các bài toán tải trọng phẳng Tuy nhiên, số cạnh tự do càng nhiều thì càng làm giảm độ chính xác của tần số dao động

Kim và Dickinson [7] cải tiến biểu thức xấp xỉ, sử dụng phương pháp Rayleigh kết hợp với lý thuyết năng lượng thế năng cực tiểu Iguchi [23] giới thiệu lời giải tấm chữ nhật đẳng hướng Tuy nhiên, công việc chỉ dừng lại với tấm vuông Rajalingham và một số tác giả khác [4] rút gọn phương trình dao

động của tấm thành hệ phương trình vi phân thường Tuy nhiên, cũng chỉ đưa ra

các kết quả đối với các tham số mô tả đặc tính của tấm chữ nhật đẳng hướng bị

ngàm

Liew và Lam [14] phân tích dao động tấm chữ nhật tựa tại một điểm dựa

trên phương pháp Rayleigh – Ritz và tổ hợp các hàm tấm trực hướng Gram –

Schmidt Một phương pháp xấp xỉ được đề xuất, có thể áp dụng rộng rãi đối với

bài toán tấm tựa tại một điểm chịu sự phân bố tùy ý với sự kết hợp bất kỳ các

điều kiện biên cổ điển Bài báo của Lessa được Deobald và Gibson [5] mở rộng,

họ cũng áp dụng phương pháp Rayleigh - Ritz cho tấm trực hướng Gorman

[11,12] giải phương trình vi phân đối với tấm đẳng hướng cũng như tấm trực

hướng bằng phương pháp siêu vị trí

Gần đây, Wang và Lin [15] đưa ra phương pháp tổng quát hóa xét dao

động của tấm trực hướng Ông đưa ra nghiệm dạng chuỗi Sự hội tụ của nghiệm

được đảm bảo và chính xác đến từng điểm Tần số riêng được kiểm nghiệm

bằng phương pháp khác và chỉ ra rằng phương pháp này là đơn giản và hiệu quả

Chính vì những ưu điểm của cách tiếp cận này mà luận văn đã chọn

phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép vào bài toán mở rộng hơn, đó

là bài toán xác định tần số riêng của tấm trực hướng trên nền đàn hồi

Thiết lập phương trình chuyển động của tấm chữ nhật trực hướng trên nền

đàn hồi, sau đó áp dụng phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép để

xây dựng định thức xác định tần số riêng của tấm Tiếp theo, sử dụng phần mềm

Matlab để tính toán trên định thức đã được thiết lập

1.2 Phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép

Nếu f (x,y) là hàm của hai tham biến độc lập x và y, với

0 < x < a, 0 < y < b, thì biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép được định nghĩa

) , ( )

, (

cos cos

) , ( 4

cos ) , 0 ( 2

cos ) 0 , (

2 ) 0 , 0 (

1 )

, (

m n

n m

n m f ab

y n

f ab

x m

f ab

f ab y

x f

2.1 Các giả thiết cơ bản của lý thuyết tấm mỏng

Để thiết lập phương trình dao động uốn của tấm, ta thừa nhận các giả thiết của lý thuyết tấm mỏng của G R Kirchoff (1824 - 1887) [3] như sau:

1- Biến dạng uốn của tấm khi dao động là những biến dạng nhỏ tuân theo định luật Hooke

2- Trong tấm luôn luôn tồn tại một lớp trung hòa mà khoảng cách giữa các điểm của nó không thay đổi Khi tấm bị uốn ít, lớp trung hòa trùng với mặt cong trung bình chia đôi bề dày của tấm Ta gọi mặt này là mặt trung hòa

3- Các phần tử của tấm nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt trung hòa, khi tấm bị uốn vẫn nằm trên đường thẳng đó và đường thẳng đó vẫn vuông góc với mặt trung hòa

4- Không xét đến các ứng suất vuông góc với mặt trung hòa

5- Bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng trượt và quán tính quay

2.2 Thiết lập phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trực hướng

Xét dao động uốn của tấm mỏng trực hướng có bề dày h nhỏ so với các

với mặt đáy và chia đôi bề dày h của tấm được gọi là mặt giữa hay mặt trung hòa Ta chọn hệ trục tọa độ như trên hình 2.1 với trục ox, oy nằm trong mặt giữa, trục oz vuông góc với mặt giữa và hướng về phía dưới

Hình 2.1: Cách thiết lập hệ trục tọa độ

Ta tưởng tượng tách ra từ tấm một phân tố hình hộp chữ nhật có các cạnh

dx, dy, h Khi đó phân tố chịu tác dụng của các lực và mô men như hình vẽ 2.2:

Hình 2.2: Phân tố hình hộp chữ nhật chịu tác dụng của các lực và mô men

w(x,y,t): Dịch chuyển của các điểm thuộc mặt trung hòa theo hướng z

Áp dụng nguyên lý Đ’Alembert, viết các phương trình cân bằng tĩnh – động cho các lực tác dụng lên phân tố hình hộp chữ nhật ở trên Cụ thể:

Tổng hình chiếu các lực theo phương trục z là:

Qxdy – (Qx + Qx,xdx )dy + Qydx – (Qy + Qy,ydy )dx - (q - hw )dxdy = 0

Rút gọn phương trình trên ta được:

Mxdy Qxdy

(Qy+Qy,ydy)dx

dy

dx

w h y y Q x

x Q

Mx,xdxdy - Myx,ydxdy – Qx dy.dx - Qx,x dx dy - Q2 y,y  

x M

(2.2) Tương tự, phương trình mô men theo đường thẳng phía trong nằm trên mặt giữa

và song song với trục 0x là:

Mydx - (My+My,ydy)dx + Mxydy - (Mxy+Mxy,xdx)dy + (Qy+Qy,ydy)dx dy -

- My,ydxdy - Mxy,xdxdy + Qy dxdy + Qy,y dy dx + Qx,x2  

M x Q

y M y Q

02

w h x

xy M y

y M y y

yx M x

x M

khai triển các số hạng trong phương trình trên, ta được :

02

22

2

22

w h y

x xy M y

y M y

x yx M x

02

22

2

22

w h y

x xy M y

y M y

x xy M x

x M

22

22

w h y

x xy M y

y M x

x M

 (2.8) Bây giờ, ta biểu diễn mối quan hệ giữa Mx, My, Mxy qua độ võng w của mặt trung hòa Cần lưu ý rằng, theo [1] :







2 / 2 /

h

h

zdz xx x





2 / 2 /

h h

zdz yy y





2 / 2 /

h h

zdz xy xy

Xét điểm M(x, y, z) thuộc pháp tuyến của mặt trung hòa của tấm và cách mặt trung hòa một khoảng là z Ta ký hiệu u, v, w là các thành phần dịch chuyển của điểm M theo các trục x, y, z, tương ứng Ký hiệu u0, v0, w0 là các thành phần

dịch chuyển tương ứng của điểm A thuộc mặt trung hòa mà MA vuông góc với mặt trung hòa Từ các giả thiết trên, ta có :

u0 = v0 = 0, w0 = w(x,y,t) Muốn tìm mối quan hệ giữa chuyển vị u và độ võng w(x,y,t), ta cắt tấm bằng mặt phẳng song song với mặt phẳng 0xz, hình 2.3 Xét điểm M cách điểm

A một đoạn z Sau khi biến dạng thì pháp tuyến của mặt trung hòa vẫn thẳng và chỉ xoay đi một góc α quanh trục đi qua điểm này, bề dày của tấm không thay đổi và mặt giữa không biến dạng vì không có lực căng, cho nên tất cả các điểm trên mặt giữa chỉ có chuyển vị thẳng đứng Do vậy chuyển vị của điểm M theo phương x sẽ là:

u xy

y

v yy x

u xx

2

1,

Thế các công thức (2.10) và (2.11) vào phương trình (2.12), ta được:

y x

w z xy y

w z yy x

w z xx

2

2,

xx x E

xy yy y E yy

yy y E

yx xx

x E xx

kéo theo phương x, y tương ứng

Gxy: mô đun cắt hay còn gọi là mô đun đàn hồi loại 2 của tấm, đặc trưng cho sự thay đổi độ lớn của góc giữa các phương x và y

Để đơn giản, ta ký hiệu như sau:

xy G G yx

y xy



với ký hiệu trên, phương trình (2.14) được viết lại:

xy G xy

xx x E

x yy y E yy

yy y E

y xx x E xx

x y E

xx y yy y E yy

yy x xx x E xx

y x

xx x E y yy y E yy

y x

yy y E x xx x E xx

y x

w Gz xy

y

w x y

w y x

y zE

x

w x

E y y

w y E y x

z yy

y

w y x

w y x

x zE y

w y

E x x

w x E y x

z xx

2

22

21

2

22

21

2

22

21

2

22

21

y x

w Gh

dz z y x

w G

xy

M

x

w x y

w

y x

h y

E dz

z x

w x y

w y x

y E

y

M

y

w y x

w

y x

h x

E dz

z y

w y x

w y x

h h

h h

322

22

2

22

21

12

32

2

22

21

2

22

21

12

32

2

22

21

2 / 2 /

2 / 2 /

2 / 2 /

3 : được gọi là độ cứng uốn của tấm đối với trục x

 x y

h y E y

3 : được gọi là độ cứng uốn của tấm đối với trục y

12

3

Gh xy

Khi đó phương trình trên được viết lại:

y x

w xy D xy

M

x

w x y

w y D y M

y

w y x

w x D x M

2

22

2

2

22

22

24

2

22

22

22

22

22

w h y x

w y x xy D

x

w x y

w y

y

D y

w y x

w x

w h y

x

w xy

D

y x

w y

D x y

w y

D y x

w x

D y x

2

44

22

44

42

2

44

q t

w h y

w y

D y

x

w xy

D D x

w x

42

2

4)21(24

w y

D y

x

w H

x

w x

42

2

42

4

4

 (2.25) phương trình (2.25) được gọi là phương trình dao động uốn của tấm mỏng trực hướng theo lý thuyết Kirchhoff

Nếu q = 0, phương trình dao động uốn tự do của tấm mỏng trực hướng có dạng:

02

24

42

2

42

w y

D y

x

w H

x

w x

w y

x

w x

4 2

2

4 2 4

4 44 2 24 2 44

y y x

Nếu q = 0, khi đó dao động uốn tự do của tấm mỏng đẳng hướng có dạng:

2.4 Phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trên nền đàn hồi theo mô hình nền Winkler

2.4.1 Ứng xử của nền đàn hồi

Ứng dụng thành công các nguyên lý kỹ thuật công trình vào thiết kế các

mô hình kết cấu, trên cơ sở đó tiến hành phân tích chính xác và thiết kế “đúng” với mô hình thực là một vấn đề rất khó khăn Trong phân tích nền, sự tương tác giữa nền đàn hồi và kết cấu rất phức tạp do đó để đạt đến mô hình thực càng khó hơn Mô hình cấu trúc chung thường là tấm bê tông đặt trực tiếp trên nền đàn hồi (nền đất)

Tải trọng của kết cấu được truyền trực tiếp tới môi trường nền, giữa nền

và kết cấu có sự tác động qua lại lẫn nhau hướng theo tải trọng đỡ và chống Các tính chất tự nhiên của nền rất phức tạp, không thuần nhất và không đẳng hướng nên khi mô hình hóa được coi như phi tuyến, còn các kết cấu thép và bê tông có thể được mô hình hóa và phân tích như tuyến tính, đẳng hướng hoặc dị hướng

Như đã đề cập ở trên, tính chất của nền đất rất khó xác định, nó là vật liệu

“mềm”, nên khó thu được các mẫu thực nghiệm khi làm thí nghiệm có kết quả giống với ứng xử thực “ trong đất” Mặt khác, loại nền đất ảnh hưởng đến khả năng thu được các mẫu đặc trưng (ví dụ, đất sét cứng khó lấy mẫu hơn đất sét mềm) Ứng xử của các mẫu trong phòng thí nghiệm khác xa so với sự phức tạp của bài toán thực tế Tính chất vật liệu nền và môi trường nền là hai nhân tố phức tạp của bài toán, tính chất vật liệu nền phụ thuộc vào ứng suất, và môi trường nền trong thực tế phụ thuộc vào các lớp vật liệu có tính chất và cấu thành khác nhau Do các nhân tố này, cấu thành và các tính chất thực sự của nền chưa được xác định và vẫn còn là một ẩn số Như vậy, ta cần đưa ra các giả thuyết đơn giản hơn để phân tích sự tương tác giữa nền đất và kết cấu

2.4.2 Mô hình nền Winkler

Xét một tấm mỏng đặt trên nền đàn đàn hồi, dưới tác dụng của tải trọng q tấm bị uốn, đè lên nền một áp lực nào đó; ngược lại, trong quá trình biến dạng của tấm, nền cũng tác dụng lên tấm một phản lực p(x,y,t) ngược chiều với chuyển động của tấm Phản lực này phụ thuộc vào độ võng w của tấm và do đó

1) Giữa tấm và nền coi như tiếp xúc không có ma sát

2) Tấm và nền tiếp xúc hoàn toàn với nhau tại mọi điểm, do đó độ võng của tấm cũng chính là độ lún của nền dưới tác dụng của tải trọng Winkler đưa ra mô hình đơn giản nhất và được sử dụng rộng rãi trong tính toán dầm, tấm trên nền đàn hồi Theo mô hình này, độ lún của một điểm bất kỳ trong nền tỷ lệ với áp lực p mà điểm đó thu nhận Theo mô hình này, phản lực p(x,y,t) được xác định như sau:

p(x,y,t) = kw(x,y,t) (2.33) trong đó k là hệ số phản lực nền hay còn gọi là hệ số nền

Mô hình Winkler được giả thiết không tồn tại sự tác động qua lại giữa các điểm kề sát nhau trong môi trường nền và được coi như các lò xo đàn hồi tuyến tính, hình 2.4, với độ cứng “k”, đặt tại các điểm riêng biệt rời rạc dưới tấm Mô hình này còn được gọi là “ mô hình một tham số”

2.4.3 Phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trên nền đàn hồi theo mô hình nền Winkler

Trường hợp tấm mỏng trực hướng : khi đó phương trình dao động uốn

của tấm trên nền đàn hồi theo mô hình nền Winkler có dạng:

p q t

w h y

w y

D y

x

w H

x

w x

42

2

42

w h kw y

w y

D y

x

w H

x

w x

42

2

42

42

2

42

w y

D y

x

w H

x

w x

Trường hợp tấm mỏng đẳng hướng: phương trình vi phân dao động uốn

của tấm mỏng trên nền đàn hồi theo mô hình nền Winkler có dạng:

t

w h kw y

w y

x

w x

422

424

422

424

w y

x

w x

w

Kết luận chương 2

Trong chương này trình bày lại các giả thiết cơ bản của lý thuyết tấm mỏng Trên cơ sở đó, đưa ra cách thiết lập chi tiết phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trực hướng Tính phức tạp của ứng xử nền đất thực và

sự khó khăn của các nhà nghiên cứu khi mô tả sự tương quan giữa mô hình nền trong các bài toán với mô hình nền thực Mô tả chi tiết mô hình nền Winker áp dụng cho tấm chữ nhật trực hướng và đẳng hướng

CHƯƠNG 3 GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CỦA TẤM MỎNG TRỰC HƯỚNG TRÊN NỀN ĐÀN HỒI VỚI BIÊN HOÀN TOÀN TỰ DO

3.1 Bài toán

Xét tấm mỏng chữ nhật trực hướng không đặt tải được đặt trực tiếp trên nền đàn hồi, khi đó phương trình chuyển động của tấm theo mô hình nền Winkler có dạng:

02

24

42

2

42

w y

D y

x

w H

22

w x D x x

02

212

w x D x

w xy D xy

02

22

w y D y y

02

212

w y D y

w xy D xy

Trong các phương trình trên ta sử dụng ký hiệu:

(12

3

y x

h x

E x

(12

3

y x

h y E y

G là mô đun cắt hay còn gọi là mô đun đàn hồi loại 2 của tấm

Ex, Ey là mô đun Young theo các hướng x và y tương ứng

3.2 Giải bài toán

Giả sử dao động điều hòa của tấm có dạng:

w(x, y, t) = W(x, y) sinωt (3.8) trong đó W(x, y) là hàm dạng mô tả ‘‘mode’’ dao động của tấm và phụ thuộc vào hai biến x, y với 0 < x < a, 0 < y < b, và ω là tần số góc riêng của tấm Nghiệm riêng (3.8) thỏa mãn phương trình chuyển động (3.1) và các điều kiện biên từ (3.2) đến (3.7)

Từ (3.8) suy ra :

t W

t

w t

y x

W y

x

w

t y

W y

w t

x

W x

2

;sin

22

42

2

4

sin4

44

4

;sin

4

44

2

42

W y

D y x

W H

2

42

W y

D y x

W H

1

cos cos

) , (

4 cos

) , 0 ( 2

cos ) 0 , (

2 ) 0 , 0 (

1 )

,

(

m n

n m

n m W ab

y n

W ab

x m

W ab

W ab y

x W n

m W

0 0

cos cos

) , ( )

,

b

n n a

0 cos

cos cos

cos

cos cos

2 cos

cos

0 0

0 0 4 4

0 0

2 2 4

a b

n m

y

a b

n m

a b

n m

x

ydxdy x

W ydxdy

x y

W D

ydxdy x

y x

W H

ydxdy x

x x

W

sh

0 0 4 4

0 0

4

4

cos cos

cos cos

a m m

m m

m m

m

a m m

a m m

m m

m

a

m m

a m m

a m m

m

a m m

a m m

m

a

m m

a m m

a m

a m m

a m

a

m m

a m a

m a

m

xdx W

x W

x x

W x

x

W x

x W

xdW x

x

W x

x

W x

x W

xdx x

W x

x

W x

x

W x

x W

x

W xd x

x

W x

x W

xdx x

W x

x

W x

x W

x

W xd x

x W

xdx x

W x

x

W x

W xd xdx

x

W

0 4 0

3 2

2 2 3

3

0 3 0

2 2

2 3

3

0 0 2

0 2

2 3

3

0 2 0 2

2 3

3

0 2 2 0

2 2 0

3 3

0

2 2 0

3 3

0 3 3 0

3 3 0

3 3 0

4

4

cos sin

cos sin

cos

sin cos

sin cos

sin cos

sin cos

cos sin

cos

cos sin

cos

sin cos

sin cos

cos cos

x a

x

m m x a

x m

a

m m

x m a

x

m m m

xdx W

x

W x

W x

W x

W

xdx W

x

W x

W x

W x

W

0 4

0 2

0 3 3

3 3

0 4

0

2 3

3 2

3 3

cos )

1 ( )

1 (

cos )

1 ( )

1 (