giáo án toán học hệ thức vi ét và ứng dụng của hệ thức vi ét

Ta cũng thấy để giải được các bài toán có liên qua đến hệ thức Vi - et học sinh cần tích hợp nhiều kiến thức về đại số , thông qua đó học sinh có cách nhìn tổng quát hơn về hai nghiệm củ

Ta cũng thấy để giải được các bài toán có liên qua đến hệ thức Vi - et học sinh cần tích hợp nhiều kiến thức về đại số , thông qua đó học sinh có cách nhìn tổng quát hơn về hai nghiệm của phương trình bậc hai với các hệ số.

Vậy nên nhóm toán chúng tôi xây dựng chuyên đề này ngoài mục đích giúp học sinh nâng cao kiến thức còn giúp các em làm quen với một số dạng toán có trong đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông

Nội dung chính của chuyên đề gồm :

I Ứng dụng 1

II Ứng dụng 2 III Ứng dụng 3

IV Ứng dụng 4

V Ứng dụng 5

VI Ứng dụng 6 VII Ứng dụng 7 VIII Ứng dụng 8

Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn Lập phương trình bậc hai

Tìm hai số biết tổng và tích của chúng Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình

Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số

Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm

Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

B NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ : ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN

Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a  0) (*)

Suy ra:

Vậy đặt : - Tổng nghiệm là S : S =

- Tích nghiệm là P : P = Như vậy ta thấy giữa hai nghiệm của phương trình (*) có liên quan chặt chẽ với

các hệ số a,b,c Đây chính là nội dung của Định lí Vi-et, sau đây ta tìm hiểu một số

ứng dụng của định lí này trong giải toán

I NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :

2 Cho phương trình, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm nghiệm còn

lại và chỉ ra hệ số của phương trình :

c) Cho phương trình : x2 7x q 0, biết hiệu 2 nghiệm bằng 11 Tìm q và hai

nghiệm của phương trình

d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2qx50 0 , biết phương trình có 2nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia

Bài giải:

a) Thay vào phương trình ban đầu ta được :

T ừ suy ra b) Thay v à phương trình ban đầu ta được:

3 Cho phương trình: x2 –x - 2m +5 = 0 Biết hiệu hai nghiệm bằng 1 Tìm m và tìm 2 nghiệm của phương trình

4 Tìm nghiệm của phương trình:

II LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1 Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm

Ví dụ1:

Cho ; lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên

Theo hệ thức Vi-et ta có vậy là nghiệm của phương trình có

2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm

của một phương trình cho trước:

V

í dụ: Cho phương trình : x23x 2 0 có 2 nghiệm phân biệt x x1; 2 Không giải

phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : 1 2

+ Tính trực tiếp bằng cách: Tìm nghiệm của phương trình đã cho rồi

thay vào biểu thức tính

nghiệm là

Ta có

+ Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm (dạng 2.1)

Phương trình cần lập có dạng: hay ( hoặc

Việc tính , S, P cũng phức tạp và mất nhiều thời gian

- Cách 1 chỉ thích hợp khi phương trình ban đầu có nghiệm là hữu tỉ do đó

nên chọn Cách 2 để việc tính toán đơn giản và nhanh hơn, cụ thể:

Theo Định lí Vi-et, ta có:

Phương trỡnh cần lập: hay (hay )

Ví dụ 3: Tìm các hệ số p và q của phơng trình: x2 + px + q = 0

sao cho hai nghiệm x1; x2 của phơng trình thoả mãn hệ:

Giải: Điều kiện  = p2 - 4q  0 (*) ta có:

x1 + x2 = -p; x1.x2 = q Từ điều kiện:



Giải hệ này tìm đợc: p = 1; q = - 6 và p = - 1; q = - 6Cả hai cặp giá trị này đều thoả mãn (*)

Bài tập ỏp dụng:

1/ Cho phương trỡnh 3x25x 6 0 cú 2 nghiệm phõn biệt x x1; 2 Khụng giải

phương trỡnh, Hóy lập phương trỡnh bậc hai cú cỏc nghiệm 1 1

phương trỡnh bậc hai cú cỏc nghiệm y y1; 2 sao cho :

a) y1   x1 3 và y2  x2 3 b) y1 2 x1 1 và

2 2 2 1

y  x Đỏp số : a) y24y 3 m2 0 b)

2 2 (4 2 3) 0

y  y m   4/: Lập phương trỡnh bậc hai cú cỏc nghiệm bằng nghịch đảo cỏc nghiệm của phương

trỡnh = 0

5/ Cho phương trình có hai nghiệm Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm

6/Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn

Hướng dẫn: - Giải hệ phương trình tìm

- Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm tìm được

III TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :

(điều kiện để có hai số đó là S2 4P  0 )

Giải: Hai số a và b là nghiệm của phương trình

Phương trình vô nghiệm nên không tồn tại hai số a và b thỏa mãn đề bài

* Lưu ý: Với trường hợp này ta cũng có thể nhận xét ngay

nên không tồn tại hai số a và b thỏa mãn yêu cầu đềbài mà chưa cần lập phương trình

Nếu a = 5 thì b = 42) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b

T ừ: a2 + b2 = 61

*) Nếu và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình:

Vậy nếu a = thì b = ; nếu a = thì b =

*) Nếu và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :

Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5

IV TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM

Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ

thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức

1 Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( ) và

Ví dụ 1 a)

b) c)

2 Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm

a) Cho phương trình : x28x15 0 Không giải phương trình, hãy tính

 

 

  ; c2 = 138 ; d1 = 3 ; d2 = 1; d3 = 1 ; d4=

Nhận xét: Với dạng bài này ta không cần giải phương trình để tìm các nghiệm

V TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI

THAM SỐ

Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a

 0 và   0)

- Áp dụng hệ thức Vi-et viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số

- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 Từ đó đưa ra hệ thức liên

hệ giữa các nghiệm x1 và x2.

Ví dụ 1 : Cho phương trình : m1 x22mx m  4 0 có 2 nghiệm x x1; 2 Lập hệ

thức liên hệ giữa x x1; 2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :

Vậy A = 0 với mọi và Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m

Ví dụ 2: Gọi x x1; 2 là nghiệm của phương trình : m1x22mx m  4 0 Chứngminh rằng biểu thức A  3  x x1 2  2 x x1 2 8 không phụ thuộc giá trị của m.

Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 thì :

Theo hệ thức Vi- et ta c ó :

thay vào A ta có:

Ví dụ 3: Cho Phương trình ( m là tham số)a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa không phụ thuộc vào mGiải:

a) Để phương trình có hai nghiệm thì

b) Theo định lí Vi-et ta có:

Từ (3) và (4) ta được: hay

Nhận xét:

- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm

- Sau đó dựa vào hệ thức Vi-et rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệmsau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào

tham số

Bài tập áp dụng:

1 Cho phương trình : x2   m  2  x   2 m   1  0 có 2 nghiệm x x1; 2 Hãy lập hệ

thức liên hệ giữa x x1; 2 sao cho x x1; 2 độc lập đối với m.

Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m.

đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2

Theo hệ thức Vi- et ta có

Từ (1) và (2) ta có:

3.Cho phương trình : 2x2 + (2m -1 )x +m -1 =0 Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x x1; 2 không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn: Khi m 1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 Theo hệ thức Vi- et ta có

Từ (1) ta có: m=

Do đó :

4 Cho phương trình: (m- 1).x2 -2mx +m+1 = 0Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x x1; 2 không phụ thuộc vào m.

Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2

Ví dụ 1: Cho phương trình : mx26m1 x9m 3 0

Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :

1 2 1. 2

x  x  x x

Bàigiải:Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 là

Theo h ệ th ức Vi- et ta c ó: v à từ giả thiết: Suy ra:

(t/mãnđiều kiện xác định )

Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :

1 2 1. 2

x  x  x x

Ví dụ 2: Cho phương trình Tìm giá trị của tham số m để

phương trình có hai nghiệm thỏa mãn

Nhận xét:

Ví dụ này khác ví dụ 11 ở chỗ hệ thức không chứa sẵn và nên ta không thể áp dụng ngay hệ thức Vi –et để tìm tham số m

Vấn đề đặt ra là ta phải biến đổi biểu thức đã cho về biểu thức chứa và

rồi tìm m như ví dụ trên

Giải: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là:

Theo định lí Vi-et ta có: (1)

Ví dụ 3: Cho phương trình : x22m1 x m 2 2 0.

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x x1 25x1x2  7 0

Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm là :

Theo hệ thức Vi-et ta có: và từ giả thiết 3x x1 25x1x2 7 0 Suy ra

Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :

3x x 5 x x  7 0

Ví dụ 4: Cho phương trình

a)Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1; x2 với mọi m

b)Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện:

Giải:

a) = m2 – 4m + 6 = (m – 2)2 + 2 > 0, m pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) Phương trình có hai nghiệm x1; x2 nên:

Theo định lí Vi-et ta có :

Theo bài ra ta có :

Bài tập áp dụng

1 Cho phương trình : x2 m1 x5m 6 0

Xác định tham số m để phươg trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

6 Định m để phương trình x2 –(m-1)x + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 là

độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạng huyền bằng 5

+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm và tích nghiệm

nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức Vi-et để tìm tham số m.

+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó

vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa

tổng nghiệm và tích nghiệm rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã

trình bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2

BT1: - ĐK:

(Do x1 khác x2)

(Vì S = 1)(vô nghiệm)

Do đó yêu cầu bài toán

Theo Vi- ét ta có S= x1 + x2 =m+1; P = x1.x2 = m – 5

Theo giả thiết: x1

- x2 = 4 và x13

–x2 = 32 nên ta biến đổi:

Để (x1 + m)(x2 + m) = 3m2 + 12 khi và chỉ khi x1x2 + (x1 + x2) m - 2 m2 – 12 = 0, khi

và chỉ khi : 4m + m.2(m + 1) – 2m2 – 12 = 0 khi và chỉ khi 6m = 12 khi và chỉ khi m=

2

BT8 HD: Tìm m để thỏa mãn

Theo định lí Viet Bình phương ta được

(2)

.Thử lại thấy thỏa mãn pt (2) và điều kiện (1)

BT9 Đ/a: Vậy m = thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 :

VII XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Cho phương trình: ax2  bx c   0 (a  0) Hãy tìm điều kiện để phương

trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm ….

Ví dụ 1: Xác định tham số m sao cho phương trình:

có 2 nghiệm trái dấu

Giải

Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì

Vậy với thì phương trình có 2 nghi ệm trái dấu

Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x +6m +1 =0 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm lớn hơn 2

GiảiĐặt x = t+2 ( t>0) Khi đó phương trình đã cho trở thành: t2 – 2mt +2m- 3=0 (*)Phương trình dã cho có 2 nghiệm lớn hơn 2 khi phương trình (*) có 2 nghiệm cùng dương

Vậy với thì phương trình đã cho có 2 nghiệm lớn hơn 2

a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m

b) Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm đó

c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thõa

Suy ra: hay

Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn

Ta biến đổi B như sau:

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều

kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

cba

0a

Tìm GTNN của a (Xác định b, c khi a min)

Giải: Từ giả thiết bài toán ta có:

b

abc

3 2

Theo Viet: b, c là nghiệm của phương trình bậc 2: x2 - (a3 - a)x + a2 = 0

  = (a3 - a)2 - 4a2  0  a2 [(a2 - 1)2 - 4]  0

 (a2 - 3) (a2 + 1)  0  a2 - 3  0  a2  3

 a  3 (a > 0)  min a = 3 tại b = c = 3

Vậy: amin = 3 tại b = c = 3

Ở bài toán trên do vai trò của a, b, c như nhau nên có thể yêu cầu tìm min của1 trong

Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn

Ta biến đổi B như sau:

Vì

Với cách thêm bớt khác ta lại có:

Vì

Vậy

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều

kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

Tìm m để đạt giá trị nhỏ nhấtBài 3: ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT 2004 – 2005 )

a) Giải phương trình (1) khi m = 1b) Gọi là nghiệm của phương trình (1).Tìm giá trị lớn nhất của Bài 4: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2008 – 2009)

a) Giải phương trình (1) khi m = 2b) Chứng minh (1) luôn có nghiệm với mọi mc) Gọi là hai nghiệm của (1), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 5: Cho phương trình Tìm m để hai nghiệm

thỏa mãn Bài 6: Cho phương trình , với m là tham số.

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức

Q = có giá trị lớn nhất

HD: với mọi m Vậy pt có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

= 36 (Do 8) Ta có Q = 36 khi và chỉ khi

Khi thì m = 4, khi x1 = -2 thì m = 0 Do đó ta có giá trị lớn nhất của Q =

36 khi và chỉ khi m = 0 hay m = 4

Người viết:

Nguyễn Tiến Đức