de cuong on tap hoc ki 2 toan lop 7

Hình học: - Nêu định nghĩa, tính chất, các cách nhận biết tam giác cân, đều, vuông, vuông cân?. + Quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác.. + Tính chất tia phân giác của một gó

Trang 1

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KIỂM TRA HỌC KỲ II

MÔN: TOÁN 7

A LÝ THUYẾT:

1 Đại số: Trả lời các câu hỏi 1, 2 SGK trang 22 Câu 1, 2, 3, 4 SGK trang 49

2 Hình học:

- Nêu định nghĩa, tính chất, các cách nhận biết tam giác cân, đều, vuông, vuông cân?

- Nêu các trường hợp bằng nhau của hai tam giác, trường hợp bằng nhau đặc biệt của 2 tam giác vuông

- Phát biểu, vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận của các định lí

+ Quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác

+ Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

+ Quan hệ giữa 3 cạnh trong tam giác

+ Tính chất tia phân giác của một góc, đường trung trực của đoạn thẳng

+ Tính chất đường trung tuyến, 3 đường phân giác, 3 đường trung trực, 3 đường cao trong tam giác

B BÀI TẬP THAM KHẢO:

Bài 1 Thu gọn các đơn thức sau rồi chỉ ra bậc của đơn thức:

5 ( 2x  xy ).3xyz

b) 2 3 2 3 2 3

( 2  x yz ) (3x y z)

c)

3

2 2 3 2

(4 )

4

xy x  x yz

d)

.

25x 3x y 2y

e)

2x y 5x y 3xy

f) 3 1 2 2  2

2

abx  xy  ay

  ( ,a blà hằng số)

Bài 2 Cho các đa thức: 2 2 2 2

A x y  x x y xy yx  x

 2 2

B xy  x y xy x  xy

C x  x xy y y x  x x xy

a) Thu gọn và tìm bậc của A B C, ,

b) Tính A B C A;  B C; 2A B C.

c) Tính giá trị biểu thức C với x 2,y  2.

Trang 2

Bài 3 Tìm đa thức A biết:

a)  2 2 3 2 2 2 3

A xy  x yy  x y  x y y

A xy y x  xy y

25x y 13xy x  A 11x y 2 x

d)  2 2 2 3 3

3x y xy  2x y A.

Bài 4 Cho 2 đa thức:   5 2 5 2

P x   x  x  x  x  x

Q x   x  x  x x  x  x

a) Thu gọn mỗi đa thức trên rồi sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến

b) Tính P x Q x P x   ; Q x .

c) Chứng tỏ x  2 là nghiệm của P x  nhưng không phải là nghiệm của Q x 

Bài 5 Cho 2 đa thức:   3  3 

A x x x  x  x x

và    2   4 3 

B x  x  x  x  x  x

a) Thu gọn rồi sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến

b) Tính A x B x   ;A x B x .

c) Tìm nghiệm của C x  A x B x .

d) Chứng tỏ đa thức H x A x  5x vô nghiệm

Bài 6 Cho hai đa thức:    2   

A x  x   x  x x 

B x  x  x  x  x

a) Thu gọn A x B x   , Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm của biến Tìm hệ số cao nhất, hệ số tự do của 2 đa thức đó

b) Tìm N x  sao cho N x B x A x .

và M x  sao cho A x M x B x .

c) Chứng minh: x 2 là một nghiệm của N x  Tìm một nghiệm nữa của N x 

d) Tính nghiệm của A x  tại 2.

3

x

Bài 7 Tìm nghiệm của các đa thức

a) A x    4x 5

b) B x   3 2x  1 2 x 1

c)    2  2 

C x  x   x

g)   1 1

3

i)    2 2

Trang 3

d)   3

3

D x  xx

e)   3

E x  x  x

f)   3 2

1

G x x x  x

j)   2

N x  x  x k)   2

P x  x  x l)   2

Q x  x  x

Bài 8* (Dành cho HS giỏi)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức đại số:

2

B x  y 

b) Tìm giá trị lớn nhất các biểu thức:

2

D x





c) Tìm các giá trị nguyên của biến x để:

6

A

x



 có giá trị lớn nhất 2)

8 3

x B

x





 có giá trị nhỏ nhất

Bài 9* (Dành cho HS giỏi) Tính giá trị các biểu thức sau:

a) 2 5 4

A

  biết

3 4

a

b 

b) Bxyyzxz biết xyz 2 và x  y z 0

c)   17 16 15 14

2015 2015 2015 2015 1

f x x  x  x  x   x Tính f 2014

Bài 10 Cho tam giác ABC có AB 3cm AC,  4cm BC,  5cm.

a) Tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao?

b) Kẻ AH vuông góc vớiBC H BC Gọi AD là phân giácBAH D BC Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, trên đó lấy E sao cho AEBD(E và C cùng phía đối với AB) CMR: ABDE

c) CMR: ADC cân

d) Gọi M là trung điểm AD, I là giao điểm của AH và DE CMR: C I M, , thẳng hàng

Bài 11 Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác BD, kẻ DE vuông góc với BC tại E

Trên tia đối của tia AB lấy F sao cho AF = CE CMR:

a) ABD EBD

b) BD là đường trung trực của AE

c) AD < DC

d) E, D, F thẳng hàng và BDCF.

e) 2ADAFCF.

Trang 4

Bài 12 Cho ABC có A  90 vàACAB KẻAH BC Trên tia HC lấy điểm D sao cho

HDHB Kẻ CEAD kéo dài (E thuộc tiaAD) Chứng minh:

a) ABDcân

b) DAHACB

c) CBlà tia phân giác của ACE

d) Kẻ DI AC I AC, chứng minh 3 đường thẳng AH ID CE, , đồng quy

e) So sánh ACvà CD

f) Tìm điều kiện của ABCđể I là trung điểm AC

Bài 13 Cho ABC cân tạiA A   90  Trên cạnh BC lấy 2 điểm D E, sao choBDDEEC

Kẻ BH AD CK, AE H AD K, AE,BH cắt CKtại G

Chứng minh rằng:

a) ADEcân

b) BH CK.

c) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh A M G, , thẳng hàng

d) ACAD.

e) DAEDAB.

Bài 14 Cho ABC đều Tia phân giác góc B cắt AC tại M Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt BM BC, tại N E, Chứng minh:

a) ANC cân

b) NCBC.

c) Xác định dạng của tam giác BNE

d) NC là trung trực của BE.

e) Cho AB 10cm Tính diện tích BNE và chu vi ABE.

Bài 15 Cho ABC có A  90 ABAC, đường cao AH AD, là phân giác của AHC.Kẻ

.

DEAC

a) Chứng minh: DH DE.

b) Gọi K là giao điểm của DE và AH Chứng minh AKC cân

c) Chứng minh KHE CEH.

d) Cho BH  8cm CH,  32cm.TínhAC

e) Giả sử ABC có C 30 ,  AD cắt CKtạiP Chứng minh HEP đều

Bài 16 Cho ABC có A  60 Các tia phân giác của góc B và C cắt nhau ở I , cắt cạnh ,

AC AB ở D và E Tia phân giác góc BIC cắt BC ở F.

a) Tính góc BIC

Trang 5

b) Chứng minh: IDIEIF.

c) Chứng minh: DEFđều

d) Chứng minh: I là giao điểm các đường phân giác của hai tam giác ABC và DEF

Hướng dẫn giải:

Bài 1

5 ( 2x  xy ).3xyz   30x y z ; Bậc 9

b) 2 3 2 3 2 3 13 8

( 2  x yz ) (3x y z)  12x y ; Bậc 30

c)

3

2 2 3 2 27 10 7 3

xy x  x yz  x y z

d)

25x 3x y 2y 36x y



e)

2x y 5x y 3xy 6x y

f) 3 1 2 2  2 3 5 6

2

abx  xy  ay a b x y

Bài 2

a) Thu gọn và tìm bậc:

2 2 2

A x y x y xy x Bậc 4

2 2 2

B x y  x yxy x Bậc 4

2 2

C x y  xy x Bậc 4

b) Tính:

2

A B C    x y x

2 2 2

A   B C x y  x y xy x

2 2 2

2A B C  x y  4x y 6xy 3x 16

c) Tính giá trị biểu thức Cvới x 2,y  2

2 2.2 2 3.2 2 2 4 42

Bài 3 Tìm A

a)  2 2 3 2 2 2 3

A xy  x yy  x y  x y y

A xy y x  xy y

Trang 6

d)  2 2 2 3 3

3x y xy  2x y  A 0

2 2 2 3 3

A x y xy x y

Bài 4

a) Thu gọn mỗi đa thức trên rồi sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến:

P x   x  x  x  x  x

5x 5x 6x 4x 5x 2 2x 5x 2

Q x   x  x  x x  x  x   x   x  x x  x  x

2x 17x 10x 5

b) Tính P x Q x P x   ; Q x 

P x Q x   x  x  x  x  x

P x Q x   x   x  x   x x   

P x Q x   x  x  x

P x Q x   x  x  x  x  x

P x Q x  x   x  x   x x   

P x Q x  x  x  x

c) Chứng tỏ x  2 là nghiệm của P x  nhưng không phải nghiệm của Q x 

+) Thay x  2 vàoP x , ta có:   2

P x   x  x

P        P      P  

Hay x  2 là nghiệm của P x 

+) Thay x  2 vàoQ x , ta có:   4 2

Q x   x  x  x Suy ra    4  2    

Q

Hay x  2 không phải là nghiệm của Q x 

Trang 7

Vậy x  2 là nghiệm của P x  nhưng không phải là nghiệm của Q x 

Bài 5

a) Thu gọn và sắp xếp theo lũy thừa giảm

A x x x  x  x x

4

3x 5x 9

B x  x  x  x  x  x

2x 6x 2 3x 2x 3x 4

4

3x 3x 2

b) Tính A x B x   ;A x B x 

 

 

4

4



 

 

4

4 4



c) Tìm nghiệm của C x  A x B x 

8

C x      x x   x

Vậy nghiệm của C x    8x 7 là 7

8

x

d) Chứng tỏ rằng H x A x  5x vô nghiệm

H x  x  x  x x 

Nên không có giá trị nào của  x để H x  0

Vậy H x  vô nghiệm

Bài 6

a) Thu gọn và sắp xếp

A x  x   x  x x 

3x 6 12x 2x 4x 17

2

8 23

Hệ số cao nhất: 1, hệ số tự do 23

Trang 8

B x  x  x  x  x

3x 7x 3 3x 6x 12

9

x

  

Hệ số cao nhất: -1, hệ số tự do -9

b) N x B x A x 

 

 

 

2

2

8 23

9

9 14



  

A x M x B x

 

 

 

2

2

8 23

9

7 32



  

c) Chứng minh 2 là nghiệm củaN x  Tìm một nghiệm nữa của N x 

2 2 9.2 14 4 18 14 0

Vậy 2 nghiệm của N x 

N x x  x  x x a

Vậy a  7 là một nghiệm nữa của N x 

d) Tính giá trị của A x  tại 2

3

x

Thay 2

3

x vào biểu thức   2

8 23

A x x  x

Ta được

2

A         

   

   

Vậy tại 2

3

x thì giá trị của biểu thức A x  bằng 163

9

Bài 7

a) Ta có 4 5 0 5.

4

    

Trang 9

Vậy nghiệm của đa thức là 5.

4

x 

4

x  x   x   x

Vậy nghiệm của đa thức là 5.

4

x

1

x

            

Vậy tập nghiệm của đa thức là S    2; 1;1; 2 

d) Ta có 3  2

2

0 0

x x





           

Vậy tập nghiệm của đa thức là S   3;0; 3 

e) Ta có 3  2 

2

0

2

x

x







Vì 2

0

x  với mọi x nên 2

2

x   vô nghiệm

Vậy nghiệm của đa thức là x 0.

f) Ta có 3 2 2       2 

x x    x x x    x x x  

.

Vì 2

0

x  với mọi x nên 2

1

x   vô nghiệm

Vậy nghiệm của đa thức là x 1.

g) Ta có

3

7

3

x

x

Vậy tập nghiệm của đa thức là S  5; 7

h) Ta có 3x   2 4 6x  0.

Vì 3 2 0

x x





 nên 3x  2 4 6x 0.

Dấu "  " xảy ra khi 3 2 0 3 2 0 2.

x x

x



Vậy nghiệm của bất phương trình là 2.

3

x

i) Ta có  2 2

Vì

 2 2

1 0

x

x

  





 nên  2 2

Trang 10

Dấu "  " xảy ra khi

1

1.

1

1 0

1

x

x x

x x

x







 

Vậy nghiệm của đa thức là x 1.

j) Ta có: 2

4x  3x  7 0

2

   

Vì

2 3

4

x

   

  với mọi x nên suy ra

2

2

x

    

  vô nghiệm

7

x x

 



 



Vậy tập nghiệm của đa thức là 1;9

7

S   

Vậy tập nghiệm của đa thức là S  1;6

Bài 8

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức đại số:

+)  2

2

A x

Vì  2

2 0, ;

x  x dấu "  " xảy ra khi  2

x       x x

Vậy GTNN của A là 0 khi x  2

+)   2 2

B x  y 

Ta có:  2

x  với mọi x,  2

y  với mọi y Suy ra:   2 2

x  y     

Dấu "  " xảy ra khi  

2 2

5

y y



Vậy GTNN của B là 1 khi x 1;y  5

Trang 11

+) C x 2014  x 2015

Ta có: C x 2014  x 2015  x 2014  2015 x

Dấu "  " xảy ra khi x 2014 2015 x  0 2014  x 2015

Vậy GTNN của C là 1 khi 2014  x 2015

+)  4

2

Vì:  2 4

x   y  với mọi x, y

Suy ra:  2 4

Dấu "  " xảy ra khi  2 4

2

2 0

y y



Vậy GTNN của D là -1 khi    x y;  3; 2 hoặc   x y;   3; 2

b) Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thúc:

+)  2

B  x

Vì:  2  2

x     B x  với mọi x, dấu "  " xảy ra khi:  2

Vậy GTLN của B là 5 khi x  1

C  x 

x      x C x     với mọi x

Dấu "  " xảy ra khi: 2 2 2

x   x   x    x

Vậy GTLN của C là 9 khi x  5

+) 21

2

D

x





Vì 2

2

2 2

2 2

x

 với mọi x

Dấu "  " xảy ra khi: 2

x   x

Vậy GTLN của D là 1

2 khi x 0

c) Tìm các nghiệm nguyên của biến x để:

1) 2

6

A

x



 có giá trị lớn nhất

ĐK để A có nghĩa là x 6

6

x



6

x



Do đó để A lớn nhất thì A 0 trong trong trường hợp x 6

Trang 12

Mặt khác tử số của A không đổi nên A lớn nhất khi mẫu 6 x bé nhất

Suy ra x là số nguyên lớn nhất mà x 6 nên x 5

Khi đó 2 2 2

A

x

Vậy khi x 5 thì A đạt GTLN là 2

2) 8

3

x B

x





 có giá trị nhỏ nhất

ĐK để B có nghĩa x 3

Ta có: 8 5  3 5

1;

x x

B



Suy ra B nhỏ nhất khi 5

3

x nhỏ nhất

3

x



3

x



Do đó để 5

3

x nhỏ nhất thì

5 0 3

 trong trường hợp x3 Mặt khác tử số của 5

3

x không đổi nên

5 3

x nhỏ nhất khi mẫu x3 lớn nhất Suy ra x là số nguyên lớn nhất mà x 3 nên x 2

Khi đó 5 1 5 1 6.

B x

Vậy khi x 2 thi B đạt GTNN là  6.

Bài 9* (Dành cho HS giỏi)

a) Ta có 3

b    Đặt

3 4

a b

k

  Suy ra a 3 ;k b 4k

Khi đó biểu thức A trở thành:

A

Vậy 5.

9

A

b) Ta có x  y z 0, suy ra x  y z y;   z x và x z  y

Thay vào biểu thức B, ta được:

   

Vậy B  2 c) Xét với x 2014   x 1 2015. Khi đó ta được

17 17 16 16 15 15 14 2

Trang 13

1 2014 1 2013

x

Vậy f 2014 2013

Bài 10

a) Do 2 2 2

AB AC BC nên ABC vuông tại A

b) Do EAD BDA cgc  nên EDAB.

c) AHD ADH:  180  HADAHD   90 HAD

90

Mà AD là phân giác BAH

Nên HADDABCADADH

Vậy ADC cân tại C.

d) ADC cân tại C M, là trung điểm AD nên CM AD.

Do EAD BDA cgc (c/m ở b)

Nên EDADABED/ /AB

Mà ABACDECA I AHDE

Do đó I là trực tâm ADC I CM

Vậy C I M, , thẳng hàng

Bài 11

a) Vì BD là phân giác ABC

Suy ra ABDDBE

Do đó ABD EBD(góc nhọn – cạnh huyền)

b) Ta có: ABKI  EBK(c-g-c)

Nên BDAEKnên K là trung điểm AE

Vậy BD là đường trung trực của AE

c) Ta có: ABD EBD nên ADDE

mà EDC vuông tại E nên DEDCADDC.

d) Ta có: FAD CED c  g c

Suy ra: FADCDE do đó FAD ADE ADE EDC

Mà A D C, , thẳng hàng nên E D F, , thẳng hàng

Trong BEC CA: BE FE, BC CA, FED nên D là trực tâm BECBDCF.

e) Ta có: FAD AF: ADFD và ECD DE EC:  DC

Mà AF CE AD, DE

Suy ra AFAD  DEECFDDC

Hay 2 AD AFFDDC

Trang 14

Xét DEFC DF: DCFC

Do đó 2ADAFFC.

Bài 12

a) Ta có:

+ AHBCAH là đường cao của ABD

+ HDHBAH là trung tuyến của ABD

ABD

  cóAH vừa là đường vao vừa là đường

trung tuyến nên ABD cân tại A.

b) + ABD cân tại Anên: ADH  ABH (1)

+ ADHvuông tại H nên: DAHADH  90

(2)

+ ABCvuông tại A nên: ACBABH   90 (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: DAHACB(đpcm)

c) Ta có:

+ DCE vuông tại E nên:

90

DCE CDE   (4)

+ Mà: CDEADH (đối đỉnh) (5)

Từ (2), (4), (5) suy ra: DCEACB

CB

 là tia phân giác của ACE

d) Ta có: + AH BCAHDC

+ IDAC

+ CEAD

, ,

AH ID CE

 là 3 đường cao của BCD nền đồng quy tại một điểm

e) Vì AH BC nên HB HC, lần lượt là hình chiếu của AB AC, trên BC

Mà: AC AB gt 

  (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Mà: HDHB(điểm D tia HC)

Nên: điểm D thuộc đoạn thẳng HC

Do đó: CD CH

Lại có: CHAC(quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc)

Vậy: CDAC.

f) Nếu I là trung điểm của AC thì: DIlà đường trung tuyến của ADC

Mà: DI AC

ADC

  có DIvừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên ADC cân tại D

Lại có: ADB 2DCA ( tính chất góc ngoài của tam giác)

Mà: ADBABC(vì ABD cân tại A)

Do đó: ABC 2DCA

Trang 15

Mà: ABC DCA   90 Suy ra: ABC 60 ;  DCA 30 

Vậy ABC có thêm điều kiện ABC  60 (hoặcACB  30 ) thì I là trung điểm AC

Bài 13

a) Xét ABD và ACE có:

+ ABAC(ABC cân)

+ ABCACE(ABC cân)

+ BDCE (Giả thiết)

 . 

ABD ACE c g c

  (2 cạnh tương ứng)

ADE

  cân (đpcm)

b) Vì ABD ACE cmt BAH CAK(2 góc tương

ứng)

Xét ABHvà ACK có:

90





ABH ACK ch gn

BH CK canh tuong ung

c) Xét DBHvà ECK có:

 

90





DBH ECK ch cgv DBH ECK goc tuong ung

GBC

  cân tại G, lại có GM là trung tuyến

GM

 là đường trung trực  G đường trung trực của BC

(1)

Vì ABCcân tại A (gt)  A đường trung trực của BC (2)

Do M là trung điểm của BC(gt) M đường trung trực của BC

(3)

Từ (1), (2) và (3) A M G, , thẳng hàng

d) Xét AME có: AECAME MAE   90 MAE   90 AEClà góc tù

Xét ACE có: AC đối diện góc tù AECACAE(quan hệ góc và cạnh đối diện)

Mà ADAE(cmt) ACAD(đpcm)

e) Trên tia đối của tia DAlấy diểm F sao cho DFDA.

Xét ADE và FDBcó:

 

2

ADE FDB goc doi dinh

DA DF cach ve





2 2

ADE FDB c g c

AE BF canh tuong ung DAE DFB goc tuong ung



 



Xét ABD có: ADBACEABD(t/c góc ngoài tam giác)

  (quan hệ góc và cạnh đối diện trong tam giác)