CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ và các ví dụ cụ thể

Trong mỗi biểu thức đều ẩn chứa hẳng đẳng thức, vì vậy chúng ta dùng hằng đẳng thức để khai triển và thu gọn các đơn thức đồng dạng... Do vậy chúng ta nên vận dụng đưa về hằng đẳng thức

Trang 1

CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

I Phương pháp giải

Các hằng đẳng thức thức cần nhớ

2

AB  A  ABB (1)

2

AB  A  ABB (2)

A B  AB AB (3)

AB A  A B B AB A B  AB AB (4)

AB  A  A B AB B  A B  AB AB (5)

 3 3    2 2

A B  AB A ABB (6)

 3 3    2 2

A B  AB A ABB (7)

II Một số ví dụ

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức :

a A x  x x  x

b B x  x x  x  x 

c C x  x  x x  x  x

Giải

Tìm cách giải Rút gọn biểu thức là biến đổi viết biểu thức ấy dưới dạng đơn giản hơn

Trong mỗi biểu thức đều ẩn chứa hẳng đẳng thức, vì vậy chúng ta dùng hằng đẳng thức để khai triển và thu gọn các đơn thức đồng dạng

Trình bày lời giải

a) Ta có:

A x  x x  x

2

b) Ta có :

B x  x x  x  x 

 2 2  2  2 2

Trang 2

 2 2

c) Ta có :

C x  x  x x  x  x

2

 2 2 4

Ví dụ 2: Cho x  y 7 và 2 2

11

x y  Tính 3 3

?

x  y

Giải

Tìm cách giải Sử dụng hằng đẳng thức (1) và giả thiết ta có thể tính được tích xy Mặt khác

phân tích kết luận bằng hằng đẳng thức (4), ta chỉ cần biết thêm tích xy là xong Từ đó ta có lời giải sau

x   y x  xyy 

Mà 2 2

x y    xy xy

Ta có : 3 3  3    3  

x y  x y  xy x y    

3 3

91

Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức :

2

b Bx  x  x tại x 21

Giải

Tìm cách giải.Quan sát kỹ biểu thức, ta nhận thấy có bóng dáng của hằng đẳng thức Do vậy

chúng ta nên vận dụng đưa về hằng đẳng thức Sau đó thay số vào để tính, bài toán sẽ đơn giản hơn

a) Ta có :

2

Ax  x

 2 2

b) Ta có :

3 2

Bx  x  x

3 2

 3

x

Trang 3

Với  3

Ví dụ 4: Tính nhanh:

3

2

)

3

2

)



Giải

Tìm cách giải Quan sat kỹ đề bài, ta nhận thấy mỗi phân số đều ẩn chứa hằng đẳng thức Do

vậy, việc dùng hằng đẳng thức để phân tích ra thừa số là suy luận tự nhiên

3

Ví dụ 5: Cho x y 2 Tính giá trị  3 3  2

A x y  xy

Giải

Tìm cách giải Dựa vào giả thiết và kết luận ta nghĩ tới hai hướng sau:

 Biến đổi biểu thức A nhằm xuất hiện xy để thay bằng số 2

 Từ giả thiết, suy ra x y 2thay vào kết luận, ta được biểu thức chỉ chứa biến y Sau đó rút gọn biểu thức

Cách 1 Ta có :

 3 3  2

A x y  xy

Cách 2 Từ giả thiết, suy ra x y 2 thay vào biểu thức A ta có :

A y y  y  y

Trang 4

Ví dụ 6: Tìm các số thực x, y thỏa mãn 2 2

Giải

Tìm cách giải Để tìm số thực x, y thỏa mãn đa thức hai biến bậc hai bằng 0, chúng ta định

hướng biến đổi đưa đa thức đó thành tổng bình phương của hai biểu thức Sau đó áp dụng

2 2

0

A B  khi và chỉ khi A 0 và B 0 Từ đó tìm được x, y

Ta có :

x  xy y  x y  y  y 

Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2

Px xyy  x y

Giải

Tìm cách giải Để tìm giá trị nhỏ nhất của một đa thức bậc hai, chúng ta dùng hằng đẳng

thức (1) và (2) để biến đổi đa thức thành tổng các bình phương cộng với một số Giá trị nhỏ nhất của biểu thức đạt được khi và chỉ khi tổng các bình phương bằng 0

Ta có :

2 2

3

Px    x y

3

         

2

y

        

y

         

1

2012

3

0

y

x x





Trang 5

Vậy giá trị nhỏ nhất của 20122

3

P khi và chỉ khi 1; 4

x y

Ví dụ 8: Cho a, b, c thỏa mãn đồng thời a b c   6 và 2 2 2

12

a  b c  Tính giá trị của biểu thức :  2020  2020  2020

P a  b  c

Giải

Tìm cách giải Giả thiết cho hai hằng đẳng thức mà lại có ba biến a, b, c có vai trò như nhau

Do vậy chúng ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi a b c và từ giả thiết suy ra a  b c 2 Để tìm ra được kết quả này, chúng ta vận dụng tổng các bình phương bằng 0 Do đó nên bắt đầu

từ   2  2 2

a  b  c  và biến đổi tương đương để ra giả thiết Khi trình bày thì lại

bắt đầu từ giả thiết

Ta có :

a b c  a b c  

  2  2 2

Dấu bằng xảy ra khi a  b c 2

 2020  2020  2020

P

Ví dụ 9: Cho 2 2 2

4

a b  c Chứng minh rằng:

5a 3b 8c 5a 3b 8c  3a 5b

Giải

Tìm cách giải Quan sát đẳng thức cần chứng minh, chúng ta nhận thấy vế trái có chứa c, vế

phải không chứa c Do vậy chúng ta cần biến đổi vế trái của đẳng thức, sau đó khử c bằng cách thay 2 2 2

4c a b từ giả thiết Để thực hiện nhanh và chính xác, chúng ta nhận thấy vế

trái có dạng hằng đẳng thức (3)

Biến đổi vế trái :

5a 3b 8c5a 3b 8c

Trang 6

 2

Vế trái bằng vế phải Suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 10: Phân tích số 27000001 ra thừa số nguyên tố

Tính tổng các ước số nguyên tố của nó

Giải

Tìm cách giải Chúng ta có thể vận dụng hằng đẳng thức để phân tích một số ra thừa số

nguyên tố

Ta có:

301 300 1   30 301 300 1 30 300 1 30   

Tổng các ước số nguyên tố của nó là : 7  43 271 331    652

Ví dụ 11: Cho các số x, y thỏa mãn đẳng thức 4 2 2 4 8 4 4 8

x x y  y  x x y y 

hãy tính giá trị biểu thức 12 2 2 12

A x x y y

Giải

Ta có :

 4 2 2 4 4 2 2 4  4 42 4 4

x x y  y x x y y  x y x y

8 4 4 8 4 2 2 4

Kết hợp với giả thiết suy ra 4 4

3

x y  và 2 2

1

x y 

Ta có : 12 2 2 12    4 3 4 3 2 2

Ax x y  y  x  y x y

 4 4 8 4 4 8 2 2

 4 42 4 4

2

    

III Bài tập vận dụng

1.1 Tìm hệ số x2 của đa thức sau khi khai triển :

  2  2  3 3

a A x  x  x  x

Trang 7

  2  2  2 3

b B x  x  x  x

Hướng dẫn giải – đáp số

a A x  x x  x x  x  x  x  x  x

Vậy hệ số của 2

x là 38

b B x  x x  x x  x  x  x  x  x

3 2

Vậy hệ số của 2

x là -31

1.2 Tính giá trị biểu thức

2

a A x  x tại x 0,9

3 2

b B x  x  x tại x 19

c C x  x  x  x tại 2

8

x  x

a ) Ta có :

2

A x  x

 2 2

 2

0,1

x

b) Ta có:

3 2

B x  x  x

 3

3 2

Với x 19 thì  3

c) Ta có :

C x  x  x  x

 2 2  2 

 2 2

Trang 8

Với 2  2

x    x C     

1.3 Tính hợp lý :

2 2

)

2 2

356 144 356 144

)



 2 2  2 2  2 2

100 99 100 99 98 97 98 97 2 1 2 1 

1.4 Tính giá trị biểu thức :

2

3 3

.





3

.





.



1

2019

1.5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2 2

a A x  y  xy y x

Trang 9

2 2 2

b M  x y z  x xy z

a) Ta có :

A x  xy y x  x  y  y 

  2  2 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A 2018 tại x 1;y  1

b) Ta có :

B x  xyy x  x y  y 

  2  2 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 2015 tại x 1;y  2

c M  x  xy y  x  x z   z

Dấu bằng xảy ra khi

0

1

2 1

0 2

x y

z



  







  



Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 21

4

x  y z

1.6 Tìm x, biết :

a x  x  x x 

b x x  x x x  

a x  x  x x 

       

Trang 10

20x 1 19

9

10

b x x  x x x  

7

5

10

9

1.7 Biết xy 11 và 2 2

2016

x yxy   x y Hãy tính giá trị : 2 2

x  y

Ta có: 2 2

2016

x yxy   x y

xy xy   x y

12 x y  2016   x y 168

x y  xy  xy  

1.8 Cho a b 7 Tính giá trị biểu thức :

Aa a b b  ab a  b ab

Aa a b b  ab ab  abab

  3 2 3 2

1.9 Chứng minh rằng với mọi x ta có :

a x x   b)x 3x 5  3 0

Trang 11

c x   x

a x x  

2

 2

x

    (luôn đúng )

2

 2

x

    (luôn đúng)

2

c x   x

2

  (luôn đúng )

1.10 Tìm x, y biết :

b x y  x y 

2 2

c x  y  y x 

a x  x  y  y 

  2 2

 2  2

x y  )

2 2

b x y  x y 

  2 2

 2

   và  2

y  (vì   2 2

2x 5 , y 1  0)

5

2

 x y

2 2

Trang 12

 2   2 

  2 2

 2

2y 1  0 (vì   2 2

3x 2 , 2y 1  0)

;

1.11 Chứng minh không tồn tại x; y thỏa mãn:

2 2

b x y  x xy 

2 2

c x  y  y xy 

2 2

  2 2

Mà   2 2

x  y   

Suy ra không có x, y thỏa mãn đề bài

2 2

b x y  x xy 

Mà  2  2

2 2

c x  y  y xy 

  2 2

Mà   2 2

2xy  y 1    4 4 0

1.12 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

2

b B  xx 

2 2

c C x y  x y

Trang 13

Vậy giá trị lớn nhất của A là 31 khi x  4

B   xx   x 

Vậy giá trị lớn nhất của B là 6 khi x 2

Vậy giá trị lớn nhất của C là 10 khi x 2;y  2

1.13 Cho các số thực x; y thỏa mãn điều kiện 2 2

x y x y  Tính giá trị biểu thức

3 3

x  y

Ta có:

x y x  y  xy  xy

9 17

4 2

xy 

3 3

x y  x y  xy x y    

1.14 Cho x  y a b 1 và 3 3 3 3 

2

x y a b

Chứng minh rằng : 2 2 2 2

x y a b

Ta có hằng đẳng thức :  3 3 3  

3

x y  x  y  xy xy (1)

3

ab a b  ab ab (2) Kết hợp với (1) và (2) suy ra xyab (3)

Mặt khác, từ (1) suy ra   2 2 2 2 2 2

xy  ab  x y  xya b  ab

Kết hợp với (3) suy ra : 2 2 2 2

x  y a b

1.15 Cho a  b c 2p Chứng minh rằng:

2 2 2

a bcb c a  p pa

)

b pa  pb  pc a b c  p

Trang 14

a) Ta có: 2 2 2  2 2

b c ab c a 2p2p a 4p p a

Vế trái bằng vế phải Điều phải chứng minh

b) Ta có :   2  2 2

pa  pb  pc

Vế trái bằng vế phải Điều phải chứng minh

1.16 Cho 

2020 ch÷ sè 9

99 9

A Hãy so sánh tổng các chữ số của 2

A với tổng các chữ số của A

Ta có :



2020 ch÷ sè 9

99 9

A  102020  1 nên 2  2020 2

4040 2020

2019 2019

Tổng các chữ số của 2

A là : 9 2019 8 1 18180    

Tổng các chữ số của A là : 9 2020   18180

Vậy tổng các chữ số của 2

A và tổng các chữ số của A bằng nhau

1.17 Chứng minh rằng:

ab  bc  ca  a b c  b c a  c a b

thì a b c

Từ giả thiết ta có :

a b c  ab  b c a  bc  c a b  c a 

Áp dụng hằng đẳng thức : 2 2   

x  y  x y x y ta có :

a b c  ab  a c b c  ac bc

c a b  ca  c b a b  cb ab

Trang 15

Kết hợp với (*) ta có :

a c b c b ac a c ba b 0

0

ab ac bc c bc ba ac a ac bc ab b

a b c ab bc ac

  2  2 2

0

a b

c a

 



     



  



1.18 Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1 Chứng minh rằng 4

4n

n  là hợp số

(Thi học sinh giỏi toán 9, tỉnh Quảng Bình, năm học 2012-2013)

- Với n là số chẵn  n 2k k N thì 4 4 2

n   k  nên 4

4n

n  là hợp số

- Với n là số lẻ Đặt  * 

n k k N k thì ta có:

n  n  n  n 

Ta có:

2 2n 2 k 2 2 k 2 2k 2 2n 2 2k 2 2k 1 2 2k 1 2 2k 2

n   nn  n      n     

1 2 2

n   nn   n suy ra 4

4n

n  là hợp số Vậy 4

4n

n  là hợp số với n là số tự nhiên lớn hơn 1

1.19

a) Cho a b 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2

Aa b

b) Cho x 2y 8.Tìm giá trị lớn nhất của B xy

a) Ta có:   2 2  2 2

2

ab  ab  a b

Trang 16

 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi a b 1

b) Từ x 2y     8 x 8 2y suy ra

B  y y y y    y y

 2

B   y 

Vậy giá trị lớn nhất của B là 8 khi y  2;x 4

1.20 Tìm giá trị nhỏ nhất của  2 2

3

A x  y biết 2 2

12

x y  xy

(Tuyển sinh vào lớp 10, THPT chuyên Bình Dương, năm học 2014-2015)

Từ giả thiết, ta có  2  2

x y  xy  xy x y 

Ta có :

A x y  xy  xy x y  x y   x y 

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 24 khi 0 2 ; 2

x y

       

1.21 Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn:   3  3 3

2010

ab  bc  ca  Tính giá trị của biểu thức A     a b b c c a

Đặt a b x b;  c y c;         a z x y z 0 z xy

x  y z   x y  xy    xy xy 

70

xyz

  Do x, y, z là số nguyên có tổng bằng 0 và xyz  70    2  5 7

nên x y z, ,    2; 5; 7       A a b b c c a 14

1.22 Chứng minh không tồn tại hai số nguyên x, y thỏa mãn 2 2

2020

x y 

Từ 2 2

2020

x  y  suy ra x; y cùng chẵn hoặc cùng lẻ

TH1: Nếu x; y cùng chẵn Đặt x 2 ;m y 2n

Trang 17

Vế trái chẵn, còn vế phải lẻ Vô lí

TH2: Xét x; y cùng lẻ Đặt x 2k 1;y 2q 1

Vế trái chia hết cho 4, vế phải không chia hết cho 4, vô lí Vậy không tồn tại số nguyên x; y thỏa mãn 2 2

2020

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	667,95 KB