Chọn câu đúng... Khi đó, khẳng định nào sau đây là đúng... Biết fx chia hết cho gx.
Trang 1CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TOÁN LỚP 8 BÀI 12: CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP Bài 1: Phần dư của phép chia đa thức x 4 – 2x 3 + x 2 – 3x + 1 cho đa thức x 2 +
1 có hệ số tự do là
Lời giải
x4 – 2x3 + x2 – 3x + 1 x2 + 1
x4 + x2 x2 – 2x
- 2x3 - 3x + 1
- 2x3 - 2x
- x + 1
Đa thức dư là – x + 1 có hệ số tự do là 1
Đáp án cần chọn là: C
Bài 2: Thương của phép chia đa thức (3x 4 – 2x 3 + 4x – 2x 2 – 8) cho đa thức (x 2 – 2) có hệ số tự do là
Lời giải
Ta có: (3x4 – 2x3 + 4x – 2x2 – 8) : (x2 – 2)
= (3x4 – 2x3– 2x2 + 4x – 8) : (x2 – 2)
3x4 – 2x3– 2x2 + 4x – 8 x2 – 2
3x4 - 6x2 3x2 – 2x + 4
- 2x3 + 4x2 + 4x – 8
- 2x3 + 4x
4x2 - 8
Trang 24x2 - 8
0 (3x4 – 2x3– 2x2 + 4x – 8) : (x2 – 2) = 3x2 – 2x + 4
Hệ số tự do của thương là 4
Đáp án cần chọn là: D
Bài 3: Biết phần dư của phép chia đa thức (x 5 + x 3 + x 2 + 2) cho đa thức (x 3
+ 1) là số tự nhiên a Chọn câu đúng
A a < 2 B a > 1 C a < 0 D a ⁝ 2
Lời giải
x5 + x3 + x2 + 2 x3 + 1
x5 + x2 x2 + 1
x3 + 2
x3 + 2
1 Phần dư của phép chia là a = 1 < 2
Đáp án cần chọn là: A
Bài 4: Thương và phần dư của phép chia đa thức 2x 3 – 3x 2 – 3x – 2 cho đa thức x 2 + 1 lần lượt là
A 2x – 3; 5x – 5 B 2x – 3; -5x + 1 C -5x + 1; 2x – 3 D 2x – 3; -5x – 5
Lời giải
2x3 – 3x2 – 3x – 2 x2 + 1
2x3 + 2x 2x – 3
- 3x2 – 5x + 2
- 3x2 - 3
Trang 3- 5x + 1 Thương của phép chia là 2x – 3 và dư -5x + 1
Đáp án cần chọn là: B
Bài 5: Cho các khẳng định sau:
(I): Phép chia đa thức 3x 3 – 2x 2 + 5 cho đa thức 3x – 2 là phép chia hết (II): Phép chia đa thức (2x 3 + 5x 2 – 2x + 3) cho đa thức (2x 2 – x + 1) là phép chia hết
Chọn câu đúng
A Cả (I) và (II) đều đúng B Cả (I) và (II) đều sai
C (I) đúng, (II) sai D (I) sai, (II) đúng
Lời giải
Ta có
3x3 – 2x2 + 5 3x – 2
3x3 – 2x2 x2
5
Vì phần dư R = 5 ≠ 0 nên phép chia đa thức 3x3 – 2x2 + 5 cho đa thức 3x – 2 là phép chia có dư Do đó (I) sai
Lại có
2x3 + 5x2 – 2x + 3 2x2 – x + 1
2x3 - x2 + x x + 3
6x2 – 3x + 3
6x2 – 3x + 3
0
Trang 4Nhận thấy phần dư R = 0 nên phép chia đa thức (2x3 + 5x2 – 2x + 3) cho đa thức (2x2 – x + 1) là phép chia hết Do đó (II) đúng
Đáp án cần chọn là: D
Bài 6: Để đa thức x 4 + ax 2 + 1 chia hết cho x 2 + 2x + 1 thì giá trị của a là
A a = -2 B a = 1 C a = -1 D a = 0
Lời giải
x4 + ax2 + 1 x2 + 2x + 1
x4 + 2x3 + x2 x2 – 2x + a + 3
-2x3 + (a – 1)x2 + 1
-2x3 – 4x2 – 2x
(a + 3)x2 + 2x + 1
(a + 3)x2 + (2a + 6)x + a + 3
(-4 – 2a)x – a – 2 Phần dư của phép chia đa thức x4 + ax2 + 1 chia hết cho x2 + 2x + 1 là
R = (-4 – 2a)x – a – 2
Để phép chia trên là phép chia hết thì R = 0 (-4 – 2a)x – a – 2 = 0 với mọi x
2 4 0
2 0
a
a
a = -2
Đáp án cần chọn là: A
Bài 7: Để đa thức x 3 + ax 2 - 4 chia hết cho x 2 + 4x + 4 thì giá trị của a là
A a = -6 B a = 6 C a = -3 D a = 3
Lời giải
x3 + ax2 – 4 x2 + 4x + 4
x3 + 4x2 + 4x x + (a – 4)
Trang 5(a – 4)x2 – 4x – 4
(a – 4)x2 + (a – 4).4x + 4(a – 4)
(3 – a).4x – 4a + 12
Để x3 + ax2 - 4 chia hết cho x2 + 4x + 4 thì (3 – a).4x – 4a + 12 = 0
4(3 ) 0
12 4 0
a
a
a = 3
Vậy a = 3
Đáp án cần chọn là: D
Bài 8: Có bao nhiêu giá trị của a để đa thức a 2 x 3 + 3ax 2 – 6x – 2a chia hết cho đa thức x + 1
Lời giải
Ta có
a2x3 + 3ax2 – 6x – 2a x + 1
a2x3 + a2x2 a2x2 + (3a – a2)x + a2 – 3a – 6
(3a – a2)x2 – 6x – 2a
(3a – a2)x2 + (3a – a2)x
(a2 – 3a – 6)x – 2a
(a2 – 3a – 6)x + a2 – 3a – 6
6 + a – a2
Phần dư của phép chia trên là R = 6 + a – a2 Đề phép chia trên là phép chia hết thì R = 0 -a2 + a + 6 = 0
-a2 – 2a + 3a + 6 = 0
-a(a + 2) + 3(a + 2) = 0
Trang 6 (a + 2)(-a + 3) = 0 2
3
a a
Vậy có hai giá trị của a thỏa mãn điều kiện đề bài a = -2; a = 3
Đáp án cần chọn là: B
Bài 9: Tìm giá trị của a và b đề đa thức 4x 3 + ax + b chia cho đa thức x 2 – 1
dư 2x – 3
A a = -6; b = -3 B a = 6; b = -3 C a = 2; b = -3 D a = -2; b = -3
Lời giải
Ta có
4x3 + ax + b x2 – 1
4x3 - 4x 4x
(a + 4)x + b
Phần dư của phép chia trên là R = (a + 4)x + b
Theo bài ra ta có (a + 4)x + b = 2x – 3 4 2
3
a b
2 3
a b
Vậy có hai giá trị của a thỏa mãn điều kiện đề bài a = -2; b = -3
Đáp án cần chọn là: D
Bài 10: Tìm a và b để đa thức f(x) = x 4 – 9x 3 + 21x 2 + ax + b chia hết cho đa thức g(x) = x 2 – x – 2
A a = -1; b = 30 B a = 1; b = 30 C a = -1; b =-30 D a = 1; b = -30
Lời giải
Ta có
x4 – 9x3 + 21x2 + ax + b x2 – x – 2
x4 – x3 – 2x2 x2 – 8x + 15
Trang 7- 8x3 + 23x2 + ax + b
- 8x3 + 8x2 + 16x
15x2 + (a – 16)x + b 15x2 – 15x - 30 (a – 1)x + b + 30 Phần dư của phép chia f(x) cho g(x) là R = (a – 1)x + b + 30
Để phép chia trên là phép chia hết thì R = 0 với mọi x
(a – 1)x + b + 30 = 0 với mọi x
1 0
30 0
a
b
1 30
a b
Vậy a = 1; b = -30
Đáp án cần chọn là: D
Bài 11: Phép chia đa thức 2x 4 – 3x 3 + 3x – 2 cho đa thức x 2 – 1 được đa thức
dư là
Lời giải
2x4 – 3x2 + 3x – 2 x2 – 1
2x4 - 2x2 2x2 – 3x + 2
- 3x3 + 2x2 + 3x – 2
- 3x3 + 3x
2x2 – 2 2x2 – 2
0 Vậy đa thức dư là R = 0
Trang 8Đáp án cần chọn là: A
Bài 12: Phép chia đa thức (4x 4 + 3x 2 – 2x + 1) cho đa thức x 2 + 1 được đa thức dư là:
A 2x + 2 B -2x + 2 C -2x - 2 D 3 - 2x
Lời giải
4x4 + 3x2 – 2x + 1 x2 + 1
4x4 + 4x2 4x2 – 1
- x2 – 2x + 1
- x2 - 1
- 2x + 2 Vậy đa thức dư là R = -2x + 2
Đáp án cần chọn là: B
Bài 13: Phép chia đa thức 3x 5 + 5x 4 – 1 cho đa thức x 2 + x + 1 được đa thức thương là:
A 3x3 – 2x2 – 5x + 3 B 3x3 + 2x2 – 5x + 3
C 3x3 – 2x2 – x + 3 D 2x – 4
Lời giải
3x5 + 5x4 – 1 x2 + x + 1
3x5 + 5x4 + 3x3 3x3 + 2x2 – 5x + 3
2x4 – 3x3 - 1 2x4 + 2x3 + 2x2 - 1
- 5x3 – 2x2 - 1
- 5x3 – 5x2 – 5x
3x2 + 5x – 1
Trang 93x2 + 3x + 3
2x – 4
Đa thức thương là: 3x3 + 2x2 – 5x + 3
Đáp án cần chọn là: B
Bài 14: Điền vào chỗ trống (x 3 + x 2 – 12 : (x – 12) = …
A x + 3 B x – 3 C x2 + 3x + 6 D x2 – 3x + 6
Lời giải
x3 + x2 - 12 x – 2
x3 – 2x2 x2 + 3x + 6
3x2 - 12
3x2 – 6x
6x – 12 6x – 12
0 Vậy đa thức cần điền vào chỗ trống là x2 + 3x + 6
Đáp án cần chọn là: C
Bài 15: Cho các khẳng định sau:
(I): Phép chia đa thức (2x 3 – 26x – 24) cho đa thức x 2 + 4x + 3 là phép chia hết
(II): Phép chia đa thức (x 3 – 7x + 6) cho đa thức x + 3 là phép chia hết
Chọn câu đúng
Trang 10A Cả (I) và (II) đều đúng B Cả (I) và (II) đều sai
C (I) đúng, (II) sai D (I) sai, (II) đúng
Lời giải
Ta có (2x3 – 26x – 24) : (x2 + 4x + 3)
2x3 – 26x – 24 x2 + 4x + 3
2x3 + 8x2 + 6x 2x – 8
-8x2 – 32x - 24
-8x2 – 32x – 24
0
Vì phần dư R = 0 nên Phép chia đa thức (2x3 – 26x – 24) cho đa thức x2 + 4x + 3
là phép chia hết
Do đó (I) đúng
Lại có
x3 – 7x + 6 x + 3
x3 + 3x2 x2 – 3x + 2
- 3x2 – 7x + 6
- 3x2 – 9x
2x + 6 2x + 6
0 Nhận thấy phần dư R = 0 nên phép chia đa thức (x3 – 7x + 6) cho đa thức x + 3
là phép chia hết Do đó (II) đúng
Đáp án cần chọn là: A
Bài 16: Kết quả của phép chia (2a 3 + 7ab 2 – 7a 2 – 2b 3 ) : (2a – b) là
Trang 11A (a – b)(a – 2b) B (a + b)2 C (a – b)(b – 2a) D a – b
Lời giải
Ta có 2a3 + 7ab2 – 7a2 – 2b3
= 2(a3 – b3) – 7ab(a – b)
= 2(a – b)(a2 + ab + b2) – 7ab(a – b)
= (a – b)(2a2 – ab – 4ab + 2b2)
= (a – b)[a(2a – b) – 2b(2a – b)]
= (a – b)(2a – b)(a – 2b)
Nên (2a3 + 7ab2 – 7a2 – 2b3) : (2a – b)
= (a – b)(2a – b)(a – 2b) : (2a – b) = (a – b)(a – 2b)
Đáp án cần chọn là: A
Bài 17: Kết quả của phép chia (x 4 – x 3 y + x 2 y 2 – xy 3 ) : (x 2 + y 2 ) là
A (x – y) B x(x – y) C x2 – y D x2 + xy
Lời giải
Ta có x4 – x3y + x2y2 – xy3
= x4 + x2y2 – (x3y + xy3)
= x2(x2 + y2) – xy(x2 + y2)
= (x2 + y2)(x2 – xy) = (x2 + y2)x(x – y)
Nên (x4 – x3y + x2y2 – xy3) : (x2 + y2)
= (x2 + y2)x(x – y) : (x2 + y2) = x(x – y)
Đáp án cần chọn là : B
Bài 18: Xác định a để đa thức 27x 2 + a chia hết cho 3x + 2
A x = 6 B a = 12 C a = -12 D a = 9
Trang 12Lời giải
Ta có
27x2 + a 3x + 2
27x2 + 18x 9x – 6
- 18x + a
- 18x – 12
a + 12 Suy ra 27x2 + a + (3x + 2)(9x – 6) + a + 12
Để phép chia trên là phép chia hết thì R = a + 12 = 0 a = -12 Đáp án cần chọn là: C
Bài 19: Xác định a để đa thức 10x 2 – 7x + a chia hết cho 2x – 3
A a = 24 B a = 12 C a = -12 D a = 9
Lời giải
(10x2 – 7x + a) ⁝ (2x – 3)
10x2 – 7x + a 2x – 3
10x2 – 15x 5x + 4
8x + a 8x – 12
a + 12
Để 10x2 – 7x + a chia hết cho 2x – 3 thì a + 12 = 0 a = -12 Đáp án cần chọn là: C
Bài 20: Xác định hằng số a và b sao cho (x 4 + ax + b) ⁝ (x 2 – 4)
A a = 0 và b = -16 B a = 0 và b = 16
Trang 13C a = 0 và b =0 D a = 1 và b = 1
Lời giải
Ta có
x4 + ax + b x2 – 4
x4 – 4x2 x2 + 4
4x2 + ax + b 4x2 - 16
ax + b + 16
để x4 + ax + b chia hết cho x2 – 4 thì ax + b + 16 = 0
16 0
ax
b
0 16
a b
Đáp án cần chọn là:A
Bài 21: Biết đa thức x 4 + ax 2 + b chia hết cho x 2 – x + 1 Khi đó, khẳng định
nào sau đây là đúng
A a < b B a > b C a = b D a = 2b
Lời giải
Ta có
x4 + ax2 + b x2 – x + 1
x4 – x3 + x2 x2 + x + a
x3 + (a – 1)x2 + b
x3 – x2 + x
ax2 – x + b
ax2 – ax + a (a – 1)x + b – a
Trang 14Phần dư của phép chia là R = (a – 1)x + b – a Để phép chia trên là phép chia hết thì R = 0, Ɐx
(a – 1)x + b – a = 0, Ɐx
1 0
0
a
b a
1 1
a b
a = b
Đáp án cần chọn là: C
Bài 22: Cho đa thức f(x) = x 4 – 3x 3 + 3x 2 + ax + b và đa thức g(x) = x 2 – 3x +
4 Biết f(x) chia hết cho g(x) Khi đó tích a.b bằng
Lời giải
Ta có
x4 – 3x3 + 3x2 + ax + b x2 – 3x + 4
x4 – 3x3 + 4x2 x2 – 1
- x2 + ax + b
- x2 + 3x – 4 (a – 3)x + b + 4 Phần dư của phép chia f(x) cho g(x) là R = (a – 3)x + b + 4 Để phép chia trên là phép chia hết thì R = 0, Ɐx
(a – 3)x + b + 4 = 0, Ɐx 3 0
4 0
a b
4
a
b
=> ab = -12
Đáp án cần chọn là: A
Bài 23: Xác định a để (6x 3 – 7x 2 – x + a) : (2x + 1) dư 2
Trang 15Lời giải
6x3 – 7x2 – x + a 2x + 1
6x3 + 3x2 3x2 – 5x + 2
-10x2 – x + a -10x2 – 5x
4x + a 4x + 2
a – 2
Để 6x3 – 7x2 – x + a chia 2x + 1 dư 2 thì a – 2 = 2 a = 4
Đáp án cần chọn là: D
Bài 24: Tìm các hằng số a và b sao cho (x 3 + ax + b) : (x + 1) dư 7 và (x 3 + ax + b) : (x – 3) dư (-5)
A a = 10, b = 2 B a = 10, b = -2 C a = -10, b = -2 D a = -10, b = 2
Lời giải
x3 + ax + b x + 1
x3 + x2 x2 – x + a + 1
- x2 + ax + b
- x2 – x
(a – 1)x + b
(a + 1)x + a + 1
b – a – 1
Để x3 + ax + b chia cho x + 1 dư 7 thì b – a – 1 = 7 -a + b = 8 (1)
x3 + ax + b x – 3
Trang 16x3 – 3x2 x2 + 3x + a + 9
3x2 + ax + b
3x2 – 9x (a + 9)x + b (a + 9)x – 3a – 27
b + 3a + 27
Để x3 + ax + b chia cho x – 3 dư -5 thì b + 3a + 27 = -5 3a + b = -32 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ 8
a b
a b
10 2
a b
Vậy a = -10, b = -2
Đáp án cần chọn là: C
Bài 25: P =
1
n
Tìm n Є Z để P Є Z
A n Є {0; 2} B n Є {-1; 1} C n Є {-1; 2} D n Є {-2; 0}
Lời giải
2n3 – 3n2 + 3n – 1 n – 1
2n3 – 2n2 2n2 – n + 2
- n2 + 3n – 1
- n2 + n
2n – 1 2n – 2
1 2n3 – 3n2 + 3n – 1 = (2n2 – n + 2)(n – 1) + 1
Trang 17Để 2n3 – 3n2 + 3n – 1 chia hết cho n – 1 thì 1 chia hết cho n – 1
=> (n – 1) Є {1;-1}
n – 1 1 -1
n 2 0
P 9 1
TM TM Vậy n Є {0; 2} để P Є Z
Đáp án cần chọn là: A
Bài 26: Tìm đa thức bị chia biết đa thức chia là (x 2 + x + 1), thương là (x + 3), dư là x – 2
A x3 + 4x2 + 5x + 1 B x3 – 4x2 + 5x + 1
C x3 – 4x2 – 5x + 1 D x3 + 4x2 – 5x + 1
Lời giải
Đa thức bị chia cần tìm là:
(x2 + x + 1)(x + 3) + x – 2
= x2.x + 3x2 + x.x+ 3x + x + 3 + x – 2
= x3 + 4x2 + 5x + 1
Đáp án cần chọn là: A
Bài 27: Rút gọn và tính giá trị biểu thức A = (4x 3 + 3x 2 – 2x) : (x 2 + 3
4 x - 1
2 ) tại x = 3
A A = 4x, A = 7 B A = 3x; A = 9 C A = 4x; A = 8 D A = 4x;A = 12
Lời giải
4x3 + 3x2 – 2x x2 + 3
4 x - 1 2
Trang 184x3 + 3x2 – 2x 4x
0 Tại x = 3, ta có: A = 4x = 4.3 = 12
Đáp án cần chọn là: D
Bài 28: Có bao nhiêu số nguyên x để giá trị của đa thức A = 2x 3 – 3x 2 + 2x +
2 chia hết cho giá trị của đa thức B = x 2 + 1
Lời giải
Ta có A : B
2x3 – 3x2 + 2x + 2 x2 + 1
2x3 + 2x 2x – 3
-3x2 + 2 -3x2 - 3
5
Để giá trị của đa thức A = 2x3 – 3x2 + 2x + 2 chia hết cho giá trị của đa thức B =
x2 + 1 thì
5 ⁝ (x2 + 1)
Hay (x2 + 1) Є U(5) = {-1; 1; -5; 5}
+) x2 + 1 = -1 x2 = -2 (VL)
+) x2 + 1 = 1 x2 = 0 x = 0 (tm)
+) x2 + 1 = -5 x2 = -6 (VL)
+) x2 + 1 = 5 x2 = 4 x = ± 2 ™
Vậy có 3 giá trị của x thỏa mãn đề bài là x = 0; x = -2; x = 2
Đáp án cần chọn là: A
Trang 19Bài 29: Phần dư của phép chia đa thức (x 2 + 3x + 2) 5 + (x 2 – 4x – 4) 5 – 1 cho
đa thức x + 1 là
Lời giải
Ta có đa thức chưa (x + 1) nên phần dư là một hằng số
Gọi thương là Q(x) và dư r Khi đó với mọi x ta có
(x2 + 3x + 2)5 + (x2 – 4x – 4)5 – 1 = Q(x)(x + 1) + r (1)
Thay x = -1 vào (1) ta được
((-1)2 + 3.(-1) + 2)5 + ((-1)2 – 4(-1) – 4)5 – 1 = Q(x).(-1 + 1) + r
r = 05 + 15 – 1 r = 0
Vậy phần dư của phép chia là r = 0
Đáp án cần chọn là: C