ba dang bai tap cac truong hop dong dang cua tam giac vuong co loi giai

Hai tam giác vuông đồng dạng nếu: - Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia; - Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của

CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG

A Lý thuyết

1 Hai tam giác vuông đồng dạng nếu:

- Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia;

- Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia;

- Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia

2 Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác vuông đồng dạng

- Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng

- Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số động dạng

B Các dạng bài tập

Dạng 1 Áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vào tam giác vuông

Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu:

1 Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia Thật vậy, khi đó chúng luôn có thêm hai góc vuông bằng nhau, nên chúng có hai góc bằng nhau

2 Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia

Thật vậy, khi đó chúng có thêm hai cạnh huyền tỉ lệ (dựa trên định lí Py-ta-go)

Ví dụ 1 Hình thang vuông ABCD có A   D 90 , AB 4cm, CD 9cm Tính độ dài BD biết rằng BD vuông góc với BC

 Giải

Xét hai tam giác vuông ABD và BDC có:

1 1

2 4.9 36

6cm

BD

Vậy, ta được BD 6cm

 Nhận xét: Như vậy, bằng việc đánh giá được D1B1 (góc nhọn trong tam giác

vuông), chúng ta có ngay được ABD∽ BDC, từ đó dựa trên tỉ số đồng dạng giữa các

cạnh chúng ta tính được độ dài cạnh BD

Thí dụ tiếp theo, minh họa việc sử dụng trường hợp thứ hai (hai cạnh góc vuông tỉ lệ)

Ví dụ 2 Hình thang vuông ABCD có A   D 90 , AB 6cm, CD 12cm,AD 17cm Lấy

điểm E trên cạnh AD sao cho AE 8cm

a Hỏi ABE đồng dạng với tam giác nào? Vì sao?

b Chứng minh rằng BEC  90

 Giải

a Xét hai tam giác vuông ABE và DEC, ta có:

6 2

9 3

8 2

12 3

AB

DE

DC





b Theo kết quả câu a), ta suy ra E1C1

Mặt khác trong CDE vuông tại D, ta có: C1E3   90 E1E3   90

Khi đó:

BEC   E E      

 Nhận xét: Như vậy, bằng việc đánh giá được AB AE

DE  DC (hai cạnh góc vuông tỉ lệ) chúng ta có ngay được kết luậnABE ∽ DEC, từ đó dựa vào sự bằng nhau giữa các góc chúng ta tính được số đo của góc BEC - Các em học sinh cần nhớ rằng trong bài kiểm

tra thông thường câu a) không được đề cập, điều này dẫn tới việc các em cần có được

định hướng chính xác công việc cần thực hiện, cụ thể:

 Để chứng minh BEC  90 ta cần chứng minh E1E3   90

 Nhận xét rằng E1 và E3 là hai góc nhọn trong tam giác vuông, do vậy, nếu có

1 3 90

E E   thì E1C1, tức là khi đó hai tam giác vuông này đồng dạng

 Từ đó, chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc chứng minh ABE ∽ DEC

Tuy nhiên, với chỉ một yêu cầu chứng minh BEC  90 , ta có thể sử dụng cách khác như sau:

Hạ BH CD, suy ra ABHD là hình chữ nhật, do đó:

17cm

BH AD

12 6 6cm

CH CD DH CDAB  

Trong BHC vuông tại H, ta có:

2 2 2

289 36 325

Trong ABE vuông tại A, ta có:

2 2 2

36 64 100

Trong CDE vuông tại D, ta có:

2 2 2

144 81 225

Từ (1), (2), (3) suy ra:

2 2 2

BC BE CE  BCE vuông tại E BEC  90

Dạng 2 Dấu hiệu nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng

Định lí 1: Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh

huyền và cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng

Như vậy, nếu hai tam giác vuông ABC và A B C1 1 1 thỏa mãn:

1 1 1 1

1 1 1

Và khi đó ta có ngay:

1

1 1 1 1 1

1

1

và

C

A

A B B C C A

C

 











 Chú ý: Kết quả của định lí trên được chứng minh một cách khác đơn giản dựa vào

định lí Py-ta-go, thật vậy:

Nếu có:

1 1 1 1

k

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

1 1

k

Ví dụ 3 Cho ABC vuông tại A AC,  8cm, BC 12cm Kẻ tia Cx vuông góc với BC Trên

Cx lấy điểm D sao cho BD 18cm Chứng minh rằngABC ∽ CDB

 Giải

Xét hai tam giác vuông ABC và CDB, ta có:

12 2

18 3

8 2

12 3

BC

DB

CB





 Nhận xét: Từ kết quả:

1 1

//

AC BD ABCD

  là hình thang vuông

Dạng 3 Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng

Định lí 2: Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng

dạng

Như vậy, nếu A B C1 1 1 ∽ ABC với tỉ số k thì

1 1 1 1 1 1 1 1

k

Và khi đó ta có thêm:

1 1 1 1 1 1

1 1 1 và 1 1 1

A H B H C H

B A H BAH C A H CAH







Định lí 3: Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng

Như vậy, nếu A B C1 1 1 ∽ ABC với tỉ số k thì: A B C1 1 1 2

ABC

S

k S







Ví dụ 1 Trên hình 50, hãy chỉ ra các tam giác đồng dạng Viết các tam giác này theo thứ

tự các đỉnh tương ứng và giải thích vì sao chúng đồng dạng?

 Hướng dẫn: Sử dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông kết hợp với tính

chất 3 về sự đồng dạng của tam giác chúng ta sẽ nhận được sáu cặp tam giác đồng dạng

từ hình vẽ đó

 Giải

Nhìn trên hình vẽ , ta có:

 ABE ∽ ADC (vì hai tam giác vuông có góc nhọn A chung)

 EDF ∽ EBA (vì hai tam giác vuông có góc nhọn E chung)

 CBF ∽ CDA (vì hai tam giác vuông có góc nhọn C chung)

 EDF ∽ CBF( vì hai tam giác vuông có E C góc có cạnh tương ứng vuông góc)

 EDF ∽ CDA(vì cùng đồng dạng với CBF)

 CBF ∽ EBA(vì cùng đồng dạng với EDF)

Ví dụ 2 Cho ABC vuông ở A và có đường cao AH

a Trong hình vẽ 51 có bao nhiêu cặp tam giác đồng dạng với nhau? (Hãy chỉ rõ từng cặp tam giác đồng dạng và viết theo các đỉnh tương ứng)

b Cho biết AB 12, 45cm, AC 20,50cm Tính độ dài các đoạn thẳng BC AH BH, , và CH

 Hướng dẫn: Ta lần lượt:

 Với câu a), sử dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông kết hợp với tính chất

3 về sự đồng dạng của tam giác chúng ta sẽ nhận được ba cặp tam giác đồng dạng từ hình

vẽ

 Với câu b), sử dụng định lí Py-ta-go để tính BC kết hợp với kết quả trong câu a)

 Giải

a Ta có, các cặp tam giác đồng dạng có trong hình là:

 AHB ∽ CAB (vì hai tam giác vuông có góc nhọn B chung)

 CHA ∽ CAB (vì hai tam giác vuông có góc nhọn C chung)

 AHB ∽ CHA(vì cùng đồng dạng với CAB)

b Áp dụng định lí Py-ta-go vào ABC vuông tại A, ta có:

2 2 2

12, 45 20,5 575, 25 23,98 cm

XétAHB ∽ CAB, ta có:

 

20,5.12, 45

10, 64 cm 23,98

AH

 

2

6, 46 cm

HB

Do đó: CH BCBH 23,98 6, 46 17,53 cm    

Ví dụ 3 ABC có độ dài các cạnh là 3cm, 4cm và 5cm A B C   đồng dạng với ABC và

có diện tích là 2

54cm Tính độ dài các cạnh của A B C  

 Hướng dẫn: Ta lần lượt:

 Sử dụng định lí Py-ta-go để đánh giá được rằng ABC vuông tại A

 Tính diện tích ABC rồi sử dụng định lí 3 để suy ra tỉ số đồng dạng k của hai tam

giác ABC và A B C  

 Sử dụng k và tỉ số giữa các cạnh để tính độ dài các cạnh của A B C  

 Giải – Học sinh tự vẽ hình

Giả sử ABCcó AB 3cm, AC 4cm, BC 5cm, ta có:

3 4 25 và 5 25

Do đó ABC vuông tại A, suy ra:

 2

3.4

6 cm

ABC

AB AC

Xét ABC ∽ A B C   có tỉ số đồng dạng là k, ta có:

2 2 54

6

A B C

ABC

S

S

        

Mặt khác, ta đã có:

k

A B  A C  B C 

9cm, 12cm, 15cm

Ví dụ 4 Cho ABC , điểm D thuộc cạnh BC Vẽ DM song song với AC M AB, DN

song song với AB N AC Biết 2 2

,

S a S b Chứng minh rằng  2

ABC

 Hướng dẫn: Sử dụng kết quả của định lí 3

 Giải

Giả sử ABC có diện tích là S Ta thấy ngay:

2 2

2

BDM DCN





 

 

∽

Vì DM AC// nên

2

BDM BCA





 

 ∽     

2 2

     

