bai tap ve bat phuong trinh mot an va bat phuong trinh bac nhat mot an co loi giai

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN A.. Tập nghiệm của bất phương trình Tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất phương

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

A Lý thuyết

1 Bất phương trình một ẩn

1.1 Tập nghiệm của bất phương trình

Tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất phương trình

Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương trình

Ví dụ: Tập nghiệm của bất phương trình x  2 là tập hợp các số lớn hơn 2 Tức là x x  2

1.2 Bất phương trình tương đương

Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm là hai bất phương trình tương đương và kí hiệu

"  "

2 Bất phương trình bậc nhất một ẩn

2.1 Định nghĩa

Bất phương trình dạng ax b 0(hoặc ax b 0,ax b 0, ax b 0) trong đó a và b là hai

số đã cho, a 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn

Ví dụ: x  3 0;3x  1 0

2.2 Hai quy tắc biến đổi bất phương trình

a) Quy tắc chuyển vế

Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử

đó

Ví dụ: a    b c a c b

b) Quy tắc nhân với một số

Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:

+) Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương:

Ví dụ: ab(nhân cả hai vế với c 0)a c b c.

+) Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm

Ví dụ: ab(nhân cả hai vế với c 0)a c b c.

2.3 Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

Để giải bất phương trình ta đưa về dạng cơ bản ax b 0; ax b 0; ax b 0; ax b 0

B Các dạng bài tập

Dạng 1: Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

Phương pháp:

Bước 1: Áp dụng quy tắc (quy tắc chuyển vế hoặc quy tắc nhân với một số) để đưa bất phương trình về dạng axb(ax b;axb;axb)

Bước 2: Kết luận nghiệm của bất phương trình

Bài 1: Giải các bất phương trình (theo quy tắc chuyển vế)

a) x  3 5 b) 2x x 2

c) 2x  4 3x 2 d) 2,5 2  x  x 3,5

Giải

a) Ta có: x       3 5 x 5 3 x 8

Vậy tập nghiệm của phương trình là x x  8

b) Ta có: 2x  x 2 2x   x 2 x 2

Vậy tập nghiệm của phương trình là x x  2

c) Ta có: 2x  4 3x     2 4 2 3x 2x   2 x

Vậy tập nghiệm của phương trình là x x   2

d) Ta có: 2,5 2  x  x 3,5  2,5 3,5    x 2x  6 x

Vậy tập nghiệm của phương trình là x x  6

Bài 2: Giải các bất phương trình (theo quy tắc nhân với một số)

a) 2x 1 b) 0,2x  0, 4

c) 1 3

3x

4

x

 

Giải

a) Ta có: 2 1 2 1 1. 1 1

x  x     x

   

   

Vậy tập nghiệm của phương trình là 1

2

x x

b) Ta có: 0,2x 0, 4  0,2 5x   0.4 5  x 2

Vậy tập nghiệm của phương trình là x x  2

c) Ta có: 1 1    

Vậy tập nghiệm của phương trình là x x  9

d) Ta có: 2 1 2 1 1. 1 1

         

Vậy tập nghiệm của phương trình là 1

8

x x

   

Bài 3: Giải các bất phương trình sau

a) 3x  5 2x  1 x b)   2 2

x  x  x

c) 3 4 x  1 2 5x 2 8x 2 d) 1 3 1 2

x

2

x

Giải

a) Ta có: 3x  5 2x  1 x  3x  5 2x  2 x 3x 3x   2 5  0x 3

Vậy phương trình vô nghiệm

b) Ta có:   2 2 2 2

x  x  x x  x x  x  x  8x 8x   2 0x  2

Vậy phương trình vô nghiệm

c) Ta có: 3 4 x  1 2 5x 2 8x 2

 12x  3 10x  4 8x 2

1 6 1

6

Vậy tập nghiệm của phương trình là 1

6

x x

d) Ta có: 1 3 1 2

12 1 3 3 3 1 4 2

x  x x  x

 12x  1 3 x 3  3 x  1 4 x 2

 12 12  x 3x  9 3x  3 4x 8

 9x 21   x 11  10x  10   x 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là x x   1

e) Ta có: 5 4 2 3

x

30.5 6 4 30 15 2 10 3

 150 6  x 24  30x 15x  3 10x 30

 6x 15x 30x 10x 30 30 150 24   

  19x  114  x 6

Vậy tập nghiệm của phương trình là x x  6

f) Ta có: 2 15 1  

2

x

 2     

x  x  x x x

 2     

2 2x 2x 1 15 x 1 4x x 1

4x 4x 2 15x 15 4x 4x

2 2

4x 11x 4x 4x 17

15 17 17

15

Vậy tập nghiệm của phương trình là 17

15

x x

Bài 4: Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm của mỗi bất phương trình trên

một trục số

a) 2x  3 3x 2 b) 12 1 9 1 8 1

x x x

c) 5x  1 6 x 2 d) 2 1 1 4 5

x  x  x

Giải

a) Ta có 2x  3 3x 2 2x  3 3x 6

   6 3 3x 2x  3 x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x x  3

+) Biểu diễn trục số

b) Ta có 12 1 9 1 8 1

x  x  x 12 1 4 9 1 3 8 1

 12x  1 36x  4 24x 3

 12x  1 12x 1luôn đúng với mọi giá trị x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  x

+) Biểu diễn trên trục số:

c) Ta có: 5x  1 6 x 2  5x  5 6x 12

   5 12  6x 5x x 7

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x x  7

+) Biểu diễn trên trục số:

d) Ta có: 2 1 1 4 5

x  x  x 3 2 1  1 2 4 5

x  x x

 6x    3 x 1 8x 10   6 3x x 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x x  2

+) Biểu diễn trên trục số:

Bài 5: Tìm các giá trị của m để phương trình ẩn x sau

a) x  2 m x  3có nghiệm dương? b) 10 2 8 1

xm  mx  mx

có nghiệm âm?

Giải

a) Ta có: x  2 m x  3  x 2 mx 3m

1

m

m





Theo bài ra phương trình có nghiệm dương nên ta có: 3 2 0

1

m m





 Xét 2 trường hợp:

+) TH1:

2

1 3

1

m m

m



+TH2:

2

3

1

m

m



   (loại không có giá trị thỏa mãn)

Vậy với 2 1

3 m

nghiệm dương

b) Ta có: 10 2 8 1

xm mx mx

xm mx  mx

20x 2m 4mx 8 24mx 3

11 2

20 20 11 2

20 1

m

m





Theo bài ra phương trình có nghiệm âm nên ta có:

11 2

0

20 1

m m



Xét 2 trường hợp:

+) TH1:

11

11 2 0

2

1

m

m



(loại không có giá trị thỏa mãn)

+) TH2:

11

1 2

1

m m

m



Vậy với 11 1

2 m thì phương trình có nghiệm âm