Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của đồ thị hàm số 1.. Viết phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M nằm trên C có hoành độ lớn hơn 1; biết rằng tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TỐNG DUY TÂN
******
ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN THỨ NHẤT
NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn: Toán 12 – Khối A, B, D Thời gian làm bài: 180 phút
******
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số: 2 4 1
1
x y x
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của đồ thị hàm số (1)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M nằm trên (C) có hoành độ lớn hơn 1; biết rằng tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho: 3MA2MB
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình: cos 2 3 1 sin 2 cos 2 sin 2x 2 sin 1
2 cos 1
x
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: 3 3 2
Câu 4 (1,0 điểm) Tính giới hạn:
0
ln 1 sin lim
1
x x
x L
e
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D; SA vuông góc với mặt
đáy (ABCD); AB2a ; ADCD Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy (ABCD) là 60 a 0 Mặt phẳng
(P) đi qua CD và trọng tâm G của tam giác SAB cắt các cạnh SA, SB lần lượt tại M, N Tính thể tích khối chóp S.CDMN theo a
Câu 6 (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn 2 2 2
2 a b c ab bc ca Tìm giá trị 3
3
S a b c
a b c
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A1; 2, B3; 4 và đỉnh C
nằm trên đường thẳng d: 2x y 4 0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết đỉnh
C có tung độ dương và diện tích tam giác ABC bằng 2
Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1; 2; 1 và B 2;1;3 Tìm tọa độ điểm
C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C
Câu 9.a (1,0 điểm) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 1 2
1
6C n n A n160 Tìm hệ số của 7
x trong khai triển 3
1 2 x 2x n
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip
x y
E với hai tiêu điểm F F1, 2
(hoành độ của F âm) Tìm tọa độ điểm M thuộc elip (E) sao cho góc 1 0
1 2 60
MF F
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A1; 2;1, B 2;1;3, C2; 1;1 , D0;3;1
Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện Tính thể tich khối tứ diện đó
Câu 9.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
3
x y
x y
-HẾT -
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TỐNG DUY TÂN
********
ĐÁP ÁN ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12
LẦN THỨ NHẤT NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn: Toán 12 – Khối A, B, D Thời gian làm bài: 180 phút
*******
1 1 Khảo sát sự biến thiên …
* Tập xác định:
* Sự biến thiên của hàm số
- Giới hạn của hàm số tại vô cực và giới hạn vô cực
1
x y
x
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng: y 2
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng: x 1
0.25 điểm
- Bảng biến thiên
2
2
1
x
x 1
y' + +
y
2
2
0.25 điểm
Hàm số đồng biến trên các khoảng ;1 và 1;
Hàm số không có cực trị
0.25 điểm
điểm
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị …
6 5 4 3 2 1
-1 -2
Trang 3Gọi 0
0 0
; 1
x
M x
x
với x 0 1
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là:
0 0 2
0 0
2
1 1
x
x x
0.25 điểm
Tiếp tuyến cắt trục hoành Ox tại 2
0 4 0 2;0
A x x , cắt trục tung Oy tại
2 0 0
0;
1 1
B
x x
0.25 điểm
0
1
x
x
;
0
0
2
;
1
x
x
Nên
2
0
2
0.25 điểm
Từ đó: M3;1
Phương trình tiếp tuyến cần lập: 1 1
y x
0.25 điểm
2
Giải phương trình: cos 2 3 1 sin 2 cos 2 sin 2x 2sin 1
2 cos 1
x
Điều kiện: 2 cosx 1 0
Phương trình đã cho tương đương với:
x
0.25 điểm
1 sinx 2sinx 3 0
3 sin
2
x
x
0.25 điểm
2
2
sin
2 2
2 3
0.25 điểm
Đối chiếu điều kiện, ta có các nghiệm của phương trình đã cho là:
2 2
x k
3
x k
(với kZ)
0.25 điểm
3
Giải hệ phương trình:
Trang 4
Điều kiện: 3
3
x y
Ta có:
1 x32xy232y2 3
0.25 điểm
Xét hàm số: f t t32t có f' t 3t2 2 0, t R
Nên hàm số đồng biến trên R
Bởi vậy: 3 f x f y 2x y 2 y x 2 4
0.25 điểm
Thay (4) vào (2):
2
3x x 1 x x2 10x5 x2 22
2
3 x x 1 2x 11x 16
0.25 điểm
x
x
5 x 2 y4
x
Vì x nên 73 2x và 1 1 1
3x1
x
Hay (6) vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất 2
4
x y
0.25 điểm
4
Tính giới hạn:
0
ln 1 sin lim
1
x x
x L
e
Ta có: ln 1 sin ln 1 sin sin
0.25 điểm
0
ln 1 sin
sin
x
x x
;
0
sin
x
x x
0
1
x x
x e
0.5 điểm
0
ln 1 sin lim
1
x x
x L
e
0.25 điểm
5 Tính thể tích khối chóp S.CDMN
điểm
Mặt phẳng (P) đi qua CD và trọng tâm G của tam giác SAB, cắt các cạnh SA, SD lần
lượt tại M, N, khi đó MN/ /AB và 2
3
SM SN
SA SB
Ta có:
.
S CDM
V SC SD SA
0.25 điểm
Trang 52
.
S MNC
S ABC
Bởi vậy:
V V V V V V
Vì ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB2a; ADCDa nên BC AC
Mặt khác SAmp ABCD nên mp SBC ;mp ABC D SC AC; SCA
Từ đó ta có: SCA 600
0.25 điểm
Trong tam giác SAC vuông tại A, có ACa 2 và
SAAC SCAa a
3
V S SA SA aa a a
Vậy:
3
3
S CDMN
a
0.25 điểm
6 Tìm giá trị lớn nhất …
Với a, b, c là các số dương ta có:
2
3
a b c
a b c
3
a b c
ab bc ca
Bởi vậy:
2
2
a b c a b c
a b c
0.25 điểm
M
N G
C
A
B
D
S
Trang 6Từ đó:
0a b c 3
Ta có:
2
3
a b c
a b c ab bc ca abbcca
Nên:
2
a b c
a b c
Bởi vậy:
a b c
0.25 điểm
Xét hàm số 1 2 1 3
f t t
t
với 0 t 3
t
Nên hàm số đồng biến trên 0;3
Bởi vậy:
3 , 0;3
f t f t
Hay 17
6
f t
0.25 điểm
Suy ra: 17
6
S
Dấu “=” xảy ra khi ab c 1
Vậy: max 17
6
S khi ab c 1
7.a Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp …
Ta có: AB 2; 2
và AB 2 2
Phương trình đường thẳng AB: xy 1 0
0.25 điểm
Đỉnh C nằm trên đường thẳng d: 2xy4 nên 0 C t; 2t 4 và t 2
d C AB
ABC
t
S AB d C AB t
0.25 điểm
Bởi vậy:
ABC
Nên C 1; 2
0.25 điểm
Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
x y ax by c
Thay tọa độ A, B, C vào phương trình, ta có:
Vậy, phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
0.25 điểm
Trang 72 2 10 15 0
x y y
8.a Tìm điểm C trên trục Ox ……
điểm
Ta có: CA1t; 2; 1
, CB 2 t;1;3
điểm
Tam giác ABC vuông tại C điều kiện là:
CA CB t t t t
1 13
1 13
t
t
0.25 điểm
Như vậy: C 1 13; 0; 0 hoặc C 1 13; 0;0 0.25
điểm 9.a Tìm hệ số trong khai triển
Với n nguyên dương, ta có:
1
C A n nn n
10
n
n
Vậy n 8
0.25 điểm
Bài toán trở thành: Tìm hệ số của x7 trong khai triển 3 8
1 2 x 2x
Ta có: 1 2 x3 2x82x82x32x8
0.25 điểm
*
8
8 1
k
Số hạng chứa 7
x là: 2C x87 716x7
8 8
8 1
k
Số hạng chứa x7 là: 2 x C3 8424x42240x7
0.25 điểm
Vậy, hệ số của 7
x cần tìm là: 16 2240 2224 0.25
điểm 7.b Tìm tọa độ điểm M trên elip …
Ta có: a3;b 5;c 9 5 2
Tọa độ tiêu điểm: F12;0 ; F22; 0
Gọi M x y 0; 0 E nên
x y
0.25 điểm
điểm
1 2 60
MF F thì:
MF MF F F MF MF MF F
3
4
0.25 điểm
Thay 0 3
4
điểm
Trang 82
2 0
3
4
1
y
Như vậy: 3 5 5;
M
hoặc 3; 5 5
M
8.b Tính thể tích khối tứ diện ……
Ta có: AB 3; 1; 2 ; AC1; 3; 0 ; AD 1;1; 0
điểm
điểm
Do AB AC AD; 4 0
nên AB AC AD; ;
không đồng phẳng Hay 4 điểm A, B, C, D
là 4 đỉnh của tứ diện
0.25 điểm
Thể tích tứ diện ABCD:
V AB AC AD
9.b
3
x y
x y
1 33x 3x2y 32x2y 7 3x 2y 2x 2y 3x2y 32x2y 7
2 32x 4y 34x 4y 10
0.25 điểm
Đặt:
2
2 2
x y
x y
u v
, ta có hệ phương trình:
7 10
u v uv
u v
7
u v uv
u v uv
0.25 điểm
Đặt: u v S
uv P
ta có:
3
P
13
S P
(loại)
hoặc 1
3
u v
0.25 điểm
1
u
v
ta có:
2
2 2
x y
x y
x y
x y
x y
3
u
v
ta có:
2
2 2
1
6
x y
x y
x
x y
x y
y
Vậy, hệ có hai nghiệm x y; là: 1 1;
3 3
và
;
0.25 điểm
