Bộ đề, đáp án học sinh giỏi Toán 7

Bộ đề, đáp án học sinh giỏi Toán 7

(Đề thi gồm 06 câu trong 01 trang)

Ngày thi: 12/03/2018

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu I (3,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:

1)

5 4 9

10 8 8

4 9 2.6 A

Câu III (4,0 điểm).

1) Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức A= có giá trị lớn nhất? Hãy tìmgiá trị lớn của A tại x?

Câu V (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A (Â<900) D là trung điểm của AC Trên đoạn thẳng BDlấy điểm E sao cho Từ A kẻ AG BD (G tia BD ); kẻ CK BD (KBD)

4x 3 x

16

28

10 1

 4  x

10

x

 4 10

x

 4 10

Câu III

(4.0

điểm)

2 (1.0 điểm)

Áp dụng tính chất 0

Vậy x = 1/2; y = -2/3; z = -1/2 0.25 0.25 0.25 0.25 3 (1.0 điểm) + Ta có:

+ Có M10 < 210 (Vì M > 0) mà 210 = 1024 < 2017

Vậy M10 < 2017

0.25

0.25

0.25 0.25

2

0

x  y  x xz 

A 

y z tz t

  

x z t  z t

  

t z

t t z

z ( ) y x

y y x

x (















- Gọi số vở của 3 lớp 7A, 7B, 7C nhận được theo dự định tương ứng

là x,y,z và số vở nhận được trong thự tế là a,b,c (với x,y,z,a,b,c thuộc

Số vở lớp 7B nhận được không đổi

Số vở lớp 7C nhận được ít hơn so với dự định, suy ra z-c=12

- Từ đó suy ra 7A nhậ được 432 quyển vở, lớp 7B nhận được 360

quyển vở, lớp 7C nhận được 288 quyển vở

3 4 5 : : 6 : 40 : 25

Câu V

(Chấm theo hình vẽ của học sinh vì có 2 khả năng: Hình 1 và hình 2

đều có chung lời chứng minh HS không cần xét 2 trường hợp).

điểm)

Mà CE nằm giữa CH, CK nên CE là phân giác của

Kết luận: CE là phân giác của

(tính chất)

(7)

Lấy (6) trừ (7) theo từng vế ta được:

 CBE ECB·  · CAE ECA·  ·

ABC

 CBE ABE·  ·  ECB ECA·  ·

 ECB·  ·ABE CAE·

CAE ABE 2.ECB· 2.CAE·  ECB CAE·  ·

ECB DAE

điểm)

- Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC, chứa tứ giác ABCD

dựng tam giác đều BCE

- Theo giả thiết ta tính được

DAB 100 ; ADB ABD 40 ; ACE ACB 30     

Suy ra tam giác BAD cân tại A và

ACB ACE(c.g.c) AD AB AE DAE;BAE

Mặ khác DAE EAB 50· ·  0   DAE   BAE  AED AEB 65· ·  0  BED 130·  0

Suy ra DEC 360·  0  130 0  170 0; DE=BE=EC Suy ra  DEC cân tại E

f(2)f(1)=f(3)+f(1) suy ra f(3)=18f(3)f(1)=f(4)+f(2) suy ra f(4)=47f(4)f(3)=f(7)+f(1) suy ra f(7)=843

0.25

0.25

a Chứng minh BEH = ACB.

0,250,250,250,25

B

C H

(Thời gian làm bài: 120 phút)

Câu 1 (2,0 điểm) Tìm x biết

Cho đa thức M x 2 7xy 5y 24x 8y và N  x2 5xy 5y 24x 16

1) Tìm đa thức Q sao cho M - Q = N

2) Tính giá trị của đa thức Q tìm được ở trên khi x + y = 4

Câu 4 (3,0 điểm).

Cho tam giác ABC cân tại A Kẻ AH vuông góc với BC tại H, trên tia đối của tia HAlấy điểm D sao cho HD = HA Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = CB

1) Chứng minh: Tam giác ACD cân

2) Chứng minh: ACE = DCE.

3) Đường thẳng AC cắt DE tại K Chứng minh: AB BC 2DK 

Câu 5 (1,0 điểm).

Cho đa thức f (x) 2 x 2(m 1) x m 

1) Tìm m biết đa thức có nghiệm x = 2

ĐỀ CHÍNH THỨC

2) Với m vừa tìm được hãy tìm nghiệm còn lại của đa thức.

Điể m

nên C là trọng tâm của  ADE

0,5

Khi đó trong  ADE, AK là trung tuyến của tam giác  K là

Trong ECD có: DC + CE > DE mà DC = AB; CE = BC

2 x 3x 2 0 2x 4x x 2 0 2x(x 2) (x 2) 0 (x 2)(2 x 1) 0

 x – 2 = 0 hoặc 2x + 1 = 0  x = 2 hoặc

1 x 2





Vậy nghiệm còn lại là

1 x 2

(Thời gian làm bài: 120 phút)

(Đề thi gồm 01 trang)

Câu 1 (2 điểm ) : Tìm x biết

Câu 3 (2 điểm):

Cho đa thức A x 25xy 5y 23x 18y và B  x2 3xy y  2 x 7

ĐỀ CHÍNH THỨC

a) Tìm đa thức C sao cho A - C = B

b) Tính giá trị của đa thức C tìm được ở trên khi x - y = 4

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

     P 1 2 2 13

3 4 6

0,25

b)  ADC = ABE(c.g.c)   ADC =ABE· ·  BMC =BDC+MBD · · · 0,2

E

M B

A

c) ã

 0 Trên DC lấy K sao cho KBM 60 Chứng minh DBK ABMã ã 0,2

5 Chứng minh KBM đều và  DKB = AMB ( c.g.c)  0,5

Trờng THCS Trung Kiên Đề thi học sinh giỏi

M

C B

A

a) Cho bốn số nguyên dơng a,b,c,d trong đó b là trung bình cộng của a và c đồng thời : Chứng minh rằng bốn số đó lập nên một tỉ lệ thức.

b) Chứng minh rằng 55 - 54 +53 chia hết cho 7

Bài 3 (2,5 đ ): Trên một công trờng ba đội lao động có tất cả 196 ngời Nếu chuyển số

ng-ời của đội 1, số ngng-ời của đội 2 và số ngng-ời của đội 3 đi làm việc khác thì số ngng-ời còn lạicủa ba đội bằng nhau Tính số ngời của mỗi đội lúc đầu

Bài 4 (2,5 đ ): Cho ABC, biết ba góc A; B; C lần lợt tỉ lệ với 3;5;1.

a) Tính số đo các góc của ABC

b) Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC ở D Tính góc ABC ?

Trờng THCS Trung Kiên Đề thi học sinh giỏi

Bài 3: (1,5đ) CMR với mọi số tự nhiên n thì chia hết cho 10

Bài 4: (1,5đ) Tìm các cặp số nguyên (x;y) sao cho:

a Tìm a, b, c biết 2a=3b, 5b=7c, 3a+5c-7b=30.

b Tìm hai số nguyên dơng sao cho tổng, hiệu (Số lớn trừ số nhỏ), thơng (Số lớn chia

số nhỏ) của hai số đó cộng lại đợc 38

Câu 4 (6đ) Cho ABC vuông cân tại B, trung tuyến BM, gọi D là điểm bất kì trên

cạnh AC Kẻ AH, CK vuông góc với BD (H, K thuộc đờng thẳng BD) Chứng minh rằng:

a Chứng minh rằng: BE=CD và AD=AE.

b Gọi I là giao điểm của BE và CD; AI cắt BC ở M Chứng minh rằng các tam giácMAB, MAC cân

c Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE, các đường này cắt BC lần lượt tại

K, H Chứng minh rằng KH=KC

Câu 5 (1 điểm).

Cho tam gíac ABC có AB>AC và Â= Đường thẳng đi qua A vuông góc với phângiác của góc A cắt đường thẳng BC tại M sao cho BM=BA+AC Tính số đo của cácgóc B, C

BỘ ĐỀ ĐÁP ÁN HSG MÔN TOÁN CẤP HUYỆN, TỈNH FILE WORD Zalo

(2020-95 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 CÁC HUYỆN CỦA TỈNH VĨNH PHÚC=100k

3

2 5 17,81:1,37 23 :1

2x 27  3y 10  0 3.T×m c¸c sè a, b sao cho 2007ab lµ b×nh ph¬ng cña sè tù nhiªn

Bµi 4: (6 ®iÓm)

Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i A cã trung tuyÕn AM E lµ

®iÓm thuéc c¹nh BC KÎ BH, CK vu«ng gãc víi AE (H, K thuéc AE)

1 Chøng minh: BH = AK

2 Cho biÕt MHK lµ tam gi¸c g×? T¹i sao?

 2x-272007 = 0 vµ (3y+10)2008 = 0

x = 27/2 vµ y = -10/3

0,50,511.3 V× 00≤ab≤99 vµ a,b  N

 200700 ≤ 2007ab ≤ 200799

 4472 < 2007ab < 4492

 2007ab = 4482  a = 0; b= 4

0,50,50,50,5

Tõ gi¶ thiÕt suy ra b2 = ac; c2 = bd; 

1

 

=

3

x y z

Đặt c1 = a1-b1; c2 = a2-b2;…; c5 = a5-b5

Xét tổng c1 + c2 + c3 +…+ c5 = (a1-b1)+( a2-b2)+…+(

a5-b5) = 0

 c1; c2; c3; c4; c5 phải có một số chẵn

 c1 c2 c3 c4 c5 M 2

1111

5

AOE = BOF (c.g.c)  O,E,F thẳng hàng và OE = OF

AOC = BOD (c.g.c)  C,O,D thẳng hàng và OC = OD

EOD = FOC (c.g.c)  ED = CF

1111

Trờng thcs tứ trng Đề thi khảo sát hsg lớp 7

Môn : Toán

Thời gian: 120phút (không kể thời gian giao

đề)

Bµi 3 (4 ®iÓm)

a) Cho hai ®a thøc f(x) = x5 – 3x2 + 7x4 – 9x3 + x2 -

1

4x g(x) = 5x4 – x5 + x2 – 2x3 + 3x2 -

1 4TÝnh f(x) + g(x) vµ f(x) – g(x)

b) TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc sau:

a) IK// DE, IK = DE

Thêi gian: 120phót (kh«ng kÓ thêi gian giao

Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông Trên hai cạnh đầu vật

chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vậntốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốncạnh là 59 giây

Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A 20µ  0, vẽ tam giác đều DBC (D nằmtrong tam giác ABC) Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M Chứng minh:

a) Tia AD là phân giác của góc BAC

b) AM = BC

Bài 6: (2 điểm) Tìm x y, ¥biết: 25y2 8(x2009)2

Trêng thcs tø trng §Ò thi kh¶o s¸t hsg líp 7

Môn : Toán

Thời gian: 120phút (không kể thời gian giao đề)

Đề 5 Bài 1:

3

2 5 17,81:1,37 23 :1

5 4 6 Biết rằng tổng cỏc bỡnh phương của ba

c) Từ E kẻ EH BC HBC Biết ãHBE = 50o ; ãMEB =25o Tớnh ãHEM và ãBME

a) Cho Tìm số nguyên n để B có giá trị lớn nhất

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A =

DI và EK cùng vuông góc với đờng thẳng BC Chứng minh rằng:

b)GDE = GIK (g c g) v× cã: DE = IK (c©u a)

Gãc GDE = gãc GIK (so le trong, DE//IK)

Gãc GED = gãc GKI (so le trong, DE//IK)

a a b a

b a b  b

b) Theo câu a) ta có:

x Với

x 

b)

x

Bài 4: Cựng một đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch

Gọi x, y, z là thời gian chuyển động lần lượt với cỏc vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s

Ta cú: 5.x4.y3.z và x x y z   59hay:

59 60

;

1

60 20 3

Vậy cạnh hỡnh vuụng là: 5.12 = 60 (m)

Bài 5: a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c)

suy ra DAB DACã ã Do đú DABã  20 : 2 10 0  0

b) ABC cõn tại A, mà àA 20 0(gt) nờn ãABC (180 0  20 ) : 2 80 0  0

ABC đều nờn ãDBC 60 0

Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra ãABD 80 0  60 0  20 0

Tia BM là phõn giỏc của gúc ABD nờn ãABM  10 0

Xột tam giỏc ABM và BAD cú:

AB cạnh chung ; BAMã ãABD20 ;0 ãABM DABã 100

Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nờn AM = BC

Bài 6: 25 y 2 8(x 2009) 2 Ta cú 8(x-2009)2 = 25- y2 =>8(x-2009)2 + y2 =25 (*)

Vỡ y2 0 nờn (x-2009)2

25 8

, suy ra (x-2009)2 = 0 hoặc (x-2009)2 =1 Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta cú y2 = 17 (loại)

Với (x- 2009)2 = 0 thay vào (*) ta cú y2 =25 suy ra y = 5 Từ đú tỡm được (x=2009; y=5)

đáp án đề 5 Bài 1:

a)

200

M A

D

1 7 2

x x x

H

E

M B

A

C I

x = 27/2 vµ y = -10/3

Bài 3:

a) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A.Theo đề bài ta có: a : b : c =

2 3 1 : :

Max C = -18 

2 6 0

3 9 0

x y

a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có:

AM = EM (gt); ·AMC = ·EMB(đối đỉnh);

BM = MC (gt )

Nên: AMC = EMB (c.g.c ) 0,5 điểm

Vì AMC = EMB ·MAC = ·MEB

(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường

thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE)

20 0

M A

Nên AMI  EMK (c.g.c) Suy ra ·AMI = ·EMK

Mà ·AMI + ·IME = 180o (tính chất hai góc kề bù)

 ·EMK + ·IME = 180o  Ba điểm I;M;K thẳng hàng

c/ Trong tam giác vuông BHE (µH = 90o) có ·HBE = 50o

·HBE

 = 90o - ·HBE = 90o - 50o =40o ·HEM = ·HEB - ·MEB = 40o - 25o = 15o

·BME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM Nên ·BME = ·HEM + ·MHE = 15o + 90o = 105o(định lý góc ngoài của tam giác)

Bài 5:

a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c)

suy ra DAB DAC· ·

Do đó ·DAB 20 : 2 10 0  0

b) ABC cân tại A, mà µA 20 0(gt) nên ·ABC(180020 ) : 2 800  0

ABC đều nên ·DBC 60 0

Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra ·ABD 800 600  200

Tia BM là phân giác của góc ABD

nên ·ABM  100

Xét tam giác ABM và BAD có:

AB cạnh chung; ·BAM ·ABD20 ;0 ·ABM DAB· 100

Vậy: ABM = BAD (g.c.g)



Trong tam giác BCD có ME là đờng trung bình

=> ME//BD

Trong tam giác MAE có I là trung điểm của cạnh AM (gt)

Mà ID//ME (gt)

Nên D là trung điểm của AE => AD=DE (1)

Vì E là trung điểm của DC => DE=EC (2)

So sánh (1)và (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD

b) Trong tam giác MAE ,ID là đờng trung bình (theo a) => ID=1/2ME (1)

Trong tam giác BCD; ME là Đờng trung bình => ME=1/2BD (2)

Góc A1= góc B1(cùng phụ với góc B2)

 AHB= BID (cạnh huyền, góc nhọn)

Bài 1: a) Thực hiện phép tính

b) Tìm các số tự nhiên x và y, biết rằng

Bài 2: Chứng minh rằng với

Bài 3: Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện:

Hãy tính giá trị của biểu thức

Bài 4: Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65km/h, cùng lúc đó một xe máy chạy từ B

đến A với vận tốc 40km/h Biết khoảng cách AB là 540km Hỏi sau khi khởi hành baolâu thì ô tô cách điểm M (M là điểm chính giữa quãng đờng AB) một khoảng bằngkhoảng cách từ xe máy đến M

Bài 5: Cho , lấy điểm G thuộc đoạn KC Vẽ đoạn BD sao cho BK là phân giác của góc

GBD; trên tia đối của tia GB lấy điểm A sao cho CK là phân giác góc DCA Tínhtổng (Ký hiệu là góc)

A M B

K

C

B D

G A

o

1

2 1

Nửa quãng đờng AB là 540 : 2= 270(km)

Gọi quãng đờng ô tô và xe máy đã đi là s1, s2 0,25đTrong cùng một thời gian thì quãng đờng tỉ lệ thuận với vận tốc,

XÐt tam gi¸c ACG và BKG cã (1) 0,5®