dạng tự đẳng cấu và biểu diễn nhóm gl (2,r)

MỞ ĐẦUDạng tự đẳng cấu là khái niệm lần đầu được đưa vào bởi Poincaré: hàm số trên không gian đối xứng G/K, G là nhóm Lie, K là nhóm con compactcực đại, biến đổi theo một công thức đơn g

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THU HOÀI

DẠNG TỰ ĐẲNG CẤU VÀ BIỂU DIỄN NHÓM GL(2,R)

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Chuyên ngành : Toán giải tích

Mã số: 60.46.01

Người hướng dẫn khoa học:

GS.TSKH Đỗ Ngọc Diệp

Thái Nguyên - 2011

Mục lục

Mở đầu 2

Chương 1 LÝ THUYẾT DẠNG TỰ ĐẲNG CẤU TRÊN GL(2, R) 4

1.1 Một số khái niệm cơ bản 4

1.2 Toán tử trong không gian Hilbert 6

1.3 Đại số Lie và đại số phổ dụng 8

1.4 Bài toán phổ cho thương compact của nửa mặt phẳng trên 9

1.4.1 Lý thuyết phổ của các dạng tự đẳng cấu 9

1.4.2 Xác định phổ của toán tử đối xứng không bị chặn trên L 2 (Γ\ H, χ,k) 11

1.4.3 Khai triển không gian Hilbert L2(Γ\G, χ) thành các không gian con bất khả qui 12 Chương 2 BIỂU DIỄN NHÓM GL(2, R) 15

2.1 Dạng tự đẳng cấu trên GL(2, R) 15

2.1.1 Định nghĩa 15

2.1.2 Các dạng tự đẳng cấu trên Γ\ H 16

2.2 Biểu diễn của các nhóm compact địa phương 17

2.3 Biểu diễn của đại số Lie 18

2.4 Phân loại các (g, K)-module bất khả quy của G = GL(2, R)+ 25

Chương 3 MỘT SỐ TÍNH TOÁN 33

Kết luận 39

Tài liệu tham khảo 40

MỞ ĐẦU

Dạng tự đẳng cấu là khái niệm lần đầu được đưa vào bởi Poincaré: hàm

số trên không gian đối xứng G/K, G là nhóm Lie, K là nhóm con compactcực đại, biến đổi theo một công thức đơn giản với tác động của một nhómcon số học G Gelfand nhìn dạng tự đẳng cấu theo góc độ của các biểudiễn tự đẳng cấu, một bộ phận của lý thuyết biểu diễn vô hạn chiều vànghiên cứu phổ, giá trị riêng của toán tử Hecke

Mục đích của luận văn này là tìm hiểu lý thuyết dạng tự đẳng cấu vàbiểu diễn trong trường hợp nhóm GL(2, R) Ta sẽ nghiên cứu mối liên hệgiữa lý thuyết biểu diễn nhóm GL(2, R) và các dạng tự đẳng cấu trên nửamặt phẳng trên Poincaré Ta sẽ tập trung vào lý thuyết phổ trong trườnghợp thương compact

Luận văn với đề tài “Dạng tự đẳng cấu và biểu diễn nhóm GL(2, R)”gồm 3 chương:

• Chương 1: Lý thuyết dạng tự đẳng cấu trên GL(2, R)

• Chương 2: Biểu diễn nhóm GL(2, R)

• Chương 3: Một số tính toán

Trong chương 1 chúng tôi trình bày một số khái niệm liên quan đến lýthuyết dạng tự đẳng cấu trên nhóm GL(2, R), nhắc lại một số khái niệm vềtoán tử trong không gian Hilbert, sơ lược về nhóm Lie, đại số Lie và xâydựng đại số phổ dụng của nó Đặc biệt, trọng tâm của chương này chínhmối liên hệ giữa bài toán phổ với thương compact của nửa mặt phẳngPoincaré

Trong chương 2, từ lý thuyết của các dạng tự đẳng cấu, chúng tôi trìnhbày một số biểu diễn, chẳng hạn biểu diễn của nhóm compact địa phương,

biểu diễn của đại số Lie và một kết quả quan trọng là sự phân loại các(g, K)-module bất khả quy của nhóm G = GL(2, R)+.

Trong chương 3 chúng tôi trình bày một số kết quả liên quan đến biểudiễn của nhóm GL(2, R)

Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết

ơn GS.TSKH Đỗ Ngọc Diệp người thầy đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trường Đại học sư phạm thuộc Đại học Thái Nguyên và các thầy cô giáo Viện Toán học Việt Nam

đã giảng dạy, giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa học

Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Trường Cao đẳng Công nghiệp Nam Định, gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình tác giả học tập

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011

1.1 Một số khái niệm cơ bản

Cho H là nửa mặt phẳng Poincaré: H = {x + iy ∈ C|y > 0} Đặt G =

GL(2, R)+ là nhóm các ma trận thực cấp 2 với định thức dương Khi đó

G tác động trên H bởi phép biến đổi phân thức tuyến tính Nghĩa là nếu

g ∈ GL(2, R)+ và z = x + iy ∈H, y > 0 thì tác động của g tại z cho bởi:

g(z) = az+bcz+d

Cho Γ là nhóm con rời rạc của G, sao cho Γ\H là compact, hoặc ít nhất

có diện tích hữu hạn Giả thiết rằng −I ∈ Γ, bởi vì nếu −I /∈ Γ, thay Γ bởi

nhóm sinh bởi Γ và –I (I là ma trận đơn vị cấp 2) Mặt khác, không mất

tính tổng quát, giả thiết rằng Γ ⊂ SL(2, R) (nhóm các ma trận cấp 2 với hệ

số thực và định thức bằng 1)

Định nghĩa 1.1.1 Cho H là một nhóm, đặc trưng của H là một đồng cấu

χ : H → C× Đặc trưng unitary là một đặc trưng thoả mãn |χ(γ)| = 1 với

mọi γ.

đường xạ ảnh trên Q Do SL(2, Z) tác động bắc cầu trên P1(Q), nên nhómcon chỉ số hữu hạn chỉ có thể có quỹ đạo hữu hạn trên tập này Một quỹđạo của Γ trong P1(Q) được gọi là điểm nhọn của Γ Tổng quát hơn, nếu Γ

không giả thiết là nhóm con đồng dư, mà chỉ là một nhóm rời rạc tác độngtrên H với Γ\H có diện tích hữu hạn, thuật ngữ điểm nhọn được dùng đểchỉ là một trong hai trường hợp:

- Điểm a ∈ P1(R) = R ∪ {∞} sao cho Γ chứa một phần tử parabolic

γ 6= I với γ (a) = a

- Quỹ đạo của các điểm nói trên dưới tác động của Γ

Định nghĩa 1.1.3 Giả sử k là "trọng", nó có thể là số nguyên dương hoặc

nguyên âm Xem z = x + iy và ¯z = x − iy là các biến phức độc lập, ta cócác đạo hàm riêng tương ứng

Ta định nghĩa các toán tử vi phân Maass trên C∞(H), không gian cáchàm trơn củaH

và toán tử Laplace suy rộng



Với mỗi k, định nghĩa tác động của G = GL(2, R)+ trên C∞(H) bởicông thức:

(Rkf)|k+2g = Rk( f |kg) ,(Lkf)|k−2g= Lk( f |kg) ,

và

(∆kf)|kg = ∆k( f |kg)

1.2 Toán tử trong không gian Hilbert

Nhắc lại một số khái niệm cơ bản sau:

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử H là không gian Hilbert Toán tử trên H được

định nghĩa là biến đổi tuyến tính trên tập con trù mật, tức là một cặp có thứ

tự (T, DT), trong đó DT là không gian con tuyến tính trù mật của H, được

gọi là miền xác định của T, và T : DT → H là phép biến đổi tuyến tính + Toán tử T được gọi là đóng nếu đồ thị của nó {( f , T f )| f ∈ DT} làkhông gian con đóng của H × H

+ Toán tử T được gọi là không bị chặn nếu nó không liên tục khi DT

được xem như một không gian con topo của H

+ Toán tử T được gọi là đối xứng nếu hT f , gi = h f , T gi với f , g ∈ DT,trong đó h , i là tích vô hướng trong không gian Hilbert H

+ Toán tử T được gọi là tự liên hợp nếu DT = DT∗ và T = T∗, trong đó

T∗ là liên hợp của T, DT∗ là không gian của ∀g ∈ H sao cho f 7→ hT f , gi

là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên DT Toán tử (T∗, DT∗) được gọi

là liên hợp của T.

Nếu H là không gian Hilbert tách được thì:

+ Toán tử tuyến tính T : H → H được gọi là bị chặn nếu miền xác định của nó là toàn bộ H, và nếu tồn tại hằng số C sao cho |T x| ≤ C |x| với

∀x ∈ H Hằng số C nhỏ nhất như vậy được gọi là chuẩn toán tử của T, và

kí hiệu là |T |

+ Toán tử T : H → H được gọi là compact, hoặc hoàn toàn liên tục, nếu

T chuyển các tập bị chặn thành các tập compact Do H là tách, tập con của

H là compact nếu và chỉ nếu nó là compact dãy Vì vậy T là compact nếu

và chỉ nếu với mỗi dãy xn ⊂ H của các vectơ đơn vị, tồn tại dãy con yn saocho T (yn) là hội tụ

trênH có bình phương khả tích tương ứng với độ đo G-bất biến y−2dx∧dy.Khi đó ∆k được xác định trên không gian con trù mật C∞

c (H) của

L2(H) (Nếu M là một đa tạp khả vi, thì C∞(M) là không gian các hàm

trơn trên M và C∞

c (M) là không gian con các hàm giá compact Nếu X là

không gian tôpô, Cc(X ) là không gian các hàm liên tục giá compact trên

X)

Cho ∆e= ∂2

∂ x2+ ∂2

∂ y2 là toán tử Laplace Kí hiệu d là đạo hàm ngoài, đưa

1-dạng vi phân thành 2-dạng vi phân Giả sử f và g là các hàm trơn xácđịnh trong lân cận của một miền bị chặn Ω ⊂ C, mà biên là đường congtrơn (hoặc hợp của các đường cong trơn) ∂ Ω Ta có đồng nhất thức

Hướng của đường lấy tích phân là (biên ∂ Ω) lấy theo chiều ngược chiềukim đồng hồ Đồng nhất thức này được biết đến như công thức Green.

định C∞

c (H).

1.3 Đại số Lie và đại số phổ dụng

Định nghĩa 1.3.1 Nhóm Lie là một nhóm, đồng thời là một đa tạp khả vi

hữu hạn chiều, trong đó các phép toán nhân và phép nghịch đảo là các ánh

xạ trơn

Định nghĩa 1.3.2 Đại số Lie là không gian vec tơ (thực hoặc phức) g được

trang bị phép toán song tuyến tính, được gọi là móc Lie, thỏa mãn một số

tiên đề sau: Phép toán móc, biểu diễn bởi X ,Y 7→ [X ,Y ] với X ,Y ∈ g, đượcgiả thiết thỏa mãn

phải là phép nhân trong đại số A.

Định nghĩa 1.3.3 Hàm tử [X ,Y ] = XY − YX, ứng một đại số kết hợp A

với đại số Lie Lie(A) Ta cũng tương ứng một đại số Lie g với một đại số kết hợp U(g), được gọi là đại số bao phổ dụng của g Nói chung, dù g là hữu hạn chiều, U(g) sẽ là vô hạn chiều.

Để xây dựng U(g), ta bắt đầu với đại số tenxơ ⊗g,

trong đó phép nhân ⊗kg× ⊗lg = ⊗k+lg là tích tenxơ (⊗ = ⊗R hoặc ⊗Ctùy thuộc g là đại số Lie thực hoặc phức).

Định nghĩa 1.3.4 Giả sử V là không gian vectơ thực, U(g) là đại số bao

phổ dụng của g Phức hóa của U(g) là VC = C⊗RV, tức là không gianvectơ phức, với luật nhân C ×VC → VC, thỏa mãn

a(b ⊗ v) = (ab) ⊗ v, a, b ∈ C, v ∈ V

Số chiều phức của VC bằng số chiều thực của V.

Cho g là đại số Lie thực, phức hóa gC của g là đại số Lie phức

Cho ρ : g → End(V ) là biểu diễn của đại số Lie thực, trong đó V là

không gian vectơ phức Khi đó ta có thể mở rộng ρ thành biểu diễn gC→End(V ) như sau: Nếu X ∈ gC, viết X = X1+ iX2 Khi đó, đặt

ρ (X ) = ρ (X1) + iρ(X2)

1.4 Bài toán phổ cho thương compact của nửa mặt phẳng trên

1.4.1 Lý thuyết phổ của các dạng tự đẳng cấu

Cho χ là đặc trưng của Γ, C∞(Γ\H, χ,k) là không gian của các hàmtrơn trênH sao cho

Bổ đề 1.4.1 Giả sử ω là 1-dạng vi phân trơn sao cho γ(ω) = ω với mọi

vì ∂ M là tập rỗng Đặc biệt, giả sử M = Γ\H Tính chất tuần hoàn của ω

có nghĩa là có thể coi ω như là một dạng vi phân trên M, vậy ta có điều

phải chứng minh

không gian C∞(Γ\H, χ,k + 2) và C∞(Γ\H, χ,k − 2) tương ứng Không

gian C∞(Γ\H, χ,k) là bất biến theo ∆k.

y2 ,

từ đó ta có hRkf, gi = h f , −Lk+2gi

Hilbert L2(Γ\H, χ,k)

1.4.2 Xác định phổ của toán tử đối xứng không bị chặn trên L2(Γ\H, χ,k)

Nếu Γ\H là compact, thì tồn tại một dãy đếm được các giá trị riêng

0 = λ0, λ1, λ2, ứng với các véc tơ riêng 1 = φ0, φ1, φ2, tạo thành một

cơ sở trực giao của L2(Γ\H, χ, k) Hơn nữa, các giá trị riêng λi → ∞, và

do đó không có điểm tụ trong C Trong trường hợp này, toán tử Laplace

có phổ rời rạc

Định nghĩa 1.4.5 Độ đo Haar bất biến trái trên nhóm compact địa phương

G là độ đo Borel dLg bất biến theo tác động trái của G vào chính nó Tức

Định lý 1.4.6 (Định lý phổ của toán tử compact)

Cho T là toán tử compact tự liên hợp trên không gian Hilbert tách được

H Khi đó H có một cơ sở trực giao φi(i = 1, 2, 3, ) gồm các vectơ riêng

của T, để T φi = λiφi Các giá trị riêng λi→ 0 khi i → ∞.

Bổ đề sau là kết quả quen biết trong Giải tích hàm.

Bổ đề 1.4.7 Cho T là toán tử bị chặn trên không gian Hilbert H Giả thiết

rằng với mỗi ε > 0 tồn tại toán tử compact Tε sao cho |T − Tε| < ε Khi

hàm sao cho với κθ = cos(θ ) sin(θ )

− sin(θ ) cos(θ )

!, ta có

ρ (κθ)F = eikθF,

đó là F(gκθ) = eikθF(g)

là đẳng cấu Đặc biệt, có một đẳng cấu giữa các không gian Hilbert.

σk : L2(Γ\H, χ,k) → L2(Γ\G, χ, k)

cho bởi (σkf)(g) = ( f |kg)(i), g ∈ G, với f ∈ L2(Γ\H, χ,k)

Cho G = GL(2, R)+ Ta biết rằng mỗi phần tử của G có một biểu diễn

Sử dụng x, y, u và κθ trong biểu diễn (1.1) Nếu F là một phần tử của

và toán tử Laplace - Beltrami

2

∂ x∂ θ

tiếp Hilbert của các không gian con bất biến và bất khả qui theo biểu diễn chính qui phải ρ.

Chứng minh Cho Σ là tập tất cả các tập S của các không gian con bất

biến bất khả qui của L2(Γ\G, χ) sao cho các phần tử của S là trực giao với

nhau Sử dụng bổ đề Zorn, Σ có phần tử cực đại S Cho H là phần bù trực giao của bao đóng của tổng trực tiếp các phần tử của S.

Ta có H = 0 Nếu H 6= 0, ta có thể chọn 0 6= f ∈ H Tồn tại một khônggian con bất biến của H, điều này mâu thuẫn với tính cực đại của Σ Chọn

φ để ρ (φ ) là tự liên hợp, và ρ (φ ) 6= 0 ρ (φ ) là toán tử tự liên hợp kháckhông trên H, và do đó có giá trị riêng khác không λ Cho L ⊂ H là không

gian riêng của ρ(φ ) L là không gian vectơ hữu hạn chiều Cho L0 là không

gian con khác không nhỏ nhất của L Sự tồn tại của L0 do L là hữu hạn

chiều

Cho V là giao của tất cả các không gian con bất biến đóng của W của

H sao cho L0 = L ∩ W Ta có V là bất khả quy Nếu V không bất khả quy

thì V = V1⊕V2, trong đó V1,V2 là các không gian con bất biến nhỏ hơn.Cho 0 6= f0 ∈ L0 Đặt f0 = f1+ f2, trong đó fi ∈ Vi(i = 1, 2)

Từ định nghĩa của của ρ(φ ), bất kỳ không gian con đóng nào của V là bất biến theo tác động của G là bất biến theo ρ(φ ) Đặc biệt, V1,V2 là bấtbiến theo ρ(φ ) Do đó ρ(φ ) fi− λ fi ∈ V (i = 1, 2) Vì

fi ∈ Vi(ρ(φ ) f1− λ f1) + (ρ(φ ) f2− λ f2) = (ρ(φ ) f0− λ f0) = 0.Nên fi là các hàm riêng của ρ(φ ) với giá trị riêng λ Không mất tínhtổng quát, giả thiết rằng f1 6= 0 Khi đó f1 ∈ L ∩ V1 ⊆ L0, vì L0 là không

gian con nhỏ nhất của L do đó L ∩ V1 = L0 Mà V là giao của tất cả các không gian con bất biến W của H sao cho L0 = L ∩ W, nhưng V1 là không

gian con thật sự của V Điều này là mâu thuẫn.

K = SO(2) là compact nên ta có λ = k

Chương 2

BIỂU DIỄN NHÓM GL(2, R)

Trong chương này, chúng tôi xét một số biểu diễn, biểu diễn của cácnhóm compact địa phương, biểu diễn của đại số Lie Từ đó cho một sốkết quả từ lý thuyết biểu diễn và giới thiệu (g, K)-module, trong đó có

sự phân loại các (g, K)-module bất khả quy chấp nhận được của nhóm

G= GL(2, R)

2.1 Dạng tự đẳng cấu trên GL(2, R)

2.1.1 Định nghĩa

Giả sử G là nhóm reductive, A× là xuyến xòe của G, ω là một đặc trưng

của xuyến xòe

Cho A(Γ\G, χ,ω) là không gian của các hàm trơn φ : G → C sao cho1

+ K-hữu hạn có nghĩa là các tịnh tiến bởi k ∈ K sinh ra không gian con

hữu hạn chiều

+ Z- hữu hạn có nghĩa là các tác động của Z là φ sinh ra không gian

con hữu hạn chiều

4 φ có tăng vừa phải tức là |φ (g)| ≤ CkgkN, g∈ G,C ∈ R+, N ∈ N

Hàm φ như vậy được gọi là dạng tự đẳng cấu.

2.1.2 Các dạng tự đẳng cấu trên Γ\H

Trong trường hợp nhóm GL(2, R), các dạng tự đẳng cấu gồm:

a) Các dạng modula chỉnh hình

Cho χ : Γ → C× là một đặc trưng, và cho k là một số nguyên dương sao

cho χ(−I) = (−1)k, giả sử −I ∈ Γ Cho Mk(Γ, χ) là không gian của tất cảcác hàm chỉnh hình f :H → C mà thoả mãn các điều kiện:

i) f (γz) = χ(γ)(cz + d)kf(z) với γ = a b

c d

!

∈ Γ

ii) f chỉnh hình tại các điểm nhọn của Γ

Phần tử của Mk(Γ, χ) được gọi là các dạng modula chỉnh hình Hơn nữa nếu f triệt tiêu tại các điểm nhọn, thì f được gọi là dạng nhọn chỉnh

hình Không gian các dạng nhọn ký hiệu là Sk(Γ, χ)

Hơn nữa, nếu

1 R

Hàm hằng f (z) = 1 với ∀z ∈H, được xem là một dạng tự đẳng cấu Nó

là bất biến theo nhóm rời rạc Γ Tổng quát hơn, cho s ∈ C bất kỳ, xét hàm

f(g) = det (g)s trên G; nó là bất biến phải bởi

a2+ b2 = 1

),

và do đó có thể coi như một hàm trênH Hơn nữa, hàm này có thể coi như

là một dạng tự đẳng cấu

2.2 Biểu diễn của các nhóm compact địa phương

Định nghĩa 2.2.1 Cho G là một nhóm compact địa phương Biểu diễn

(π, H) của G là một cặp thứ tự trong đó H là không gian vectơ tôpô và

π : G → End(H) là một đồng cấu sao cho ánh xạ G × H → H cho bởi(g, f ) 7→ π(g) f là liên tục theo hai biến g và f

Nếu H là không gian Hilbert, và nếu π(g) : H → H là toán tử unitary

với mọi g ∈ G thì phép biểu diễn đó được gọi là unitary.

Cho Z là tâm của G = GL(2, R)+ bao gồm nhóm các ma trận vô hướng,

Z+ là nhóm các ma trận có dạng z

z

!với z > 0 Cho C∞(Γ\G, χ) là

không gian của các hàm giá trị phức trơn F trên G thỏa mãn

F(γgu) = χ(γ)F(g), γ ∈ Γ, u ∈ Z+, g ∈ G,

và C(Γ\G, χ) là không gian của các hàm liên tục cũng có tính chất này.Cho H = L2(Γ\G, χ) là không gian Hilbert của các hàm đo được thỏamãn điều kiện trên, có bình phương khả tích tương ứng với độ đo Haartrên G/Z+ ∼= G

1 với G1 = SL(2, R)

các hàm đó là giá compact Khi đó tích chập của hai hàm φ1 và φ2 là

Định nghĩa 2.2.4 Định nghĩa biểu diễn chính qui phải và trái

1 Biểu diễn ρ : G → End(h) cho bởi

(ρ(g) f ) (x) = f (xg), g, x ∈ G, (2.1)

được gọi là biểu diễn chính quy phải.

2 Biểu diễn λ : G → C∞(G) cho bởi

(λ (g) f ) (x) = f (g−1x), g, x ∈ G,

được gọi là biểu diễn chính quy trái.

Phép biểu diễn chính quy trái và phải giao hoán với nhau,

λ (g1) ◦ ρ(g2) = ρ(g2) ◦ λ (g1)

Mệnh đề 2.2.5 Tác động (ρ(g) f ) (x) = f (xg), g, x ∈ G là biểu diễn của

G.

2.3 Biểu diễn của đại số Lie

Định nghĩa 2.3.1 Phép biểu diễn của đại số Lie g là một đồng cấu đại số

Lie, tức là ánh xạ tuyến tính π : g → End(V ) từ g tới không gian các tự

đồng cấu của không gian vectơ V sao cho với ∀X ,Y ∈ g ta có

π ([X ,Y ]) = π (X ) ◦ π (Y ) − π (Y ) ◦ π (X )

Định nghĩa 2.3.2 Cho A là đại số kết hợp, biểu diễn của A là một phép

đồng cấu đại số từ A vào End(V), trong đó V là một số không gian vectơ.

Định nghĩa 2.3.3 Cho X ∈ g, tự đồng cấu dπ(X ) của V được xác định bởi

công thức

(dπ(X )) (v) = d

dtπ (exp(tX )) v|t=0, (2.2)trong đó "ánh xạ hàm số mũ" g → G được xác định bởi

eX = exp(X ) = I + X + 1

2!X

2+ 13!X

Định nghĩa 2.3.4 Cho W và U là các không gian vectơ hữu hạn chiều trên

trường F, ánh xạ toàn phương W → U là một hàm đa thức có các thành phần là các đa thức thuần nhất bậc 2 với hệ số trong F.

Bổ đề 2.3.5 Cho W và U là các không gian vectơ hữu hạn chiều trên

trường F đặc số khác 2, và cho q là ánh xạ toàn phương W → U Khi đó

tồn tại duy nhất ánh xạ song tuyến tính đối xứng B : W × W → U sao cho

q(ω) = B(ω, ω)

Ánh xạ song tuyến tính B được gọi là sự phân cực của q.