HÀM SỐ - NGUYỄN QUỐC TUẤN
Trang 1Khảo sát hàm số và ứng dụng trong các kỳ thi tuyển sinh đại học(đề chính thức)
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2012:
Cho hàm số 4 ( ) 2 2 ( )
y=x − m+ x +m , với m là tham số thực
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =0
b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông
Hướng dẫn giải
y = x − m+ x= x x − −m
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khim+ > ⇔ > − 1 0 m 1 (*)
Các điểm cực trị của đồ thị hàm số là ( 2) ( ) ( )
A m B − m+ C m+ − m−
AB= − m+ − m+
AC m+ − m+
Ta có AB=ACnên tam giác ABC vuông khi và chỉ khi AB AC. = 0
Tương đương ( ) (4 )
m+ − m+ = Kết hợp với điều kiện (*), ta được giá trị m cần tìm là m=0
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2012:
y= −x mx + m , m là tham số thực
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1
b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48
Hướng dẫn giải
' 3 6 ; ' 0
2
x
=
=
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi m≠ 0(*)
Các điểm cực trị của đồ thị là ( 3)
0;3
A m và ( 3)
2 ;
B m −m
2
OA= m và d B OA( ;( ) )=2m
OAB
S∆ = ⇔ m = ⇔m = ⇔ = ±m (thỏa mãn)
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2012:
Cho hàm số 2 3 2 ( 2 ) 2 ( )
y= x −mx − m − + , m là tham số thực
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1
b Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x x1 2+2(x1+x2)=1
Hướng dẫn giải
y = x − mx− m −
Đồ thị có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0có hai nghiệm phân biệt điều
2 1 3 3
m m
m
>
− > ⇔
< −
+ =
= −
0
3
m
m
=
=
So sánh điều kiện ta được 2
3
m=
Trang 2Trích từ đề thi tuyển sinh Cao đẳng -2012:
Cho hàm số 2 3 ( )
1 1
x y x
+
= +
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)
b Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số (1) biết rằng d vuông góc với đường thẳng y= +x 2
Hướng dẫn giải
+ (d) vuông góc với đường thẳng y= +x 2 nên đường thẳng d có hệ số góc bằng -1
Hoành độ tiếp điểm là x0: ( )
0
0
0 1
2 1
o
x
y x
x x
=
−
= −
Với x0 = 0 : phương trình tiếp tuyến d là y= − +x 3
Với x0 = − 2 : Phương trình tiếp tuyến d là y= − +x 1
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2011:
2 1
x y x
− +
=
−
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng ( )d :y= +x m luôn cắt đồ thị (C) tại hai
điểm phân biệt A và B Gọi k k1, 2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại
A và B Tìm m để tổng k1+k2 đạt giá trị lớn nhất
Hướng dẫn giải
Hoành độ giao điểm của ( )d :y= +x m và (C) là nghiệm của phương trình
1
2 1
x
x
− +
−
(Do 1
2
x= không phải là nghiệm của phương trình)
( )
2
2
' m 2m 2 0, m
∆ = + + > ∀
Suy ta đường thẳng d luôn cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của (*), khi đó ta có
2
k k
k + = −k m − m− = − m+ ≤ −
Suy ra k1+k2 lớn nhất bằng – 2 , khi và chỉ khi m = -1
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2011:
y=x − m+ x +m , m là tham số a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1
b.Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba cực trị A, B,C sao cho OA=BC; trong đó O là gốc tọa
độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
0
1 1
x
=
= +
Trang 3Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi : (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0
Điều này tương đương m> − 1 (*)
A m B − m+ −m − −m và ( 2 )
C m+ −m − −m
OA=BC⇔m = m+ ⇔m − m− = ⇔ = ±m thỏa mãn (*)
Vậy giá trị m cần tìm là 2 2 2
2 2 2
m m
= +
= −
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2011:
Cho hàm số 2 1
1
x y x
+
= +
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b Tìm k để đường thẳng y= +kx 2k+ 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trụ hoành bằng nhau
Hướng dẫn giải
Gọi ( )d :y= +kx 2k+1, suy ra hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và đồ thị (C) là nghiệm của phương trình
2 1
1
x
x
+
+ Đường thẳng (d) và đồ thị (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi phương
trình (1) có hai nghiệm phân biệt
Điều này tương đương 2
0 0
0
3 2 2
3 2 2
k k
k
k
k
≠
∆ > − + >
> +
(*)
Khi đó :
( 1; 1 2 1)
A x kx + k+ và B x kx( 2; 2+2k+1) trong đó x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình (1)
Ta có :
( , Ox) ( , ) 1 2 1 2 2 1 ( 1 2) 4 2 0( 1 2)
d A =d B Ox ⇔ kx + k+ = kx + k+ ⇔ k x +x + k+ = do x ≠x
Áp dụng định lý Viet đối với phương trình (1) ta suy ra
(1 3− k)+4k+ = ⇔ = −2 0 k 3 thỏa mãn điều kiện (*)
Vậy giá trị k cần tìm là k= - 3
Trích từ đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A-2011:
Cho hàm số 1 3 2
3
y= − x + x − +x
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung
Hướng dẫn giải
Tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với trục tung là ( )0;1
Hệ số góc của tiếp tuyến là k =y' 0( )= −3
Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm với trục tung là y= − + 3x 1 Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2010:
y= −x x + −m +m với m là tham số thực
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C khi m= 1
Trang 4b Xác định m để đồ thị hàm số ( )1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ
1 ; 2 ; 3
x x x thỏa mãn điều kiện x12+x22+x32 <4
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm là:
2
1
0 *
x
x x m
=
− − =
Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai
nghiệm phân biệt khác 1
Ký hiệu ( ) 2
1
g x =x − −x m x = , x2 và x3 là hai nghiệm của phương trình (*)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi ( )
4
0
3
m
m
m m
∆ > + >
+ < + < ≠
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2010:
Cho hàm số 2 1
1
x y x
+
= +
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C
b Xác định m để đường thẳng y= − + 2x m cắt đồ thị hàm số ( )C tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3(với O là gốc tọa độ)
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng là
2 1
1
x
+
Ta có: 2
8 0,
m
∆ = + > với mọi gía trị m, suy ra đường thẳng y= − + 2x m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B với mọi m
Gọi A x y( 1; 1) và B x y( 2; 2) trong đó x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1);
y = − x +m y = − x +m
Ta có: ( ; )
5
m
2
m
1
OAB
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2010:
Cho hàm số 4 2
6
y= − − +x x
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C
b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )C , biết rằng tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng 1 1
6
y= x−
Hướng dẫn giải
Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 1
6
y= x− nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng – 6
Do đó, hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình 3
4x 2x 6 x 1
− − = − ⇔ = , suy ra tọa độ của tiếp điểm là ( )1; 4
Trang 5Vậy phương trình tiếp tuyến là y= −6(x− + ⇔ = − +1) 4 y 6x 10
Trích từ đề thi tuyển sinh Cao Đẳng -2010:
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 3 2
y= +x x −
b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng - 1
Hướng dẫn giải
Tung độ của tiếp điểm là y( )− =1 1
Hệ số góc của tiếp tuyến là k =y'( )− = −1 3
Phương trình tiếp tuyến là y− =1 k x( + ⇔ = − −1) y 3x 2
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2009:
Cho hàm số 2 ( )
1
2 3
x y x
+
= +
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )1
b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )1 , biết rằng tiếp tuyến đó cắt trục
hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O
Hướng dẫn giải
Tam giác OAB vuông cân tại O, suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là ± 1
Gọi tọa độ của tiếp điểm là (x y0; 0), ta có
2 1
1
1
x x x
= −
− = ± ⇔
= −
Với x0 = − 1,y0 = − 1: Phương trình tiếp tuyến là y= −x(loại)
Với x0 = − 2,y0 = 0: Phương trình tiếp tuyến là y= − −x 2(thỏa mãn)
Vậy tiếp tuyến cần tìm là y= − −x 2
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2009:
Cho hàm số 4 2 ( )
y= x − x
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )1
b Với giá trị nào của tham số m, phương trình 2 2
2
x x − =m có 6 nghiệm thực phân biệt ?
Hướng dẫn giải
Ta có biến đổi:
x x − = ⇔m x − x = m
Phương trình có 6 nghiệm thực phân biệt khi
và chỉ khi đường thẳng y= 2, cắt đồ thị hàm
y= x − x tại 6 điểm phân biệt
Từ đồ thị (C) ta suy ra đồ thị hàm số
y= x − x là
Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi 0 < 2m< ⇔ < < 2 0 m 1
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2009:
Cho hàm số 4 ( ) 2
y=x − m+ x + m có đồ thị là ( )C m , m là tham số
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C khi m= 0
b Xác định m để đường thẳng y= − 1 cắt đồ thị hàm số ( )C m tại 4 điểm phân biệt có hoành
độ nhỏ hơn 2
Hướng dẫn giải
Trang 6Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ( )C m và đường thẳng y= − 1 là
x − m+ x + m= − Đặt 2
, 0
t =x t≥ , phương trình trở thành: 2 ( ) 1
3 1
t
=
Yêu cầu bài toán tương đương 0 3 1 4 1 1, 0
m
m
< + <
⇔ − < < ≠
+ ≠
Trích từ đề thi tuyển sinh Cao đẳng -2009:
y= −x m− x + −m x+
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m= 2
b Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại và cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương
Hướng dẫn giải
y = x − m− x+ −m
m thỏa mãn yêu cần bài toán khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt dương Điều này tương đương
2
2
0 3
m
m P
−
−
= >
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2008:
1 , 3
y
x m
=
+ với m là tham số thực
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )1 khi m= 1
b Xác định giá trị của tham số m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số ( )1
bằng 0
45
Hướng dẫn giải
Ta có biến đổi: 2 ( 2 )
2
mx
+ Khi 1
3
m= thì đồ thị hàm số không tồn tại hai đường tiệm cận
+ Khi 1
3
m≠ đồ thị hàm số có hai tiệm cận:
d x= − m⇔ +x m= d =mx− ⇔mx− − =y
Vector pháp tuyến của d1 và d2 lần lượt là n1 =( ) (1; 0 ,n m2 ; 1 − )
Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 bằng 0
45 khi và chỉ khi
1 2 0
2
2 1
m m
n n
+
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2008:
Trang 7Cho hàm số 3 2 ( )
y= x − x +
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )1
b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )1 , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm
( 1; 9)
M − −
Hướng dẫn giải Đường thẳng ∆ với hệ số góc k và đi qua điểm M(− −1; 9) có phương trình y= + −kx k 9
∆ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm
( )
2
12 12
Thay k vào phương trình trên ta được
1
4
x
x
= −
=
Với x= − 1 thì k = 24, phương trình tiếp tuyến là y= 24x+ 15
Với 5
4
x= thì 15
4
k= , phương trình tiếp tuyến là 15 21
y= x−
Vậy các tiếp tuyến cần tìm là y= 24x+ 15 và 15 21
y= x− Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2009:
Cho hàm số 3 2 ( )
y= −x x +
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )1
b Chứng minh rằng mọi đường thẳng đia qua điểm I( )1; 2 với hệ số góc k k( > −3) đều cắt
đồ thị hàm số ( )1 tại ba điểm phân biệt I,A,B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB
Hướng dẫn giải
Gọi (C) là đồ thị của hàm số (1), ta thấy I( )1; 2 thuộc (C) Đường thẳng d đi qua I( )1; 2 với
hệ số góc k k > − 3 có phương trình y= − +kx k 2
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng d là nghiệm của phương trình
2
1
x
=
Do k > − 3 nên phương trình (*) có biệt thức ∆ = + > ' 3 k 0 và x= 1 không phải là nghiệm của phương trình (*)
Suy ra đường thẳng d luôn cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt I x y( I; I) (,A x A;y A) (,B x B;y B)
với x x A; B là hai nghiệm của phương trình (*)
Vì x A+x B = =2 2x I và I,A,B cùng thuộc đường thẳng d nên I là trung điểm của đoạn thẳng
AB (đccm)
Trích từ đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A-2008:
Cho hàm số
1
x y x
=
−
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b Tìm m để đường thẳng ( )d :y= − +x m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
Hướng dẫn giải
Trang 8Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C) là
( )
2
0 1 1
x
−
Đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương
trình (1) có hai nghiệm phân biệt
0
m
m
>
∆ = − > ⇔ <
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2007:
1 2
y
x
=
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )1 khi m= − 1
b Xác định m để hàm số ( )1 có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giác vuông tại O
Hướng dẫn giải
Ta có
2
4 4 '
2
y
x
=
+
Hàm số (1) có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi ( ) 2 2
g x =x + x+ −m có hai nghiệm phân biệt x≠ 2 Điều này tương đương
( )
2
2
0
m
m
∆ = − + >
⇔ ≠
Gọi A và B là hai điểm cực trị A(− − −2 m; 2 ,) (B − +2 m m; 4 −2)
Do OA= − − − ≠( m 2; 2) 0, OB m( − 2; 4m− ≠ 2) 0
nên ba điểm O,A,B tạo thành tam giác vuông
OA OB = ⇔ −m − m+ = ⇔ = − ±m
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2007:
y= − +x x + + m − x− m − ( )C m , với m là tham số
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C1 khi mm= 1
b Xác định m để hàm số ( )C m có cực đại và cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số
( )C m cách đều góc tọa độ O
Hướng dẫn giải
y = − x + x+ m − y = ⇔x − x−m + =
Hàm số (1) có cực trị khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt điều này tương đương 2
' m 0 m 0
∆ = > ⇔ ≠
Gọi A và B là hai điểm cực trị ( 3) ( 3)
1 ; 2 2 , 1 ; 2 2
A − − −m m B + − +m m
2
OA=OB⇔ m = m⇔ m= ±
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2007: Cho hàm số 2
1
x y x
= +
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C
b Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số ( )C tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A,B và tam giác OAB có diện tích bằng 1/ 4
Hướng dẫn giải
Trang 9Vì M∈( )C nên 0
0 0
2
; 1
x
M x
x
+
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là:
'
0
2
; 0 , 0;
1
x
x
Thao giả thiết ta có
2 2
0
0
0
1
2
x
x
Với 0 1
2
x = − ta có 1; 2
2
− −
Với x0 = 1 ta có M( )1;1
Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán 1; 2
2
− −
và M( )1;1 Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2006:
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 3 2
y= x − x + x−
2 Xác định m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:
2 x − 9x + 12 x =m
Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với
2 x − 9 x + 12 x − = − 4 m 4
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm
của đồ thị hàm số y= 2 x3− 9 x2+ 12 x − 4và
đường thẳng y= −m 4
Hàm số y= 2 x3− 9 x2+ 12 x − 4 là hàm số
chẵn nên đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng
Từ đồ thị hàm số đã khảo sát ta suy ra đồ thị
của hàm số y= 2 x3− 9 x2+ 12 x − 4 là
Từ đồ thị ta suy ra phương trình 3 2
2 x − 9x + 12 x =m có sáu nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
0 < − < ⇔ < <m 4 1 4 m 5
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2006: Cho hàm số
2
1 2
x x y
x
+ +
= +
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C của hàm số đã cho
b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )C , biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của đồ thị hàm số ( )C
Hướng dẫn giải
Tiệm cân xiên của đồ thị (C) có phương trình y= −x 1, nên tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên có hệ số góc là k = − 1
Trang 10Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình
2 2
2 2
x y
x
x
= − +
= − −
x= − + ⇒y= − : phương trình tiếp tuyến là ( )d1 :y= − +x 2 2 − 5
x= − − ⇒ y= − − : phương trình tiếp tuyến là ( )d2 :y= − −x 2 2 − 5
Vậy có hai tiếp tuyến là ( )d1 :y= − +x 2 2 − 5 và ( )d2 :y= − −x 2 2 − 5
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2006:
Cho hàm số 3 2
y= −x x +
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C của hàm số đã cho
b Gọi d là đường thẳng đia qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc là m Xác định m để đồ thị d cắt đồ thị hàm số ( )C tại ba điểm phân biệt
Hướng dẫn giải
Phương trình đường thẳng d là y=m x( − +3) 20
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C) là
x − + =x m x− + ⇔ −x x + x+ −m = Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi
( ) 2
f x =x + x+ −m có hai nghiệm phân biệt khác 3 Điều này tương đương
( )
15
4
24
m
∆ = − − >
⇔
- + Qua 10 năm thực hiện đề thi chung của bộ giáo dục, chúng tôi đã biên soạn và giới thiệu
đến cộng đồng một hệ thống những chuyên đề luyện thi tuyển sinh đại học của từng năm
+Tài liệu được sưu tập và biên soạn lại bởi thầy giáo Nguyễn Quốc Tuấn kết hợp với trung tâm giáo viên Quốc Tuấn địa chỉ 157 Đặng Văn Ngữ - Thành phố Huế -Điện thoại:
0905671232-0989824932 Là nơi quy tụ những giáo viên giảng dạy và luyện thi đạy học có
uy tín trên địa bàn thành phố Huế Luôn có những chính sách và những phương pháp giảng dạy cũng như tính cập nhật hàng đầu Luôn mở các lớp, các nhóm dạy học chất lượng cao với chi phí rẽ Đặc biệt hưởng lợi được từ hàng ngàn tài liệu trên Xuctu.com và hàng trăm Video Tutorial bài giảng được cấp phát miễn phí cho học viên tại trung tâm cũng như cộng
đồng học sinh
+ Đặc biệt trong năm học 2013-2014, trung tâm mở ra chương trình khuyến học như sau:
- Miễn phí đến học một tuần để khẳng định chất lượng
- Giảm ngay 20% học phí tháng đầu tiên khi đến học
- Tặng ngay 20% học phí tháng đầu tiên khi các học viên khác giới thiệu 1 học viên
đến học
- Được sự giảng dạy trực tiếp của thầy cô giáo đầy kinh nghiệm luyện thi
- Phòng học thoáng mát, yên tỉnh tuyệt đối
- Được phép học tăng cường khi chưa hiểu bài
Đến tham quan và đăng ký học tại địa chỉ trên hoặc tìm hiểu thông qua số điện thoại:
0905671232 hoặc website http://xuctu.com
Trân trọng và chúc các em học sinh sức khỏe và may mắn
