luận văn nghiên cứu dao động ngẫu nhiên phi tuyến bằng phương pháp tuyến tính hóa tương đương

Một trong những cảitiến đó được trình bày trong [12], trong đó các tác giả Nguyễn Đông Anh và Di Paolagiải quyết bài toán cho các hệ phi tuyến bằng một phương pháp với tên gọi “phươngphá

Trường đại học công nghệ viện cơ học

NGUYễN NHƯ HIếU

NGHIÊN CứU DAO Động ngẫu nhiên phi tuyến

bằng phương pháp tuyến tính hóa tương đương

Luận văn thạc sĩ

Hà Nội - 2011

Trường đại học công nghệ viện cơ học

NGUYễN NHƯ HIếU

NGHIÊN CứU DAO Động ngẫu nhiên phi tuyến

bằng phương pháp tuyến tính hóa tương đương

Ngành: Cơ học Chuyên ngành: Cơ học Vật thể rắn

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác Các kết quả trong luận văn là trung thực.

Người cam đoan

Nguyễn Như Hiếu

Lời cảm ơn

Tôi chân thành cám ơn các thầy, cô của trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt là các thầy, cô trong Khoa Cơ học kỹ thuật và Tự động hóa đã giúp đỡ và chỉ bảo tận tình trong suốt thời gian tôi học tập tại Khoa Tôi rất cám ơn Phòng Cơ học Công trình, Viện Cơ học đã tạo điều kiện cho tôi học tập và nghiên cứu tại đây Tôi gửi lời cám ơn chân thành tới TS Trần Dương Trí, người đã quan tâm chỉ bảo trong thời gian tôi thực hiện luận văn này Đặc biệt tôi gửi lời cám ơn chân thành tới GS Nguyễn Đông Anh và GS Issac Elishakoff vì những kiến thức bổ ích trong nhiều năm học của tôi.

Mục lục

MỞ ĐẦU 3

Chương 1 Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa tương đương 5 1.1 Phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ nhiều bậc tự do 5

1.1.1 Phương trình vi phân chuyển động 5

1.1.2 Hệ tuyến tính hóa tương đương 6

1.1.3 Ma trận mật độ phổ 11

1.2 Phương pháp tuyến tính hóa tương cho hệ một bậc tự do 13

1.3 Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho các hệ Duffing và Van der Pol 15

1.3.1 Hệ Duffing 15

1.3.2 Hệ Van der Pol 17

Chương 2 Một số mở rộng của phương pháp tuyến tính hóa tương đương 20 2.1 Phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh 20

2.2 Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh cho các hệ Atalik-Utku, Lutes-Sarkani và Van der Pol 23

2.2.1 Hệ Atalik-Utku 23

2.2.2 Hệ Lutes-Sarkani 26

2.2.3 Hệ Van der Pol 30

2.3 Mở rộng của phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh: điều chỉnh hai bước 31

2.3.1 Phương pháp điều chỉnh hai bước cho hệ Atalik-Utku 32

2.3.2 Phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh hai bước cho hệ Lutes-Sarkani 33 Chương 3 Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho bài toán dao động của dầm 35 3.1 Phương trình dao động của dầm 35

3.2 Phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh cho bài toán dao động của dầm 39 KẾT LUẬN 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO 49

PHỤ LỤC 50

Bảng 3 Phương sai của hệ Lutes-Sarkani với các giá trị khác nhau của a 29

Bảng 4 Đáp ứng bình phương trung bình của hệ Van der Pol với các phương

MỞ ĐẦU

Dao động là một trong hiện tượng xảy ra phổ biến trong tự nhiên Nó xuất hiện

trong các lĩnh vực như vật lý, hóa học, sinh học, kinh tế và kỹ thuật Từ các lĩnh vựcnày, có lớp các bài toán quan trọng là dao động ngẫu nhiên phi tuyến của các hệ độnglực Ta thường bắt gặp những hệ ngẫu nhiên phi tuyến trong thực tế như dao động củacác kết cấu xây dựng, nhà cao tầng hay những cây cầu dây văng chịu tác động của tảitrọng gió hay kích động động đất, các công trình cảng sông, cảng biển hay những giànkhoan chịu tác động của các tải trọng sóng hay cũng có thể là dao động của các máytrong các nhà máy xí nghiệp trong quá trình hoạt động của chúng Ta có thể đặt vấn

đề làm thế nào để tăng cường tuổi thọ và duy trì độ bền của các hệ cơ học nói trên

Nhiều mô hình toán học được đưa ra để phục vụ thực tiễn đó Các phương trình toánhọc được mô tả và giải quyết dưới nhiều phương diện khác nhau Với hệ động lực phituyến, người ta bắt gặp các phương trình phi tuyến yếu và các phương trình phi tuyếnmạnh Phương trình phi tuyến yếu được quan tâm nghiên cứu và phát triển với nhiều

phương pháp khác nhau trong những thập kỷ gần đây Có thể kể đến một trong nhữngphương pháp phổ biến nhất là phương pháp tuyến tính hóa tương đương hay phương

pháp tuyến tính hóa thống kê Đây là phương pháp được đưa ra đồng thời trong những

năm 50 của thế kỷ trước bởi các tác giả Booton [1], Kazakov [2], Caughey[3, 4] Tuynhiên ý tưởng của phương pháp này đã được nhen nhóm từ trước đó Ban đầu phươngpháp tuyến tính hóa được trình bày cho các hệ tiền định, cơ sở toán học của nó được

đề cập trong [5] bởi Krylov và Bogoluboff Đến Caughey, ông áp dụng phương pháptuyến tính hóa cho các hệ phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên Ông gọi phương phápnày là “phương pháp tuyến tính hóa tương đương” Còn tên gọi “phương pháp tuyếntính hóa thống kê” được trình bày bởi Booton và Kazakov Điều thú vị là phương phápkhông ngừng được cải tiến và được đóng góp bởi nhiều tác giả [6-23] sao cho nó giảiquyết phù hợp với từng loại bài toán khác nhau chẳng hạn các bài toán liên quan đếncác không gian trạng thái, miền các tần số, không gian các hàm đặc trưng [11]

Phương pháp dựa trên các tiêu chuẩn tuyến tính hóa để tìm ra các công thức dạng ẩn

hoặc dạng hiện cho hệ số tuyến tính hóa Hệ số này phụ thuộc vào đặc trưng đáp ứng

chưa biết (như giá trị trung bình, các tương quan, các mô men bậc cao ) Tuy nhiên

khi áp dụng phương pháp vào các phương trình phi tuyến mạnh thì gặp phải các sai sốlớn hơn so với việc áp dụng nó vào các hệ phi tuyến yếu Vì vậy nhu cầu cải tiến

phương pháp là cần thiết cho việc giải quyết các hệ phi tuyến mạnh Điều này là một

trong những mấu chốt hình thành nhiều cải tiến mới đây [12-15] Một trong những cảitiến đó được trình bày trong [12], trong đó các tác giả Nguyễn Đông Anh và Di Paolagiải quyết bài toán cho các hệ phi tuyến bằng một phương pháp với tên gọi “phươngpháp tuyến tính hóa điều chỉnh” Phương pháp này dựa trên ý tưởng rằng thành phầnphi tuyến ban đầu không được tuyến hóa trực tiếp như phương pháp tuyến tính hóa

kinh điển mà nó được thay thế bằng thành phần phi tuyến có bậc cao hơn, sau đó thành

phần phi tuyến này được thay thế bởi thành phần phi tuyến bậc thấp hơn cùng bậc vớithành phần phi tuyến ban đầu, rồi mới thay thế thành phần phi tuyến sau cùng bởi mộtthành phần tuyến tính Phương pháp này sau đó được mở rộng bởi các tác giảElishakoff, Andrimasy, Dolley [15] Các tác giả đó đã thực hiện điều chỉnh số bướcthay thế so với cách làm như ban đầu[12] Kết quả là đối với một số hệ phi tuyến, việc

thay đổi số bước thay thế như vậy dẫn đến sai số của các đáp ứng của hệ giảm đi đáng

kể Cho đến nay phương pháp mới được áp dụng cho các hệ rời rạc, còn đối với các hệliên tục vẫn chưa có tính toán nào được thực hiện Do đó đây là vấn đề được đặt ratrong luận văn này Trong luận văn này, tác giả trình bày phương pháp tuyến tính hóa

điểu chỉnh cho một số hệ rời rạc và một hệ liên tục điển hình là bài toán dao động của

dầm Euler-Bernoulli phi tuyến chịu kích động ngoài ngẫu nhiên

Luận văn gồm 3 chương với nội dung như sau

Chương 1 Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa tương đương

Chương này trình bày những nội dung cơ bản của phương pháp tuyến tính hóa tươngđương và áp dụng phương pháp vào hai hệ một bậc tự do điển hình là hệ Duffing và hệ

Van der Pol chịu kích động ngoài ngẫu nhiên ồn trắng

Chương 2 Một số mở rộng của phương pháp tuyến tính hóa tương đương

Phương pháp tuyến hóa với tên gọi “phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh” đượctrình bày trong chương này Sau đó là một số mở rộng của phương pháp và áp dụngvào nghiên cứu một số hệ phi tuyến như Atalik-Utku, Lutes-Sarkani và Van der Pol

Chương 3 Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho bài toán dao động

của dầm

Chương này trình bày ứng dụng của phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh vào bàitoán dao động của dầm Euler-Bernoulli chịu kích động ngoài ngẫu nhiên

Trong khuôn khổ luận văn, tác giả chỉ trình bày một số hệ phi tuyến điển hình với việc

sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương để nghiên cứu đáp ứng của các hệ

đó Trong quá trình thực hiện luận văn này tác giả đã hết sức cố gắng nhưng chắc chắn

rằng không tránh khỏi những khiếm khuyết, tác giả mong nhận được ý kiến đóng gópcủa quý thầy cô và các bạn

Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa

tương đương

1.1 Phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ nhiều bậc tự do

1.1.1 Phương trình vi phân chuyển động

Trong phần này ta xét hệ dao động nhiều bậc tự do có phương trình chuyển

động được cho dưới dạng sau đây

 , ,  1 , ,  2 , ,   , , 

T n

X X X  X X X X X X X X X 

phần, véc tơ U U1 U2 U nT là một quá trình ngẫu nhiên có n thành phần Nếu

hệ (1.1) không chứa thành phần phi tuyến  thì nó có dạng một hệ phương trình viphân tuyến tính hệ số hằng số được biết trong lý thuyết dao động ngẫu nhiên tuyếntính Vì rất khó để tìm được nghiệm chính xác của hệ phi tuyến (1.1) nên người ta sẽtìm cách xây dựng nghiệm xấp xỉ bằng nhiều phương pháp gần đúng khác nhau [11].Phương pháp tuyến tính hóa tương đương là một trong những phương pháp điển hình

để nghiên cứu các hệ ngẫu nhiên phi tuyến Ý tưởng của phương pháp tuyến tính hóatương đương cho hệ nhiều bậc tự do nói chung và hệ một bậc tự do nói riêng là sự thay

thế thành phần phi tuyến của hệ bằng một thành phần tuyến tính tương ứng với việc sửdụng một tiêu chuẩn tối ưu nào đó trong đó chú ý rằng kích động ngoài của hệ phituyến vẫn giữ cho hệ tuyến tính Hệ tuyến tính như thế người ta gọi là hệ tuyến tính

hóa tương đương Hệ tuyến tính hóa này có một ưu điểm nổi bật là ta có thể tìm được

nghiệm của nó khi biết đầy đủ các thông số của hệ Do đó khi sử dụng hệ tuyến tính

hóa tương đương, ta có thể nghiên cứu hệ phi tuyến bằng các lý thuyết đã biết của hệ

tuyến tính

1.1.2 Hệ tuyến tính hóa tương đương

Hệ tuyến tính hóa tương đương của hệ (1.1) có dạng sau đây

,

trong đó M C K e, e, e là các ma trận vuông cấp n được xác định bằng cách sử dụng một

tiêu chuẩn tối ưu nào đó Có nhiều tiêu chuẩn khác nhau để tìm ra các ma trận này(xem [9]) Song một tiêu chuẩn có lẽ được sử dụng nhiều và phổ biến hơn cả là tiêuchuẩn sai số bình phương trung bình nhỏ nhất Sai số giữa phương trình ban đầu (1.1)

và phương trình tuyến tính hóa (1.2) cho bởi

K nên người ta phải thiết lập một hệ kín giữa ba

ma trận này và đáp ứng X t , từ đó mới xác định các đáp ứng khác của hệ

Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình áp dụng cho (1.3) được biểu diễn dưới dạng:

trong đó m c k ij e, ij e, ij e là các phần tử của các ma trận M C e, e, K e tương ứng, ký hiệu E 

là toán tử kỳ vọng toán học Điều kiện (1.4) dẫn tới các phương trình sau đây

T e ij

Sử dụng tính chất tuyến tính của toán tử kỳ vọng, điều kiện (1.8) dẫn tới

2 , , 1

min

e e e

ij ij ij

n i

n

s n

Hoàn toàn tương tự, hai phương trình (1.14) và (1.15) tương đương với lần lượt haiphương trình sau đây

  chính là ma trận thứ nhất trong vế phải của hệ (1.25),

nên hệ (1.25) được viết lại là

eT i T eT

eT i

  suy biến khi và chỉ khi ít nhất một thành phần

của X có thể biểu diễn bằng một tổ hợp tuyến tính qua các thành phần còn lại Để

chứng minh điều kiện đủ, ta chú rằng, sự phụ thuộc tuyến tính tương đương với sự tồntại 3n số thực a b c k, k, k (k  1,n) không đồng thời bằng không sao cho

Sử dụng ký hiệu véc tơ, phương trình (1.30) được viết lại là

Khí đó tồn tại một véc tơ v khác không sao cho phương trình (1.33) thỏa mãn Nhân

trái cả hai vế của phương trình (1.33) với T

Mà E 0 0, nên phương trình (1.36) dẫn tới phương trình (1.31) Điều đó có nghĩa

các phần tử của véc tơ X là phụ thuộc tuyến tính Ta có điều phải chứng minh.

Trong [9] đã chỉ ra rằng các phần tử của các ma trận M e, C e, K e có thể được xác định

như sau

Các công thức (1.37), (1.38) và (1.39) được sử dụng đầu tiên cho các bài toán dao

động ngẫu nhiên dừng bởi Atalik và Utku năm 1976 (xem[7]), sau đó Spanos[19] chỉ

ra rằng nó vẫn có thể áp dụng được cho bài toán dao động ngẫu nhiên không dừng

1.1.3 Ma trận mật độ phổ

Để đơn giản, ta xét hệ (1.1) mà thành phần phi tuyến  không chứa tọa độ X

mà chỉ phụ thuộc vào tọa độ của vị trí và vận tốc, nghĩa là

với S U U i j  là phổ chéo của các thành phần U U i, j (i j,  1,n)

Từ hệ tuyến tính hóa tương đương (1.2), hàm truyền của hệ này là

Các thành phần H ij  liên quan đến các xung đơn vị h t ij  bởi phép biến đổi Fouriersau

Trong khi đó mô men E U k   1 U p 2  liên quan đến mật độ phổ S U  của kích

động ngoài U t  như sau

Từ (1.49) ta có thể chỉ ra rằng ma trận phổ đầu ra S X   của đáp ứng X t  của (1.2)

trong đó S X X i j   là các thành phần của ma trận S X   được xác định từ (1.50).

Như vậy từ (1.28) và (1.51) ta đã thiết lập được một hệ phương trình gồm các ẩn là các

phần tử của các ma trận e, e

K C Nói chung, hệ phương trình này là một hệ phươngtrình đại số phi tuyến Để đơn giản trong việc tính toán ta xét trường hợp riêng là hệmột bậc tự do chịu kích động ngoài ngẫu nhiên

1.2 Phương pháp tuyến tính hóa tương cho hệ một bậc tự do

Hệ một bậc tự do được xem là trường hợp riêng của hệ nhiều bậc tự do Tuy

nhiên trường hợp hệ một bậc tự lại rất quan trọng và rất được quan tâm nghiên cứu

Trong phần này ta đề cập tới dao động của hệ một bậc tự chịu kích động ngẫu nhiên ồntrắng có phương trình như sau

2 0

phương trình nhưng lại có bốn ẩn bao gồm 2 2

2

2 2 2 2

0

, 2

trong đó S f   là hàm mật độ phổ của kích động ngoài f t  Với kích động ồn trắng

ta có S f   S0 const Do đó, sử dụng định lý giá trị thặng dư trong lý thuyết hàm

biến phức ta có thể tính được hai tích phân suy rộng (1.59) và (1.60) dưới dạng kết quảsau

2 0

1.3 Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho các hệ Duffing và Van der Pol

trong đó hàm phi tuyến là hàm bậc ba đối với tọa độ x với tham số phi tuyến  được

giả sử là dương Kích động ngoài  t là kích động ồn trắng cường độ đơn vị với hàmtương quan R t    cho bởi

E x

  



trong đó chú ý rằng x x,  là các quá trình Gaussian độc lập, hay các quá trình chuẩn Ta

có công thức sau đây rút ra từ quá trình chuẩn x

2 1 !!

n n

Đáp ứng bình phương trung bình của x được tìm từ quan hệ (1.61) như sau (xem[9])

2 2

cx

2 2 4 0

Bảng 1 Đáp ứng bình phương trung bình của hệ Duffing với các tham số h 0.5,0 1,2 2

Quan sát bảng ta nhận thấy rằng khi tham số  (  0.1) nhỏ thì phương pháp tuyến

tính hóa tương đương (phương pháp kinh điển) cho kết quả của đáp ứng bình phương

  thì kết quả của phương pháp tuyến tính hóa kinh điển cho sai số lên tới13.6491% so với nghiệm chính xác

1.3.2 Hệ Van der Pol

Xét phương trình vi phân có dạng sau đây

x   x x x t

trong đó    , , 0, là các hằng số dương cho trước, hàm  t là quá trình ngẫu nhiên

ồn trắng trung bình không, cường độ đơn vị và có hàm tương quan dưới dạng (1.64)

Áp dụng (1.57)-(1.58) cho hàm

2

g x x ta thu được các hệ số tuyến tính hóa củaphương trình tuyến tính hóa của phương trình phi tuyến (1.76) là

Do đó phương trình tuyến tính hóa của (1.76) có dạng

2 2 0

2

2

Đây là một nghiệm xấp xỉ của đáp ứng bình phương trung bình của hệ Van der Pol

một bậc tự do Khi biết các tham số đầu vào, ta hoàn toàn tính được đáp ứng bình

phương trung bình này Ta có thể quan sát sai số tương đối của nghiệm xấp xỉ này so

với nghiệm mô phỏng theo Monte-Carlo khi kích động ngoài là ngẫu nhiên ồn trắng.Các nghiệm tính toán bằng số được trình bày trong Bảng 2 với sự thay đổi của 2

Bảng 2 Đáp ứng bình phương trung bình của hệ Van der Pol với các tham số   0.2,0 1, 2

E x  thu được từ mô phỏng Monte-Carlo là khá lớn, từ 23.2741% đến

34.3573% khi 2 thay đổi từ 0.02 đến 4.00

Tổng kết chương 1

Trên đây, phương pháp tuyến tính hóa tương đương được trình bày với nội

dung của tiêu chuẩn tuyến tính hóa kinh điển, giả thiết Gaussian ồn trắng Với hai hệ

điển hình được minh họa, phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho kết quả

nghiệm giải tích gần đúng tính đáp ứng bình phương trung bình của hệ Tuy nhiêncũng dễ nhận thấy rằng khi hệ phi tuyến yếu thì nghiệm giải tích này cho một kết quả

có thể nói là tốt, nhưng khi tính phi tuyến của hệ tăng lên thì sai số tăng lên Do đó đòihỏi chúng ta phải cải tiến phương pháp để đạt được sai số nhỏ hơn theo mong muốn

Để làm điều đó, ta có thể sử dụng các tiêu chuẩn tuyến tính hóa khác nhau, như được

giới thiệu trong [11] Trong nội dung của chương sau, tác giả trình bày một cách tiếpcận khác đối với bài toán tuyến tính hóa tương đương nhằm tăng độ chính xác của đáp

ứng của hệ phi tuyến

Một số mở rộng của phương pháp tuyến tính

hóa tương đương

Như đã nói ở chương 1, trong một số hệ phi tuyến, phương pháp tuyến tính hóatương đương Gaussian có thể cho ta sai số lớn khi tính phi tuyến của hệ tăng lên Để

giảm sai số, trong chương này, tác giả trình bày một cách tiếp cận khác của bài toántuyến tính hóa tương đương với tên gọi “Phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh” [12]

Sau đó là một số mở rộng của phương pháp này

2.1 Phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh

Xét phương trình phương trình vi phân chuyển động của hệ một bậc tự do chịukích động ngoài ngẫu nhiên Gaussian f t  được cho dưới dạng sau đây

2 0

z hz zg z z  f t

trong đó các hằng số dương h,0 cho trước, hàm phi tuyến g z z , được giả thiết có

dạng đa thức của các đối số zvà z

(  pq, pq ( p q,  0,1, 2, ) là các hằng số) Theo phương pháp tuyến tính hóa tương

đương kinh điển, thì các số hạng phi tuyến của hàm g z z , được thay thế bởi các số

Tuy nhiên như đã chỉ ra [12], trong một số hệ phi tuyến, phương pháp tuyến tính hóa

tương đương kinh điển cho kết quả tốt đối với các hệ phi tuyến bé, còn đối với các hệ

phi tuyến mạnh thì phương pháp này lại cho sai số lớn Điều này đòi hỏi cần phải cảitiến phương pháp theo một cách nào mà sai số của các hệ phi tuyến mạnh có thể giảm

đi Theo tinh thần này, ta sẽ tuyến tính hóa các số hạng phi tuyến của g z z , bằng một

con đường khác với phương pháp tuyến tính hóa kinh điển Trước tiên số hạng phi

tuyến được thay thế bằng một số hạng phi tuyến bậc cao hơn, số hạng phi tuyến bậccao này lại được thay thế bởi số hạng phi tuyến cùng bậc với số hạng phi tuyến ban

đầu, cuối cùng ta mới thay thế bởi một số hạng tuyến tính Cụ thể ta có 2p 2q 1

trong đó các hệ số  pq k , pq k k  1, 2, 3 được tìm từ tiêu chuẩn sai số bình phương trung

bình áp dụng cho mỗi bước thay thế Tức là với mỗi bước thay thế, sai số bình phươngtrung bình giữa các số hạng phi tuyến được cực tiểu hóa theo các tham số tương ứng.Với sơ đồ (2.7) ta có các tiêu chuẩn sau đây để xác định các hệ số  pq k :

 

2 1

trong đó  pq3 ,  pq3 được xác định từ các biểu thức (2.18), (2.25) Từ phương trình

(2.27) ta có thể xác định được một cách gần đúng đáp ứng bình phương trung bình của

hệ phi tuyến (2.1) ban đầu Các đáp ứng z z,  là các quá trình Gaussian độc lập nên tất

cả các mô men bậc cao đều biểu diễn được thông qua mô men bậc một và bậc hai củahệ

Để minh họa cho phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh ở trên, ta áp dụng phương

pháp này cho các hệ Atalik-Utku, Lutes-Sarkani và Van der Pol

2.2 Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh cho các hệ Atalik-Utku, Lutes-Sarkani và Van der Pol

trong đó h, là các hằng số dương, kích động ngoài f t  là quá trình Gaussian ồntrắng, trung bình không và có hàm tương quan R f  

exp

exp

2 2

1 cx

4 2

Phương trình (2.28) có hàm phi tuyến 3

g  z chỉ phụ thuộc vào z, nên áp dụng sơ đồtuyến tính hóa (2.7) ta có sơ đồ sau đây cho 3

2

7

4 3

Sai số tương đối giữa đáp ứng bình phương trung bình của phương pháp tuyến tính

So sánh (2.43) và (2.44) ta thấy đối với phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh, sai số

là 3.15% nhỏ hơn xấp xỉ 4.6 lần so với phương pháp tuyến tính hóa kinh điển(14.59%) Như vậy bằng việc sử dụng phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh kết quảcủa đáp ứng bình phương trung bình của hệ Atalik-Utku cho kết quả gần nghiệm chính

xác hơn rất nhiều so với phương pháp tuyến tính hóa kinh điển

k z   z k z  z , sau đó số hạng này được

thay thế bởi k z2 asgn z , cuối cùng số hạng phi tuyến k z2 asgn z được thay thế bởi

số hạng tuyến tính k z Sơ đồ tuyến tính hóa theo mô tả ở trên như sau

Biểu thức tổng quát cho E z a

  là (xem[15])

2

2 2

dụng công thức tích phân (2.33) ta biến đổi (2.57):

1

1 2

S k



Thay (2.59) vào (2.60) và giải phương trình với ẩn  z ta thu được

2 2

1 1

a a

a z

Biểu thức (2.61) là biểu thức xác định phương sai của đáp ứng của hệ Lutes-Sarkani

theo phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh Bây giờ ta tìm biểu thức phương sai

chính xác của hệ Hàm mật độ xác suất chính xác của đáp ứng của hệ (2.45) cho bởi

trong đó hằng số A được tìm từ điều kiện chuẩn hóa hàm p z 

1 1

2

1 2

Ngoài ra sử dụng phương pháp tuyến tính hóa kinh điển ta thu được biểu thức của

phương sai như sau