Phan tich bai thi mon TOI UU KET CAU cao hoc xay dung

Đây là bài phân tích về một đề thi môn tối ưu kết cấu với các trường hợp khác nhau nếu đề thi cho dạng hệ thanh như hình vẽ.

PHÂN TÍCH BÀI THI MÔN TỐI ƯU KẾT CẤU

(CAO HỌC XÂY DỰNG)

Bài 1: Cho hệ 3 thanh dàn như hình vẽ Các thanh có môđun đàn hồi E, l1=L,L2=L,L3= L/=1.( Thực hiện tương tự với mọi b >0, F>0)

Như trong ví dụ hệ 2 thanh dàn ( mục 2.1) chúng tan đã tối ưu hóa trọng lượng với ràng buộc là các ứng suất Các biến thiết kế là A1, A2, A3 Để đơn giản, giả thiết A1= A3

Hàm mục tiêu (tổng trọng lượng của thanh dàn) trở thành

Trong đó  là tỷ trọng của các thanh

Điều kiện ràng buộc là:

Nhưng A1, A2, A3 bắt buộc phải khác 0

Mặt khác ta có điều kiện

Tách nút như hình 2.11 Phương trình cân bằng theo trục x và y là:

Viết lại dưới dạng ma trận:

Lưu ý rằng,ngược lại với hệ 2 thanh dàn trong mục 2.3, chúng ta không thể tính được nội lực thanh lớn hơn số bậc tự do ( số ẩn lớn hơn số phương trình) Hay có thể nói hệ siêu tĩnh ( không tĩnh định) Để xác định nội lực, ứng suất trong hệ trên chúng ta phải sử dụng định luật Hook và điều điện về hình học

Ta có

Viết lại dưới dạng ma trận : s = D 

Trong đó

Do = Bu ( theo 2.14), => s = D Bu (2.30)

Phương trình 2.29 trở thành:

Trong đó K = BT DB là ma trận độ chứng toàn hệ Dễ dàng tính được

Từ 2.31 ta có

Từ 2.30, ứng suất được tính là

Trong đó:

Tính trực tiếp ta được:

F, A1, A2 >0 suy ra thanh 1 và 2 chịu kéo, thanh 3 chịu nén Điều kiện ràng buộc

về ứng suất là:

1<= 1max, 2<= 2max; 3<= 3max

Do b =1 nên l3 = L Từ 1<= 1max, 2<= 2max; 3<= 3max lần lượt suy ra 3 phương trình:

Chúng ta được pt mục tiêu và hệ ràng buộc là:

Để diễn tả rằng hệ dàn có thể không có phương án tối ưu , có thể có một hoặc nhiều hoặc vô hạn phương án ( lời giải) Chúng ta giải bài toàn trên trong năm trường hợp phụ thuộc vào mật độ ( tỷ trọng)

Trường hợp A

Đặt:

Bài toán tối ưu trở thành:

Trong đó hàm mục tiêu đã được chia cho tỷ số Flo/o bài toán được biểu diễn trên hình 2.12 Lưu ý rằng ràng buộc s2 là tuyến tính, ràng buộc 1 bao 2 ràng buộc còn lại, nghiệm nằm trên 1 = o ( ràg buộc  1) Do đó:

Các đường liền đậm có đường chấm kèm theo là các ràng buộc, đường liền mảng

là các đường đẳng trị của hàm mục tiêu Miền nằm cùng phía với đường đứt so với đường liền đậm không phải là miền thiết kế Điểm A là nghiệm

Suy ra:

Thế vào hàm mục tiêu , hàm mục tiêu trở thành: ( Đk x1 >0)

Hàm trên đạt cực trị khi đạo hàm bằng 0

Giải ra được , thay vào 2.41 ta dùng x1 = ½ +sqrt(2)/4 , cho

vì nghiệm còn lại cho x2 < 0

Thế lại phương trình gốc ( 2.40) ta có:

Trường hợp B

Bài toán trở thành:

Hình 2.13: nghiệm là điểm B Điểm A cũng có thể là nghiệm tuy nhiên nếu bỏ thanh

2 ( dẫn đến xóa bỏ ràng buộc 2) đi thì B là nghiệm

Thay x2 = 0 vào ràng buộc s1 2.5) Cho hệ 3 thanh dàn như hình vẽ ( 2.10) Các thanh có môđun đàn hồi E, l1=L,L2=L,L3= L/=1.( Thực hiện tương tự với mọi b

>0, F>0)

Như trong ví dụ hệ 2 thanh dàn ( mục 2.1) chúng tan đã tối ưu hóa trọng lượng với ràng buộc là các ứng suất Các biến thiết kế là A1, A2, A3 Để đơn giản, giả thiết A1= A3

Hàm mục tiêu (tổng trọng lượng của thanh dàn) trở thành

Trong đó  là tỷ trọng của các thanh

Điều kiện ràng buộc là:

Nhưng A1, A2, A3 bắt buộc phải khác 0

Mặt khác ta có điều kiện

Tách nút như hình 2.11 Phương trình cân bằng theo trục x và y là:

Viết lại dưới dạng ma trận:

Lưu ý rằng,ngược lại với hệ 2 thanh dàn trong mục 2.3, chúng ta không thể tính được nội lực thanh lớn hơn số bậc tự do ( số ẩn lớn hơn số phương trình) Hay có thể nói hệ siêu tĩnh ( không tĩnh định) Để xác định nội lực, ứng suất trong hệ trên chúng ta phải sử dụng định luật Hook và điều điện về hình học

Ta có

Viết lại dưới dạng ma trận : s = D 

Trong đó

Do = Bu ( theo 2.14), => s = D Bu (2.30)

Phương trình 2.29 trở thành:

Trong đó K = BT DB là ma trận độ chứng toàn hệ Dễ dàng tính được

Từ 2.31 ta có

Từ 2.30, ứng suất được tính là

Trong đó:

Tính trực tiếp ta được:

F, A1, A2 >0 suy ra thanh 1 và 2 chịu kéo, thanh 3 chịu nén Điều kiện ràng buộc

về ứng suất là:

1<= 1max, 2<= 2max; 3<= 3max

Do b =1 nên l3 = L Từ 1<= 1max, 2<= 2max; 3<= 3max lần lượt suy ra 3 phương trình:

Chúng ta được pt mục tiêu và hệ ràng buộc là:

Để diễn tả rằng hệ dàn có thể không có phương án tối ưu , có thể có một hoặc nhiều hoặc vô hạn phương án ( lời giải) Chúng ta giải bài toàn trên trong năm trường hợp phụ thuộc vào mật độ ( tỷ trọng)

Trường hợp A

Đặt:

Bài toán tối ưu trở thành:

Trong đó hàm mục tiêu đã được chia cho tỷ số Flo/o bài toán được biểu diễn trên hình 2.12 Lưu ý rằng ràng buộc s2 là tuyến tính, ràng buộc 1 bao 2 ràng buộc còn lại, nghiệm nằm trên 1 = o ( ràg buộc  1) Do đó:

Các đường liền đậm có đường chấm kèm theo là các ràng buộc, đường liền mảng

là các đường đẳng trị của hàm mục tiêu Miền nằm cùng phía với đường đứt so với đường liền đậm không phải là miền thiết kế Điểm A là nghiệm

Suy ra:

Thế vào hàm mục tiêu , hàm mục tiêu trở thành: ( Đk x1 >0)

Hàm trên đạt cực trị khi đạo hàm bằng 0

Giải ra được , thay vào 2.41 ta dùng x1 = ½ +sqrt(2)/4 , cho vì nghiệm còn lại cho x2 <0

Thế lại phương trình gốc ( 2.40) ta có:

Trường hợp B

Bài toán trở thành:

Hình 2.13: nghiệm là điểm B Điểm A cũng có thể là nghiệm tuy nhiên nếu bỏ thanh

2 ( dẫn đến xóa bỏ ràng buộc 2) đi thì B là nghiệm

Thay x2 = 0 vào ràng buộc 1:

Pt có nghiệm là x1 = 0.5; (loai x1 = 0) Nghiệ làm của bài toán tối ưu là:

Trường hợp C

Tỷ trọng của thanh 1 tăng một chút so với trường hợp B Phương trình mục tiêu thay đổi, pht ràng buộc giống trường hợp B

Dựa vào hình vẽ chưa kết luận được điểm A hay B là nghiệm

Điểm A được tính băng cách giải hai pt ràng buộc s1 và s2

Điểm B ( ứng với không có thanh 2)

Cả 2 đều làm hàm mục tiêu đạt giá tri

Trường hợp D

Bài toán trở thành (chỉ hàm mục tiêu thay đổi)

Nghiệm, tương tự đã tính trong trường hợp C, tính được

Giá trị của hàm mục tiêu

Trường hợp E

Bài toán trở thành

Nghiệm của bài toán là điểm B , dàn tối ưu không có thanh 2

Gía trị hàm mục tiêu

Mặc dù tỉ trọng thanh 2 lớn hơn 2 lần trường hợp b nhưng vẫn có cùng nghiệm tất nhiên là do thanh 2 có thể lược bỏ

Giả sử rằng A2 có thể rất nhỏ A2 >= 0.1 F/ o, có nghĩa là x2 >= 0.1 Ràng buộc

2 sẽ song song với các đường đẳng trị ( đường của hàm mục tiêu) -> có vô số nghiệm nằm giữa điểm A và C mà có x2 > 0.1