Yêu cầu Sinh viên thay số a, b tương ứng rồi tiến hành giải... Câu 3: Trong 4 cho họ vector sau: a Chứng minh rằng họ vector S độc lập tuyến tính... Tìm tất cả các giá trị riêng còn lại
Trang 1Đáp án đề thi kết thúc học phần
Đại Số Thời gian: 90 phút (28/06/2021)
Mã đề thi: 110
Trong cả 4 câu sau: a là ngày sinh, b là tháng sinh của sinh viên
Yêu cầu Sinh viên thay số a, b tương ứng rồi tiến hành giải
Câu 1: Cho
A
b
Thực hiện các phép toán sau theo tham số m: (A – B)C; AC + BC
Lời giải:
1
2 12
A
a
m b
m B
a
b
A B C
a
A
a a a
AC
a b
Trang 2Câu 2: Biện luận theo tham số m hạng của ma trận sau:
1 1 1 0
0 2 0
1 1 0
0 1 0
a
b a
m A
Lời giải
Cách 1:
A
m
a a
m
a
2
2
0 1 0
0 0 0 2 2
b
b a m
a
Nếu m ≠ 2 a – 2 b thì rankA = 4
Nếu m = 2 a – 2 b thì rankA = 3
Cách 2:
Ta có: detA = 2 a – 2 b – m
+ Nếu detA ≠ 0 m ≠ 2 a – 2 b thì rankA = 4
+ Nếu detA = 0 m = 2 a – 2 b thì rankB < 4
1 1 2
Trang 3Câu 3: Trong 4 cho họ vector sau:
a) Chứng minh rằng họ vector S độc lập tuyến tính
b) Vector x = (0,0,–1,2 + 2b – a) có thuộc không gian con của 4 sinh bởi họ vector S
không? Vì sao?
Lời giải
a) Đặt
1 0 1
b a b
A
Cách 1: Vì A chứa ma trận con cấp ba
1 0 1
0 2 1
1 2 1
M (tạo từ ba hàng 1,2,3 và ba cột
1,2,3) có định thức khác không là detM = 2 nên rankA 3
Mặt khác, rankA 3 Do đó, rankS = rankA = 3 = |S| hay S độc lập tuyến tính
Cách 2:
A
a
Suy ra rankS = rankA = 3 = |S| hay S độc lập tuyến tính
Trang 4b)
x = (0,0,–1,2 + 2 b – a) thuộc không gian con của 4
1 0 1
b a b
b a
Cách 2: Bởi vì x = u1 + u2 – u3
Câu 4: Trong 3 cho họ vector sau:
a) Tìm điều kiện của tham số m để họ vector S là cơ sở của 3
b) Với m = 2, tìm tọa độ (v) S , biết v = (35 – a – b a, – 15)
Lời giải
a) S là cơ sở của 3 0
1
m m
2
1
a b
m
Trang 51 2 2 73 65 95
1 4 2 2 67 69 5
100 3 4
2 2 3
a
x
b y
z
(v) S = 2 2 2 2 73 65 95,4 2 2 2 2 67 69 5, 200 6 8
2(2 2 3)
b
Câu 5: Cho ma trận
m
b a b A
a) Tìm đa thức đặc trưng P A (x) = det(A – xI) theo tham số m
b) Tìm giá trị của m để x = 2 là giá trị riêng của A
Tìm tất cả các giá trị riêng còn lại của A
Lời giải
a) Đa thức đặc trưng của A là
( ) det( ) 2 1 2 2 2
A
b) x = 2 là giá trị riêng của A P(2) = 0 m = 2 1
b a b
Khi đó, P( )x (x 2)x2 2a b 2b1
Các giá trị riêng còn lại của A là 2a b 2b1